基于圖像處理的矩陣論理論教學(xué)培養(yǎng)方法研究

張翠英 高瑞超

摘 要：本文分析了矩陣論課程的教學(xué)現(xiàn)狀，針對矩陣論傳統(tǒng)教學(xué)方法的弊端進(jìn)行改進(jìn)，通過在課堂中引入應(yīng)用實(shí)例，給出了矩陣論理論在圖像處理中的具體應(yīng)用，并借助于MATLAB平臺進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真。通過教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段的豐富，可以極大的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而有效提高矩陣論課程的教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：矩陣論;圖像處理;教學(xué)手段;教學(xué)質(zhì)量

0 引言

目前，許多應(yīng)用型的本科院校把矩陣論作為理工科專業(yè)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，該課程全面講述了線性空間與線性變換、矩陣分解、矩陣分析、矩陣的特征值以及矩陣的廣義逆矩陣等相關(guān)內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生利用理論知識解決實(shí)際問題的能力[1]。由于矩陣論的理論性比較強(qiáng)，傳統(tǒng)的教學(xué)模式是以“教師為中心”的單向輸出，教師在講授過程中對其缺乏工程應(yīng)用的介紹，導(dǎo)致大部分學(xué)生認(rèn)為該課程晦澀難懂，缺乏學(xué)習(xí)興趣，難以學(xué)以致用。因此，如何使學(xué)生多方面了解矩陣論理論的工程應(yīng)用，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣變得尤為重要。

本文主要介紹了矩陣論理論在圖像處理中的一些應(yīng)用，并給出了在MATLAB平臺的仿真示例，這樣可以使學(xué)生對矩陣論理論的實(shí)際應(yīng)用效果感受更加直觀，從而增強(qiáng)學(xué)生對矩陣論的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力。

1 矩陣論理論在圖像處理中的應(yīng)用

數(shù)字圖像處理技術(shù)是采用計(jì)算機(jī)程序和算法對數(shù)字圖像進(jìn)行計(jì)算處理，以獲得改善圖像、目標(biāo)特征值或?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)自動(dòng)識別的技術(shù)[2-3]。而矩陣論理論是圖像處理的基礎(chǔ)，圖像在計(jì)算機(jī)上以矩陣的形式來表現(xiàn)。因此矩陣論理論對于數(shù)字圖像處理的作用可見一斑。矩陣論理論在圖像處理方面的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：

1.1 奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

在現(xiàn)代數(shù)值分析中，矩陣的奇異值分解是最有效的工具之一，它是矩陣分析中正規(guī)矩陣酉對角化的推廣。SVD廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，利用SVD可以有效提取圖像的特征[4]。例如在圖像融合中，通過對待融合的源圖像進(jìn)行SVD分解，可以有效獲取表征圖像特征的特征系數(shù)，然后利用某種融合規(guī)則（取大或加權(quán)平均）對分解系數(shù)進(jìn)行融合，獲得融合系數(shù)。最后通過對融合系數(shù)進(jìn)行逆變換，可以獲得融合圖像。

1.2 極大線性無關(guān)組

極大線性無關(guān)組是在線性空間中擁有向量個(gè)數(shù)最多的線性無關(guān)向量組。一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組是其最本質(zhì)的部分，對許多問題的研究起著非常重要的作用。如確定矩陣的秩，討論線性方程組的基礎(chǔ)解系等。簡單來講，極大線性無關(guān)組就是“基”?；腿缬⑽睦锩娴?6個(gè)英文字母，所有的英文句子都是由這組基（26個(gè)字母）組成。在圖像處理中，小波變換是傳統(tǒng)方法中最常用的圖像分析工具，因其在時(shí)域和空域均有良好的局部化特性，并且還能夠?qū)Ω哳l部分采取逐步精細(xì)的時(shí)域或空域取樣步長，因此有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱[5]。小波變換由一組小波基函數(shù)構(gòu)成，常用的小波基有“haar”小波，“dbN”小波等?；母拍钤诶孟∈璞硎咎幚韴D像時(shí)得到很好的體現(xiàn)。在稀疏表示處理圖像時(shí)，主要任務(wù)是字典的生成和圖像的稀疏分解，這里的分析字典就相當(dāng)于一組基，圖像的稀疏系數(shù)就是圖像在這組基上的表示。

1.3 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

主成分分析法是一種用于數(shù)據(jù)降維的統(tǒng)計(jì)方法，其主要思想為：首先借助于正交變換，將其分量相關(guān)的原隨機(jī)向量轉(zhuǎn)化成其分量不相關(guān)的新隨機(jī)向量，即將原隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣變換成對角形矩陣，然后對多維變量系統(tǒng)進(jìn)行降維處理，使其能在保持一個(gè)較高的精度的同時(shí)轉(zhuǎn)換成低維變量系統(tǒng)，最后再通過適當(dāng)價(jià)值函數(shù)的構(gòu)造，進(jìn)一步把低維系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一維系統(tǒng)[5]。在圖像處理中，利用PCA對高維數(shù)據(jù)（如人臉數(shù)據(jù)）降維，從而提高圖像處理的效率。PCA中用到了協(xié)方差矩陣，特征值，特征向量，線性表示等知識。特征值是矩陣分析的一個(gè)主要特征。圖像的局部區(qū)域信息可以利用圖像結(jié)構(gòu)張量特征值之間的關(guān)系來描述，有效獲取圖像的特征。

1.4 線性空間

線性變換是模式識別領(lǐng)域優(yōu)化的基礎(chǔ)。歐式空間的歐式距離可以用來計(jì)算兩幅圖像之間的相似度或者聚類等。歐式空間也是學(xué)習(xí)黎曼空間的基礎(chǔ)。黎曼空間的Affine-Invariant度量與Log-Euclidean度量非常適合處理協(xié)方差矩陣。利用這兩種度量方式可以更好的度量圖像相似度。

2 基于MATLAB的仿真實(shí)例

MATLAB是一款以矩陣為基本數(shù)據(jù)單位的數(shù)學(xué)軟件，將矩陣運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、實(shí)現(xiàn)算法以及建模仿真等功能集于一體，具有完備的圖像處理功能[6]。利用MATLAB軟件對圖像處理進(jìn)行仿真，使學(xué)生更加直觀和真切的感受圖像處理的效果，深刻了解矩陣論理論的應(yīng)用實(shí)踐。

圖像融合是圖像處理的一個(gè)重要分支，它是把兩個(gè)或多個(gè)來自不同傳感器的圖像通過一定算法融合到一幅圖像的過程，去除圖像冗余信息，提高融合圖像的質(zhì)量，以滿足人眼視覺或圖像后期處理的需要。圖像融合已在軍事、遙感、醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。為了使處理結(jié)果更加直觀，本文以基于小波變換的圖像融合的MATLAB仿真實(shí)現(xiàn)為實(shí)際案例，介紹極大線性無關(guān)組的實(shí)際應(yīng)用。其中，軟件環(huán)境為MATLAB R2010b，硬件環(huán)境為Pentium（R）Dual-Core CPU/2.59GHz/1.99 GB，待融合的實(shí)驗(yàn)圖像均為256×256的多聚焦圖像。

2.1 基于小波變換的圖像融合過程

首先對待融合源圖像進(jìn)行小波分解得到一個(gè)低頻子帶系數(shù)和水平、垂直、對角三個(gè)方向的高頻子帶系數(shù)，其中，分解層數(shù)為3，小波基為“DBSS（2，2）”;然后采用低頻子帶系數(shù)取平均，高頻子帶系數(shù)絕對值取大的融合策略進(jìn)行融合，獲得融合系數(shù);最后對融合系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，獲得最終融合圖像。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1（a）是右聚焦圖像，圖像左側(cè)的“鬧鐘”模糊，圖像右側(cè)的“鐘表”清晰。圖1（b）是左聚焦圖像，圖像左側(cè)的“鬧鐘”清晰，圖像右側(cè)的“鐘表”模糊。圖1（c）是基于小波變換的融合圖像結(jié)果。從主觀視覺上看，基于小波變換的圖像融合方法能夠?qū)煞磮D像融合成“鬧鐘”和“鐘表”均清晰的圖像。融合圖像清晰度高，保留了較多紋理和邊緣細(xì)節(jié)信息。

通過真實(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以使學(xué)生更加直觀的評判圖像融合質(zhì)量的好壞。本實(shí)例是矩陣論中極大線性無關(guān)組的一個(gè)典型應(yīng)用，通過演示基于小波變換的多聚焦圖像的融合過程，向?qū)W生展示了矩陣論中相關(guān)知識點(diǎn)在工程實(shí)際中的具體應(yīng)用，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增加了課堂教學(xué)的趣味性。

3 結(jié)論

本文主要立足于如何激發(fā)矩陣論課程中學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而更好的培養(yǎng)學(xué)生利用矩陣論理論解決工程實(shí)際問題的能力。本文主要從教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)手段出發(fā)，通過在教學(xué)過程中輔以實(shí)際應(yīng)用的案例，在教學(xué)手段上搭建虛擬仿真平臺，以“矩陣論+圖像處理”的方式，為高校教育提供了更多的教學(xué)思路。

參考文獻(xiàn)：

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[5]林海明，杜子芳.主成分分析綜合評價(jià)應(yīng)該注意的問題[J].統(tǒng)計(jì)研究，2013，30（8）：25-31

[6]張錚，倪紅霞，苑春苗，等.精通Matlab數(shù)字圖像處理與識別[M].人民郵電出版社，2013（4）：412.