基于高斯混合模型的列車隨機(jī)振動(dòng)加速度響應(yīng)最大值分布統(tǒng)計(jì)分析

蒲珍華 吳夢(mèng)雪 唐德發(fā) 朱金 李永樂

摘 要：為可靠地評(píng)估列車運(yùn)行的安全性與平穩(wěn)性，基于多體動(dòng)力學(xué)理論和概率統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)隨機(jī)軌道不平順激勵(lì)作用下列車加速度響應(yīng)最大值的分布規(guī)律進(jìn)行分析。采用多體動(dòng)力學(xué)軟件Simpack建立列車軌道耦合模型，通過三角級(jí)數(shù)法模擬得到軌道不平順作為隨機(jī)輸入激勵(lì)，基于Monte-Carlo方法計(jì)算得到列車在行駛過程中加速度響應(yīng)的樣本序列。將列車加速度響應(yīng)樣本序列的最大值作為隨機(jī)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，通過構(gòu)建基于高斯混合模型的列車振動(dòng)加速度響應(yīng)最大值的概率密度分布函數(shù)，并結(jié)合期望最大化算法對(duì)概率模型參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)，從而對(duì)列車加速度響應(yīng)最大值分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律以及響應(yīng)樣本數(shù)量的選取開展研究。結(jié)果表明：采用高斯混合模型能有效地?cái)M合列車加速度響應(yīng)最大值的分布規(guī)律;此外，隨著車速的增加，列車加速度響應(yīng)最大值分布的離散性增強(qiáng)。

關(guān)鍵詞：列車軌道耦合系統(tǒng);隨機(jī)振動(dòng);加速度響應(yīng);高斯混合模型;期望最大化算法

Abstract： In order to reliably evaluate the safety and stability of running train during operation， the distribution of maximum acceleration response of the running train under random track irregularity excitation is analyzed， based on the theory of multi-body dynamics and the theory of probability statistics. To this end， the train-track coupling model is established using the multi-body dynamics software Simpack. As the internal source excitation of the train-track coupling model， the track irregularity is simulated through trigonometric series method. In addition， the Monte-Carlo method is used to obtain the sample sequence of the trains acceleration response under random track irregularity. Subsequently， the maximum value of each sample （time history of trains acceleration responses） is obtained and treated as a random variable for statistical analysis. By constructing the probability density distribution function of the maximum train vibration acceleration response based on the Gaussian mixture model， and combining with the expectation maximization algorithm， the maximum likelihood estimation of the probability model parameters is carried out.The statistical law of the maximum distribution of train acceleration response and the selection of the number of response samples are studied. The results show that the Gaussian mixture model can accurately model the distribution of the trains maximum acceleration response. Additionally， it is found that the variation of the trains maximum acceleration response increases with higher vehicle speed.

Keywords： train-track coupling system; random vibration; acceleration response; Gaussian mixture model; expectation maximization algorithm

軌道不平順是引起列車軌道或列車橋梁耦合系統(tǒng)振動(dòng)的重要激勵(lì)源之一。在車輛參數(shù)確定的情況下，軌道不平順對(duì)列車運(yùn)行的安全性與平穩(wěn)性有很大的影響[1]。文獻(xiàn)[2]探討了列車荷載作用下不同軌道不平順樣本對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律，結(jié)果表明，橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)隨軌道不平順樣本的不同而變化，且有較大的離散性和隨機(jī)性。目前，常采用單一或少數(shù)幾個(gè)軌道不平順樣本作為激勵(lì)源，將列車軌道或列車橋梁耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程的最大值（由單一軌道不平順樣本得到）或最大值的平均值（由多個(gè)軌道不平順樣本得到）作為系統(tǒng)安全性和平穩(wěn)性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，但軌道不平順是一個(gè)空間隨機(jī)過程，一個(gè)樣本僅是統(tǒng)計(jì)意義上隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，因而由一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)軌道不平順樣本得到的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程可能無法反映響應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)特征。此外，在列車軌道或列車橋梁耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)研究中，響應(yīng)樣本數(shù)量的選取是一個(gè)非常關(guān)鍵的問題，如若響應(yīng)樣本數(shù)量選取過少，則無法反映各類動(dòng)力響應(yīng)總體的特征，也就無法建立合理的響應(yīng)概率統(tǒng)計(jì)模型，但如果響應(yīng)樣本數(shù)量選取過多，又需要十分龐大的計(jì)算量。曾慶元等[3]指出，在沒有實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)樣本的情況下，如何確定計(jì)算樣本的數(shù)量才能得到更合適的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果是值得探討的問題。

目前，針對(duì)列車軌道（或橋梁）耦合振動(dòng)的隨機(jī)性問題和系統(tǒng)響應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)特征問題，許多學(xué)者已開展了一定研究。夏禾等[4]取20個(gè)軌道不平順樣本計(jì)算了列車通過單跨箱梁時(shí)橋梁和列車響應(yīng)的最大值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)，結(jié)果表明，20次計(jì)算值的離散性很大。余志武等[5]考慮車輛荷載及一系、二系豎向彈簧剛度與阻尼的隨機(jī)性，對(duì)列車橋梁豎向耦合振動(dòng)響應(yīng)開展了研究，計(jì)算得到了車橋振動(dòng)響應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和時(shí)變概率密度演化分布。此外，談遂等[6]基于某重載鐵路橋梁的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)不同軸重列車過橋時(shí)橋梁動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性進(jìn)行了分析，并結(jié)合3倍標(biāo)準(zhǔn)差原理對(duì)橋梁動(dòng)力響應(yīng)最大值進(jìn)行了估計(jì)。李永樂[7]針對(duì)風(fēng)列車橋梁耦合系統(tǒng)的振動(dòng)特性，指出采用基于單樣本分析得到的響應(yīng)最大值來評(píng)價(jià)列車和橋梁的振動(dòng)水平不合適，并提出將橋梁的靜風(fēng)位移、靜車位移和考慮峰值因子的動(dòng)位移均方差疊加作為橋梁位移響應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，將考慮峰值因子的加速度均方根作為橋梁加速度響應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。Xin等[8]對(duì)列車橋梁耦合系統(tǒng)的不確定性和敏感度開展了研究，揭示了橋梁參數(shù)和軌道不平順的隨機(jī)性對(duì)列車橋梁耦合系統(tǒng)響應(yīng)的變異性有較明顯的影響，而不同因素之間的交叉影響作用也不容忽視。朱志輝等[9]基于Monte-Carlo方法，將車速和軌道不平順作為隨機(jī)變量，隨機(jī)選取100個(gè)車速和軌道不平順的組合樣本，得到了鋼橋最不利疲勞部位的等效應(yīng)力范圍和年疲勞損傷系數(shù)的概率分布。

目前對(duì)車橋系統(tǒng)或車軌系統(tǒng)振動(dòng)隨機(jī)性的處理主要有蒙特卡洛（Monte-Carlo）法、虛擬激勵(lì)法、概率密度演化法、隨機(jī)模擬法等[10]。其中，蒙特卡洛法具有簡(jiǎn)單直觀、有較大樣本容量、適用性較強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，且常被用于檢驗(yàn)其他分析方法的有效性[11-12]。為可靠地評(píng)估列車運(yùn)行的安全性與平穩(wěn)性，筆者采用多體動(dòng)力學(xué)軟件Simpack建立列車軌道耦合模型，將通過引入三角級(jí)數(shù)法模擬得到的軌道不平順作為隨機(jī)輸入激勵(lì)，基于Monte-Carlo方法計(jì)算得到了列車在行駛過程中加速度振動(dòng)響應(yīng)的樣本序列，并結(jié)合高斯混合（Gaussian Mixture Model， GMM）模型，采用期望最大化（Expectation Maximization， EM）算法對(duì)概率模型參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)，從而對(duì)列車加速度振動(dòng)響應(yīng)最大值分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律以及響應(yīng)樣本數(shù)量的選取進(jìn)行研究。

1 列車軌道耦合振動(dòng)仿真計(jì)算

1.1 列車多體動(dòng)力學(xué)模型

以中國(guó)某高速列車動(dòng)車車輛為原型，運(yùn)用多體動(dòng)力學(xué)分析軟件Simpack建立相應(yīng)的列車多體動(dòng)力學(xué)精細(xì)化模型。模型中忽略車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)、軸箱轉(zhuǎn)臂等部件的彈性變形將其視為剛體，

列車的一、二系彈簧和減振器采用彈簧阻尼元件進(jìn)行模擬，并考慮其作用點(diǎn)之間的空間距離以及剛度和阻尼的非線性特性，其中，非線性彈簧、減振器主要有一系垂向減振器、橫向減振器、抗蛇行減振器和橫向止擋等。模型中采用s1002輪對(duì)，鋼軌選用T60 kg/m型鋼軌。采用準(zhǔn)彈性接觸模型計(jì)算輪軌接觸力，輪軌法向力采用Herz理論計(jì)算，蠕滑力則采用FASTSIM算法求得。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，判斷一個(gè)復(fù)雜的多體動(dòng)力學(xué)模型是否建立正確，主要依據(jù)靜平衡計(jì)算名義力時(shí)系統(tǒng)的最大殘余加速度是否小于0.01 m/s2。對(duì)列車軌道耦合系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)進(jìn)行靜平衡名義力計(jì)算時(shí)，最大殘余加速度為8.389 84×10-6 m/s2，小于0.01 m/s2，因此，列車軌道耦合系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)模型建立正確。列車的多體動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，列車模型主要參數(shù)如表1所示。

1.2 軌道不平順數(shù)值模擬

軌道不平順是列車軌道耦合系統(tǒng)振動(dòng)重要的激勵(lì)源，是引起車輛產(chǎn)生振動(dòng)的主要原因之一。軌道不平順主要可劃分為水平不平順、軌距不平順、垂向不平順、方向不平順4類。軌道不平順具有隨機(jī)性，可視為由不同幅值、波長(zhǎng)和相位角的波疊加而成，通常用功率譜密度函數(shù)來表示。在求解動(dòng)力響應(yīng)的過程中，需要將軌道不平順功率譜轉(zhuǎn)換為時(shí)域樣本或空間樣本[13]。

基于中國(guó)高速鐵路總體技術(shù)條件，建議對(duì)列車進(jìn)行平穩(wěn)性分析時(shí)使用德國(guó)高速線路軌道譜[14]，且高速鐵路試驗(yàn)段軌道譜的高低不平順在30 m波長(zhǎng)以上的平順性基本與德國(guó)高速低干擾譜接近[15]。因此，選用德國(guó)高速低干擾譜，采用三角級(jí)數(shù)法對(duì)軌道不平順序列進(jìn)行模擬。在假設(shè)軌道不平順為平穩(wěn)遍歷的高斯白噪聲的前提下，軌道不平順可看作是不同三角級(jí)數(shù)的疊加，可通過式（1）得到。

式中：f（x）為模擬得到的軌道不平順序列;S（ωk）為功率譜密度函數(shù)，垂向不平順單位為m2/rad/m，水平不平順單位為1/rad/m;ωk為軌道不平順的空間頻率，rad/m;φk為第k個(gè)頻率的相位，是獨(dú)立均布于0～2π的隨機(jī)數(shù)。

用三角級(jí)數(shù)法模擬得到的軌道不平順功率譜密度（Power spectral density，PSD）與目標(biāo)譜的吻合情況如圖2所示，由圖2可知，模擬的功率譜與目標(biāo)譜吻合較好。

1.3 列車加速度響應(yīng)樣本

以隨機(jī)軌道不平順作為輸入激勵(lì)，得到列車以200 km/h速度行駛時(shí)的加速度響應(yīng)時(shí)程曲線，如圖3所示。列車加速度測(cè)點(diǎn)位置根據(jù)《鐵道車輛動(dòng)力學(xué)性能評(píng)定和實(shí)驗(yàn)鑒定規(guī)范》（GB 5599—1985）規(guī)定設(shè)定于轉(zhuǎn)向架中心上方橫向1 m的車體地板上。

2 高斯混合模型

高斯混合模型廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)分析領(lǐng)域[16]，其作為一種統(tǒng)計(jì)模型，多用于構(gòu)建概率密度函數(shù)，能較好地刻畫參數(shù)空間中數(shù)據(jù)的分布及其特征，既具有非參數(shù)化方法的靈活性，又保持了參數(shù)化方法的精確性。高斯混合模型采用有限個(gè)特定概率分布密度函數(shù)的加權(quán)組合來擬合復(fù)雜的概率分布模型，通過選擇混合分量的類型和個(gè)數(shù)，可逼近任何連續(xù)的概率分布密度函數(shù)。高斯混合模型（GMM）由高斯（正態(tài)）分布的加權(quán)組合得到，其概率密度函數(shù)為

式中：參數(shù)μzk、σzk分別為第k個(gè)高斯成分的均值和方差;πk是隨機(jī)變量x取至第k個(gè)高斯成分的權(quán)重系數(shù)，表示觀察樣本屬于第k個(gè)高斯分量所代表的聚類的相對(duì)率，應(yīng)滿足公式0≤πk≤1，∑Mk=1πk=1，k=1，2，3，…，M[17]。

高斯混合模型可以逼近任何連續(xù)的概率分布函數(shù)，選擇合適的權(quán)重系數(shù)是得出模型類型數(shù)量與模型參數(shù)的關(guān)鍵。高斯混合模型是一種“軟分類聚類”，是基于假設(shè)數(shù)據(jù)集是由一個(gè)潛在的混合概率分布產(chǎn)生的，其中每個(gè)高斯分量都表示一個(gè)不同的聚類。首先通過估計(jì)樣本數(shù)據(jù)集的混合概率密度，然后計(jì)算樣本源中單個(gè)樣本之于各個(gè)高斯分量的后驗(yàn)概率，最后將單個(gè)樣本分配到后驗(yàn)概率最大的高斯分量所在的聚類組，從而得到樣本數(shù)據(jù)集所服從的高斯混合分布[18]。

2.1 參數(shù)估計(jì)

3）收斂條件

不斷迭代E步與M步，至似然函數(shù)的變化量小于誤差值esp或迭代次數(shù)k≤K時(shí)，迭代結(jié)束，否則返回E步。隨著迭代次數(shù)的增加，迭代誤差越來越小，似然函數(shù)不斷收斂?？山邮艿牡`差esp=2×10-16，最大迭代次數(shù)K=500。似然函數(shù)為

綜上所述，EM是一種迭代算法，也是一種聚類算法，它可以通過迭代求出高斯混合模型的參數(shù)，并將樣本源中的單個(gè)樣本通過迭代收斂性進(jìn)行聚類。高斯混合模型聚類通常采用貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）選擇模型，模型的BIC值越大，該模型就越符合實(shí)際。

2.2 擬合度檢驗(yàn)

假設(shè)列車振動(dòng)加速度響應(yīng)的最大值服從高斯混合分布，采用期望最大化算法對(duì)該概率模型參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)，再進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)。

為了對(duì)比得到的高斯混合模型概率密度函數(shù)與由列車加速度響應(yīng)最大值的樣本序列得到的頻率直方圖的擬合效果，采用擬合優(yōu)度（Adjusted R2）與均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）兩項(xiàng)指標(biāo)來對(duì)概率密度分布曲線的擬合優(yōu)劣程度進(jìn)行評(píng)價(jià)。擬合優(yōu)度用于評(píng)價(jià)概率密度分布曲線與直方圖之間的相似程度，該值越接近于1，表示擬合程度越好;均方根誤差用于評(píng)價(jià)概率密度分布曲線與直方圖之間的偏離程度，該值越接近于0，表示偏離程度越小，擬合程度越好。

2.3 樣本量

樣本量是指從總體中抽取的樣本元素的總個(gè)數(shù)，樣本量的大小是選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)重要要素。由抽樣分布理論可知，在大樣本條件下，如果總體為正態(tài)分布，則樣本統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布;如果總體為非正態(tài)分布，則樣本統(tǒng)計(jì)量漸近地服從正態(tài)分布[20]。

在確定樣本量時(shí)，取α為0.05，則置信度為95%，經(jīng)查表，Zα/2為1.96;假定的估計(jì)誤差為0.05，則最小樣本量為n=384。在滿足樣本最小容量的情況下，增加樣本量有助于增加檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的精度，提高可靠性。

3 列車加速度響應(yīng)最大值的概率模型

基于Monte-Carlo方法，分別取400、500、600、700、800、900和1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本，計(jì)算得到列車的加速度響應(yīng)時(shí)程樣本，并將列車豎向和橫向加速度響應(yīng)的最大值作為隨機(jī)變量，采用EM算法進(jìn)行聚類分析，比較聚類為1～4類的BIC值，并選擇BIC值最大的一組參數(shù)，得出某個(gè)確定樣本容量下列車加速度響應(yīng)最大值所服從的高斯混合模型。接著，對(duì)比不同樣本容量下列車加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型與其相應(yīng)頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差，從中選取合適的高斯混合模型概率密度函數(shù)（對(duì)應(yīng)的樣本容量記為Nrep）作為代表該車速下列車加速度響應(yīng)最大值的概率密度模型，此時(shí)的樣本容量Nrep作為代表該車速下列車加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量。

3.1 列車豎向加速度

當(dāng)列車以200 km/h車速行駛時(shí)，以1 000個(gè)列車豎向加速度響應(yīng)樣本為例，表2為列車豎向加速度最大值不同聚類個(gè)數(shù)的BIC值。由表2可得，當(dāng)聚類個(gè)數(shù)N=2時(shí)，BIC值最大。表3為N=2時(shí)模型的參數(shù)估計(jì)值。將表3中的參數(shù)帶入到式（2）中，即可得到列車豎向加速度最大值所服從的高斯混合模型概率密度函數(shù)，如式（10）所示。圖4為得到的高斯混合模型概率密度函數(shù)與相應(yīng)樣本數(shù)量下列車豎向加速度響應(yīng)最大值的頻率分布直方圖的對(duì)比，從圖4可知，其擬合效果較好。

分別取400、500、600、700、800、900和1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本，計(jì)算得到車速為200 km/h時(shí)不同樣本容量下的列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差，如表4和圖5所示。由表4和圖5可知，當(dāng)樣本數(shù)量為400～700時(shí)，列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度隨著樣本數(shù)量的增加逐漸變大，在樣本數(shù)量達(dá)到700后趨于穩(wěn)定;而均方根誤差隨著樣本數(shù)量的增加逐漸減小，在樣本數(shù)量達(dá)到700后，波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而，車速為200 km/h時(shí)，代表列車豎向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep=700。圖6為不同樣本數(shù)量下的列車豎向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度曲線。

當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，不同樣本數(shù)量下列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差如圖7所示。從圖7中可以看出，在樣本數(shù)量達(dá)到700后，3種不同車速下的列車豎向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度和均方根誤差均波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，代表列車豎向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep均可取為700。

3.2 列車橫向加速度

當(dāng)列車以200 km/h車速行駛時(shí)，仍以1 000個(gè)列車橫向加速度響應(yīng)樣本為例，表5為列車橫向加速度最大值不同聚類個(gè)數(shù)的BIC值，由表5可得，當(dāng)聚類個(gè)數(shù)N=3時(shí)，BIC值最大。表6為N=3時(shí)模型的參數(shù)估計(jì)值。將表6中的參數(shù)帶入式（2）中即可得到列車橫向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度函數(shù)，如式（11）所示。圖8為得到的高斯混合模型的概率密度函數(shù)與相應(yīng)樣本數(shù)量下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的頻率分布直方圖的對(duì)比，由圖8可知其擬合效果較好。

分別取400、500、600、700、800、900和1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本，計(jì)算得到車速為200 km/h時(shí)不同樣本容量下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差，如表7和圖9所示。由表7和圖9可知，列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度和均方根誤差在樣本數(shù)量達(dá)到800后波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而，車速為200 km/h時(shí)，代表列車橫向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep=800。圖10為不同樣本數(shù)量下列車橫向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度曲線。

當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，不同樣本數(shù)量下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度及均方根誤差如圖11所示。從圖11中可以看出，在樣本數(shù)量達(dá)到800后，3種不同車速下列車橫向加速度響應(yīng)最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優(yōu)度和均方根誤差均波動(dòng)較小，趨于穩(wěn)定。因而當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，代表列車橫向加速度響應(yīng)最大值概率統(tǒng)計(jì)特征的最優(yōu)樣本數(shù)量Nrep均可取為800。

4 不同車速下列車加速度響應(yīng)最大值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

列車分別以車速100、150、200 km/h行駛1 000 m，基于Monte-Carlo方法，取1 000個(gè)隨機(jī)生成的軌道不平順樣本計(jì)算得到列車的加速度響應(yīng)時(shí)程樣本。通過統(tǒng)計(jì)列車的豎向加速度最大值及橫向加速度最大值，得到列車不同車速下的加速度最大值箱型圖，如圖12所示。由圖12可知，列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值均隨著車速的增加逐漸變得離散;列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值的均值隨著車速的增加而增加。此外，列車豎向加速度最大值的均值都大于中位數(shù)，而列車橫向加速度最大值的均值在車速為100、150 km/h時(shí)大于中位數(shù)，在車速為200 km/h時(shí)的均值小于中位數(shù)。

通過對(duì)列車的豎向加速度最大值樣本及橫向加速度最大值樣本進(jìn)行分析，進(jìn)一步得到不同車速下列車加速度最大值的概率密度分布圖，如圖13所示。從圖13中可知，列車豎向加速度最大值和橫向加速度最大值的概率密度曲線均沿著橫坐標(biāo)向右移動(dòng)。另外，與車速為100、150 km/h相比，車速為200 km/h時(shí)列車豎向加速度與橫向加速度最大值的概率密度曲線的分布范圍均更大;而車速為100 km/h時(shí)列車豎向加速度與橫向加速度最大值的概率密度曲線最為高聳。這表明隨著車速的增加，列車加速度響應(yīng)最大值分布的離散性增強(qiáng)。

由于列車振動(dòng)會(huì)使乘車人員產(chǎn)生不適感或疲勞，因而引入平穩(wěn)性指標(biāo)來度量乘客乘車時(shí)的舒適程度。參考高速鐵路客車動(dòng)力學(xué)性能評(píng)定資料，中國(guó)車體振動(dòng)加速度的平穩(wěn)性標(biāo)準(zhǔn)界限值可取為：豎向振動(dòng)加速度av≤1.3 m/s2，橫向振動(dòng)加速度ah≤1.0 m/s2。

在運(yùn)行距離為1 000 m的情況下，選擇列車運(yùn)行車速為100、150、200 km/h的工況，得到列車加速度最大值隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)（Cumulative distribution function， CDF）曲線，如圖14～圖16所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，列車在運(yùn)行車速為100、150、200 km/h時(shí)的豎向加速度與橫向加速度均滿足平穩(wěn)性要求。

5 結(jié)論

1）采用高斯混合模型能夠有效地?cái)M合列車加速度響應(yīng)最大值的分布規(guī)律。

2）當(dāng)車速分別為100、150、200 km/h時(shí)，列車豎向加速度響應(yīng)的樣本數(shù)量達(dá)到700時(shí)可較好地代表列車豎向加速度響應(yīng)最大值的概率統(tǒng)計(jì)特征;而列車橫向加速度響應(yīng)的樣本數(shù)量達(dá)到800時(shí)能較好地代表列車橫向加速度響應(yīng)最大值的概率統(tǒng)計(jì)特征。

3）列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值均在車速為100 km/h時(shí)分布最為集中;整體來講，隨著車速的增加，列車加速度響應(yīng)最大值分布的離散性增強(qiáng)。

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（編輯 王秀玲）