MFA在相變性質(zhì)研究中的偽解問(wèn)題

陳 勝，盧俊邑

（電子科技大學(xué)物理學(xué)院 四川 成都 611731）

1 引言

隨著鐵電材料維度的降低，像納米島等低維結(jié)構(gòu)材料表現(xiàn)出了一些非常奇妙的性質(zhì)，從而引起了理論和實(shí)驗(yàn)研究的廣泛興趣，如關(guān)聯(lián)有效場(chǎng)理論，格林函數(shù)理論，重整化群、蒙特卡羅模擬方法等。在納米島的相變機(jī)制下，我們研究可以采用考慮了橫場(chǎng)分量的橫場(chǎng)Ising模型，由于考慮了橫場(chǎng)隧穿頻率，其在一定程度上能夠較好地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析。

本文基于橫場(chǎng)Ising模型，利用格林函數(shù)方法[1]的通常退耦合近似（MFA）研究正方晶格納米島的相變性質(zhì)，并討論了在初始自旋取向隨機(jī)的特定情況下，相圖和極化圖非常規(guī)結(jié)果（如重入現(xiàn)象）以及產(chǎn)生機(jī)理。

2 模型和公式

我們考慮由兩層正方晶格納米島的平面組成的三維正方結(jié)構(gòu)納米島，每層平面的每個(gè)位置的原子分別占據(jù)一個(gè)Ising自旋，共計(jì)有9個(gè)自旋1/2的極性原子，見(jiàn)圖1。

圖1 正方晶格納米島的2D圖（單層）與3D圖（右）

由于此系統(tǒng)中，只有3種處于不同環(huán)境中的原子和3種不同格點(diǎn)之間交換相互作用常數(shù)Jij(＞0)，基于橫場(chǎng)Ising模型的正方晶格鐵電納米島的哈密頓量被表示為[2]：

費(fèi)米型格林函數(shù)的傅里葉分量滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

H是體系的哈密頓量，關(guān)聯(lián)函數(shù)通過(guò)譜定理＜ai+σaiσ＞與費(fèi)米型格林函數(shù)建立聯(lián)系：

其中，β= 1/kBT，kB為玻爾茲曼常數(shù)，T是溫度運(yùn)動(dòng)我方們程可[3-以4]：從TIM的哈密頓量推導(dǎo)出費(fèi)米型格林函數(shù)的

為了能近似求解運(yùn)動(dòng)方程鏈，我們對(duì)上述方程組5～6采用通常解耦合近似處理：于是式5格林函數(shù)可以表示為：

于是贗自旋的x和z分量可以寫(xiě)成：

顯然，在溫度到達(dá)居里溫度TC時(shí)，極化強(qiáng)度z分量等于0，可得到：

這就是通常平均場(chǎng)近似（MFA）的結(jié)果。由于處在相同環(huán)境中的原子極化強(qiáng)度相同，且只有處于3種不同環(huán)境中原子，于是我們總極化強(qiáng)度P可以用＜Si＞，＜Sa＞（或b、c、d），＜Se＞（或f、g、h）表示：

為了方便起見(jiàn)，引進(jìn)無(wú)量綱溫度JTktB/= 進(jìn)行約化（約化后的居里溫度?）。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

3.1 相圖

注意到在無(wú)橫場(chǎng)時(shí)，即Ω/J=0.0時(shí)，在JS/J=1.0時(shí)，相變曲線（圖2）為單調(diào)遞增，表示出常規(guī)形狀。增大橫場(chǎng)到Ω/J=1.0時(shí)，發(fā)現(xiàn)相圖曲線在JR/J=2.0處又開(kāi)始生出一條點(diǎn)虛曲線，整個(gè)相變圖形變成閉合曲線，并突出隆起。由于增大橫場(chǎng)會(huì)降低納米島自發(fā)極化，使得鐵電性減弱（極化強(qiáng)度降低，居里溫度降低），因此Ω/J=1.0時(shí)的曲線必須在Ω/J=0.0曲線的下方，所以兩組解（實(shí)線代表利用MFA解中值大的解tCH，虛線表示值小的解tCL）似乎都滿足要求，這和T.Kaneyoshi[2]利用關(guān)聯(lián)有效場(chǎng)理論得出的相圖形狀基本一致。橫場(chǎng)與受溫度決定的自發(fā)極矩相互競(jìng)爭(zhēng)，在溫度較低時(shí)，納米島處于基態(tài)。對(duì)于鐵電材料，自旋完全同向，自發(fā)極矩很強(qiáng)，足以抗衡橫場(chǎng)，此時(shí)自發(fā)極矩決定了納米島的自旋取向，但是隨著溫度的升高，由于分子熱運(yùn)動(dòng)，無(wú)序性增強(qiáng)，自發(fā)極矩減弱，橫場(chǎng)的存在使得納米島自旋取向發(fā)生改變，這就是阻挫效應(yīng)。在JR/J=2.0～2.67范圍內(nèi)，具有兩個(gè)轉(zhuǎn)變溫度，看似實(shí)現(xiàn)了納米島鐵電相與順電相之間的相互轉(zhuǎn)變，即重入現(xiàn)象。

圖2 Ω/J和JS/J分別改變時(shí)的tc~JR/J相圖，小方框里為極化圖。

進(jìn)一步探究表面交換相互作用對(duì)相圖重入現(xiàn)象的影響，發(fā)現(xiàn)隨著JS/J的減小，仍然能夠發(fā)生重入現(xiàn)象，但是相圖的隆起程度變?nèi)?，tCH減小到2.518，但是tCL曲線（點(diǎn)虛線和短橫虛線）并未發(fā)生明顯改變，tCL曲線在JR/J=2.0到JR/J=2.518部分發(fā)生了重疊，JS/J=1.0的相變曲線完全包裹了JS/J=0.0的相圖。JR/J=2.0～2.518范圍內(nèi)任取JR/J值，由于層間交換相互作用JR/J和橫場(chǎng)Ω/J都是相同的，表面交換相互作用JS/J的不同會(huì)使得納米島鐵電性不一致，必定使得居里溫度不同。這里tCH符合該物理要求，但是tCL不符合該條件。通過(guò)研究JR/J=2.2，JS/J=1.0，Ω/J=1.0的情形下極化圖P～t，我們可以發(fā)現(xiàn)在極化曲線為嚴(yán)格單調(diào)遞減的，不產(chǎn)生任何奇怪的形狀，即根本不存在兩次相變。通過(guò)計(jì)算得知，此時(shí)居里溫度tc=1.19。這和相變圖中tCH結(jié)果完全一致。所以，我們有理由相信tCL是偽解，實(shí)際的相變曲線僅為一單調(diào)遞增曲線，如實(shí)線所表示。

3.2 極化圖

根據(jù)圖2，我們知道納米島的“相變重入”現(xiàn)象主要在由于層間交換相互作用和橫場(chǎng)。選擇適當(dāng)?shù)腏R/J和Ω/J，就有可能使得方程組9存在多解，也就可能存在著偽解。為了進(jìn)一步探究MFA中偽解的產(chǎn)生原因，我們進(jìn)一步T→0K時(shí)，正方晶格納米島的極化強(qiáng)度與橫場(chǎng)的關(guān)系圖P～Ω/J（見(jiàn)圖3），和極化強(qiáng)度和層間交換相互作用的關(guān)系圖P～JR/J（見(jiàn)圖4）。

圖3 JS/J＜＜1時(shí)，T→0K的極化強(qiáng)度P隨橫場(chǎng)Ω/J的依賴(lài)關(guān)系圖

圖4 JS/J＜＜1且T→0K時(shí)的極化強(qiáng)度P與JR/J的依賴(lài)關(guān)系圖

在圖3中，為了和T.Kaneyoshi利用EFT得到的結(jié)論進(jìn)行比較[2]，我們研究了在JR/J=1.0，JS/J=0.0，t=0.02時(shí)的極化圖P～Ω/J。當(dāng)初始自旋取向?yàn)閨0↑↓＞時(shí)，用虛曲線MPEL（利用平均場(chǎng)近似的極化強(qiáng)度與橫場(chǎng)關(guān)系中小的解形成的曲線）描述極化強(qiáng)度與橫場(chǎng)的依賴(lài)關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)MPEL的為一“左鉤”形形狀。MPEL曲線在Ω/J=0.0到0.5區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，然后在Ω/J=0.5時(shí)達(dá)到峰值點(diǎn) 后逐漸單調(diào)遞減至0，這和T.Kaneyoshi利用EFT獲得的曲線趨勢(shì)大致是一致的。在MPEL曲線的前段為鐵電性逐漸增強(qiáng)的過(guò)程，在外場(chǎng)Ω/J=0.5時(shí)鐵電性達(dá)到最大，之后鐵電性又逐漸變?nèi)酰讦?J=1.5處轉(zhuǎn)變?yōu)轫橂娤?。在此過(guò)程經(jīng)歷了兩次相變，開(kāi)始曲線上升的過(guò)程為鐵電性逐漸增強(qiáng)的過(guò)程，可以看成是順電相轉(zhuǎn)變?yōu)殍F電相的趨勢(shì)，MPEL曲線峰值到0的過(guò)程可以看成鐵電相到順電相的轉(zhuǎn)變。但是在物理層面，若溫度T趨于0K時(shí)，且無(wú)橫場(chǎng)時(shí)，鐵電體處于基態(tài)，各自旋必須完全同向，即Pα=0.5（α=i,a,e），P=0.5，但是此時(shí)的P=0.056，自旋取向?yàn)閨↑↑↓＞，不符合物理規(guī)律。

我們通過(guò)選取初始自旋取向?yàn)閨↑↑↑＞，在圖3用實(shí)線MPEH（利用平均場(chǎng)近似的極化強(qiáng)度與橫場(chǎng)關(guān)系中大的解形成的曲線）描述極化強(qiáng)度與橫場(chǎng)的依賴(lài)關(guān)系。發(fā)現(xiàn)曲線為一階梯形狀，階梯點(diǎn)恰好為整體曲線又回歸了單調(diào)遞減，此時(shí)觀察不到重入現(xiàn)象發(fā)生。在階梯點(diǎn)之后，MPEH曲線與MPEL曲線完全重合。也就是說(shuō)當(dāng)Ω/J＞0.5時(shí)，方程組9僅有唯一解。根據(jù)無(wú)橫場(chǎng)時(shí)，零溫下極化強(qiáng)度P=0.5，判斷可知MPEL曲線才是正解所表示的曲線。

這說(shuō)明了初始自旋取向選取的不同，利用MFA可能導(dǎo)致在橫場(chǎng)Ω/J較小時(shí)多解情況的發(fā)生，即產(chǎn)生偽解，這意味著我們利用MFA在研究納米島相變機(jī)制時(shí)，一定要符合鐵電材料的物理特征，找到符合條件的一組解。

類(lèi)似地：在Ω/J=1.0，JS/J=0.0時(shí)，我們?cè)趫D4中利用MFA研究了T→0K時(shí)的極化強(qiáng)度與層間交換相互作用常數(shù)依賴(lài)關(guān)系P～JR/J，我們和P～Ω/J采用同樣的自旋取向|0↑↓＞和|↑↑↑＞，也可以得到兩組解，曲線分別記為MPRL（平均場(chǎng)近似下的極化強(qiáng)度隨JR/J變化關(guān)系值較小的解）和MPRH（平均場(chǎng)近似下的極化強(qiáng)度隨JR/J變化關(guān)系值較大的解）。我們可以發(fā)現(xiàn)MPRL和MPEL形狀是完全相同的，MPRH和MPEH形狀相同，只是“鉤”的方向相反和階梯方向相反。MPRL和MPRH在JR/J=0.0～2.0范圍內(nèi)完全重合，在JR/J=2.0處分成上下兩支曲線，上支MPRH迅速上升，而后趨于平緩至無(wú)窮處為一定值P=0.5，下支MPRL以相反的趨勢(shì)趨于一定值P=0.056處。根據(jù)JR/J是增大鐵電材料自發(fā)強(qiáng)度，然后JR/J趨于無(wú)窮大時(shí)，極化強(qiáng)度P=0.5，判斷得出MPRH才是正解。同時(shí)可以得到這樣的結(jié)論，利用MFA時(shí)，在JR/J較大時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生偽解。

4 結(jié)論

本文基于橫場(chǎng)Ising模型，在格林函數(shù)的框架下，采用通常退耦合近似得到了贗自旋極化強(qiáng)度的x和z分量方程組。發(fā)現(xiàn)了在初始自旋取向隨機(jī)時(shí)，相圖和極化圖可能表現(xiàn)為非常規(guī)曲線。這是由于在橫場(chǎng)系數(shù)較小和層間交換作用常數(shù)較大的情形下，方程組存在多解問(wèn)題。只有在合理的物理角度進(jìn)行取舍，才能得到能夠真正定性描述符合相變機(jī)制的解。