基于等效夾雜法的含多圓形夾雜的無(wú)限平面 熱應(yīng)力分析

黃云海，張炯，楊超，劉衛(wèi)東

（1.五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020；2.河海大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，江蘇 南京 210098）

顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料具有優(yōu)異的力學(xué)性能，在航空和機(jī)械等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 然而，在其制造或使用過(guò)程中，由于熱失配產(chǎn)生的殘余應(yīng)力會(huì)沿著夾雜物和基體之間的界面累積；當(dāng)界面熱應(yīng)力與外荷載引起的應(yīng)力結(jié)合時(shí)可能會(huì)引發(fā)界面裂紋，從而導(dǎo)致疲勞失效和材料性能下降. 因此，復(fù)合材料的界面熱應(yīng)力問(wèn)題一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn)，研究者們采用了諸如復(fù)變函數(shù)、Mori-Tanaka方法和保角變換法等[1-4]探究了此類問(wèn)題. 但從計(jì)算效率上講，采用上述方法計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，特別是處理多夾雜問(wèn)題時(shí)效率較低.

從本質(zhì)上講，纖維可以被認(rèn)為是嵌入在基體中的夾雜，Eshelby等效夾雜法[5-6]是研究纖維增強(qiáng)復(fù)合材料熱應(yīng)力的有效方法：Shibato[7]研究了由扁球形夾雜和基于等效夾雜方法的基體界定的錯(cuò)配界面引起的應(yīng)力分布；Sanboh Lee[8]基于等效夾雜方法研究了球狀?yuàn)A雜引起的熱應(yīng)力. 一直以來(lái)，在采用等效夾雜法求解夾雜問(wèn)題時(shí)，外彈性場(chǎng)的求解比較復(fù)雜. 然而，Jin[9]對(duì)于平面情形給出了Eshelby外部張量的封閉形式，這使得等效夾雜法更便于求解纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的熱應(yīng)力，本文作者也在此基礎(chǔ)上對(duì)無(wú)限大平面含單個(gè)夾雜的熱應(yīng)力進(jìn)行了研究[10]. 然而實(shí)際工程中，復(fù)合材料會(huì)涉及到多個(gè)夾雜，為了解決無(wú)限平面含多個(gè)夾雜的熱彈性場(chǎng)分布問(wèn)題，本文同時(shí)采用Eshelby內(nèi)部張量和Eshelby外部張量，將等效夾雜法的應(yīng)用擴(kuò)展到含多個(gè)圓形夾雜的無(wú)限大平面在均勻溫度變化時(shí)熱彈性場(chǎng)分布的場(chǎng)景.

1 等效夾雜法

對(duì)于圖1和圖2所示問(wèn)題，根據(jù)胡克定律，可在任意夾雜Ii(i=1,2,…,n)中心建立平衡方程：

圖1 均勻溫度變化下無(wú)限大平面含任意個(gè)圓形夾雜

圖2 等效夾雜法處理圖1的結(jié)果

2 等效夾雜法求解的有效性分析

有限元法是求解偏微分方程邊值問(wèn)題近似解的數(shù)值技術(shù)，在固體力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的運(yùn)用. 基于有限元解的準(zhǔn)確性，其通常用來(lái)驗(yàn)證其他解法的準(zhǔn)確性，如文獻(xiàn)[11-12]均采用有限元法驗(yàn)證了其關(guān)于夾雜的彈性問(wèn)題的理論解的正確性，因此本文結(jié)果也與有限元法進(jìn)行對(duì)比.

將上述求解方法利用編程實(shí)現(xiàn)，并將本文方法的計(jì)算結(jié)果與ABAQUS的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證其有效性. 所有計(jì)算均在2.0 GHz的i5 CPU的電腦上進(jìn)行. 本文算例均假設(shè)為平面應(yīng)變問(wèn)題.

如圖3所示的一個(gè)無(wú)限大板含有2個(gè)圓形夾雜，基體與夾雜的材料參數(shù)如表1所示. 夾雜的半徑分別為r1和r2，設(shè)r1=r2=1.0，兩個(gè)夾雜之間的距離L=3.0；基體與2個(gè)夾雜的剪切模量分別為μ、μ1和μ2，令μ1=μ2，兩夾雜圓心連線與x軸所成夾角為β，無(wú)限大板受到均勻的溫度變化1.0TΔ=℃. 采用本文方法和有限元法計(jì)算了當(dāng)45β=°時(shí)的Von Mises應(yīng)力分布和S11應(yīng)力分布，具體如圖4和圖5所示.

圖3 無(wú)限大平面下含2個(gè)圓形夾雜

圖5 S11應(yīng)力云圖（=45β °）

表1 基體與夾雜的材料參數(shù)

圖4 Von Mises應(yīng)力圖（=45β °）

從圖4～5可以看出，本文方法的計(jì)算結(jié)果與ABAQUS的計(jì)算結(jié)果吻合較好，兩種方法的Von Mises應(yīng)力和S11應(yīng)力的最大誤差分別在2%和2.5%內(nèi)，證明了本文方法的準(zhǔn)確性. 在計(jì)算圖5所示的S11應(yīng)力云圖時(shí)，本文方法用時(shí)15.4 s，而有限元法用時(shí)94.8 s，表明本文方法具有更高的計(jì)算效率. 有限元法計(jì)算效率不如本文方法，原因是采用有限元求解時(shí)，必須對(duì)全局進(jìn)行網(wǎng)格劃分，且在夾雜界面處的網(wǎng)格劃分尤為密集，而后需要同時(shí)求解；本文方法在求解該問(wèn)題時(shí)，各點(diǎn)之間獨(dú)立求解，并無(wú)直接聯(lián)系.

3 多圓夾雜的無(wú)限平面熱應(yīng)力分析

由于夾雜物和基體之間的熱膨脹系數(shù)不同，在溫度變化時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱失配，由此引起的熱應(yīng)力和熱變形是導(dǎo)致材料破壞的一個(gè)重要原因，因此研究夾雜物的排布方式和彈性常數(shù)對(duì)熱彈性場(chǎng)的影響規(guī)律有著重要的現(xiàn)實(shí)意義. 下面采用本文方法，對(duì)無(wú)限大平面下含多個(gè)圓形夾雜的熱彈性場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，并分別求出夾雜界面的徑向應(yīng)力差值（rσΔ ）、環(huán)向應(yīng)力差值（θσΔ ）、剪應(yīng)力差值(rθσΔ).

3.1 夾雜排布方式對(duì)界面應(yīng)力的影響

為了探究夾雜排布方式對(duì)界面熱應(yīng)力的影響，在無(wú)限大平面內(nèi)不斷加入不同數(shù)量的圓形夾雜，產(chǎn)生如圖6所示的5種不同的夾雜排布方式：5個(gè)夾雜的菱形排布、3×3的方形布置、13個(gè)夾雜的菱形排布、5×5和7×7的方形布置. 每個(gè)圓形夾雜的半徑R=1.0，間距L=3R. 基體和夾雜的材料參數(shù)如表2所示，且每個(gè)夾雜的彈性模量相同. 固定夾雜與基底的剪切模量比值K=μi/μ=2.0，其中μ=E/2(1+v)；ΔT=1.0℃；計(jì)算當(dāng)無(wú)限大平面下分別含5、9、13、25、49個(gè)圓形夾雜時(shí)的界面應(yīng)力差值變化情況.

表2 基體與夾雜的材料參數(shù)

圖6 圓形夾雜布置

由于幾何形狀和溫度變化的對(duì)稱性，我們只計(jì)算了0°~45°處的界面熱應(yīng)力. 計(jì)算結(jié)果如圖7所示：當(dāng)采用3×3、5×5和7×7的方形排布時(shí)三個(gè)應(yīng)力差值明顯小于菱形排布，而采用5個(gè)夾雜的菱形布置時(shí)應(yīng)力集中現(xiàn)象最為明顯；當(dāng)采用方形周期排布時(shí)，排布數(shù)量的增加對(duì)應(yīng)力差值的影響不大，且在55× 處開(kāi)始收斂.

3.2 剪切模量比對(duì)界面應(yīng)力的影響

為了探究夾雜彈性常數(shù)對(duì)界面熱應(yīng)力的影響，以圖7中55× 的方形排布為例，基體和夾雜的材料參數(shù)如表3所示，固定L=3R，每個(gè)圓形夾雜的半徑均為R=1.0，ΔT=1℃，每個(gè)夾雜的彈性模量相同；計(jì)算夾雜與基底的剪切模量比值K分別取0.1,0.4,1.0,2.0,10.0和∞時(shí)的界面應(yīng)力差值. 結(jié)果如圖8所示：當(dāng)采用方形排布時(shí)，應(yīng)力差值呈對(duì)稱性；且三個(gè)應(yīng)力差值隨著K的增加其增幅逐漸減少，并在K=10.0時(shí)開(kāi)始收斂；環(huán)向應(yīng)力差值受K的影響較大，而角度對(duì)其的影響較小，這可能與夾雜的幾何形狀有關(guān)；徑向應(yīng)力差值的峰值出現(xiàn)在45°處，而剪應(yīng)力差值的峰值則出現(xiàn)在20°附近.

表3 基體與夾雜的材料參數(shù)

圖7 不同夾雜排布方式下的界面應(yīng)力差值

圖8 不同K值下的界面應(yīng)力差值

4 結(jié)論

本文基于等效夾雜法對(duì)無(wú)限平面含多夾雜的熱彈性問(wèn)題進(jìn)行了理論推導(dǎo)和程序?qū)崿F(xiàn)，通過(guò)有限元分析驗(yàn)證了方法的正確性和高效性，并探討了夾雜排布方式和剪切模量比對(duì)界面熱應(yīng)力的影響，結(jié)果表明方形排布有利于降低界面應(yīng)力差值，更適用于復(fù)合材料的生產(chǎn). 此外，利用等效夾雜法計(jì)算含多個(gè)圓形夾雜結(jié)構(gòu)的熱彈性場(chǎng)，不需要像有限元方法一樣對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模和網(wǎng)格劃分，而只需要夾雜的位置、半徑和彈性模量就可以進(jìn)行計(jì)算，十分方便和高效，體現(xiàn)了該方法在復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)分析中的實(shí)用性和有效性. 但是本文工作目前僅適用于二維情況，后續(xù)可進(jìn)一步擴(kuò)展到三維問(wèn)題.