愛(ài)因斯坦的消遣題

林革

創(chuàng)立相對(duì)論的偉大物理學(xué)家愛(ài)因斯坦對(duì)數(shù)學(xué)很有研究，常把解數(shù)學(xué)題作為一種消遣.

[時(shí)鐘問(wèn)題]

有一次，愛(ài)因斯坦病了，作家莫希柯夫斯基來(lái)看望他，閑聊起自己無(wú)意中在鐘面上的發(fā)現(xiàn)：在時(shí)鐘上的某一時(shí)刻，時(shí)針和分針是可以互相調(diào)換位置的. 比如：12點(diǎn)時(shí)時(shí)針和分針重疊，對(duì)調(diào)兩針位置，表示的時(shí)間仍是12點(diǎn); 類(lèi)似地，2點(diǎn)21分時(shí)對(duì)調(diào)兩針位置，表示的時(shí)間是4點(diǎn)12分. 當(dāng)然，并不是任何時(shí)刻時(shí)針和分針都可以對(duì)調(diào)，比如9點(diǎn)時(shí)兩針對(duì)調(diào)就不行，它不可能表示12點(diǎn)45分，因?yàn)樵?2點(diǎn)45分時(shí)時(shí)針不可能指向12. 由此引發(fā)的問(wèn)題是：鐘面上時(shí)針和分針在什么位置時(shí)，兩針同時(shí)對(duì)調(diào)，使得新位置仍能指示某一實(shí)際上可能的時(shí)刻？此時(shí)，莫?？路蛩够谋疽狻罢讶蝗艚摇?，原來(lái)他特意帶來(lái)一道數(shù)學(xué)題給愛(ài)因斯坦解悶，難怪開(kāi)頭突然扯起時(shí)鐘問(wèn)題.

愛(ài)因斯坦立刻來(lái)了興致，他坐起身拿來(lái)紙筆，稍加思索就得出了正確結(jié)果. 他用的時(shí)間并不比作家敘述這個(gè)問(wèn)題的時(shí)間長(zhǎng)多少，其反應(yīng)之快、效率之高讓莫?？滤够康煽诖? 想知道愛(ài)因斯坦是如何解答的嗎？且聽(tīng)我細(xì)細(xì)道來(lái)：

設(shè)鐘面上理想時(shí)刻（時(shí)針與分針可以對(duì)調(diào)）為x點(diǎn)y分，因?yàn)殓娒嫔系膱A周被等分為60小格，時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)鐘面上的5小格，分針一小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)鐘面一圈（即60小格），所以時(shí)針?biāo)傅目潭葦?shù)（即小格數(shù)）為5x + [560·y]=5x + [y12]，分針?biāo)傅目潭葦?shù)為y;將時(shí)針和分針的位置對(duì)調(diào)后，所表示的時(shí)間設(shè)為s點(diǎn)t分，則時(shí)針?biāo)傅目潭葦?shù)為5s + [t12]，它與原來(lái)分針?biāo)缚潭葦?shù)y相同，而分針?biāo)傅目潭葦?shù)t就是原來(lái)時(shí)針?biāo)傅目潭葦?shù)5x + [y12]，于是列方程組[y=5s+t12，t=5x+y12，]解得[y=60（x+12s）143，t=60（s+12x）143.]（以y，t作為未知數(shù)）必須注意到，其中x，s表示的是鐘點(diǎn)數(shù)，所以0 ≤ x ≤ 11，0 ≤ s ≤ 11. 若x，s分別取從0到11間的12個(gè)不同的整數(shù)，12 × 12 = 144（個(gè)），可得144個(gè)不同數(shù)對(duì)（y，t），這些不同數(shù)對(duì)分別對(duì)應(yīng)分針、時(shí)針?biāo)幬恢? 當(dāng)x = s = 0時(shí)，y = t = 0;當(dāng)x = s = l1時(shí)，y = t = 60. 這兩種特殊情形都是說(shuō)明兩針重合指向12，只能算作一種. 因此，實(shí)際上所求的位置可以有143種.

看完愛(ài)因斯坦的解答，有些人或許會(huì)有與莫?？路蛩够粯拥囊蓡?wèn)：為什么要以y，t作為未知數(shù)，即用x，s表示y，t，而不用y，t表示x，s呢？事實(shí)上，愛(ài)因斯坦起初也這樣嘗試過(guò)，求出了[x=12t-y60，s=12y-t60.]但他立刻否定了這種情況，這是因?yàn)閥，t表示分鐘數(shù)，既能取0～60的整數(shù)，也能取0～60的分?jǐn)?shù)，可能出現(xiàn)的情形有無(wú)數(shù)種，難以限定范圍，所以棄用. 而x，s表示的是鐘點(diǎn)數(shù)，0～11共有12個(gè)不同的整數(shù)，數(shù)量有限，討論方便，可以很快得出正確結(jié)果.

[速算問(wèn)題]

有一次，愛(ài)因斯坦與幾位朋友一起閑聊時(shí)，有人隨口提出一道數(shù)學(xué)計(jì)算題，引起了愛(ài)因斯坦的興趣和關(guān)注.

2987 × 2913，這是一道四位數(shù)的乘法題，按常規(guī)思路列式計(jì)算需好一會(huì)兒功夫，而愛(ài)因斯坦卻一不用紙二不用筆，略加思索就報(bào)出了正確答案8 701 131. 聽(tīng)了愛(ài)因斯坦的速算解釋?zhuān)笥褌凅@嘆不已. 原來(lái)，愛(ài)因斯坦注意到兩個(gè)因數(shù)的末兩位87與13之和剛好是100，立刻聯(lián)想到一種名為“頭同尾合十”的特定速算方法.

所謂“頭同尾合十”是指：兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字相加剛好為10. 比如：74 × 76，29 × 21，45 × 45等.

對(duì)應(yīng)的速算方法是：先用兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字相乘，得到一個(gè)兩位數(shù)的積（如果是一位數(shù)，就在前面加0）;然后用相同的十位數(shù)字乘比它大1的數(shù)，把得到的結(jié)果放在上一個(gè)積的前面，組成的數(shù)就是兩個(gè)因數(shù)的乘積.

速算74 × 76，先算4 × 6 = 24，再算7 × （7 + 1） = 56，則74 × 76 = 5 624.

速算29 × 21，先算9 × 1 = 09，再算2 × （2 + 1） = 6，則29 × 21 = 609.

速算45 × 45，先算5 × 5 = 25，再算4 × （4 + 1） = 20，則45 × 45 = 2 025.

其中的數(shù)學(xué)原理不難解釋?zhuān)杭僭O(shè)兩位數(shù)分別是[ab]和[ad]，b + d = 10，則[ab×ad] = （10a + b）（10a + d） = 100a2 + 10ad + 10ab + bd = 100a2 + 10a（b + d） + bd = 100a2 + 100a + bd = a（a + 1） × 100 + bd，上述速算方法只不過(guò)是這個(gè)結(jié)果的直觀操作而已.

不難理解，這種速算方法也可推廣到多位數(shù). 也就是說(shuō)，如果因數(shù)是[abcd]和[abmn]，[cd] + [mn] = 100，那么[abcd] × [abmn] = [ab] × （[ab] + 1） × 10 000 + [cd] × [mn].

愛(ài)因斯坦正是利用上述延伸方法進(jìn)行速算：先計(jì)算29 × （29 + 1） = 29 × 30 = 870，87 × 13 = （100 - 13） × 13 = 1 300 - 132 = 1 131，然后把1 131附在870之后，結(jié)果便是8 701 131. 其中的計(jì)算過(guò)程采用心算，對(duì)于愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)顯然是小菜一碟.

怎么樣？大師不愧為大師，其思維的全面性和靈活性在這兩題的解答過(guò)程中可見(jiàn)一斑.

（作者單位：揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)）