無限元邊界條件下的淺海海底地震波場建模

鄧 峰，程廣利，劉 寶

(1. 海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，湖北武漢 430033；2. 91001部隊(duì)，北京 100089)

0 引 言

隨著艦船減振降噪技術(shù)的改進(jìn)和提高，艦船輻射噪聲呈現(xiàn)低頻化、甚低頻化的特點(diǎn)，淺海水聲信道的低頻截止效應(yīng)使得波長較長的 (甚) 低頻噪聲向海底耦合，因此利用艦船航行激發(fā)的海底地震波成為獲取水中目標(biāo)信息的一個重要途徑[1]。艦船激發(fā)的海底地震波場主要包括水中簡正波和地聲[2]，其中 Scholte 波的能量主要聚集在海底界面附近，其在水平方向上衰減較慢，且不易受到海水水文條件的影響，在水雷引信設(shè)計(jì)、水中目標(biāo)探測等軍事領(lǐng)域具有較大的應(yīng)用潛力[3]。

艦船航行激發(fā)的海底地震波波場的數(shù)值求解本質(zhì)上是采用不同方法求解波動方程，主要包括三類方法。第一類是采用聲場計(jì)算方法，文獻(xiàn)[4]采用拋物方程結(jié)合反轉(zhuǎn)算子法，對淺海彈性海底界面位移場進(jìn)行求解，分析了不同海水環(huán)境和不規(guī)則海底對聲傳播和甚低頻海底位移場的影響；文獻(xiàn)[5]基于波數(shù)積分方法并通過快速場計(jì)算程序，分析了不同淺海環(huán)境下海底聲壓、位移和加速度的頻率特性；文獻(xiàn)[6]將傳統(tǒng)的簡正波模型進(jìn)行改進(jìn)后用于求解海底界面波的傳播損失，與Kraken的計(jì)算結(jié)果一致性較好。文獻(xiàn)[4-6]都是從傳統(tǒng)的水聲學(xué)模型出發(fā)研究地震波場，并沒有對實(shí)際海底的彈性力學(xué)屬性進(jìn)行分析。第二類采用高階交錯網(wǎng)格有限差分法[7]，該方法的主要原理是將原始聲場波動方程在時間和空間域上直接離散成差分方程組，配以相應(yīng)的物理連續(xù)條件約束，通過數(shù)值計(jì)算可獲得水中點(diǎn)聲源激發(fā)的全波場解；海底邊界的處理是該方法的一個研究難點(diǎn)，通常采用完美匹配層(Perfectly Matched Layer, PML)來實(shí)現(xiàn)，以模擬海底半無限空間海底，PML邊界層將層中的介質(zhì)阻抗與彈性介質(zhì)阻抗進(jìn)行匹配，波在吸收層中的傳播按照添加衰減因子的波動方程來計(jì)算，通過合理設(shè)置衰減因子和PML層厚度實(shí)現(xiàn)入射波場的吸收[8]，PML邊界層的數(shù)量決定了吸收效果，但層數(shù)的增加會大大降低整體計(jì)算效率。第三類是有限元法，該方法的基礎(chǔ)是將物理域分成一些子域，在有限個自由度內(nèi)求得子域中的精確解或近似解，其廣泛應(yīng)用于地質(zhì)學(xué)、機(jī)械工程、水力工程等領(lǐng)域[9]，也可應(yīng)用于艦船地震波場的求解。研究表明，能否精確地模擬實(shí)際中趨近無限空間的海底，對反射波的仿真結(jié)果影響較大，這使得對有限空間邊界的處理成為海底地震波場建模研究的一個熱點(diǎn)和難點(diǎn)；文獻(xiàn)[10]在討論不同激勵源的海底地震波特性時未對邊界進(jìn)行處理，只研究了地震波未到達(dá)邊界時的空間波場，從而回避了邊界反射對地震波的影響；文獻(xiàn)[11]也采用PML對邊界進(jìn)行處理，考慮其對波動成分的吸收能力有限，采取增大波場計(jì)算的水平距離以及Scholte波在水平方向的衰減系數(shù)的方法，以此實(shí)現(xiàn)Scholte波反射最小化的目的，同時對縱波和橫波都施加衰減，以減小其對Scholte波的干擾；文獻(xiàn)[12]使用黏彈性人工邊界對海底邊界進(jìn)行處理，與波數(shù)積分法結(jié)果進(jìn)行比對，總體變化趨勢基本吻合，但頻率較高時海底表面上的聲傳播損失存在較大誤差。綜上所述，從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看，關(guān)于海底地震波場邊界的處理和研究并不多，且當(dāng)前的處理結(jié)果并不能令人滿意。

無限元法最早由Zienkiewicz提出[13]，是一種幾何上趨近于無限遠(yuǎn)的單元類型，在使用時多與有限元相結(jié)合，因此無限元具有方向性。本質(zhì)上，它是有限元的類型之一，作為有限單元的有效補(bǔ)充，能夠更好地解決復(fù)雜的無限域問題[14]。經(jīng)過多年的發(fā)展，該方法廣泛應(yīng)用于輻射聲學(xué)、巖土力學(xué)、和電磁學(xué)等領(lǐng)域[15-17]，但尚未見到將其應(yīng)用于淺海海底地震波場建模的研究中。

本文采用聲學(xué)有限元和結(jié)構(gòu)有限元構(gòu)建海水-海底耦合模型，應(yīng)用無限元方法對模型進(jìn)行截?cái)嗵幚?，模擬點(diǎn)聲源在淺海中激發(fā)的海底地震波場，計(jì)算仿真海水中聲壓場的水平距離傳播損失、海底地震波的應(yīng)力場波場快照，與已有結(jié)論對比驗(yàn)證建模的正確性，最后分析了無限元邊界的吸收效果。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 聲壓波動方程的有限元解

簡諧聲壓p(x,t)的波動方程為[9]

其中： ?2為拉普拉斯算子；P為聲壓振幅；k為波數(shù)。

對于無窮遠(yuǎn)問題還需聲壓滿足索末菲(Sommerfeld)輻射條件：

以式(1)～(3)為基礎(chǔ)，參照有限元理論[18]，常規(guī)等參單元上任一點(diǎn)的聲壓P和坐標(biāo)x通過等參變換，可寫成：

其中：Pe和Xe分別為單元節(jié)點(diǎn)的聲壓向量和坐標(biāo)向量；N(ξ,η)為形函數(shù)。

由變分原理[18]可將方程(1)～(2)轉(zhuǎn)化為動剛度矩陣方程：

其中：K和M分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；P為整體的聲壓向量；F為載荷向量。

離散后的有限單元的各矩陣可表示為

1.2 彈性波動方程的有限元解

已知二維彈性介質(zhì)中的波動方程為

其中：u和w分別為每個單元結(jié)點(diǎn)的水平和垂直位移；λ和μ為拉梅(Lame)常數(shù)。

單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移可以表示為

其中：Ue為單元結(jié)點(diǎn)上的位移矢量。

應(yīng)變和位移的關(guān)系寫成向量形式為

將式(10)、(11)代入拉格朗日泛函L后[19]，可得：

其中：B和D分別為無限單元的應(yīng)變矩陣和材料本構(gòu)矩陣。

由哈密頓原理在時間段[t1,t2]上對L積分，并使其變分為0，最終整理為

其中：Me和Ke分別為單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，Re為單元結(jié)點(diǎn)力矢量。

1.3 二維映射動力無限單元

為模擬無限大的海水-海底域，本文采用無限元邊界截?cái)酂o限大空間。聲學(xué)無限元和彈性介質(zhì)無限元原理[20]相似，這里以彈性介質(zhì)的二維映射動力無限元為例簡單介紹無限元理論。映射動力無限元的建立主要分為兩步，一是建立單元在整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系的映射關(guān)系，二是構(gòu)造位移形函數(shù)來確定單元在局部坐標(biāo)系中的位移模式。

六結(jié)點(diǎn)映射動力無限元示意圖如圖1所示。構(gòu)造六結(jié)點(diǎn)二維動力無限元的坐標(biāo)系映射關(guān)系為

圖1 六結(jié)點(diǎn)映射動力無限元示意圖Fig.1 Schematic diagram of the mapped dynamic infinite element with 6 nodes

將無限元與有限元進(jìn)行連接，根據(jù)兩單元共同邊上的位移連續(xù)條件，可以得到六結(jié)點(diǎn)二維動力無限元的位移形函數(shù)為

其中：Pj(ξ) (j=1 ,2,… , 6)是六結(jié)點(diǎn)二維動力無限元的波傳播函數(shù)；Nj(ξ)(j=1 ,2,… , 6)是六結(jié)點(diǎn)二維動力無限元的位移形函數(shù)。

采用與一般有限單元相同的方法可以得到六結(jié)點(diǎn)二維動力無限元的單元質(zhì)量矩陣和單元剛度矩陣為

2 基于無限元邊界的淺海海底地震波場建模方法

為了構(gòu)建淺海海底地震波場，建立點(diǎn)聲源在海水-海底半無限空間中激發(fā)的地震波場模型，對海水和海底分別采用聲學(xué)無限元和彈性介質(zhì)無限元方法。海水-海底半無限空間模型示意圖如圖2所示。

圖2 海水-海底半無限空間模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of seawater-seabed semi-infinite space model

圖2中，聲學(xué)無限元邊界為虛線部分，其設(shè)置在海水層兩側(cè)，首先設(shè)置一個參考點(diǎn)作為聲場分析的原點(diǎn)，然后對結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，將單元類型更改為聲學(xué)無限單元，即完成了海水無限邊界的設(shè)置。海底環(huán)境的無限元邊界實(shí)現(xiàn)過程與聲學(xué)無限元略有差異，實(shí)際中的海底為彈性基底，因此在建立海底地震波場模型時，將海底單元類型設(shè)置為平面應(yīng)力單元，這種單元能較好地模擬一般彈性介質(zhì)中的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量，以及彈性波在介質(zhì)中的傳播，在修改為無限元時不需要設(shè)置原點(diǎn)，只需將修正無限單元方向使其統(tǒng)一指向外域。

另外，在分析以Scholte界面波為主的海底地震波場時，能否準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)流體部分和固體部分的耦合，直接影響最終的仿真結(jié)果。在建模中，過“綁定”約束條件修正總體剛度矩陣，兩界面間應(yīng)力和位移連續(xù)，確保綁定區(qū)域不發(fā)生形變和相對位移。

由于平面應(yīng)力單元的單元屬性主要包括密度和彈性力學(xué)等參數(shù)，而非直接輸入各類波速的數(shù)值。因此，需根據(jù)彈性力學(xué)參數(shù)和彈性波速之間的關(guān)系，計(jì)算獲得各類波速。

假設(shè)海底底質(zhì)是理想的彈性介質(zhì)，根據(jù)虎克定律，無限虎克介質(zhì)中的橫波波速cs和縱波波速cp分別為

其中：E為彈性模量；υ為泊松比。

根據(jù)以上關(guān)系對常見的幾類海底介質(zhì)力學(xué)參數(shù)[21]和地聲參數(shù)進(jìn)行換算，結(jié)果如表1所示。

表1 不同海底介質(zhì)類型的部分力學(xué)參數(shù)和地聲參數(shù)Table 1 Mechanical and geoacoustic parameters of different seabed media

3 模型驗(yàn)證與特性分析

3.1 海底地震波場

與圖2模型相似，在海水層中，海面為壓力釋放邊界，海水的深度為400 m，海水中的聲速c1為1500m·s-1，海水的密度ρ1為1000kg·m-3，海水左右兩側(cè)設(shè)置聲學(xué)無限元來模擬無限元海域。海底地震波場的建模以礫巖和石灰?guī)r兩類基底為例，相關(guān)參數(shù)詳見表1，整體仿真區(qū)域大小為800 m×800 m，網(wǎng)格大小為1 m×1 m，時間間隔為1 ms。聲源位置設(shè)置在(400 m, 395 m)，聲源信號采用頻率為 15 Hz的雷克子波[7]。另外，為更好地反映海底地震波場的時空特性，本算例在時域上進(jìn)行[22]。

礫巖海底、石灰?guī)r海底(具體聲學(xué)參數(shù)見表1)條件下本文方法仿真結(jié)果見圖3(a)、圖4(a)，中間黑色實(shí)線代表海水-海底分界面，界面以上部分為海水聲壓場，界面以下部分為海底地震波場，海底區(qū)域外陰影設(shè)置無限單元來吸收海底中各類彈性波。為了對比仿真結(jié)果，兩種海底條件下，采用階數(shù)為6、PML層數(shù)為10時的高階交錯網(wǎng)格有限差分法在0.2 s時的波場快照如圖3(b)、圖4(b)所示。圖3、4中，“0”為聲源位置，“1”為縱波，“2”為橫波，“3”為泄露瑞利波，“4”為直達(dá)聲波，“5”為反射聲波，“6”為表面波，“7”為橫波相關(guān)的側(cè)面波，“8”為縱波相關(guān)的側(cè)面波，圖中S表示應(yīng)力，S11表示11方向的應(yīng)力。值得說明的是圖3(a)、圖4(a)中，海水-海底界面上以聲壓場為表征量，其下以應(yīng)力場為表征量，兩個物理量單位不同，故色棒不能統(tǒng)一，而圖3(b)、圖4(b)中，由有限差分法得到的仿真結(jié)果均以應(yīng)力場表示。水中聲源在彈性介質(zhì)中能夠激發(fā)出壓縮波和剪切波，且這兩種波彼此獨(dú)立傳播。由于界面反射產(chǎn)生的非均勻壓縮波和非均勻剪切波相互作用形成表面波[4]，此類波在真空-彈性半空間界面中稱為瑞利波(Rayleigh wave)，在液體-彈性半空間中稱為Scholte波，而在液體-彈性介質(zhì)環(huán)境中瑞利波依然存在，但由于上介質(zhì)的反作用使其稍有改變，將其歸為“泄露”波類。側(cè)面波則由入射角大于全反射角的平面波在兩種介質(zhì)的界面處產(chǎn)生[1]。

從圖3(a)、3(b)中可以清楚地看到，海底橫波在分界面上的傳播距離略小于水中聲波的距離，我們稱這種橫波波速小于水中聲波波速的介質(zhì)為“軟介質(zhì)”，而類似于圖4(a)、4(b)中橫波波速大于水中聲波波速的介質(zhì)為“硬介質(zhì)”。還可以看出，無限元邊界法能清晰地反映出地震波的各組成成分，得到的波場成分波陣面與交錯網(wǎng)格有限差分相同，且在同一時刻各波場成分到達(dá)位置相同，這也說明兩種方法得到的波場成分傳播速度一致，從而證明了本文方法的正確性。

圖3 本文方法和高階交錯網(wǎng)格有限差分法計(jì)算得到礫巖海底地震波波場快照對比Fig.3 Comparisons between conglomerate-based seismic wave fields obtained by the proposed method and high- order staggered-grid finite difference method

圖4 本文方法和高階交錯網(wǎng)格有限差分計(jì)算得到石灰?guī)r海底地震波波場快照Fig.4 Comparisons between limestone-based seismic wave fields obtained by the proposed method and high- order staggered-grid finite difference

3.2 邊界層吸收效果

以礫巖海底為例，說明無限元邊界的吸收效果，建模方式、聲源參數(shù)與環(huán)境參數(shù)與3.1節(jié)相同，計(jì)算的空間間隔為1 m，時間間隔1 ms，得到0.3 s和0.45 s時的波場快照如圖5所示。在海水層中，與施加自由邊界的海面相比，可以看到左右邊界施加聲學(xué)無限元邊界后對水中聲波吸收效果較好，幾乎沒有反射波存在。在海底層中，圖5(a)箭頭所示位置的坐標(biāo)為(184 m, -737 m)，可以看到幅度較大的縱波到達(dá)邊界后并沒有出現(xiàn)明顯的反射波，該點(diǎn)處應(yīng)力幅值為0.01 Pa，占該時刻Scholte波幅值的0.89%，說明邊界對縱波吸收效果較好。在圖5(b)中能觀察箭頭處出現(xiàn)了較弱的橫波反射波。讀取兩點(diǎn)的應(yīng)力幅值，“1”點(diǎn)(214 m, -561 m)和“2”點(diǎn)(195 m, -760 m)的應(yīng)力值分別為0.038、0.053 Pa，分別占該時刻Scholte波幅值的3.38%和4.71%，可見Scholte波反射的影響較小，可以忽略不計(jì)。

圖5 在0.3 s和0.45 s時刻的無限元邊界下礫巖海底地震波波場快照Fig.5 Conglomerate-based seismic wave fields obtained by the proposed method at 0.3 s and 0.45 s

此外，前文已提到文獻(xiàn)[7]中有限差分法邊界吸收效果與PML層數(shù)有關(guān)，且PML層數(shù)的增加導(dǎo)致計(jì)算效率降低，與高階交錯網(wǎng)格有限差分法相比，本文方法在不降低計(jì)算速度的基礎(chǔ)上，能保證較好的邊界吸收效果。為比較兩者計(jì)算速度差異，在相同硬件環(huán)境下，對圖3中仿真條件的三次運(yùn)行時間進(jìn)行比對，結(jié)果如表2所示。從表2中的結(jié)果可以看出，本文方法可大幅度縮短計(jì)算時間，提高運(yùn)算效率。

表2 兩種方法運(yùn)行時間比對結(jié)果Table 2 Comparison of the running time of two methods

4 結(jié) 論

本文將無限元邊界應(yīng)用到淺海海底的地震波場建模中，對一般的淺海-海底半無限空間環(huán)境，將聲學(xué)無限元施加于海水兩側(cè)模擬無限水平距離海域，將映射動力無限元施加于海底部分外圍模擬無限大的海底區(qū)域，模擬了海底垂直正應(yīng)力的波場快照，結(jié)果表明：對于淺海海底地震波場模型，無限元邊界法仿真得到的垂直正應(yīng)力波場快照能清楚地反映出波場各成分的存在，同時與高階交錯網(wǎng)格有限差分法仿真結(jié)果比對后，兩者波場成分的波速一致性好。在海水層中，聲學(xué)無限元邊界可以較好地吸收聲波；在海底層中，當(dāng)海底縱波、橫波抵達(dá)無限元邊界時，對這兩種波的吸收效果好，反射波幅值相較于Scholte波可忽略不計(jì)，這說明彈性介質(zhì)無限元可以應(yīng)用到淺海海底地震波場仿真中。另外，與高階交錯網(wǎng)格有限差分法相比，本文方法在保證結(jié)果準(zhǔn)確性的前提下可大幅度提高計(jì)算速度。

真實(shí)水下目標(biāo)與點(diǎn)聲源存在較大差異，下一步將重點(diǎn)研究無限元邊界下多點(diǎn)源、線源和體積源產(chǎn)生的海底地震波及其特性，分析不同聲源類型對海底地震波場的影響。