基于彈性勢(shì)能的多模數(shù)直齒輪副接觸應(yīng)力分析

朱增寶 龔明針 王東雨

摘 要：為了研究模數(shù)變化對(duì)多模數(shù)漸開(kāi)線直齒輪副齒面接觸應(yīng)力的影響規(guī)律，根據(jù)理論齒側(cè)間隙為零原則，推導(dǎo)了多模數(shù)漸開(kāi)線直齒輪副的嚙合角計(jì)算公式;引入了漸開(kāi)線齒廓參數(shù)，結(jié)合基于最小彈性勢(shì)能的非均勻載荷分配模型和赫茲應(yīng)力模型，提出了多模數(shù)直齒輪副齒面接觸應(yīng)力計(jì)算公式并對(duì)多模數(shù)漸開(kāi)線直齒輪副接觸應(yīng)力進(jìn)行分析。結(jié)果表明：齒面接觸應(yīng)力隨模數(shù)比增大而減小;采用多模數(shù)嚙合形式，能減小少齒數(shù)主動(dòng)輪嚙合起始點(diǎn)的接觸應(yīng)力;齒面最大接觸應(yīng)力位置在嚙合起始點(diǎn)或單齒嚙合內(nèi)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：多模數(shù);漸開(kāi)線直齒輪副;載荷分配;接觸應(yīng)力

Abstract：In order to study the effect of modulus change on the contact stress of multi-module involute spur gear pair，the formula was derived for calculating the meshing angle of the involute spur gear pair with multi-module based on the theory that the tooth side clearance was zero. By introducing the involute tooth profile parameters and applying the non-uniform load distribution model based on the minimum elastic potential energy and the Hertz stress model， a formula for calculating the contact stress on the tooth surface of the multi-module spur gear pair is presented and the contact stress of the multi-module spur gear pair is analyzed. The results show that the contact stress decreases with the increase of modulus ratio. Adopting multi-module meshing can reduce the contact stress of the initial meshing point of the driving wheel with few teeth. The position of the maximum contact stress of tooth surface is the initial meshing point or the inner point of single tooth meshing.

Key words：multi-module;involute spur gear pair; load distribution; contact stress

漸開(kāi)線齒輪廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶車輛和工程機(jī)械等領(lǐng)域，齒面接觸應(yīng)力是影響其接觸疲勞破壞的主要因素[1]，同時(shí)也是衡量與評(píng)估齒面接觸承載能力的重要條件。文獻(xiàn)[2-3]使用赫茲接觸理論來(lái)評(píng)估接觸應(yīng)力，假定載荷沿接觸線均勻分配，并引入了幾種載荷分配影響因素來(lái)校正接觸應(yīng)力的計(jì)算值[4-5]6。實(shí)際上，載荷分布取決于齒輪副接觸點(diǎn)的嚙合剛度，剛度在任何接觸點(diǎn)都不同，這意味著每單位齒寬的載荷在接觸線的任何點(diǎn)上也都不同[6]。有許多研究通過(guò)理論計(jì)算法、實(shí)驗(yàn)和有限元分析等多種方法確定了直齒輪副的載荷分配比[7-10]785。

以上研究都是針對(duì)主、從動(dòng)輪模數(shù)相等的齒輪副。對(duì)于主、從動(dòng)輪模數(shù)不相等，但滿足法節(jié)相等嚙合條件的齒輪副（簡(jiǎn)稱多模數(shù)齒輪副）的齒面接觸應(yīng)力研究，目前鮮見(jiàn)相關(guān)報(bào)道。

基于此，本文根據(jù)理論齒側(cè)間隙為零原則，推導(dǎo)了多模數(shù)漸開(kāi)線直齒輪副的嚙合角計(jì)算公式。引入漸開(kāi)線齒廓參數(shù)，結(jié)合赫茲理論模型和基于最小彈性勢(shì)能的載荷分配模型，推導(dǎo)多模數(shù)齒輪副的齒面接觸應(yīng)力公式;分析了模數(shù)比對(duì)多模數(shù)齒輪副接觸應(yīng)力的影響，為多模數(shù)嚙合齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)提供參考。

1 多模數(shù)直齒輪副無(wú)側(cè)隙嚙合方程

1.1 齒輪副正確嚙合條件

漸開(kāi)線直齒輪正確嚙合條件[11]

1.2 齒輪副無(wú)側(cè)隙嚙合方程

在無(wú)側(cè)隙嚙合情況下，主動(dòng)輪沿節(jié)圓的齒厚sH1等于從動(dòng)輪沿節(jié)圓的齒槽寬度wH2。

2 載荷分配模型

2.1 齒廓參數(shù)

文獻(xiàn)[7]782詳細(xì)介紹了最小彈性勢(shì)能的載荷分配模型。彈性勢(shì)能是根據(jù)彈性理論和齒輪齒形參數(shù)計(jì)算得出，單位載荷和單位齒寬的勢(shì)能（單位勢(shì)u）取決于接觸點(diǎn)，主動(dòng)輪齒廓上的接觸點(diǎn)齒廓參數(shù)ξ為式中：z1為主動(dòng)輪齒數(shù);rb1為主動(dòng)輪基圓半徑，mm;rC1為主動(dòng)輪在接觸點(diǎn)處的半徑，mm。該參數(shù)具有物理意義：它是接觸點(diǎn)處的曲率半徑與基圓齒距之比，也是接觸點(diǎn)的滾動(dòng)角與齒距圓心角2π/z之比。

2.2 載荷分配

在考慮同時(shí)接觸的所有成對(duì)齒的情況下計(jì)算彈性勢(shì)能，其中作用在每對(duì)齒上的負(fù)載計(jì)算公式由文獻(xiàn)[7]784得

3 多模數(shù)直齒輪接觸應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo)

3.1 赫茲公式

3.2 多模數(shù)直齒輪副接觸應(yīng)力公式推導(dǎo)

以赫茲公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)適應(yīng)多模數(shù)漸開(kāi)線直齒輪副嚙合特點(diǎn)的齒面接觸應(yīng)力計(jì)算公式，過(guò)程如下。

4 多模數(shù)齒輪副齒面接觸應(yīng)力分析

4.1 算例參數(shù)設(shè)置

本文漸開(kāi)線齒輪材料：齒輪的材料為20CrMnTi，表面滲碳淬火處理，齒面硬度HRC 57～63，彈性模量E為206GPa，泊松比ν為0.3。齒輪副基本參數(shù)設(shè)置如表 1所示。

由式（1）易知，從動(dòng)輪的分度圓壓力角α2隨著模數(shù)比的增大而增大，易出現(xiàn)齒頂變薄、加載時(shí)容易斷齒的現(xiàn)象[15]。根據(jù)文獻(xiàn)[16]可知，工程實(shí)際應(yīng)用齒厚通常要大于0.25～0.4倍的模數(shù)，本文中取模數(shù)比時(shí)均以0.25倍模數(shù)為最小齒厚限制，因此本文模數(shù)比上限可取到1.08～1.1。為使從動(dòng)輪的分度圓壓力角不小于20°，本文中模數(shù)比下限取為1.0。

4.2 主動(dòng)輪齒數(shù)較少時(shí)齒面接觸應(yīng)力分析

現(xiàn)以主動(dòng)輪轉(zhuǎn)數(shù)為4 000r/min， 傳輸功率為150kW， 主動(dòng)輪齒數(shù)為17， 從動(dòng)輪齒數(shù)為52的齒輪副帶入式（26）取模數(shù)比分別為1.0、1.02、1.04、1.06、1.08進(jìn)行齒面接觸應(yīng)力計(jì)算，得到各模數(shù)比的齒面接觸應(yīng)力情況如圖1所示。

由圖1，當(dāng)齒輪副齒數(shù)比較大且主動(dòng)輪輪齒較少時(shí)，齒面接觸應(yīng)力的最大值并沒(méi)有出現(xiàn)在單齒嚙合內(nèi)點(diǎn)附近，而是出現(xiàn)在嚙合起始點(diǎn)。因此，并不能將單齒嚙合內(nèi)點(diǎn)的齒面接觸應(yīng)力計(jì)為最大值，而應(yīng)比較單齒嚙合內(nèi)點(diǎn)和嚙合起始點(diǎn)處應(yīng)力值的大小。

對(duì)于嚙合起始點(diǎn)附近的齒面接觸應(yīng)力會(huì)異常大的現(xiàn)象，本文從綜合曲率半徑的角度來(lái)說(shuō)明。由式（22）可知，當(dāng)齒廓參數(shù)值ξinn非常小時(shí)綜合曲率半徑ρΣ（ξ）值較小，從而通過(guò)計(jì)算得到的齒面接觸應(yīng)力較大。從圖1可以看到，模數(shù)比的改變正是增大了ξinn才使得小齒數(shù)齒輪嚙合起始點(diǎn)的齒面接觸應(yīng)力減小。因此，采取多模數(shù)嚙合形式用于齒輪副齒數(shù)比較大且主動(dòng)輪輪齒較少的情況可以有效的減小嚙合起始點(diǎn)的應(yīng)力。

4.3 主動(dòng)輪齒數(shù)較大時(shí)齒面接觸應(yīng)力分析

現(xiàn)以主動(dòng)輪轉(zhuǎn)數(shù)為4 500r/min，傳輸功率為450kW，主動(dòng)輪齒數(shù)為29， 從動(dòng)輪齒數(shù)為101的齒輪副帶入式（26）取模數(shù)比分別為1.0、 1.02、 1.04、1.06、1.08、1.1進(jìn)行齒面接觸應(yīng)力計(jì)算，得到各模數(shù)比的齒面接觸應(yīng)力情況如圖2所示。

對(duì)比主動(dòng)輪齒數(shù)較少時(shí)的情況可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)主動(dòng)輪齒數(shù)較多時(shí)，齒面接觸應(yīng)力較大的點(diǎn)出現(xiàn)在單齒嚙合內(nèi)點(diǎn);隨著模數(shù)比的增大，嚙合起始點(diǎn)的接觸應(yīng)力有較大幅度的降低，這也要得益于增大了模數(shù)比的緣故。因?yàn)?，模?shù)比的增大使得嚙合起始點(diǎn)齒廓參數(shù)值ξinn增大，增大了該點(diǎn)的綜合曲率半徑，從而降低了齒面接觸應(yīng)力。

4.4 節(jié)點(diǎn)的接觸位置和接觸應(yīng)力分析

通過(guò)對(duì)主動(dòng)輪節(jié)圓半徑的計(jì)算，利用式（6）很容易得到節(jié)點(diǎn)在接觸線上的位置，也很容易計(jì)算節(jié)點(diǎn)所在位置的接觸應(yīng)力。本文發(fā)現(xiàn)，當(dāng)模數(shù)比處于某一范圍時(shí)，多模數(shù)齒輪副節(jié)點(diǎn)會(huì)處于雙齒嚙合區(qū)，如圖2圓點(diǎn)標(biāo)示。通過(guò)計(jì)算單齒嚙合區(qū)外點(diǎn)齒廓參數(shù)ξout和節(jié)點(diǎn)齒廓參數(shù)ξp，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)模數(shù)比δm≥1.014 3時(shí)有ξp≥ξout=ξinn+1，也就是說(shuō)節(jié)點(diǎn)已經(jīng)處于雙齒嚙合區(qū)了。齒輪副參數(shù)（如齒數(shù)）會(huì)影響多模數(shù)齒輪副節(jié)點(diǎn)位于雙齒嚙合區(qū)的臨界模數(shù)比值，例如主動(dòng)輪齒數(shù)為17，從動(dòng)輪齒數(shù)為52時(shí)，在沒(méi)有變位的條件下，只有當(dāng)δm≥1.068 7時(shí)，節(jié)點(diǎn)才能處于雙齒嚙合區(qū)。

如圖2圓點(diǎn)標(biāo)示，當(dāng)模數(shù)比δm=1.0時(shí)—齒輪副節(jié)點(diǎn)位于單齒嚙合區(qū)—節(jié)點(diǎn)附近為單對(duì)齒受力，接觸應(yīng)力值約為700MPa。當(dāng)模數(shù)比δm分別為1.02、1.04、1.06、1.08、1.1時(shí)—齒輪副節(jié)點(diǎn)位于雙齒嚙合區(qū)—節(jié)點(diǎn)附近為兩對(duì)齒受力;隨著模數(shù)比的增大節(jié)點(diǎn)應(yīng)力降低得非常明顯，當(dāng)模數(shù)比δm=1.1時(shí)，節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力值小到400MPa以下，節(jié)點(diǎn)的接觸應(yīng)力變化量為48.6%。

對(duì)于使用最多的壓力角為20° 的漸開(kāi)線非變位同模數(shù)直齒輪副來(lái)說(shuō)，在節(jié)圓附近只有一對(duì)齒嚙合，節(jié)點(diǎn)附近的齒面承受了全部載荷。在絕大多數(shù)情況下齒輪的點(diǎn)蝕發(fā)生在節(jié)圓附近的齒面上。因此，若節(jié)點(diǎn)位于兩對(duì)齒嚙合區(qū)內(nèi)，減小易產(chǎn)生點(diǎn)蝕部分的載荷，點(diǎn)蝕便不易產(chǎn)生。從這一角度考慮，本文改變齒輪副模數(shù)比使節(jié)點(diǎn)位于雙齒嚙合區(qū)的嚙合傳動(dòng)方法是有益的。

5 模數(shù)比對(duì)最大齒面接觸應(yīng)力的影響

在實(shí)際齒面強(qiáng)度的校核計(jì)算中，最關(guān)心的還是沿接觸線的最大齒面接觸應(yīng)力。為找到模數(shù)比對(duì)最大齒面接觸應(yīng)力的具體影響，先后對(duì)下列兩組齒輪副：第一組：z1=25， z2=40; 第二組：z1=25，z2=85進(jìn)行不同模數(shù)比下的最大齒面接觸應(yīng)力計(jì)算，結(jié)果如圖3所示。需要說(shuō)明的是圖3兩組齒輪副的傳遞功率有所不同，但是這并不影響其變化趨勢(shì)。

由圖3可以看出，在第一組齒數(shù)條件下，隨著模數(shù)比的增大，齒輪副最大齒面接觸應(yīng)力有所降低而且是持續(xù)降低。在第二組齒數(shù)條件下，最大齒面接觸應(yīng)力有一個(gè)先增后減的趨勢(shì);當(dāng)模數(shù)比δm=1.03時(shí)達(dá)到最大，δm=1.08時(shí)達(dá)到最小。結(jié)合圖2和圖3可知，模數(shù)比改變了齒輪副齒形參數(shù)，隨之改變的是齒廓參數(shù)，從而改善最大齒面接觸應(yīng)力。單從齒面接觸應(yīng)力這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，模數(shù)比越大接觸應(yīng)力總體有降低的趨勢(shì)。

6 結(jié)論

（1）漸開(kāi)線直齒輪齒面接觸應(yīng)力較大的位置不總是出現(xiàn)在單齒嚙合內(nèi)點(diǎn)附近;當(dāng)齒輪副齒數(shù)比較大且主動(dòng)輪輪齒較少時(shí)，齒面接觸應(yīng)力較大的位置便出現(xiàn)在嚙合起始點(diǎn)附近。

（2）當(dāng)齒輪副齒數(shù)比較大且主動(dòng)輪輪齒較少時(shí)，主動(dòng)輪齒根附近的接觸應(yīng)力會(huì)異常的大，若采取多模數(shù)嚙合形式增大嚙合起始點(diǎn)綜合曲率半徑從而減小了該點(diǎn)接觸應(yīng)力。

（3）多模數(shù)直齒輪副可以通過(guò)改變齒輪副模數(shù)比使節(jié)點(diǎn)位于雙齒嚙合區(qū)，從而使節(jié)點(diǎn)附近承受的接觸壓力顯著降低。

（4）在一定的齒數(shù)條件下，齒輪副最大齒面接觸應(yīng)力隨著模數(shù)比的增大而有所減小。在齒輪系統(tǒng)設(shè)計(jì)中采取多模數(shù)嚙合形式可改善接觸應(yīng)力。

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