新教材“數(shù)學(xué)探究”活動(dòng)的教學(xué)實(shí)踐與思考

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)探究;教學(xué)策略;核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）54-0131-03

【作者簡(jiǎn)介】周潔，江蘇省常州高級(jí)中學(xué)（江蘇常州，213000）教師，高級(jí)教師。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是一項(xiàng)綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，其一般步驟是：發(fā)現(xiàn)并提出有探究?jī)r(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題;對(duì)有可能的數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行合理的猜測(cè);提出解決問(wèn)題的思路或具體方案;運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)自主探索或合作研究等方式，對(duì)提出的數(shù)學(xué)結(jié)論加以論證。

研讀新課標(biāo)和新教材，可以理出三條線索——“數(shù)學(xué)文化”“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！?，它們既是貫通新教材的三條“暗線”，又是學(xué)生活動(dòng)的三條“明線”。在新蘇教版教材中，正文部分的“探究”，習(xí)題部分的“探究·拓展”，章節(jié)末的“問(wèn)題與探究”，為學(xué)生提供了豐富的探究素材。在新人教A版教材中，同樣在正文部分穿插了“探究”，在習(xí)題部分安排了“拓廣探索”，部分章節(jié)后設(shè)置了“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作交流。筆者在一次活動(dòng)中以“用向量法研究三角形的性質(zhì)”為題進(jìn)行了數(shù)學(xué)探究專題課的教學(xué)實(shí)踐，這里試作記述，以供參考。

一、學(xué)情與教材分析

聽(tīng)講本課的學(xué)生來(lái)自一所普通高中新課程新教材實(shí)施國(guó)家級(jí)示范校，學(xué)生有扎實(shí)的學(xué)業(yè)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，具備數(shù)學(xué)探究的積極性和主動(dòng)性。

本節(jié)課所用教材為新人教A版必修第二冊(cè)第六章“平面向量及其應(yīng)用”，教材在章末以專題形式設(shè)置了3課時(shí)的“數(shù)學(xué)探究”專題活動(dòng)，本課例為其中的第1課時(shí)。

三角形是最重要最基本的幾何圖形之一，三角形的性質(zhì)非常豐富，是聯(lián)系各種幾何圖形的紐帶，也是培養(yǎng)邏輯推理能力、發(fā)展理性思維的最佳載體之一。初中階段，學(xué)生研究過(guò)三角形的一些基本性質(zhì)，但還不夠深入。本章所學(xué)的向量集數(shù)與形于一身，每一種向量運(yùn)算都有相應(yīng)的幾何意義，因此以三角形為研究對(duì)象，用向量法對(duì)它的性質(zhì)進(jìn)行再研究，可以使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，更系統(tǒng)地掌握三角形的性質(zhì)，同時(shí)加深理解向量法在研究幾何問(wèn)題中的作用，并且在這個(gè)過(guò)程中，使學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)探究”活動(dòng)形成較為完整的體驗(yàn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置正是基于這一理念。通過(guò)創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，歸納方法，把握本質(zhì)。具體可分為以下三點(diǎn)：

①通過(guò)用向量法證明平面幾何中已學(xué)的三角形的性質(zhì)，體驗(yàn)向量法在證明幾何圖形性質(zhì)中的作用;

②通過(guò)用向量法研究三角形性質(zhì)的過(guò)程，歸納出用向量法研究幾何問(wèn)題的一般步驟，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;

③通過(guò)用向量法對(duì)三角形其他性質(zhì)的探究，體會(huì)探究活動(dòng)的價(jià)值、合作交流的意義，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯表達(dá)能力，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、主要教學(xué)環(huán)節(jié)

課間播放3分鐘自制小視頻“勾股定理的證明”。

1.小試牛刀。

課前播放的小視頻中，我們欣賞了古今中外證明勾股定理的各種方法，結(jié)合本節(jié)課的課題“用向量法研究三角形的性質(zhì)”，你會(huì)用向量法證明勾股定理嗎？（學(xué)生口答）

【設(shè)計(jì)意圖】三角形是平面幾何中最常見(jiàn)的圖形之一，其中最特殊的要數(shù)直角三角形，從學(xué)生熟悉的話題出發(fā)，營(yíng)造輕松的探究范圍。用向量法證明勾股定理，只用到了向量的加法運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，學(xué)生可以初步體會(huì)到教材上的一句話——“有了運(yùn)算，向量的力量無(wú)限”——的含義。

直角三角形中還有一些常用性質(zhì)，例如：射影定理，斜邊中線定理等，你能用向量法證明嗎？

學(xué)生自主完成后，請(qǐng)代表上臺(tái)對(duì)照實(shí)物投影講解。

還記得用初中平面幾何的方法怎樣證明這兩個(gè)定理嗎？相比而言，你覺(jué)得向量法有沒(méi)有優(yōu)越性？

【設(shè)計(jì)意圖】聚焦直角三角形，用向量法證明直角三角形中常用性質(zhì)，對(duì)比初中證法，向量法無(wú)需添加輔助線，不需要太多定理的支撐，只要通過(guò)計(jì)算，就能得到結(jié)論，體會(huì)向量法在證明幾何圖形性質(zhì)中的作用，激發(fā)學(xué)生探究的興趣。

2.溫故知新。

這樣的例子其實(shí)我們接觸了不少呢，請(qǐng)大家快速瀏覽教材第7-46頁(yè)的例題和習(xí)題，找一找哪些例子也能體現(xiàn)用向量法研究三角形性質(zhì)的優(yōu)越性。請(qǐng)你結(jié)合課本的例題、習(xí)題，談一談向量法在證明幾何圖形性質(zhì)中的作用。

【設(shè)計(jì)意圖】向量是數(shù)形結(jié)合的完美載體，我們所學(xué)的各種向量運(yùn)算都有相應(yīng)的幾何意義。例如：向量的加、減法運(yùn)算遵循平行四邊形法則、三角形法則，可以和平行四邊形、三角形建立聯(lián)系;數(shù)乘向量運(yùn)算可以與直線的平行、線段的比例、圖形的相似建立聯(lián)系;向量的數(shù)量積運(yùn)算可以與兩點(diǎn)間距離、夾角等建立密切的聯(lián)系。用“找一找”“議一議”的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考在證明三角形性質(zhì)的過(guò)程中用到了向量的哪些運(yùn)算，各種運(yùn)算的主要作用是什么。學(xué)生具有更多的選擇權(quán)、自主權(quán)是探究活動(dòng)區(qū)別于接受式學(xué)習(xí)的重要特點(diǎn)，學(xué)生從被動(dòng)到主動(dòng)，從跟著老師的思路走向自主選擇、自主思考、自主探究，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合作與交流，獲得能力的提升。

思考：向量方法的意義何在？從這些例子中，你能總結(jié)用向量法研究幾何問(wèn)題的步驟嗎？

在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上概括用向量方法研究幾何問(wèn)題的步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即用向量表示幾何圖形中的幾何元素，如點(diǎn)、線段、夾角等，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，建立“形”與“數(shù)”之間的聯(lián)系;（2）運(yùn)算，即通過(guò)向量運(yùn)算，結(jié)合運(yùn)算的幾何意義，研究幾何元素之間的關(guān)系;（3）翻譯，即用向量運(yùn)算的結(jié)果解釋幾何圖形中的關(guān)系，得到相應(yīng)幾何問(wèn)題的結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖】由于向量能夠運(yùn)算，因而它可以把原本較為復(fù)雜的思辨過(guò)程轉(zhuǎn)化為較為直接的運(yùn)算過(guò)程，降低了思考問(wèn)題的難度。通過(guò)用向量法研究三角形性質(zhì)的過(guò)程，掌握用向量法研究幾何問(wèn)題的一般方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不是一句空洞的口號(hào)，而是要落實(shí)在具體的教學(xué)過(guò)程中。在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，學(xué)生需要充分調(diào)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，獨(dú)立自主地建構(gòu)知識(shí)體系，才能解決問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的直覺(jué)思維能力、理性思維能力的提升都有非常積極的作用。

3.鞏固提升。

新人教A版第52頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第2題關(guān)注的是三角形外心、重心、垂心的向量表示。讓我們聚焦三角形的“心”，我們知道垂心是三條高的交點(diǎn)，重心是三條中線的交點(diǎn)，外心是三條邊的中垂線的交點(diǎn)，如果在同一個(gè)三角形中作出它的垂心、重心、外心，你有什么想法？

三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線，且重心到垂心的距離是重心到外心距離的兩倍。這一觀點(diǎn)是1765年萊昂哈德·歐拉在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出的，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線。

嘗試證明：在三角形ABC中，垂心H，重心G，外心O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。

【設(shè)計(jì)意圖】除了用向量方法對(duì)已證的結(jié)論進(jìn)行證明，我們還可以用向量方法證明以往未加證明或自己新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，站在新的高度或從新的角度重新審視研究對(duì)象，選擇新的工具或新的方法再研究，往往可以加深對(duì)研究對(duì)象的認(rèn)識(shí)，甚至可以有新的發(fā)現(xiàn)。在探究活動(dòng)中，我們要鼓勵(lì)學(xué)生克服慣性思維，樂(lè)于接受新的挑戰(zhàn)，以持之以恒的探究精神，獲得積極的情感體驗(yàn)，形成科學(xué)的思維方式。

4.課后探究。

布置探究作業(yè)：用向量法研究三角形的性質(zhì)。方式：獨(dú)立探究、小組合作。成果展示：撰寫研究報(bào)告，現(xiàn)場(chǎng)匯報(bào)答辯。具體要求參看課本第65-66頁(yè)。

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，其過(guò)程包括提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、得到相關(guān)結(jié)論、總結(jié)反思改進(jìn)。課題研究能有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和探究能力有著積極的作用。

四、案例反思與啟示

數(shù)學(xué)家波利亞指出，學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。新教材為我們提供了豐富的開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的素材，如能用好這些素材，精心設(shè)計(jì)適合學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)會(huì)起到積極有效的作用。

1.精選探究問(wèn)題，引領(lǐng)探究活動(dòng)。

作為探究載體的問(wèn)題來(lái)源可以有多種途徑，既可以利用現(xiàn)有的資源，如教科書、教學(xué)參考書、專業(yè)網(wǎng)站等，由教師篩選、設(shè)計(jì)、提供，還可以是動(dòng)態(tài)的生成性的問(wèn)題，如學(xué)生在生活或?qū)W習(xí)中提出的問(wèn)題，解決已有問(wèn)題后提出的拓展性問(wèn)題等。教師常常以問(wèn)題串的形式引領(lǐng)學(xué)生的探究活動(dòng)，問(wèn)題串的設(shè)計(jì)要有一點(diǎn)的難度和梯度，要有思維含量。

2.創(chuàng)造探究條件，指導(dǎo)探究方法。

除了課堂上的探究，還可以適當(dāng)利用“綜合實(shí)踐活動(dòng)”的課時(shí)，或結(jié)合學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生利用課余時(shí)間開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。在學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)時(shí)，教師要注意了解學(xué)生活動(dòng)的進(jìn)展，并在發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題、建構(gòu)探究的思路、形成解題的方法等方面加強(qiáng)指導(dǎo)。課余指導(dǎo)學(xué)生調(diào)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的拓展、推廣等，發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，獲得更多的數(shù)學(xué)結(jié)論。對(duì)于初次進(jìn)行數(shù)學(xué)探究課題研究的學(xué)生，教師應(yīng)在選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題等各環(huán)節(jié)進(jìn)行較為具體的指導(dǎo)。

3.多元探究評(píng)價(jià)，鞏固探究成果。

對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，無(wú)論是評(píng)價(jià)的主體還是評(píng)價(jià)的角度都應(yīng)是多元的。首先，要引導(dǎo)學(xué)生自我評(píng)價(jià)，尤其是對(duì)探究過(guò)程的反思與評(píng)價(jià)。其次，可以引導(dǎo)同伴間相互評(píng)價(jià)，通過(guò)交流與分享，修正、改進(jìn)、完善探究的成果。通過(guò)多元的探究評(píng)價(jià)，可以使學(xué)生積累探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)如何提出觀點(diǎn)，如何發(fā)表意見(jiàn)，如何開(kāi)展團(tuán)隊(duì)合作，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并激勵(lì)學(xué)生以更加飽滿的熱情投入到新的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，提升探究效果，鞏固探究成果。

【參考文獻(xiàn)】

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