無(wú)背索斜塔斜拉橋的模態(tài)分析及1∶1內(nèi)共振研究

陳雙慶, 王樹(shù)英, 呂文舒，陳超云

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410014； 2.湖南文理學(xué)院, 湖南 常德 415000；3.中交水運(yùn)規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司, 北京 100020； 4.湖南省益陽(yáng)公路橋梁建設(shè)有限責(zé)任公司, 湖南 益陽(yáng) 413000)

0 引言

無(wú)背索斜塔斜拉橋造型奇特，吸引了眾多學(xué)者對(duì)其研究和探索[1-2]。無(wú)背索斜塔斜拉橋不同于傳統(tǒng)的直塔斜拉橋，由于取消了單側(cè)拉索，其主要依靠主塔的傾斜來(lái)平衡主梁的恒載和活載，受力情況更為復(fù)雜，因此，無(wú)背索斜塔斜拉橋動(dòng)力學(xué)特性的相關(guān)內(nèi)容得到橋梁工程領(lǐng)域的關(guān)注[3]。

Starossek[4]在經(jīng)典橋梁體系的基礎(chǔ)上，提出了一種全新的斜拉橋體系概念，即采用傾斜塔來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的垂直塔，通過(guò)討論該體系的優(yōu)缺點(diǎn)，指出該體系可以實(shí)現(xiàn)更大的跨度。彭旺虎等[5]總結(jié)國(guó)內(nèi)外無(wú)背索斜塔斜拉橋，論述了塔梁平衡關(guān)系，推導(dǎo)得到了塔的合理傾角，為該類斜塔傾角的選取提供了理論依據(jù)。陳愛(ài)軍等[6-7]比較了無(wú)背索斜拉橋與常規(guī)直塔斜拉橋力學(xué)的行為差異，從塔、梁和索的布置形式出發(fā)，分析了各種類型無(wú)背索斜塔斜拉橋的受力特性，并研究了斜塔柱的合理結(jié)構(gòu)形式。劉永健等[8]針對(duì)無(wú)背索斜塔斜拉橋進(jìn)行了靜動(dòng)力荷載試驗(yàn)，結(jié)合三維有限元模型的理論計(jì)算，從試驗(yàn)的角度研究了橋梁的靜力和動(dòng)力特性。蔡向陽(yáng)等[9]基于無(wú)背索斜塔斜拉橋的受力特點(diǎn)，建立了用于評(píng)估豎彎剛度的雙梁離散彈簧動(dòng)力學(xué)模型，將普通鋼索替換為CFRP索后，分析了斜拉索對(duì)整體豎彎剛度的影響。楊吉新等[10]以六安市壽春西路大橋?yàn)楣こ瘫尘?，通過(guò)有限元軟件建立相應(yīng)的有限元模型，模擬和計(jì)算了不同溫度荷載下的截面應(yīng)力情況，得出升溫和降溫作用下，橋塔將會(huì)產(chǎn)生較大的拉應(yīng)力和較大的結(jié)構(gòu)變形，對(duì)橋梁的安全產(chǎn)生不利影響。

從上述研究可以看出，目前對(duì)無(wú)背索斜塔斜拉橋的研究主要通過(guò)有限元模擬來(lái)實(shí)現(xiàn)。而斜拉索作為斜拉橋中重要的受力構(gòu)件，對(duì)斜拉橋的動(dòng)力學(xué)特性有著十分重要的影響，由于斜拉索具有阻尼低，重量輕的特點(diǎn)，容易在環(huán)境荷載(例如風(fēng)雨荷載和車輛荷載等)下產(chǎn)生大幅振動(dòng)[11-13]，從而影響斜拉橋的動(dòng)力學(xué)性能。因此，在建立有限元模型時(shí)，采用何種方法來(lái)模擬斜拉索是正確把握無(wú)背索斜塔斜拉橋動(dòng)力學(xué)特性的關(guān)鍵。目前，建立斜拉橋的二維平面有限元模型主要有兩種方法：第1種方法是斜拉索采用桿單元，但只將斜拉索劃分為一段，即用一個(gè)桿單元模擬斜拉索[14-15];第2種方法是斜拉索采用桿單元并將斜拉索劃分為多段，即將斜拉索離散為多個(gè)桿單元[14-15]?；谝陨蟽煞N模型，蘇瀟陽(yáng)等[16]對(duì)傳統(tǒng)斜拉橋的力學(xué)性能進(jìn)行了研究。而對(duì)于無(wú)背索斜塔斜拉橋，相關(guān)研究卻未見(jiàn)到。

本研究以某無(wú)背索斜塔斜拉橋?yàn)楣こ瘫尘?，研究無(wú)背索斜塔斜拉橋頻率、振型等模態(tài)特性，揭示了全局模態(tài)與局部模態(tài)，局部模態(tài)與局部模態(tài)之間的1∶1 內(nèi)共振關(guān)系。

1 工程概況

某斜拉橋位于長(zhǎng)沙市，采用豎琴式無(wú)背索斜塔斜拉橋[9]。主梁采用鋼-混凝土組合梁，挑梁間距為4～5 m，橋面寬33.2 m，主塔傾角為58°，主跨206 m，主塔橋面以上高度138 m。全橋共13對(duì)拉索，塔上索距為9.312 m，梁上索距12 m，橫橋向兩排，間距為6 m[9,11]，斜拉橋的立面示意圖如圖1所示, 為表示方便，將斜拉索從里到外依次標(biāo)記為C1,C2,…,C13，斜拉索索力如表1所示。

表1 斜拉索索力

圖1 某無(wú)背索斜塔斜拉橋立面圖

2 模態(tài)分析

為了探究無(wú)背索斜塔斜拉橋的模態(tài)，利用有限元軟件ANSYS建立相應(yīng)的二維有限元模型，如圖2所示。采用兩種不同的模型對(duì)斜拉索進(jìn)行模擬，即

圖2 無(wú)背索斜塔斜拉橋有限元模型

OECS(one-element cable system，簡(jiǎn)稱OECS)模型和MECS(multi-element cable system，簡(jiǎn)稱MECS)模型，以探討不同斜拉索模擬方法對(duì)無(wú)背索斜塔斜拉橋模態(tài)的影響。需要說(shuō)明的是，建模時(shí)將塔的上端視為自由，塔的下端和主梁的兩端視為固支，采用Earnst等效彈性模量考慮斜拉索的垂度影響。

2.1 OECS有限元模型

采用LINK10單元模擬斜拉索并劃分為一段，主梁和主塔采用BEAM44模擬，總劃分單元數(shù)為303，總劃分節(jié)點(diǎn)數(shù)為291。表2和圖3給出了是否考慮索力時(shí)，采用OECS有限元模型計(jì)算得到的斜拉橋前6階頻率和振型。觀察圖3可以得出，振型均以梁和塔的振動(dòng)為主，索的振動(dòng)主要由主梁拖動(dòng)所造成，這種振型一般被稱作全局模態(tài)。表2和圖3的結(jié)果表明，索力對(duì)全局頻率和振型的影響很小，這是因?yàn)樵贠ECS模型中，斜拉索被劃分為一個(gè)單元，不會(huì)產(chǎn)生彎曲， OECS模型不能模擬出索的振動(dòng)，此時(shí)斜拉索僅對(duì)主梁起到彈性支承的作用，因此，索力對(duì)全局頻率和振型影響較小，這與文獻(xiàn)[11,18-19]得到的結(jié)果相同。斜拉橋作為一種柔性結(jié)構(gòu)，剛度不足是其主要問(wèn)題，所以通常需要在概念設(shè)計(jì)階段對(duì)斜拉橋的豎彎剛度進(jìn)行評(píng)估，而此種建模方法可以有效地識(shí)別出所需要的全局模態(tài)，節(jié)約了時(shí)間成本，因此在計(jì)算斜拉橋的模態(tài)時(shí)，如果只需要全局模態(tài)，可以采用此種方法建模，避免了篩選全局模態(tài)的麻煩。另外，表2中列出了文獻(xiàn)[17]計(jì)算的頻率，可以看出其與本研究得到的頻率十分接近，說(shuō)明本研究結(jié)果的可靠度較高。

表2 OECS模型斜拉橋前6階頻率

圖3 OECS模型斜拉橋前6階振型

2.2 MECS有限元模型

采用LINK10單元模擬斜拉索并將每根斜拉索劃分為100段，總劃分單元數(shù)為1 590，總劃分節(jié)點(diǎn)數(shù)為1 578。表3和圖4給出了采用MECS有限元模型計(jì)算得到的無(wú)背索斜塔斜拉橋前10階頻率和部分振型。對(duì)比表2和表3可以看出，第1階頻率幾乎相同，這是因?yàn)榈?階模態(tài)是以主梁和主塔振動(dòng)為主的全局模態(tài)，這說(shuō)明采用MECS模型對(duì)全局模態(tài)的頻率影響不大。對(duì)比圖4和圖3可以看到，由于將斜拉索劃分為多段，使得MECS模型能夠模擬斜拉索的振動(dòng)，因此，圖4中存在斜拉索單獨(dú)振動(dòng)的振型(例如第2～5階振型)，這種振型稱為局部模態(tài)，由于斜拉索是一種柔性結(jié)構(gòu)，所以局部模態(tài)的頻率較小，一般出現(xiàn)在低階。除了全局模態(tài)和局部模態(tài)，還有第3種模態(tài)，如圖4中的第14階振型所示，此時(shí)，梁、塔和索都發(fā)生了振動(dòng)，這種模態(tài)稱為混合模態(tài)，這是模態(tài)相互耦合的結(jié)果。仔細(xì)觀察第14階振型還可以看出，梁的振動(dòng)形式與圖3中的第3階振型相同，索的振動(dòng)形式以C11的2階振型為主，而根據(jù)表2，第3階頻率為1.042 9 Hz，與C11的2階頻率(1.054 18 Hz，見(jiàn)表4)很接近，這說(shuō)明圖3中的第3階模態(tài)與C11的2階模態(tài)之間發(fā)生了1∶1內(nèi)共振，此時(shí)將會(huì)發(fā)生模態(tài)間的能量傳遞并可能造成索的大幅振動(dòng)。

圖4 MECS模型斜拉橋振型

表3 MECS模型斜拉橋前10階頻率

為了驗(yàn)證本研究模型的正確性，將局部模態(tài)頻率與張緊弦理論算出的頻率進(jìn)行對(duì)比。根據(jù)張緊弦理論，張緊索的頻率為：

(1)

式中，f為頻率，n=1,2,3,…,lc為拉索長(zhǎng)度；Hc為索力；mc為線密度。

基于上述理論，可以計(jì)算出斜拉索的自振頻率并與本研究算出的頻率進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。從表中可以看出，本研究模型算出的局部模態(tài)頻率與采用張緊弦理論算出的頻率之間吻合非常好，說(shuō)明本研究有限元模型可靠。

表4 ANSYS與張緊弦理論計(jì)算頻率對(duì)比

3 1∶1內(nèi)共振分析

3.1 基本理論

由于斜拉橋是一種高次超靜定結(jié)構(gòu)，對(duì)其整體進(jìn)行非線性求解非常困難，所以一般只研究其中的基本構(gòu)件，例如索梁模型?；谠撃Ｐ?，簡(jiǎn)要介紹采用多尺度法進(jìn)行斜拉橋非線性內(nèi)共振求解的基本理論。梁和索的運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為[20]：

(2)

(3)

式中，m，v，ξ，E和I分別為單位長(zhǎng)度質(zhì)量、橫向位移、阻尼系數(shù)、彈性模量和慣性矩，下標(biāo)‘1’和‘2’分別為梁和索；N和H2分別為梁和索的初始軸力；F和Ω分別為外激勵(lì)的振幅和頻率；A2為索的截面積；e2(t)為平均動(dòng)應(yīng)變，其表達(dá)式為：

(4)

式中，θ為索與梁的夾角;l2為拉索長(zhǎng)度;y2為索的初始構(gòu)型。

為探究更一般的規(guī)律，引入以下無(wú)量綱變量：

(5)

式中，d為索的垂度；ω為面內(nèi)自振頻率。為便于書(shū)寫(xiě)，省略變量上方的橫線，則式(2)和(3)可以另寫(xiě)為：

(6)

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，v1(x,t)和v2(x,t)可以寫(xiě)為：

v1(x,t)=φ1(x)q1(t)，

(8)

v2(x,t)=φ2(x)q2(t)+φ1(x)q1(t)sin2θ，

(9)

將式(8)和(9)代入式(6)和(7)并進(jìn)行伽遼金積分，可以得到如下所示的常微分方程

(10)

(11)

式中，常系數(shù)可通過(guò)伽遼金離散后得到。

根據(jù)多尺度法，引入簿記參數(shù)ε和一個(gè)新的時(shí)間變量Ti-1=εi-1t。同時(shí)，將q1與q2一致展開(kāi)為：

qi=qi0(T0,T1)+εqi1(T0,T1)，

(12)

式中，i=1,2。

將式(12)代入式(10)和(11)，并令ε的同次冪等于0：

(13)

(14)

式(13)的解為：

q10=A1(T1)exp(iω1T0)+cc，

q20=A2(T1)exp(iω2T0)+cc，

(15)

式中cc為前面所有項(xiàng)的共軛。

將式(15)代入式(14)，根據(jù)所考察的內(nèi)共振關(guān)系，找到對(duì)應(yīng)的久期項(xiàng)并令久期項(xiàng)為0。為方便求解，將A1與A2寫(xiě)為極坐標(biāo)形式，即

(16)

式中，am(T1)和Φm(T1)可通過(guò)可解性條件求得。將式(16)代入久期項(xiàng)，最終可以求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解。

3.2 有限元分析

基于以上理論可以定量對(duì)內(nèi)共振進(jìn)行分析，而采用有限元法可以定性對(duì)無(wú)背索斜塔斜拉橋中存在的各種內(nèi)共振關(guān)系進(jìn)行把握，由于MECS模型更能全面地揭示出斜拉橋的全部模態(tài)，所以本節(jié)的分析都是基于MECS模型。由表3可知，無(wú)背索斜塔斜拉橋的頻率非常密集，而且斜拉索的數(shù)量眾多，不可避免地會(huì)導(dǎo)致某階局部模態(tài)頻率與全局模態(tài)頻率之間呈現(xiàn)倍比關(guān)系，從而引發(fā)各種形式的內(nèi)共振。圖5(a)為2階全局模態(tài)與C9的1階模態(tài)之間的1∶1 內(nèi)共振，由于1階模態(tài)在各階模態(tài)中占有重要的地位，所以與索1階模態(tài)間的內(nèi)共振一直是斜拉橋非線性動(dòng)力學(xué)的研究問(wèn)題之一。由表2可以知道，2階全局模態(tài)的頻率為0.620 4 Hz，注意到C9的1階模態(tài)頻率為0.604 071 Hz(見(jiàn)表4)，兩者十分接近，從而導(dǎo)致了1∶1內(nèi)共振，由于C8的1階頻率與C9相近，導(dǎo)致圖5(a)中也激起了C8的1階模態(tài)。

圖5 全局模態(tài)與局部模態(tài)間的內(nèi)共振

除了上述所說(shuō)的全局模態(tài)與索的1階模態(tài)之間的內(nèi)共振，還存在全局模態(tài)與索的高階模態(tài)之間的內(nèi)共振。圖5(b)給出了無(wú)背索斜塔斜拉橋第28階振型，其頻率為1.829 31 Hz。從圖中可以看到，梁的振動(dòng)形式與圖3中的第4階振型類似，索的振動(dòng)則以C5的2階振型為主，同時(shí)還伴有其余斜拉索的高階振型振動(dòng)。根據(jù)表2，第4階全局模態(tài)的頻率為1.819 6 Hz，而C5的2階頻率為1.861 29 Hz，兩者很接近，這說(shuō)明此時(shí)4階全局模態(tài)和C5的2階模態(tài)之間發(fā)生了1∶1內(nèi)共振，一旦梁的4階模態(tài)被激起，主梁就會(huì)在索端給斜拉索施加一個(gè)參數(shù)激勵(lì)，從而激起C5的2階模態(tài)。由于索的數(shù)量多，頻率比較密集，短索的低階頻率可能與長(zhǎng)索的高階頻率相近，從而也會(huì)激起長(zhǎng)索的高階模態(tài)，圖5(c)進(jìn)一步驗(yàn)證了這種現(xiàn)象。圖5(c)為第6階全局模態(tài)與局部模態(tài)間的1∶1內(nèi)共振，從圖中可以明顯看到短索的低階模態(tài)和長(zhǎng)索的高階模態(tài)同時(shí)被激起，此時(shí)索與梁之間不僅會(huì)發(fā)生能量傳遞，短索與長(zhǎng)索之間也會(huì)通過(guò)梁發(fā)生能量間的傳遞，使得無(wú)背索斜塔斜拉橋的非線性行為變得更加復(fù)雜。

除了全局模態(tài)與局部模態(tài)間的內(nèi)共振，索與索之間，即局部模態(tài)和局部模態(tài)之間也存在復(fù)雜的內(nèi)共振關(guān)系。由于短索的自振頻率比同階的長(zhǎng)索的自振頻率大，因此，很容易出現(xiàn)短索的低階模態(tài)與長(zhǎng)索的高階模態(tài)之間的1∶1內(nèi)共振。圖6(a)中，C1的1階模態(tài)和C11的4階模態(tài)同時(shí)被激起，由于C1的1階模態(tài)頻率為2.083 85 Hz，C11的4階模態(tài)頻率為2.120 60 Hz，兩者十分接近，所以此時(shí)發(fā)生了1∶1內(nèi)共振。同樣，圖6(b)給出了C2的1階模態(tài)與C11的3階模態(tài)之間的1∶1內(nèi)共振，這樣的內(nèi)共振模式還有很多，在特定的條件下均有可能引起不同索之間的內(nèi)共振。除此之外，索的高階模態(tài)之間也存在1∶1內(nèi)共振，例如圖6(c)所示的C7的2階模態(tài)與C12的3階模態(tài)。甚至出現(xiàn)更為復(fù)雜的內(nèi)共振現(xiàn)象，從圖6(d)中可以看到多根索的高階模態(tài)之間同時(shí)被激起了內(nèi)共振，這在一定程度上解釋了為什么實(shí)際工程中一根斜拉索的振動(dòng)往往會(huì)導(dǎo)致其余多根索的大幅振動(dòng)，此時(shí)容易導(dǎo)致斜拉索的疲勞和拉索保護(hù)層的破壞，降低斜拉索的使用壽命，甚至影響斜拉橋的行車安全，工程中應(yīng)特別注意設(shè)計(jì)參數(shù)規(guī)避相應(yīng)的共振區(qū)，以避免此類現(xiàn)象的發(fā)生。

圖6 局部模態(tài)與局部模態(tài)間的內(nèi)共振

4 結(jié)論

(1) OECS模型簡(jiǎn)單方便，但采用OECS模型只能計(jì)算出無(wú)背索斜塔斜拉橋的全局振型和頻率，不能模擬斜拉索的振動(dòng)，當(dāng)只需要斜拉橋的全局模態(tài)時(shí)，可以采用此種建模方法，避免了篩選全局模態(tài)的麻煩，從而節(jié)約時(shí)間成本。

(2) MECS模型能夠模擬斜拉索的振動(dòng)，對(duì)全局振型、頻率的計(jì)算結(jié)果影響不大，能準(zhǔn)確有效地計(jì)算出無(wú)背索斜塔斜拉橋的全部平面內(nèi)模態(tài)。MECS模型與OECS模型配合使用，可以快速確定全局模態(tài)與局部模態(tài)間的內(nèi)共振關(guān)系。

(3) 在一定條件下，全局模態(tài)與索的低階和高階模態(tài)間會(huì)發(fā)生1∶1內(nèi)共振，不同索的高階模態(tài)以及高階與低階模態(tài)間也會(huì)發(fā)生1∶1內(nèi)共振，由于無(wú)背索斜塔斜拉橋頻率的密集性，甚至有可能激起多根索的振動(dòng)，工程中應(yīng)注意避免此現(xiàn)象的發(fā)生。