基于PCA-RVM的靜壓管樁單樁極限承載力預(yù)測

鄺賀偉 張 研，* 景小青

（1.廣西建筑新能源與節(jié)能重點(diǎn)實驗室，桂林541004；2.桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院，桂林541004；3.中國水利水電第四工程局有限公司，西寧810007）

0 引 言

隨著我國建筑規(guī)模的擴(kuò)大和施工技術(shù)的提高，樁基礎(chǔ)因施工便捷、質(zhì)量可靠、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用到工業(yè)建筑、道路橋梁、邊坡防護(hù)等工程［1-3］。在樁基礎(chǔ)中靜壓管樁因施工效率高、抗震性能好、工程造價低、環(huán)保性價比高等明顯優(yōu)勢不斷得到推廣和應(yīng)用［4］。靜壓管樁單樁極限承載力是衡量樁基礎(chǔ)穩(wěn)定性和檢測施工技術(shù)的重要指標(biāo)之一，準(zhǔn)確掌握單樁極限承載力相關(guān)數(shù)據(jù)對工程方案設(shè)計、技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)制訂、施工人員安全等具有重要意義。

以往獲取靜壓管樁單樁極限承載力都是在施工現(xiàn)場測試獲得，此過程費(fèi)時、費(fèi)力，且試驗樁有限，很難單準(zhǔn)確獲取單樁極限承載力，成為眾多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)；為此，學(xué)者們開展了一系列試驗，試圖總結(jié)當(dāng)中規(guī)律建立單樁極限承載力的經(jīng)驗公式。如：邵艷等［5］針對PHC管樁加固工程采用靜壓樁的載荷試驗，給出了靜壓管樁單樁極限承載力的經(jīng)驗公式；王俊林等［6］利用靜壓管樁的單樁極限承載力試驗，探討單樁極限承載力與最終壓力關(guān)系分布關(guān)系，并給出極限承載力求取公式。經(jīng)驗公式雖能建立主要影響因素與承載力之間的對應(yīng)關(guān)系，然而考慮的因素相對簡單，很難涵蓋多種影響因素，并且經(jīng)驗公式存在主觀性強(qiáng)、適用性低等不足。因此，亟待提出更加經(jīng)濟(jì)、精確、高效的靜壓管樁單樁極限承載力預(yù)測方法。

隨著計算機(jī)技術(shù)的不斷成熟，人工智能機(jī)器學(xué)習(xí)方法廣泛應(yīng)用到樁基工程當(dāng)中［7-8］。然而，機(jī)器學(xué)習(xí)方法在靜壓管樁單樁極限承載力相關(guān)方面應(yīng)用較少，史永強(qiáng)等［9］運(yùn)用主成分優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對靜壓管樁單樁極限承載力進(jìn)行預(yù)測，建立單樁極限承載力與內(nèi)摩擦角、樁側(cè)土的含水率、液性指數(shù)、樁的長徑比、重度等13個影響因素的非線性映射關(guān)系，并與實測值比較突出該模型的優(yōu)勢。然而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身仍存在著一些不完善之處，如：對學(xué)習(xí)樣本依賴性過強(qiáng)，當(dāng)樣本過少時，預(yù)測精度難以保證；當(dāng)樣本過多時，泛化能力差。有必要尋求更加合理的智能方法對單樁極限承載力進(jìn)行預(yù)測。

相關(guān)向量機(jī)方法（Relevance Vector Machine，RVM）是近年來流行的機(jī)器學(xué)習(xí)方法［10］，它是基于馬爾科夫性質(zhì)、貝葉斯理論、最大似然理論方法和自動相關(guān)決定先驗的提出的，避免了核函數(shù)必須滿足Mercer條件，具有更好的稀疏性，提高了模型預(yù)測效率［11］。然而當(dāng)輸入樣本影響因素（即樣本維數(shù)）較多的時候，會降低RVM模型學(xué)習(xí)效率，增加計算成本。為此，本文采用主成分分析法［12］（Principal Component Analysis，PCA）進(jìn) 行降維，選取貢獻(xiàn)率較高的獨(dú)立因素，通過RVM模型建立獨(dú)立因素與單樁極限承載力之間的非線性映射關(guān)系，提出基于PCA-RVM的靜壓管樁單樁極限承載力預(yù)測方法，為靜壓管樁單樁極限承載力的獲取提供了一條新途徑。

1 PCA-RVM預(yù)測模型相關(guān)理論

1.1 PCA基本原理

PCA作為因子分析最常用的一種方法，將多個因素通過降維的方式篩選出貢獻(xiàn)率最大且無相關(guān)的少數(shù)主要影響因素，排除一些多余的因素信息，增強(qiáng)模型預(yù)測精準(zhǔn)度。設(shè)數(shù)據(jù)集共有樣本n個，每個樣本的影響因素有p個，構(gòu)建n×p階矩陣。

對矩陣協(xié)方差計算時，為避免量綱不一致造成的影響需要對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

標(biāo)準(zhǔn)化處理后的矩陣特征方程為|λ-IR|=0，求特征根λ1≥…λn≥0，根據(jù)特征根計算出對應(yīng)的正交單位化特征向量為e1，e2，…，en。

計算各影響因素貢獻(xiàn)率即累計貢獻(xiàn)率，第i個影響因素貢獻(xiàn)率為，前q個因素的累積貢獻(xiàn)率為，其中λ1，λ2，…，λn為對應(yīng)的影響因素。

1.2 RVM相關(guān)原理

RVM基于貝葉斯原理運(yùn)用到回歸問題時。要求在權(quán)值ω上，定義超參數(shù)α影響的獨(dú)立先驗概率［13］。同時，基于先驗參數(shù)結(jié)構(gòu)下的相關(guān)決策理論來除去不相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，可獲得稀疏化模型。設(shè)訓(xùn)練的樣本集為{xn,tn|n=1，…，2，N}，xn表示輸入訓(xùn)練樣本輸入，tn表示目標(biāo)輸出且獨(dú)立分布。建立xn與tn函數(shù)關(guān)系：

式中：xc為核函數(shù)中心；σ為高斯核寬度。

假設(shè)tn為相互獨(dú)立分布，訓(xùn)練集的似然函數(shù)：

隨著參數(shù)大量引用，在最大似然估計ω和σ2時可能會產(chǎn)生過適應(yīng)現(xiàn)象，為避免類似現(xiàn)象發(fā)生，我們可以附加強(qiáng)制條件在一些參數(shù)上。假設(shè)參數(shù)ωn服從均值為零、方差為的高斯條件概率分布：

其中，α是決定權(quán)值ω的先驗分布的N+1維超參數(shù)。超參數(shù)α和噪聲參數(shù)σ2服從Gamma先驗概率分布：

若RVM參數(shù)先驗概率分布為P(ω,α,σ2|t)，則訓(xùn)練樣本后驗概率分布如下：

由于后驗概率分布P(ω,α,σ2|t)通過積分不能夠直接算出，故分解為

通過式（12）可得出權(quán)向量ω的分布為

運(yùn)用RVM進(jìn)行訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí)，找出超參數(shù)α和σ2。在后驗分布概率基礎(chǔ)上找出最優(yōu)值αMP和，假設(shè)待測樣本為x*，則預(yù)測值t*分布如下：

其中，預(yù)測概率分布計算中，函數(shù)是兩個高斯正態(tài)分布相乘得到，所以關(guān)于t＊的預(yù)測分布也服從高斯正態(tài)分布，即：

2 靜壓管樁單樁極限承載力的PCA-RVM預(yù)測模型

2.1 確定數(shù)據(jù)樣本

靜壓管樁處于地下深層，單樁極限承載力影響因素選擇時經(jīng)常會遇到不確定性、隨機(jī)性等一系列問題。運(yùn)用PCA分析各影響因素之間的關(guān)系及因素與單樁極限承載力之間的相關(guān)性，采用降維的方法優(yōu)選最主要因素變量剔除無關(guān)因素，再對主要因素加以分析采用RVM建立預(yù)測模型是本文采用的思路。根據(jù)文獻(xiàn)［9］綜合選取樁側(cè)土的含水率w、塑性指數(shù)Ip、孔隙比e、壓縮模量Es、黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ、重度γ、發(fā)揮上覆土層側(cè)摩阻力的樁段長度L1、樁端進(jìn)入持力層長度L2、樁端持力層的標(biāo)貫數(shù)N、樁的長徑比L/D、靜壓管樁施工終壓力Pu、液性指數(shù)IL等13個常規(guī)數(shù)作為靜壓管樁單樁極限承載力Qu影響因素，隨機(jī)選取28組樣本進(jìn)行訓(xùn)練，剩余的6組作為預(yù)測樣本（表1）。對表1標(biāo)準(zhǔn)化處理后的34組數(shù)據(jù)的13個影響因素進(jìn)行主成分分析，得到相關(guān)系數(shù)矩陣如表2所示。

表1 靜壓管樁單樁極限承載力數(shù)據(jù)集Table 1 Data set of ultimate bearing capacity of static pressure pipe pile

表2 相關(guān)系數(shù)矩陣Table 2 Correlation coefficient matrix

由表2可知，影響單樁極限承載力的w、Ip、e、Es、c、φ、γ、L1、L2、L/D、Pu、IL等13個影響因素之間的相關(guān)性絕對值都在0到1之間，且前6個因素之間的關(guān)系比較密切。基于PCA基本原理可計算出每個因素具體影響狀況及貢獻(xiàn)率，如圖1所示。

圖1 各因素貢獻(xiàn)率及累積貢獻(xiàn)率Fig.1 Contribution rate and cumulative contribution rate of each factor

圖1 可知，樁側(cè)土的含水率w、塑性指數(shù)Ip及孔隙比e各自貢獻(xiàn)率最大，壓縮模量Es、黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ其次，其余因素貢獻(xiàn)率較少甚至可以忽略。前6個因素的累計貢獻(xiàn)率累積89.13%超過了85%，說明其包含了13個因素代表的信息量。建立基于單樁極限承載力Qu與w、Ip、e、Es、c、φ等6個因素關(guān)系的PCA-RVM的預(yù)測模型，新的6×34矩陣數(shù)據(jù)代替了原來的13×34矩陣數(shù)據(jù)，有效降低了模型維數(shù)，優(yōu)化了相關(guān)因素，提高了運(yùn)算效率和模型預(yù)測的準(zhǔn)確率。

2.2 單樁極限承載力預(yù)測模型

本文通過主成分分析法對文獻(xiàn)［9］選取的13個影響因素轉(zhuǎn)化成6個因素變量。依據(jù)PCARVM回歸預(yù)測模型的原理，建立了基于6個因素變量的PCA-RVM相關(guān)性模型，如圖2所示。

圖2 基于PCA-RVM的靜壓管樁單樁極限承載力模型Fig.2 Ultimate bearing capacity model of static pressure pipe pile based on PCA-RVM

2.3 方法實現(xiàn)步驟

（1）根據(jù)主成分分析后的主要因素變量數(shù)據(jù)，并對其進(jìn)行分析與整理，其中影響單樁極限承載力的6個因素變量為輸入，單樁極限承載力為輸出，先對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

式中：a i，b i為標(biāo)準(zhǔn)化后的值；x i為第i個影響因素。

（2）基于標(biāo)準(zhǔn)化處理后的6×34組數(shù)據(jù)，選取前28組數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，用于模型的擬合訓(xùn)練學(xué)習(xí)；剩余6組數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本，用于模型預(yù)測效果的檢測。

（3）建立PCA-RVM預(yù)測模型，以模型訓(xùn)練28組數(shù)據(jù)樣本預(yù)測值和實測值的誤差對比作為精度依據(jù)，通過調(diào)整迭代次數(shù)、超參數(shù)尋求符合精度要求的PCA-RVM模型參數(shù)。訓(xùn)練誤差曲線如圖3所示。

圖3 樣本訓(xùn)練結(jié)果Fig.3 Sample training results

（4）將PCA-RVM模型對6組樣本預(yù)測的結(jié)果與相應(yīng)實測值進(jìn)行多個指標(biāo)的對比分析（平均相對誤差、均方差等），驗證PCA-RVM預(yù)測模型的精確度及可靠性。

3 應(yīng)用實例

本文引用上述建立的PCA-RVM模型對工程實例進(jìn)行分析和預(yù)測，并在相同條件下與文獻(xiàn)［9］所提出的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在靜壓管樁單樁極限承載力中的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比。初始化程序，綜合考慮并選取具有較強(qiáng)的局部插值能力的高斯核函數(shù)作為PCA-RVM模型核函數(shù)。為了提高PCA-RVM預(yù)測模型的精度，分別選取高斯核寬度值0.3、0.4、0.5、0.6、0.7，并用不同高斯核寬度值預(yù)測結(jié)果的平均相對誤差進(jìn)行比較，如圖4所示。

由圖4可知，選取高斯核寬度σ=0.6時得到的平均相對誤差最小。故選用核寬度σ=0.6，初步擬定迭代次數(shù)為1 000?；谟?xùn)練樣本及選取的核寬度參數(shù)建立預(yù)測模型，對預(yù)測樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，如表3所示。

圖4 不同核寬度的平均相對誤差Fig.4 Mean relative errors of different kernel widths

由表3可知，在2種模型預(yù)測結(jié)果中可以得出，PCA-RVM模型預(yù)測結(jié)果最大相對誤差絕對值僅有1.16%；GABP模型最大相對誤差達(dá)到9.09%。為更直觀對比2種模型預(yù)測結(jié)果的分布特征，如圖5所示。

表3 不同方法的預(yù)測結(jié)果比較Table 3 Comparison of prediction results of different methods

圖5 不同方法預(yù)測結(jié)果Fig.5 Prediction results of different methods

由圖5可知，PCA-RVM模型每個預(yù)測值均比文獻(xiàn)［9］中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測值更接近真實值，PCA-RVM模型的預(yù)測精度更高；而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測值明顯偏離了實測值，尤其是29、31、34號誤差過大。為了進(jìn)一步對比2種預(yù)測模型的整體精度和離散狀況，分別計算平均相對誤差A(yù)RE和均方差FMSE，來評判預(yù)測結(jié)果的可信賴程度和離散程度，公式如下：

式中：n為樣本數(shù)量；y i為實際值；y'i為預(yù)測值。

直觀表示ARE和FMSE的具體數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 平均相對誤差及均方差Table 4

由表4可見，本文提出的PCA-RVM預(yù)測模型平均相對誤差為0.54%，均方差為20.02；BP預(yù)測模型平均相對誤差為6.20%，均方差為200.22。PCA-RVM模型均比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型更有優(yōu)勢。本文提出的PCA-RVM模型整體精度高、離散性小、可信度強(qiáng)。

4 結(jié) 論

（1）靜壓管樁單樁極限承載力影響因素眾多，極限承載力與影響因素之間存在著錯綜復(fù)雜的非線性映射關(guān)系，本文提出的PCA-RVM預(yù)測模型能夠準(zhǔn)確篩選出因素變量并建立相對應(yīng)的回歸預(yù)測模型，把復(fù)雜的問題簡單化，利于解決實際問題。

（2）實例表明，PCA-RVM模型預(yù)測極限承載力得出的結(jié)果均優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型。說明了PCA-RVM模型選取因素變量簡單準(zhǔn)確，參數(shù)優(yōu)化好、精確度高、離散度小、稀疏特性強(qiáng)，對學(xué)習(xí)少量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測的問題上具有明顯的優(yōu)勢。

（3）PCA-RVM模型在實際工程應(yīng)用中，學(xué)習(xí)資料的廣泛性利于篩選出貢獻(xiàn)率較大的影響因素，總結(jié)更完整的非線性關(guān)系，提高PCA-RVM模型的精確度與廣泛性；也可以結(jié)合靜壓管樁施工現(xiàn)場的實際狀況及工程師提出的寶貴意見合理調(diào)整參數(shù)和因素，可以極大改善PCA-RVM模型適用性。