幾種格林函數(shù)方法的形成及其應(yīng)用比較研究

雒向東，張 明，海 波，趙宇杰

(1.蘭州城市學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070；2.甘肅高師學(xué)報編輯部,甘肅 蘭州 730070)

1 基本理論

20世紀(jì)30年代中期，漢森在解決某些電磁問題時，首先引進(jìn)了三類矢量波函數(shù)，分別記為L，M，N，它們都滿足齊次亥姆霍茲矢量方程[1,2].如圖1所示在直角坐標(biāo)系中對矩形波導(dǎo)選取z軸單位矢量作為領(lǐng)示矢量c，矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁場矢量波函數(shù)有如下形式[3,4]：

圖1 矩形波導(dǎo)

(1)

(2)

(3)

(4)

2 磁型格林函數(shù)方法

(5)

(6)

定義域為:0≤x≤a,0≤y≤b，-∞≤z≤∞.

(7)

假設(shè)

(8)

用函數(shù)Nem′n′(-h′)作為(8)式的前標(biāo)積可得

(9)

(9)式左邊積分為

(10)

由于徑向R′位于體積V內(nèi)，(10)式中面積分等于零.函數(shù)?′×N′是對帶撇變量x′，y′，z′定義的.

(9)式右邊積分為

(11)

將(10)、(11)式代入(9)式得

(12)

解出系數(shù)

去掉本征值上的撇號，保留函數(shù)M′上的撇號，(12)式可改寫成

(13)

用類似方法，用Mom′n′(-h′)作(8)式的前標(biāo)積，同樣可推得

(14)

(15)

假設(shè)

(16)

將(15)和(16)代入(6)式得

(17)

(18)

(19)

上行符號對應(yīng)z>z′，下行符號對應(yīng)z

在z=z′處，對不連續(xù)磁型并矢格林函數(shù)有

(20)

(21)

(22)

利用單位階躍函數(shù)

得

(23)

利用

得

(24)

由(21)式此方程又可寫成

(25)

(26)

(26)式中上行符號適于z>z′，下行符號適于z

3 電型格林函數(shù)方法

(27)

(28)

Lomn(h)定義為

(29)

Sx=sinkxx，Cx=coskxx，Sy=sinkyy，Cy=coskyy.

Lomn(h)函數(shù)組本身以及與其他兩組函數(shù)正交關(guān)系如下[3]85-86:

(30)

(31)

(32)

可見Lomn(h)，Nomn(-h′)在空域內(nèi)不正交，但包括h域在內(nèi)時就正交，正交關(guān)系如下：

(33)

根據(jù)Ohm-Rayleigh方法，假設(shè)

(34)

用Lom′n′(-h′)對(34)式作前標(biāo)積可得

Lom′n′(-h′)·Memn(h)Bemn(h)+Lom′n′(-h′)·Nomn(h)Comn(h)]

(35)

同理用Mem′n′(-h′)、Nom′n′(-h′)對(34)式分別作前標(biāo)積可得

(36)

(37)

(38)

假定

(39)

把(38)和(39)式代入(27)式得

(40)

把Lo和No分成兩部分

Lo=Lot+Loz,No=Not+Noz

Lot和Not代表橫向分量，Loz和Noz代表縱向z分量.

(41)

(42)

(43)

(44)

可用Not，Lot分別表示Noz，Loz，對帶撇的函數(shù)可同樣的表示，有

利用這些關(guān)系(40)式可改寫為

進(jìn)一步可推得

(45)

從(38)式可得

(46)

(47)

計算可得

(48)

故得

(49)

(49)式與(26)式是一樣的.

4 位型格林函數(shù)方法

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

把(54)式代入(50)式得

(55)

Φ是電標(biāo)量位函數(shù)的矢量形式,引入規(guī)范條件[3]89

(56)

把(50)、(52)、(55)式代入(51)式可得

(57)

(58)

由于三組矢量波函數(shù)在空域和h域內(nèi)是正交性，故可確定(58)式中的三個系數(shù)A，B，C.

用Lom′n′(-h′)對(58)式作前標(biāo)積，等式左邊為

等式右邊為

最后可推得得

用Mem′n′(-h′)，Nom′n′(-h′)對(58)式分別作前標(biāo)積可得

(59)

假定

(60)

將(59)和(60)代入(57)式得

利用

?×Lo=0, ?·Lo=-kxkxSxSye-ihz-kykySySxe-ihz-h2SxSye-ihz, ??·Lo=-κ2Lomn(h),

??·No=0

代入(60)式得

(61)

對(56)式取梯度得

(62)

代入(55)式得

(63)

將(61)代入(63)式得

整理最后得

(64)

(64)式與(40)式相同.

5 磁型、電型和位型格林函數(shù)方法應(yīng)用比較