聲波導(dǎo)中空間類自彎曲波束構(gòu)建研究

郭威， 楊德森1,2,

(1.哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點實驗室， 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.海洋信息獲取與安全工業(yè)和信息化部重點實驗室 (哈爾濱工程大學(xué))， 黑龍江 哈爾濱 150001； 3.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

近幾十年來，自彎曲波束在波動物理學(xué)領(lǐng)域受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。Berry等[1]推得艾里波束為無勢場自由粒子滿足薛定諤方程的解析解，并且發(fā)現(xiàn)艾里波束在傳播時具有自發(fā)彎曲或橫截方向自加速的特性，其主峰彎曲軌跡為拋物線。由于無勢場自由粒子滿足的薛定諤方程與近軸近似下的亥姆霍茲方程(拋物方程)具有相同的形式，艾里波束在經(jīng)典物理學(xué)中同樣存在。但是由于艾里波束為能量無窮波束，不具備物理可實現(xiàn)性，故難以構(gòu)建并觀測。Siviloglou等[2-3]推導(dǎo)了有限能量艾里光束表達(dá)式并通過實驗觀察到了空間自彎曲傳播現(xiàn)象。有限能量艾里波束仍受到近軸條件的約束，限制了其進(jìn)一步發(fā)展。為了克服近軸條件的限制，學(xué)者們從無近似的亥姆霍茲方程入手，利用亥姆霍茲方程在不同坐標(biāo)系下的表現(xiàn)形式，理論推導(dǎo)并獲得了Bessel波束[4-5]、Weber波束[6-7]和Mathieu波束[8]。這些波束均為亥姆霍茲方程的解析解，并且在傳播時具有空間自彎曲特性，對應(yīng)主峰軌跡分別為圓、拋物線和橢圓。Greenfield等[9]進(jìn)一步理論研究了空間任意凸軌跡自彎曲波束。此外，自彎曲波束還被發(fā)現(xiàn)具有另一個至關(guān)重要的特性——自愈性[10]，即便主峰被吸收或截斷，上述自彎曲波束仍會在幾個波長后重構(gòu)主峰。自彎曲特性及自愈性使得自彎曲波束在目標(biāo)繞射、激光微操、彎曲等離子體細(xì)絲、強(qiáng)抗干擾光學(xué)顯微鏡以及光(聲)鑷子等領(lǐng)域具有重大應(yīng)用潛力[11]?，F(xiàn)有空間自彎曲波束依賴于解析手段，推得的波束軌跡受到頻率和尺度縮放因子等參數(shù)的嚴(yán)格約束，限制了自彎曲波束的應(yīng)用范圍。而在優(yōu)化聲傳播問題相關(guān)研究中，當(dāng)含有損散射體波導(dǎo)內(nèi)發(fā)生全透射時，聲波會繞過散射體，形成一定的空間波束[12]。

本文以此提出一種間接構(gòu)建聲波導(dǎo)內(nèi)自彎曲波束的方法。通過在波導(dǎo)中虛構(gòu)散射體，人為設(shè)計幾何參數(shù)，并求解全透射聲場，獲得近似以散射體邊界為軌跡的類自彎曲波束，包括類Bessel波束、類Weber波束以及類Mathieu波束。所得的類自彎曲波束具有自彎曲特性和自愈性，而且具有能量有限特性，具備物理可實現(xiàn)性。此外，基于同樣方法，本文構(gòu)建了聲道軸高匯聚波束以及淺海自彎曲波束。

1 含散射體波導(dǎo)最大聲透射問題

本文從含散射體波導(dǎo)最大聲透射問題入手闡述空間類自彎曲波束的構(gòu)建方法?？紤]含散射體波導(dǎo)(圖1)中的聲傳播問題。波導(dǎo)高度為h，上、下均為剛硬邊界。散射區(qū)域為(x,y)∈([0,L]×[0,h])，內(nèi)部包含多個可穿透液態(tài)散射體，以“O”表示。規(guī)定x<0和x>L區(qū)域內(nèi)介質(zhì)參數(shù)水平均勻。波導(dǎo)主介質(zhì)與散射體介質(zhì)密度和聲速分別記為ρ0、c0和ρ1、c1，其中c1可為復(fù)數(shù)，代表散射體內(nèi)存在損耗。任意簡諧入射波pi從x=0處輸入，經(jīng)過散射區(qū)域產(chǎn)生透射波和反射波，省略時間因子exp(-iωt)，總聲場滿足Helmholtz方程和邊界條件：

圖1 含液態(tài)散射體波導(dǎo)Fig.1 Configuration of a waveguide with liquid-like scatterers

(1)

(2)

式中：p為聲壓；ω為角頻率；c為聲速；ρ為密度；j=0,1分別對應(yīng)波導(dǎo)主介質(zhì)和散射體內(nèi)部；?Ω為所有散射體邊界的集合；n代表法線方向；Δ為拉普拉斯算符。

該波導(dǎo)中聲傳播問題可通過耦合簡正波理論求解[13-16]，基本思想是將聲壓表示為局部基函數(shù)加權(quán)求和。對于圖中的波導(dǎo)，局部基函數(shù)為剛硬波導(dǎo)內(nèi)本征函數(shù)：

(3)

聲壓可表示為：

(4)

式中：pn為聲壓在基函數(shù)上的展開系數(shù)；N為截斷數(shù)。本文考慮的最大聲透射問題在于分析并計算能流透射率的上界及對應(yīng)所需的入射波條件。能流定義為：

(5)

根據(jù)能流的定義式及本征函數(shù)的正交性，可獲得透射波和入射波的能流分別為：

(6)

式中：K(0)和K(L)分別為x=0,L處各階模態(tài)對應(yīng)水平波數(shù)構(gòu)成的對角陣；pi(0)和pt(L)分別為入射波和透射波的模態(tài)展開系數(shù)組成的向量。入射波和透射波的模態(tài)展開系數(shù)可由透射矩陣T連接：

pt(L)=Tpi(0)

(7)

文獻(xiàn)[13-14]通過引入導(dǎo)納矩陣和傳播算子構(gòu)建透射矩陣并求解含散射體波導(dǎo)內(nèi)的聲傳播問題。波導(dǎo)內(nèi)的能流最大透射率為[12]：

(8)

圖2為基于耦合簡正波理論[13]和優(yōu)化透射理論[12]計算得到的圖波導(dǎo)可實現(xiàn)的最大透射聲場結(jié)果。參數(shù)選取如下：波導(dǎo)高度設(shè)為h=1，無量綱頻率為：

k=ωh/c0=90.1π

(9)

10個圓形散射體隨機(jī)分布在散射區(qū)域([0,L=4.5h]×[0,h])內(nèi)，散射體半徑為r為h/16，彼此不重疊，散射區(qū)域最大距離L為4.5h。波導(dǎo)介質(zhì)和散射體密度的關(guān)系為ρ0/ρ1為0.3，聲速關(guān)系為：

c0/c1=1+0.1i

(10)

式中c0為實數(shù)。

2 類自彎曲波束

基于實現(xiàn)全透射的入射波可以繞過含吸收散射體傳播的特性，本節(jié)在聲波導(dǎo)中人為引入不同形狀的散射體，求解其中的最大聲透射聲場，從而構(gòu)建出空間類自彎曲波束。

選取波導(dǎo)高度h=1，無量綱波數(shù)k=90.1π，對應(yīng)可傳播模態(tài)數(shù)為91，截斷數(shù)選為N=130。散射體一邊緊貼上邊界，另一邊設(shè)定為彎曲軌跡，設(shè)為y=a(x)?？紤]到發(fā)生全透射時散射體對聲波無作用，在參數(shù)選取方面可直接令密度ρ0=ρ1。有損散射體要求Im(c0/c1)>0，此處設(shè)為：

c0/c1=1+0.1i

(11)

式中c0為實數(shù)。

考慮構(gòu)建波導(dǎo)中的類Bessel波束、類Weber波束和類Mathieu波束，散射體邊界a(x)分別設(shè)為：

(12)

對應(yīng)軌跡為圓、拋物線和橢圓。散射區(qū)域最大距離分別為：

(13)

在包含設(shè)定散射體的波導(dǎo)中，利用耦合簡正波理論[13]和優(yōu)化透射理論[12]分別計算最佳入射波和全透射聲場，結(jié)果分別如圖3所示。選取的入射波在傳播時緊貼散射體邊界，并發(fā)生空間自彎曲現(xiàn)象。將這些類自彎曲波束對應(yīng)的入射波直接輸入進(jìn)均勻波導(dǎo)中，結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，選取的入射波在均勻波導(dǎo)中傳播時依然保留了自彎曲特性，且由于波導(dǎo)高度有限，聲波自動滿足能量有限要求，具有物理可實現(xiàn)性。然而，從圖3中可以看到構(gòu)建出的類自彎曲波束軌跡與設(shè)定的散射體邊界并非完美契合，產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因主要是頻率限制了聲波彎曲傳播時的最大曲率。當(dāng)頻率升高時，自彎曲波束能夠與設(shè)定的軌跡更加匹配。若改變散射體的邊界參數(shù)，重復(fù)上述步驟，可構(gòu)建出多種參數(shù)下的自彎曲波束。因而本文所提出的構(gòu)建類自彎曲波束的方法，在一定程度上打破了原有精確的自彎曲波束軌跡受到的頻率和尺度縮放比例因子等參數(shù)的嚴(yán)格限制。使用本節(jié)中的方法，可通過改變散射體邊界參數(shù)對應(yīng)構(gòu)建不同的自彎曲波束，甚至進(jìn)一步地可構(gòu)建任意(凸)軌跡自彎曲波束。

圖4 類自彎曲波束在均勻波導(dǎo)中的重構(gòu)Fig.4 Recovered quasi-self-bending beams in the homogeneous waveguide

空間自彎曲波束的另一個重要特性為自愈性。為了驗證本方法構(gòu)建的類自彎曲波束是否具有自愈性，在均勻波導(dǎo)中放置一個全吸收的散射體，選擇合適的位置使得該散射體能夠全吸收波束主峰，接著將圖4中獲得的類自彎曲波束輸入至含全吸收散射體的波導(dǎo)中，結(jié)果如圖5所示。盡管自彎曲波束的主峰被散射體吸收，但是波束在傳播一定距離后，自動重構(gòu)了主峰并繼續(xù)保持自彎曲傳播特性。因此本文所構(gòu)建的類自彎曲波束在具備空間自發(fā)彎曲特性的基礎(chǔ)上，保留了自愈性，在目標(biāo)繞射、保密聲通信或穩(wěn)健聲通信方面具備一定的應(yīng)用潛力。

圖5 類自彎曲波束的自愈性驗證Fig.5 Verification of the self-healing property of quasi-self-bending beams

3 聲道軸高匯聚波束及淺海自彎曲波束

淺海波導(dǎo)是一類典型的聲波導(dǎo)，含聲速剖面是淺海波導(dǎo)的一大特點。在多種聲速變化情況中，含聲道軸聲速分布為較特殊的情況，原因在于聲道軸是實現(xiàn)聲波遠(yuǎn)距離傳播的天然“通道”。聲道軸出現(xiàn)在先減小后增大的聲速剖面中，為聲速“拐點”對應(yīng)的深度。本節(jié)尋找淺海波導(dǎo)中聲道軸附近可能存在的特殊波束。需要注意的是，對于淺海波導(dǎo)，海面為水-空氣絕對軟邊界，所以選取的基函數(shù)應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(14)

含聲速剖面非均勻波導(dǎo)中的聲傳播問題可參考文獻(xiàn)[15]。

考慮波導(dǎo)深度h=400 m，頻率選取為f為500 Hz，聲速表達(dá)式設(shè)為：

(15)

在此參數(shù)條件下，波導(dǎo)內(nèi)對應(yīng)存在285階可傳播模態(tài)。散射體位于聲道軸下方，一邊緊貼下邊界，另一邊界設(shè)為：

(16)

波導(dǎo)介質(zhì)與散射體介質(zhì)的密度比設(shè)為ρ1/ρ2=1，聲速比為c0/c1=1+0.1i，其中c0為實數(shù)。散射區(qū)域最大距離xmax=9h，截斷數(shù)N=400。對最大聲透射的分析和計算過程仍與前述一致，能流最大透射率的計算參照式(8)。對所有的全透射入射波及其對應(yīng)聲場進(jìn)行觀察，可以發(fā)現(xiàn)2組特殊的全透射解。

第1組如圖6(a)所示(內(nèi)插圖為聲速分布)，聲波在繞過散射體的同時形成了聲道軸高匯聚波束。從入射波形分析，該波束類似于高斯波束，其發(fā)散特性被聲速剖面抑制。根據(jù)射線理論，聲波會向聲速小的區(qū)域傳播，而聲道軸附近的類高斯波束又會向聲速大區(qū)域的發(fā)散，二者相互抵消，最終形成了聲道軸附近高匯聚波束。該波束是從無近似的亥姆霍茲方程推導(dǎo)計算得到，在傳播時，聲波的所有能量均被限制在聲道軸附近，且可以傳播至無窮遠(yuǎn)。更重要的是，該波束在傳播時與上、下邊界以及散射體均無任何接觸，因而即便去掉邊界和散射體，該波束依然為亥姆霍茲方程的解，相當(dāng)于該聲道軸高匯聚波束可在無散射體波導(dǎo)中存在。而且只要聲速剖面不變，在Pekeris波導(dǎo)、變截面波導(dǎo)等結(jié)構(gòu)中，該波束仍應(yīng)存在，故可應(yīng)用于超遠(yuǎn)距離通信。值得強(qiáng)調(diào)的是，該波束是通過二維亥姆霍茲方程推得，在考慮三維情況時，可能受波陣面擴(kuò)張影響，隨著傳播距離的增加會逐漸衰減，但并不改變其適用于超遠(yuǎn)距離通信的特性。

第2組全透射解為淺海波導(dǎo)自彎曲波束，如圖6(b)所示。該波束亦為類自彎曲波束，波束傳播時緊貼散射體邊界并繞過散射體，實現(xiàn)能流的全透射。由于散射體左右對稱，對應(yīng)產(chǎn)生的波束也具有了一定的空間對稱性。當(dāng)去掉散射體，并將對應(yīng)的入射波輸入至波導(dǎo)中，該波束將依然保留了原有的空間自彎曲特性。圖6(b)中波束的自彎曲傳播特性受到聲波本身的彎曲特性及聲速剖面共同影響。此外，若改變散射體的邊界形狀，會對應(yīng)得到不同(凸)軌跡的自彎曲波束。圖6(a)中的聲道軸高匯聚波束與散射體的幾何形狀無關(guān)，但圖6(b)中的自彎曲波束與散射體的邊界形狀密切相關(guān)。至此，利用本文中的方法，可以構(gòu)建均勻波導(dǎo)或淺海波導(dǎo)中的自彎曲波束，也為更多復(fù)雜波導(dǎo)中的自彎曲波束構(gòu)建提供可行性。

圖6 聲道軸高匯聚波束及淺海自彎曲波束對應(yīng)入射波及聲場Fig.6 Incident wave and wave field corresponding to the sound-channel-axis highly-focusing beam and the self-bending beam in shallow water

4 結(jié)論

1) 本文通過分析波導(dǎo)中能流最大透射問題，發(fā)現(xiàn)了含吸收散射體波導(dǎo)中聲波發(fā)生全透射時會繞過有損散射體傳播。利用這一現(xiàn)象，通過合理設(shè)計散射體邊界參數(shù)和物理參數(shù)，將邊界視為波束軌跡，并利用耦合簡正波理論計算全透射聲場，構(gòu)建了波導(dǎo)中的類Bessel、類Weber和類Mathieu波束。這些類自彎曲波束在一定程度上打破了自彎曲波束原有嚴(yán)格軌跡的限制，并保留了自彎曲特性和自愈性，能夠用于目標(biāo)繞射和聲保密通訊等。

2) 同樣構(gòu)建了聲道軸高聚焦波束。該波束能夠使能量高度匯聚在聲道軸附近，并且在傳播時與邊界無作用，適用于超遠(yuǎn)距離聲通信。通過合理設(shè)定散射體幾何形狀并分析其中的全透射聲場，可發(fā)掘更多特殊的空間波束。

3) 文中所述方法和所獲波束對更全方位地理解非均勻波導(dǎo)內(nèi)聲傳播和聲散射問題、為實現(xiàn)非均勻介質(zhì)內(nèi)大尺度目標(biāo)繞射及穩(wěn)健聲通信提供可行性。