抗野值自適應卡爾曼濾波在頻率標準上的應用

陶 翠, 周威威, 唐 超, 陳春芳, 陳 鋮

(上海無線電設備研究所,上海 201109)

0 引言

頻率標準是一種用來提供某個特殊頻點的穩(wěn)定頻率信號的裝置或儀器。頻率標準及其檢測技術的進步是高科技發(fā)展水平的重要標志。頻率標準的精確度直接影響導航定位裝置、電力故障診斷系統(tǒng)、通訊網(wǎng)同步設備以及軍用設備等的工作。所以對頻率標準基準的建立、改進和測量提出了越來越高的要求。

在受到溫度等環(huán)境因素干擾或出現(xiàn)內(nèi)部故障時,頻率標準輸出可能會產(chǎn)生頻率跳變[1],同時測量裝置的測量誤差可能會導致產(chǎn)生野值,最終影響頻率標準的可靠性,降低系統(tǒng)的整體性能。野值是在實際的工程應用中,由于工作環(huán)境、測量環(huán)境的影響,或者測量儀器的測量問題導致的個別數(shù)據(jù)出現(xiàn)的突發(fā)性誤差。所以當故障發(fā)生時,必須盡可能早地檢測到故障,避免對系統(tǒng)產(chǎn)生更大影響。

頻率標準跳變的檢測方法主要有最小二乘算法[2]、塊平均算法[3]、連續(xù)平均算法[3]、最大似然估計算法[4]、卡爾曼濾波算法[5-7]及動態(tài)阿倫方差算法[8-12]。其中卡爾曼濾波算法是一種無偏線性最小方差估計算法,屬于預測性濾波算法,采用遞歸運算,計算成本低?？柭鼮V波算法對頻率跳變具有相對更高的檢測概率,在進行濾波的同時可以基于內(nèi)部的分析來更新數(shù)據(jù),無需附加方程來檢測異常數(shù)據(jù)。但是在無法確定被研究對象的精確數(shù)學模型及噪聲精確統(tǒng)計特性時,卡爾曼濾波算法的濾波精度將大大降低,嚴重時甚至會發(fā)生濾波發(fā)散。同時,在容錯能力上,卡爾曼濾波算法相對較差。

由于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法對野值缺乏一定的容錯能力,本文中提出一種抗野值自適應卡爾曼濾波算法,并通過試驗來驗證算法在頻率跳變檢測以及抗野值方面的性能。

1 傳統(tǒng)卡爾曼濾波

1.1 濾波模型

通常使用頻率標準的平均頻率偏差進行故障檢測。頻率標準的平均頻率偏差主要由白色頻率噪聲(WFN)、隨機游走頻率噪聲(RWFN)及確定性慢頻率漂移[5]等組成。頻率標準的平均頻率偏差的遞推表達式為

式中:d(0)為標準頻率漂移;T為測量時間間隔;d0為線性漂移,通常為常量。

令y t(k)=yRW(k)+d(k),y t(k)代表一種頻率的緩慢變化趨勢,則頻率標準的平均頻率偏差表達式為

本文在建立平均頻率偏差的卡爾曼濾波模型時,只考慮WFN 及RWFN 這兩種噪聲類型,對于其他噪聲類型,可以用相似的特性代替,在公式中表示出來。

1.2 濾波算法

式中:ε(k)為k時刻平均頻率偏差的新息;K(k)為平均頻率偏差的卡爾曼濾波增益矩陣;R為v(k)的協(xié)方差矩陣;“-1”表示矩陣求逆;I為單位矩陣。其中先驗平均頻率偏差矩陣(k)由式(8)計算得到,頻率偏差的先驗協(xié)方差矩陣(k)由式(9)計算得到。

2 頻率跳變檢測方法

2.1 抗野值自適應卡爾曼濾波

系統(tǒng)存在野值時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波對系統(tǒng)狀態(tài)預測的修正將會出現(xiàn)一定的偏差,使得濾波的結果發(fā)生偏移,甚至發(fā)散。相比于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法,抗野值自適應卡爾曼濾波算法通過新息序列加權的方式來消除野值的影響,可以有效防止濾波發(fā)散,對新息進行加權后的濾波更加接近真實狀態(tài)。抗野值自適應卡爾曼濾波的狀態(tài)更新方程[13-14]為

式中:Φ(τ(k))是抗野值修正因子,稱為壓縮影響函數(shù),通常為光滑函數(shù);C(k)為設定的門限值;λ(k)為K(k)D(k)(K(k))T矩陣的最大特征值;D(k)為權矩陣。當Φ(τ(k))=1 時,上述濾波為傳統(tǒng)卡爾曼濾波;而Φ(τ(k))不為1時,則為抗野值自適應卡爾曼濾波。若系統(tǒng)出現(xiàn)野值,則τ(k)增大,根據(jù)式(15),相應的Φ(τ(k))減小,則野值在系統(tǒng)中的影響權重降低,野值對系統(tǒng)輸出的影響減小。

C(k)的計算公式為

2.2 頻率跳變檢測方法的實施

采用抗野值自適應卡爾曼濾波算法進行頻率跳變檢測的流程如圖1所示。

圖1 抗野值自適應卡爾曼濾波算法的檢測流程

選擇最優(yōu)累計數(shù)N,構建檢測流程中的檢驗統(tǒng)計量的預測殘差。

根據(jù)本文提出的抗野值自適應卡爾曼濾波算法,計算得到k時刻的N步預測后驗平均頻率偏差矩陣

將每個檢驗統(tǒng)計量與檢測閾值進行比較,大于閾值則判定為頻率標準發(fā)生故障,小于閾值則判定頻率標準正常運行。

3 仿真試驗驗證

以銣頻率標準PRS10為例,利用銣頻率標準的測量數(shù)據(jù),對抗野值自適應卡爾曼濾波算法和傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法檢測頻率跳變的性能進行仿真對比驗證。

3.1 抗野值能力

通過仿真試驗對抗野值自適應卡爾曼濾波的抗野值能力進行對比驗證。

圖2為銣頻率標準PRS10的輸出原始相對頻率偏差數(shù)據(jù)時域曲線,此相對頻率偏差數(shù)據(jù)秒穩(wěn)可達5×10-12量級。

圖2 銣頻率標準PRS10的輸出相對頻率偏差數(shù)據(jù)

一般情況下,頻率標準不會輕易出現(xiàn)故障,為了驗證新算法的抗野值能力,需在頻率標準輸出數(shù)據(jù)中人為增加野值。對頻率標準輸出的相對頻差數(shù)據(jù)在時刻t=1.1×104s處增加一個大小為5×10-12的值,當作野值?？挂爸底赃m應卡爾曼濾波算法及傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法對相對頻率偏差數(shù)據(jù)的濾波結果如圖3和圖4所示?？梢钥闯?抗野值自適應卡爾曼濾波后的最大相對頻率偏差約為0.48×10-12,傳統(tǒng)卡爾曼濾波后的最大相對頻率偏差約為1×10-12左右,抗野值自適應卡爾曼濾波的野值抑制能力明顯強于傳統(tǒng)卡爾曼濾波。

圖3 抗野值自適應卡爾曼濾波算法對野值的抑制效果圖

圖4 傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法對野值的抑制效果圖

3.2 檢測概率和虛警率

通過檢測概率及誤檢率仿真試驗,驗證抗野值自適應卡爾曼濾波算法相較于傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的優(yōu)勢。

圖5 頻率跳變的累積和檢測概率之間的關系

可以看出,單個曲線的累積數(shù)會隨著頻率跳變檢測概率的升高而增大。當累積數(shù)為11時,抗野值自適應卡爾曼濾波的檢測概率為0.99,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率僅為0.15左右;當累積數(shù)達到24 時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波檢測概率才達到0.99。也就是說,傳統(tǒng)卡爾曼濾波如果要達到與抗野值自適應卡爾曼濾波相同的頻率跳變檢測概率,就需要更大的累積數(shù)。說明抗野值自適應卡爾曼濾波性能相比傳統(tǒng)卡爾曼濾波有了一定的提高。本文選擇累積數(shù)為11來進行算法驗證。

由于銣頻率標準的頻率漂移非常緩慢,在較短的采樣時間內(nèi),阿倫方差顯示的白色頻率噪聲分量、隨機游走白色頻率噪聲分量和漂移分量都可以忽略不計。本文主要針對頻率跳變(即銣頻率標準頻率偏差均值的突然變化)進行詳細的討論。仿真用數(shù)據(jù)的頻率偏差在t=0.9×104s時刻發(fā)生頻率跳變,相對頻率偏差跳變值為2.5×10-12。傳統(tǒng)卡爾曼濾波及抗野值自適應卡爾曼濾波得到的狀態(tài)估計結果分別如圖6和圖7所示。

圖6 傳統(tǒng)卡爾曼濾波相對頻率偏差的估計

圖7 抗野值自適應卡爾曼濾波相對頻率偏差的估計

可知,抗野值自適應卡爾曼濾波通過自適應調整,更新狀態(tài)矩陣,使濾波精度得到一定的提高。為了驗證抗野值自適應卡爾曼濾波在檢測概率方面的性能優(yōu)勢,在固定誤檢率情況下對兩種算法進行仿真。當誤檢率為10-3時,兩種算法檢測概率和頻率跳變的關系如圖8 所示?？梢钥闯?相對頻率跳變相同情況下,抗野值自適應卡爾曼濾波的檢測概率高于傳統(tǒng)卡爾曼濾波,當抗野值自適應卡爾曼濾波檢測概率到達0.99時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率只有0.2左右。

圖8 相對頻率跳變大小和檢測概率的關系曲線

在相對頻率跳變相同情況下,分析兩種濾波方法檢測概率和誤檢率之間的關系。使用銣頻率標準的仿真數(shù)據(jù)進行模擬仿真,在累積數(shù)為11,相對頻率跳變分別為1.5×10-12,2×10-12,2.5×10-12時,仿真結果如圖9 所示。圖中用ΔfK表示卡爾曼濾波的相對頻率跳變,用ΔfA表示抗野值自適應卡爾曼濾波的相對頻率跳變。兩種方法的檢測概率都隨著誤檢率的增大而增大,當相對頻率跳變?yōu)?.5×10-12,誤檢率為6×10-4時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率只有0.019,抗野值自適應卡爾曼濾波的檢測概率為0.370。當相對頻率跳變?yōu)?×10-12,誤檢率為2×10-4時,傳統(tǒng)卡爾曼濾波的檢測概率只有0.020,抗野值自適應卡爾曼濾波的檢測概率為0.590。當兩種濾波的檢測概率相同時,抗野值自適應卡爾曼濾波的誤檢率明顯低于傳統(tǒng)卡爾曼濾波。

圖9 不同頻率跳變下兩種濾波算法的檢測概率與誤檢率曲線

4 結論

本文針對頻率標準的頻率跳變及野值的檢測提出了一種新型抗野值自適應卡爾曼濾波算法。該濾波算法充分考慮了頻率標準模型的不精確性及噪聲統(tǒng)計特性的不確定性,利用測量數(shù)據(jù)信息,進行實時在線估計并修正模型參數(shù),以提高濾波精度,得到系統(tǒng)狀態(tài)變量的最優(yōu)估計值。當測量數(shù)據(jù)中不包含野值時,濾波算法能夠充分利用有效的新息,對量測噪聲進行在線估計;當測量數(shù)據(jù)中包含野值時,濾波算法能夠克服其不利影響,將其控制在某個預先給定的范圍內(nèi),以確保濾波估計結果盡可能地接近系統(tǒng)的真實狀態(tài)。

仿真結果表明,抗野值自適應卡爾曼濾波對野值的抑制作用明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波。該方法在工業(yè)應用中不僅可以及時檢測頻率跳變,同時能夠在一定程度上減小測量誤差。