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    加型Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法

    2021-09-07 00:47:50周禮剛
    關(guān)鍵詞:模糊集決策者直覺

    包 順,周禮剛

    安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥230601

    對(duì)于復(fù)雜的決策問題,需要評(píng)價(jià)的因素較多,決策者很難對(duì)方案的各個(gè)屬性提供合理的評(píng)價(jià)值,基于層次分析法的思想,偏好關(guān)系逐漸成為解決多屬性決策問題的重要工具,近年來得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。Xu和Chen[1]拓展了加型一致和乘型一致的模糊偏好關(guān)系,提出加型一致和乘型一致的區(qū)間模糊偏好關(guān)系;Chen和Zhou[2]通過定義區(qū)間模糊偏好關(guān)系的期望模糊偏好關(guān)系,提出了區(qū)間模糊偏好關(guān)系的一致性指標(biāo);Xu[3]定義了基于直覺模糊集的乘型一致直覺模糊偏好關(guān)系,并提出了一種新的群決策方法;Gong等[4]定義了加型一致性直覺模糊偏好關(guān)系,同時(shí)給出了求解排序權(quán)重的目標(biāo)優(yōu)化模型。自Pythagorean模糊集提出以來,對(duì)于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的研究尤為迫切??紤]Pythagorean模糊集的適用性,楊藝等[5]定義了Pythagorean模糊偏好關(guān)系,Pythagorean模糊加型一致性偏好關(guān)系以及標(biāo)準(zhǔn)化的Pythagorean模糊權(quán)重向量,并提出了基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的優(yōu)化模型;何霞等[6]定義了乘型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系,并提出了乘型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的目標(biāo)優(yōu)化模型。

    本文考慮Pythagorean模糊偏好關(guān)系在解決多屬性決策問題的有效性,根據(jù)Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的性質(zhì),建立了一種新的Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性判斷和調(diào)整算法,并將其應(yīng)用在Pythagorean模糊多屬性決策問題中,驗(yàn)證了其有效性。

    1 預(yù)備知識(shí)

    1.1 Pythagorean模糊集

    作為直覺模糊集的一種推廣,Yager等[7-8]于2013年提出了Pythagorean模糊集的概念。

    定義1[8]設(shè)X是給定的論域,稱

    為X上的Pythagorean模糊集,其中,μP(x)和vP(x)分別表示x屬于P的隸屬度與非隸屬度,其中0≤μP(x)≤1,0≤vP(x)≤1,0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1,x∈X。此外,表示x屬于P的猶豫度。

    易知,直覺模糊集與Pythagorean模糊集均使用隸屬度與非隸屬度構(gòu)成的二元組來表示元素可能或不可能屬于某一集合的程度,所以它們的出發(fā)點(diǎn)是一樣的。但是,二者對(duì)于隸屬度與非隸屬度的約束條件不同。直覺模糊集的隸屬度與非隸屬度滿足0≤μI(x)+vI(x)≤1,而對(duì)于Pythagorean模糊集,其隸屬度與非隸屬度滿足0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1。若一個(gè)模糊數(shù)是直覺模糊數(shù),則其必為Pythagorean模糊數(shù),但反之卻不成立,即0≤μI(x)+vI(x)≤1一定能得到0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1,反之卻不能成立,因此Pythagorean模糊集的取值空間較大,具備更強(qiáng)的描述模糊現(xiàn)象的能力。

    為方便運(yùn)算,Zhang和Xu[9]稱P=(μP,vP)為Pythagorean模糊數(shù)。

    定義2[8-9]設(shè)β1=(μβ1,vβ1),β2=(μβ2,vβ2)和β=(μβ,vβ)為三個(gè)Pythagorean模糊數(shù),λ>0,其基本運(yùn)算法則定義如下:

    定義3[9]設(shè)p=(μp,vp)為任意的Pythagorean模糊數(shù),則稱

    為p的得分函數(shù)。其中s(p)∈[-1,1]。

    定義4[10]設(shè)p=(μp,vp)為任意的Pythagorean模糊數(shù),則稱

    為p的精度函數(shù)。其中a(p)∈[0,1]。

    根據(jù)Pythagorean模糊數(shù)的得分函數(shù)和精度函數(shù),提出了Pythagorean模糊數(shù)的大小比較方法[9-10]。設(shè)任意兩個(gè)Pythagorean模糊數(shù)分別為p1和p2,

    (1)若s(p1)>s(p2),則p1?p2。

    (2)若s(p1)=s(p2),

    ①若a(p1)>a(p2),則p1?p2;

    ②若a(p1)=a(p2),則p1~p2。

    定義5[7-8]設(shè)pi=(μi,vi)(i=1,2,…,n)為一組Pythagorean模糊數(shù)且pi(i=1,2,…,n)對(duì)應(yīng)的權(quán)重信息為ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,其中,則稱

    為Pythagorean模糊加權(quán)平均(PFWA)算子。

    1.2 Pythagorean模糊偏好關(guān)系及其加型一致性

    定義6[5]設(shè)X={x1,x2,…,xn}為給定的一組方案集,則稱

    為X上的Pythagorean模糊偏好關(guān)系,其中pij=(μij,vij)為Pythagorean模糊數(shù),由隸屬度μij與非隸屬度vij組成,μij表示xi優(yōu)于xj的程度,vij表示xi劣于xj的程度。且對(duì)任意的i,j=1,2,…,n,有

    定義7Pythagorean模糊偏好關(guān)系P=(pij)n×n為有序一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意i,s,t=1,2,…,n,有:

    例1給定一組方案集X={x1,x2,x3,x4},決策者構(gòu)造Pythagorean模糊偏好關(guān)系矩陣如下:

    顯然,對(duì)任意i,s,t=1,2,…,n,Pythagorean模糊偏好關(guān)系矩陣P滿足有序一致性。即當(dāng)i∈{1,2,…,n}時(shí),總有pi2≥pi1,pi3≥pi2,pi4≥pi3,則各方案的排序結(jié)果為x4?x3?x2?x1。

    定義8[5]設(shè)P=(pij)n×n為任意Pythagorean模糊偏好關(guān)系,其中pij=(μij,vij),若其滿足加型一致性,則滿足如下加法傳遞性:

    其中,i,j,k=1,2,…,n。因?yàn)棣蘨j=vji,μji=vij,則有:

    因此,有:

    定 理1[5]設(shè)為Pythagorean模糊偏好關(guān)系,若存在一組標(biāo)準(zhǔn)的Pythagorean模糊權(quán)重向量,滿足:

    其中,對(duì)于任意i,j=1,2,…,n,都有

    2 Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性判別模型

    在決策問題中,只有當(dāng)決策者給出的偏好關(guān)系滿足一致性的時(shí)候,才能得到更加可靠合理的決策結(jié)果。但是,在實(shí)際問題中,決策者很難構(gòu)造出一致性的偏好關(guān)系矩陣?;诖耍鶕?jù)決策者給出的原始偏好關(guān)系,本章通過引入偏差變量,在保證原始偏好關(guān)系與加型一致性偏好關(guān)系之間的偏差盡可能小的前提下,提出了一個(gè)構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的目標(biāo)規(guī)劃模型。偏差變量可以表示為:

    可以看出,絕對(duì)偏差越小,原始偏好關(guān)系的一致性越高。因此,可以建立如下目標(biāo)規(guī)劃模型計(jì)算Pythagorean模糊權(quán)重信息:

    因此,模型(M1)可以簡(jiǎn)化為模型(M2):

    定理2Pythagorean模糊偏好關(guān)系P=(pij)n×n是加型一致性偏好關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)模型(M2)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)J?=0。

    證明若P=(pij)n×n是加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系,則隸屬度與非隸屬度的偏差都應(yīng)該為0,即J?=0。若J?=0,即,因?yàn)閷?duì)于任意i,j=1,2,…,n,有所以,則P=(pij)n×n為加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系,得證。

    對(duì)模型(M2)進(jìn)行求解,得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值J?和相應(yīng)的Pythagorean模糊權(quán)重向量。若J?=0,則決策者給出的Pythagorean模糊偏好關(guān)系P=(pij)n×n是加型一致的,可供決策者直接進(jìn)行決策;若J?≠0,則Pythagorean模糊偏好關(guān)系P不具有加型一致性,那么就要考慮P是否具有可接受一致性。若P具有可接受一致性,那么下一步的決策可繼續(xù)進(jìn)行;若P不具有可接受一致性,將利用加型一致性調(diào)整算法對(duì)其進(jìn)行調(diào)整,直到達(dá)到可接受的一致性為止。一旦結(jié)果符合決策者的要求,迭代過程結(jié)束;否則,決策者應(yīng)該重新評(píng)估備選方案,以構(gòu)建一致性程度更高Pythagorean模糊偏好關(guān)系,或者,當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到指定的最大次數(shù)時(shí),迭代過程停|止。下面將介紹Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的調(diào)整模型。

    3 基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法

    本章首先基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的距離公式定義了Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性指數(shù),用于衡量可接受加型一致性程度;其次,針對(duì)不滿足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系,提出了加型一致性調(diào)整算法,給出了調(diào)整步驟。最后,提出了一種基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策步驟。

    3.1 Pythagorean模糊偏好關(guān)系加性一致性檢驗(yàn)方法

    定義9設(shè)是兩個(gè)Pythagorean模糊偏好關(guān)系,則稱

    為Pythagorean模糊偏好關(guān)系之間的距離測(cè)度,其中i,j=1,2,…,n。

    為了衡量Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性程度,本節(jié)基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的距離公式,定義了其加型一致性指數(shù)。

    定義10設(shè)為Pythagorean模 糊 偏 好 關(guān) 系 ,為 加 型 一 致 性Pythagorean模糊偏好關(guān)系,則稱

    為Pythagorean模糊偏好關(guān)系P的一致性指數(shù),其中i,j=1,2,…,n。

    定理3設(shè)P=(pij)n×n為Pythagorean模糊偏好關(guān)系,為加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系,CI(P)是P的一致性指數(shù),則

    (1)0≤CI(P)≤1;

    (2)CI(P)=0當(dāng)且僅當(dāng)P=P。

    證明根據(jù)定義10,顯然成立。

    根據(jù)定理3,CI(P)的值越小,P的一致性越高;特別地,當(dāng)CI(P)=0時(shí),P為加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系。

    在實(shí)際的決策問題中,由于客觀事物的不確定性和決策者知識(shí)水平的局限性等,決策者很難構(gòu)造出一個(gè)滿足加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系。針對(duì)這種情況,本文定義了可接受的加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系,使其在滿足加型一致性的基礎(chǔ)上具有一定的可接受偏差。

    定義11設(shè)P=(pij)n×n為Pythagorean模糊偏好關(guān)系,若:

    則稱P為可接受加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系。其中,為一致性閾值。

    3.2 Pythagorean模糊偏好關(guān)系加性一致性調(diào)整算法

    決策者在表達(dá)自己的偏好信息時(shí),為了避免出現(xiàn)自相矛盾,需要考慮偏好信息的一致性。由于客觀事物的復(fù)雜性以及人類認(rèn)知水平的局限性,決策者在對(duì)事物評(píng)價(jià)并給出的偏好關(guān)系可能會(huì)不滿足可接受一致性,即為了獲得更加科學(xué)合理的結(jié)果,若決策者提供的Pythagorean模糊偏好關(guān)系不具有可接受一致性,則需要調(diào)整其一致性至可接受的范圍。基于此,本文提出了可接受一致性調(diào)整算法,以滿足決策過程中的一致性要求。

    基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性調(diào)整算法可概括如下:

    輸入:原始Pythagorean模糊偏好關(guān)系矩陣P=(pij)n×n,原始Pythagorean模糊偏好關(guān)系與加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系之間的權(quán)衡參數(shù)σ∈(0,1),最大迭代次數(shù)t?,一致性閾值

    步驟1令計(jì)算模型(M2),根據(jù)公式(9)構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系

    i=1,2,…,t+1。

    步驟2根據(jù)公式(13)計(jì)算第t次迭代的Pythagorean模糊偏好關(guān)系P(t)的一致性指數(shù)CI(P(t)),即:

    步驟3若,進(jìn)行步驟5;否則,進(jìn)行步驟4。

    步驟4令,這里:

    令t=t+1,進(jìn)行步驟2。

    步驟5令(t),輸出調(diào)整后的Pythagorean模糊偏好關(guān)系Pˉ及其加型一致性指數(shù)CI(Pˉ)。

    步驟6結(jié)束。

    定理4若Pythagorean模糊偏好關(guān)系滿足:

    則CI(P(t+1))≤CI(P(t))。

    證明

    3.3 基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法

    針對(duì)特定的決策問題,本節(jié)提出了一種新的基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法,下面給出具體步驟。

    步驟1決策者基于決策信息構(gòu)造Pythagorean模糊偏好關(guān)系決策矩陣P=(pij)n×n=(μij,vij)n×n,確定一致性閾值。

    步驟2若P滿足順序一致性,即pis≥pit,其中i,s,t=1,2,…,n,進(jìn)行步驟9;否則,進(jìn)行步驟3。

    步驟3計(jì)算模型(M2),得到Pythagorean模糊權(quán)重向量:

    步驟4根據(jù)公式(9)構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系

    步驟5根據(jù)公式(13)計(jì)算P的加型一致性指數(shù)CI(P),若,進(jìn)行步驟7;否則,進(jìn)行步驟6。

    步驟6根據(jù)Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性調(diào)整算法調(diào)整不滿足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系,得到滿足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系,進(jìn)行步驟7。

    步驟7取,利用公式(4)集結(jié)Pythagorean模糊偏好關(guān)系Pˉ中的元素為一組Pythagorean模糊數(shù)

    步驟8利用公式(2)分別計(jì)算的得分函數(shù)值,并根據(jù)大小對(duì)各方案進(jìn)行排序,得到排序結(jié)果。

    步驟9結(jié)束。

    4 基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的智能家居系統(tǒng)評(píng)估模型

    4.1 案例分析

    隨著大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)、云計(jì)算、移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)等技術(shù)的深入發(fā)展,智能產(chǎn)業(yè)鏈正從智能硬件等熱點(diǎn)領(lǐng)域向智能服務(wù)、智能城市、智能生活領(lǐng)域拓展。其中,智能家居主要考慮用戶基于場(chǎng)景的交互體驗(yàn),為用戶提供像虛擬管家一樣緊密結(jié)合的服務(wù),近年來受到廣泛的關(guān)注。為了迎合大眾需求,某投資公司擬從語音控制、智能場(chǎng)景、個(gè)性化等方面對(duì){x1,x2,x3,x4}四種不同品牌的智能家居系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)價(jià),選出最優(yōu)的智能家居系統(tǒng)進(jìn)行投資。通過成對(duì)比較xi和xj( )i,j=1,2,3,4,構(gòu)造Pythagorean模糊偏好關(guān)系P(0)如下:

    步驟1令最大迭代次數(shù)t?=10。

    步驟2根據(jù)模型(M2),得到J=1.68>0,因此Pythagorean模糊偏好關(guān)系P不滿足加型一致性,同時(shí)得到Pythagorean模糊權(quán)重向量:

    根據(jù)公式(9),構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系如下:

    步驟3根據(jù)式(13)計(jì)算加型一致性指數(shù)CI(P(0))=0.212 1。通過比較發(fā)現(xiàn),因此P(0)不具備可接受加型一致性,進(jìn)行步驟4。

    步驟4利用一致性調(diào)整算法對(duì)P(0)進(jìn)行一致性調(diào)整。當(dāng)t=3時(shí),發(fā)現(xiàn)CI(P(3))=0.053 0,即因此P(3)具有可接受一致性,令Pˉ=P(3),有:

    步驟5根據(jù)公式(4)集結(jié)可接受一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系

    步驟6取ωi=0.25(i=1,2,3,4),根據(jù)公式(2)計(jì)算比較各方案得分函數(shù)的大小,得到

    步驟7各方案的排序結(jié)果為x2?x3?x1?x4。

    4.2 比較分析

    本節(jié)將Pythagorean模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為直覺模糊數(shù),在直覺模糊環(huán)境下對(duì)偏好關(guān)系進(jìn)行分析。首先,將Pythagorean模糊偏好關(guān)系P(0)轉(zhuǎn)化為直覺模糊偏好關(guān)系P*:

    根據(jù)文獻(xiàn)[12]提出的方法處理P*,得到目標(biāo)函數(shù)值J*=1.850 8,最優(yōu)直覺模糊權(quán)重向量為:

    根據(jù)公式(2),分別計(jì)算出各方案的得分函數(shù)為:

    通過數(shù)值算例和對(duì)比研究,總結(jié)本章基于加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系在決策問題中的特點(diǎn)如下:

    (1)兩種方法的出發(fā)點(diǎn)不同。由于Pythagorean模糊數(shù)在對(duì)實(shí)際決策問題的不確定性建模方面具有比直覺模糊數(shù)更強(qiáng)的能力,因此本章提出的基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的決策模型具有更加廣泛的應(yīng)用。

    (2)兩種方法的具體實(shí)現(xiàn)步驟不同。文獻(xiàn)[12]建立了一個(gè)目標(biāo)規(guī)劃模型,通過求解該模型得到直覺模糊權(quán)重向量,然后選擇最佳方案。本章提出的決策方法,首先建立了一個(gè)目標(biāo)規(guī)劃模型,通過求解該模型得到Pythagorean直覺模糊權(quán)重向量,對(duì)于不滿足一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系,本章通過定義一致性指數(shù)來衡量其可接受一致性,對(duì)于不滿足可接受一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系,本章提出了一種新的一致性調(diào)整算法,決策過程更加細(xì)膩,決策結(jié)果更加準(zhǔn)確合理。

    (3)本文提出的加型一致性調(diào)整算法可以改善Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性,可以廣泛應(yīng)用在多屬性決策問題中。通過求解加型一致性調(diào)整算法,還可以為決策者在決策前提供參考。

    5 結(jié)論與展望

    Pythagorean模糊偏好關(guān)系是一種新型的模糊偏好關(guān)系,它不僅拓寬了偏好關(guān)系的適用范圍,而且能更充分地表達(dá)決策者的觀點(diǎn),具有廣闊的發(fā)展前景。本章主要討論了Pythagorean模糊偏好關(guān)系在多屬性決策中的應(yīng)用。首先,基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系及其加型一致性的定義,構(gòu)造了Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性判別模型;其次,針對(duì)某些不滿足加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系,定義了衡量Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性程度的一致性指標(biāo),并基于此提出了一種提高Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的算法;最后,給出了基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的多屬性決策方法,將其應(yīng)用在智能家居系統(tǒng)評(píng)估的問題中,并通過比較分析驗(yàn)證了本章提出方法的有效性和合理性。在未來的研究中,擬考慮偏好關(guān)系問題在Pythagorean猶豫模糊[13-14]環(huán)境下應(yīng)用以及Pythagorean模糊偏好關(guān)系與新型決策方法[15]的結(jié)合。

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