基于經(jīng)度條帶劃分的星座對地覆蓋問題的快速求解算法

宋志明, 劉海棟, 陳曉宇, 王茂才

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 計算機學(xué)院, 湖北 武漢 430074; 2.智能地學(xué)信息處理湖北省重點實驗室, 湖北 武漢 430078)

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,星座應(yīng)用技術(shù)在移動通信、氣象預(yù)報、遙感探測、軍事偵察、資源勘探、災(zāi)害監(jiān)測、導(dǎo)航定位等多個領(lǐng)域發(fā)揮越來越重要的作用。在星座應(yīng)用領(lǐng)域中,對地服務(wù)是一個非常重要的組成部分。星座的對地服務(wù),是基于星座中衛(wèi)星攜帶的各種樣式與功能的星載傳感器對地面進行持續(xù)或者間斷性地服務(wù)來實現(xiàn)的。將星座對地服務(wù)中涉及到的問題統(tǒng)稱為星座對地覆蓋問題。目前,已經(jīng)有很多學(xué)者針對星座對地覆蓋這一復(fù)雜問題進行了相關(guān)研究。

網(wǎng)格點法是求解星座對地覆蓋問題的一種經(jīng)典方法。該方法是由Morrison在1973年提出來的[1],而后,有很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進行了改進[2-4]。網(wǎng)格點法對幾乎所有類型覆蓋問題都能進行求解,且可以通過增加網(wǎng)格點的數(shù)目得到更高精度的結(jié)果,但當結(jié)果精度要求較高時,算法的效率會大幅度下降。覆蓋帶法也是衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展早期常用的一種方法[5-6],而后在很多覆蓋問題求解中被廣泛應(yīng)用[7-8]。該方法將衛(wèi)星在一個時段內(nèi)掃過的范圍近似為一個覆蓋帶,從而分析星座對地覆蓋性能。三角網(wǎng)剖分法是以衛(wèi)星瞬時位置為節(jié)點,將地球表面劃分為一組的球面三角形,從而進行性能分析的一種方法[9]。但該方法只能定性判斷星座對全球是否能完全覆蓋而無法定量計算覆蓋率。針對于三角網(wǎng)剖分法的缺點,陳曉宇等[10-12]提出了球面多邊形剖分法，可以對結(jié)果進行定量計算,可對區(qū)域目標進行求解。特征區(qū)域分析法是一種基于星座中衛(wèi)星星下點軌跡,對二維球面進行劃分得到一系列區(qū)域,進而得到對整個區(qū)域的覆蓋特性的方法[13-14]。該算法求解速度極快,但只能對Walker星座的連續(xù)性覆蓋問題進行分析。

有部分專家學(xué)者,將覆蓋問題等價轉(zhuǎn)換或近似轉(zhuǎn)換為某種數(shù)理過程,用數(shù)理過程中的相應(yīng)數(shù)理特性來對星座覆蓋問題的結(jié)果進行間接表征。文獻[15-16]通過球面圓的基本幾何特性,得到覆蓋過程的一些特征點或特征弧段,通過對這些特征幾何體的性能來表征對整個區(qū)域的覆蓋性能。文獻[17]將星座對地覆蓋問題描述為一個蒙特卡羅過程,通過抽樣理論,得到基于蒙特卡羅方法的覆蓋率。文獻[18-19]使用概率統(tǒng)計模型對其進行分析,得到概率意義下的覆蓋特性隨時間與空間的變化規(guī)律;文獻[20-21]將覆蓋問題轉(zhuǎn)化為一個衛(wèi)星和目標位置的函數(shù),通過數(shù)值算法求函數(shù)零點,從而得到覆蓋問題的相關(guān)特性;文獻[22]將覆蓋問題轉(zhuǎn)化為一個微分方程,通過數(shù)值積分方法對函數(shù)進行求解;文獻[23]中,采用數(shù)值擬合方法對覆蓋特性進行擬合,得到星座對地覆蓋問題的擬合函數(shù);文獻[24]通過球面幾何關(guān)系,提出了對全球完全覆蓋的判定定理;文獻[25]將衛(wèi)星在一段時間內(nèi)的覆蓋范圍看作曲線族,求解曲線族的包絡(luò)線,并得到包絡(luò)線與覆蓋范圍邊界之間的關(guān)聯(lián)。文獻[26]提出了一種基于變換群的性能分析方法,采用晶體點群理論描述星座。文獻[27-28]則采用矩陣對Flower星座對地覆蓋問題進行了描述,將星座的空間構(gòu)型同構(gòu)為一個二階或三階矩陣,從而實現(xiàn)對星座的設(shè)計和性能分析。對于這一類求解方法,一般都只對星座對地覆蓋問題的某個方面的特征進行建模,因此,一種方法往往也只能得到某個方面的覆蓋特性。同時,在數(shù)理建模過程中,往往需要進行一些近似處理,因此,得到的結(jié)果多是一個近似結(jié)果,而且很多時候是定性結(jié)果。

本文在本人前期研究的基礎(chǔ)上[29],提出一種求解星座對地覆蓋問題的高效求解算法—經(jīng)度條帶法。該方法將地面區(qū)域劃分為若干經(jīng)度條帶,借助于經(jīng)線的可解析性得到星座對條帶的覆蓋面積,從而對星座對地覆蓋問題進行求解。該方法可對以凸多邊形或非凸多邊形區(qū)域為目標區(qū)域的瞬時覆蓋問題、連續(xù)性覆蓋問題與累積覆蓋問題進行求解,具有非常廣的算法普適性。

本論文的組織結(jié)構(gòu)如下:第一節(jié)對經(jīng)度條帶法對地覆蓋問題的形式化的符號和基本流程進行描述,并提出覆蓋率上下界的基本思想。第二節(jié)針對累積覆蓋問題和連續(xù)性覆蓋問題,得到其對應(yīng)的覆蓋率上下界形式。第三節(jié)為數(shù)值仿真實驗,對第一節(jié)和第二節(jié)中的結(jié)果進行仿真驗證。第四節(jié)為總結(jié)。

1 經(jīng)度條帶法對星座對地覆蓋問題

1.1 覆蓋問題的基本符號表示

對于地面上一點P,其經(jīng)度與緯度分別記作θP與φP。而對于經(jīng)度為θ的一條經(jīng)線記作E(θ)。

將一顆衛(wèi)星記作S,一個衛(wèi)星星座記作C,使用符號S∈C表示星座C包含衛(wèi)星S。將整個地球表面記作G,將地面區(qū)域記作R,則R?G。地面上的一點P,P∈R表示點P是區(qū)域R內(nèi)的一點。將開始時間為tS結(jié)束時間為tE的時間段記作[tS,tE],使用符號t∈[tS,tE]表示t是時間段[tS,tE]內(nèi)的一個時刻。

本文中,對星座對地覆蓋的累積覆蓋范圍進行分析,并計算對應(yīng)的空間覆蓋率進行分析。

將一顆衛(wèi)星S在t時刻的瞬時對地覆蓋范圍記作ΛS(t),星座C在t時刻的瞬時對地覆蓋范圍記作ΛC(t),則

(1)

將一顆衛(wèi)星S在[tS,tE]時間段的累積覆蓋范圍記作ΛS([tS,tE]),星座C在[tS,tE]時間段的累積覆蓋范圍記作ΛC([tS,tE])。

則

(2)

(3)

而區(qū)域目標R的空間覆蓋率是指區(qū)域目標R中,被星座覆蓋的區(qū)域面積與區(qū)域目標R的面積之比。令m[R]表示對一個區(qū)域目標R的面積測度函數(shù),將空間覆蓋率記作η,則某時刻t下的瞬時覆蓋率為

(4)

時間段[tS,tE]下的累積覆蓋率為

(5)

對于公式(4)或公式(5),其計算的難點在于:

1) 星座對地覆蓋范圍ΛC(t)或ΛC([tS,tE])的表示。

2) 星座對地覆蓋范圍與任意形狀地面區(qū)域R相交范圍的計算。

3) 任意球面不規(guī)則區(qū)域的面積度量。

在本文的后續(xù),將提出一種算法,用于解決這3個方面的復(fù)雜性。

1.2 經(jīng)度條帶的基本概念

定義1經(jīng)度條帶。1條經(jīng)度條帶是指在地球表面上的2條相鄰近的經(jīng)線之間包圍的區(qū)域。2條經(jīng)線之間的經(jīng)度差叫做經(jīng)度條帶的寬度,2條經(jīng)線的中間值叫做經(jīng)度條帶的中央經(jīng)線。中央經(jīng)度為θ,條帶寬度為Δθ的經(jīng)度條帶記作L(θ,Δθ),在不強調(diào)條帶寬度或者中央經(jīng)度的時候可以簡記為L(θ)。

1條經(jīng)度條帶可以看作經(jīng)度與中央經(jīng)線相差小于Δθ/2的點的集合

L(θ,Δθ)={P∈G||θP-θ|<Δθ/2}

(6)

或1組與中央經(jīng)線的經(jīng)度差小于Δθ/2的經(jīng)線的集合

L(θ,Δθ)={E(α)||α-θ|<Δθ/2}

(7)

(8)

一個經(jīng)度條帶和一個緯度區(qū)間,可以得到一個經(jīng)度條帶的緯度范圍。

定義2緯度范圍。經(jīng)度條帶上的緯度范圍是該經(jīng)度條帶在緯度區(qū)間內(nèi)的區(qū)域。經(jīng)度條帶L以Π為緯度區(qū)間的緯度范圍記作LΠ,在強調(diào)經(jīng)度條帶的中央經(jīng)線與寬度時記作LΠ(θ,Δθ)。則

LΠ={P∈L|φP∈Π}

(9)

則可知,經(jīng)度條帶的緯度范圍,是經(jīng)度條帶的一個子集,即

LΠ?L

(10)

在有了緯度區(qū)間和緯度范圍的概念后,給出定義在這兩個結(jié)構(gòu)上的度量函數(shù)。對于Π,則依據(jù)公式(8)與公式(12),在其上定義一個度量‖Π‖

(11)

令m[R]表示對任意一個球面區(qū)域R的面積度量。將地球半徑歸一化為1,則通過球面面積公式可知,緯度范圍L[φL,φU](θ,Δθ)的球面面積為

m[L[φL,φU](θ,Δθ)]=Δθ·(sinφU-sinφL)

(12)

則緯度區(qū)間度量‖·‖與面積度量m[·]有關(guān)系如公式(13)所示

m[LΠ(θ,Δθ)]=Δθ·‖Π‖

(13)

根據(jù)經(jīng)度條帶的定義,可將全球劃分為若干個等寬度的經(jīng)度條帶的集合,即

(14)

式中

(15)

則可知,公式(14)得到的經(jīng)度條帶集合{L(θk,Δθ)|k=1,…,N}是對全球的一個劃分。

假設(shè)R為一個任意形狀球面區(qū)域,則區(qū)域R可以近似劃分為若干緯度范圍之并。

(16)

式中,Πj為經(jīng)度條帶L(θj)在區(qū)域R內(nèi)的緯度區(qū)間。該過程稱作對區(qū)域的條帶劃分。

一般而言,1組經(jīng)度條帶并集,與R所對應(yīng)的區(qū)域,并不是嚴格一致的,因為緯度范圍為一個或多個經(jīng)緯度框區(qū)域,而地面區(qū)域可以為任意形狀。因此,一般而言,會有一部分“誤判”區(qū)域。將誤判區(qū)域定義為ε,則

(17)

式中,A/B表示2個集合A與B之間的差集運算。

對于一個特定的區(qū)域R和一個經(jīng)度條帶L(θj),其對應(yīng)的緯度區(qū)間Πj(R∩L(θj))可以有多種選擇。不同的Πj的選擇,將決定對區(qū)域的條帶劃分的不同性質(zhì)。當然,Πj不能隨意選擇,而是需要滿足一定的合理性條件。一種合理的緯度區(qū)間Πj需要滿足如下基本條件:

定理1Πj的合理性條件。一種Πj的選擇是合理的,當且僅當Δθ→0時,有ε→0。

在本文中,將提供2類不同的Πj的合理選擇。

滿足Πj合理性條件的球面區(qū)域劃分策略有多種,如以經(jīng)度條帶L(θj)的中央經(jīng)線E(θj)與區(qū)域R相交的得到的緯度區(qū)間作為Πj的選擇,即滿足Πj的合理性條件。除此之外,還可以有其他多重形式。本文中著重論述2類典型的形式,稱作Πj的下界形式與上界形式。

(18)

(19)

則可知

(20)

并且,當Δθ→0,有

(21)

1.3 球面圓盤與經(jīng)線相交的緯度范圍計算

定義4球面圓盤。球面圓盤定義為到球面上某一點P的球面角距離小于等于α的所有球面點的集合。P稱作球面圓盤的圓心,α為球面圓盤的半徑。球面圓心為P半徑為α的球面圓盤,將其記作Θ(P,α),在不強調(diào)圓心與半徑時可以簡寫為Θ。

對于一個區(qū)域R,其邊界記作?R。則對球面圓盤的邊界記為?Θ,其為一個典型的球面圓。

分析Θ對經(jīng)線E(θ)的覆蓋范圍,?Θ與E(θ),二者可能有0個、1個或者2個交點。

對于經(jīng)緯度為(θ,φ)的一點,在將地球半徑歸一化為單位長度的情況下,記該點在直角坐標系下的坐標為(x,y,z),則由直角坐標與球坐標之間的轉(zhuǎn)換公式可知

(22)

假設(shè)Θ的中心經(jīng)緯度為(θ0,φ0),球面圓與經(jīng)線E(θ)交點緯度為φ,則由公式(22)可知,在交點處滿足

cosφcosφ0cos(θ-θ0)+sinφsinφ0=cosα

(23)

則可知,Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)相交的必要條件是公式(23)有解,即

cos2φ0cos2(θ-θ0)+sin2φ0≥cos2α

(24)

解得

(25)

則當θ滿足(25)式時,Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)有交點。而當θ不滿足公式(25)時,Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)沒有交點,此時,Π(Θ∩E(θ))=?。

考慮二者有交點的情況,假設(shè)2個交點分別為M,N,其中M點的緯度大于N點的緯度,則當Θ((θ0,φ0),α)與E(θ)相交時,令

(26)

令

(27)

則

(28)

則球面圓與經(jīng)線的相交范圍為

(29)

1.4 球面圓盤與經(jīng)度條帶相交的緯度范圍計算

令Θ為一個中心(θ0,φ0)半徑為α的球面圓盤,其與經(jīng)度條帶L(θj,Δθ)相交的緯度范圍Π。

分析球面圓盤與經(jīng)線的相交的性質(zhì),根據(jù)公式(26)至(29),可以確定球面圓與經(jīng)線相交的緯度區(qū)間的性質(zhì)。當θ=θ0時,球面圓與經(jīng)線相交的緯度范圍最大,|θ-θ0|越大,球面圓與經(jīng)線相交的緯度范圍越小。則可知,相交區(qū)間范圍的最小值出現(xiàn)在經(jīng)度條帶的左右兩側(cè)經(jīng)線上。如果θ0∈[θ-Δθ,θ+Δθ],相交區(qū)間范圍的最大值出現(xiàn)在θ=θ0時,否則,相交區(qū)間范圍的最大值出現(xiàn)在經(jīng)度條帶的左右兩側(cè)構(gòu)成經(jīng)線上。

則

Π(Θ∩E(θj-Δθ))∩Π(Θ∩E(θj+Δθ))

(30)

(31)

由此，可以得到球面圓盤與經(jīng)度條帶相交的緯度區(qū)間的上下界值。

1.5 任意球面區(qū)域與經(jīng)度條帶的相交性計算

假設(shè)R為一球面區(qū)域,則對任意的球面區(qū)域,都可以使用一個球面多邊形U對其進行近似表示。一般而言,認為可以使用球面多邊形U來完全代替球面區(qū)域R。如果希望在論述上更加嚴謹,可以定義2個球面多邊形Uinf與Usup,使得Uinf?R?Usup。

本文中只考慮球面區(qū)域R為多邊形區(qū)域的情形。

考慮R為一個單連通球面凸多邊形。則由簡單的球面幾何知識可知,區(qū)域R可以看作是以R的邊界作為邊界的一組球面圓盤相交區(qū)域。即

(32)

式中,對任意k,都有?Θk∩?R≠?。

則球面凸多邊形與經(jīng)度條帶的相交范圍可以表示為

(33)

對于任意球面多邊形區(qū)域,可以看作是有限球面凸多邊形的并交叉補運算,則有

(34)

則根據(jù)公式(34),可以得到任意形狀球面多邊形與經(jīng)度條帶的緯度區(qū)間。

1.6 衛(wèi)星星座對地覆蓋范圍

星座C在某個時刻t下對地面的瞬時覆蓋范圍記作ΛC(t)。在星座對地覆蓋問題中,很多情況下,需要的往往不止是某個時刻下的覆蓋范圍,而是星座在某個時間段下的覆蓋的累積效應(yīng)。

星座在某個時間段下的覆蓋累積效應(yīng),大致可分為兩類不同的需求。在通信、導(dǎo)航等領(lǐng)域,需要滿足在特定區(qū)域,星座每時每刻都需要滿足某種覆蓋要求,這種需求稱作連續(xù)性覆蓋需求。而在地面遙感、數(shù)據(jù)傳輸?shù)阮I(lǐng)域,只需要在某個時間段內(nèi),存在某個時刻滿足某種覆蓋要求即可,這種需求稱作累積性覆蓋需求。

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

1.7 使用經(jīng)度條帶法進行覆蓋率計算

則由公式(16)與公式(37),可以得到

(40)

同樣,公式(40)也存在上界形式與下界形式

(41)

將衛(wèi)星星座C對地面目標R的覆蓋率定義為在某個時刻或者某個時段下,星座對地面目標中有覆蓋的區(qū)域面積與總的區(qū)域面積之比。

(42)

則由公式(40)與(42)可知,通過經(jīng)度條帶法,可以將不規(guī)則形狀的覆蓋率計算,轉(zhuǎn)換為區(qū)間的計算問題,然后通過簡單的區(qū)間度量計算,即可得到覆蓋率。

則根據(jù)公式(20)與(41)可以定義覆蓋率的下界ηinf與上界ηsup

(43)

(44)

由此,可以通過公式(43)與(44)得到覆蓋率的上界值與下界值,從而確定當前劃分精度下的計算結(jié)果真實值所在的范圍。

下文將對這兩個問題進行論述,從而得到通過經(jīng)度條帶法對任意區(qū)域任意形式的覆蓋問題的求解算法。

2 星座對地覆蓋范圍計算

時間離散化的基本方法是,令t0=tS,tN=tE,由此得到時間點的集合T={t0,t1,…,tN},對任意k=0,1,2,…,N,都滿足tk=t0+k·Δt,其中,Δt=(tE-tS)/N。使用時間點集合T來代替時間段[tE,tS],來對連續(xù)時間段進行求解。

(45)

(46)

通過簡單的集合論的結(jié)論可知,在任意情況下,都有以下結(jié)論

(47)

(48)

由此可知,時間離散化策略會使得累積覆蓋問題與連續(xù)覆蓋問題結(jié)果帶來傾向性的偏差,對連續(xù)性覆蓋率而言,會使得計算結(jié)果比真實值偏大,而對于累積性覆蓋率而言,計算結(jié)果比真實值偏小。

如果要更為精確地計算連續(xù)性覆蓋問題與累積性覆蓋問題,需要提出其他策略。第一種策略,設(shè)計其他求解算法,得到覆蓋范圍。第二種策略,通過得到覆蓋范圍的上界和下界來進行計算。

2.1 累積性覆蓋問題計算

在進行累積性覆蓋問題分析時,由于衛(wèi)星是周期性的運行的,在進行分析時,需要將時間段進行劃分。時間段劃分的過程,與時間離散化過程類似。只不過時間段劃分的結(jié)果并非得到離散的時間點,而是時間段的集合。

T′={[t0,t1],[t1,t2],…,[tN-1,tN]}

(49)

在累積性覆蓋問題分析中,每一個時間段的長度可以較長,比如選擇0.5個衛(wèi)星周期。則對于劃分的時間段

(50)

則由公式(50),可將星座對一個較長時間段內(nèi)的累積覆蓋問題轉(zhuǎn)換為星座對若干較短時段內(nèi)的累積覆蓋范圍的并集。

圖1 衛(wèi)星對經(jīng)線累積覆蓋示意圖

如圖1所示,AB為經(jīng)度為θ的經(jīng)線E(θ),P到Q為衛(wèi)星星下點軌跡的一段。M和N為同一衛(wèi)星在2個不同時刻的位置,當衛(wèi)星星下點在M點時能覆蓋該經(jīng)度條帶上最小的緯度點L,當衛(wèi)星星下點在N點時能覆蓋該經(jīng)度條帶上最小的緯度點U。由于衛(wèi)星的位置是一個隨時間連續(xù)變化的過程,則在一個時間窗口內(nèi)衛(wèi)星對一個經(jīng)度條帶的覆蓋緯度區(qū)間是一個連續(xù)區(qū)間。要計算衛(wèi)星在該時間段內(nèi)對經(jīng)線的覆蓋緯度區(qū)間,只需要該連續(xù)區(qū)間的邊界值即可,即圖中所示的U、L點。該經(jīng)度條帶上U、L之間的點是必然可以被覆蓋的。

考慮這個時間段內(nèi)衛(wèi)星對經(jīng)線有覆蓋的時間區(qū)間,記作[tk-1,tk]。則當t∈[tk-1,tk],衛(wèi)星對經(jīng)線的覆蓋范圍下界值與上界值可分別看作是一個以時間t為自變量的函數(shù),分別稱為衛(wèi)星對經(jīng)線的覆蓋下界函數(shù)與覆蓋上界函數(shù)?？紤]衛(wèi)星攜帶簡單圓錐體傳感器,也就是說,衛(wèi)星的對地瞬時覆蓋范圍為一個球面圓。由文獻[25]中的結(jié)論,若衛(wèi)星的星下點軌跡上的每一點的球面曲率半徑都大于衛(wèi)星瞬時覆蓋圓的球面半徑,衛(wèi)星對經(jīng)線的覆蓋下界函數(shù)與覆蓋上界函數(shù)均為單峰函數(shù),對于中低軌衛(wèi)星而言,該結(jié)論是一直都成立的。但需要注意的是,如果衛(wèi)星對地瞬時覆蓋范圍不是球面圓,而是其他圖形,則星座對經(jīng)線的覆蓋下界函數(shù)與覆蓋上界函數(shù)為單峰函數(shù)的結(jié)論可能不能成立。

而對于單峰函數(shù),經(jīng)典的最值求解方法三分法可以快速求得函數(shù)極值。而對于衛(wèi)星瞬時覆蓋范圍不是球面圓的情況,則該方法無效,只能通過時間離散化進行近似求解。

(51)

同時,星座累積覆蓋范圍與經(jīng)度條帶相交的緯度區(qū)間的上下界值可以由(52)～(53)式給出

2.2 連續(xù)性覆蓋問題計算

則要通過上下界方式來確定連續(xù)性覆蓋范圍,還需要找到連續(xù)性覆蓋問題的一個下界。

在對連續(xù)性覆蓋問題進行分析時,同樣需要進行時間段劃分得到仿真時段集合。

(54)

(55)

而對于星座在時間段[tk-1,tk]內(nèi)的累積覆蓋范圍與單顆衛(wèi)星的覆蓋范圍之間有如下關(guān)系

(56)

并且當Δt→0時有

(57)

由此,得到一個連續(xù)性覆蓋范圍的下界。需要說明的是,累積性覆蓋的時間劃分可以選擇為半個周期,但對連續(xù)性覆蓋,時間劃分的長度為更短的數(shù)值,否則可能會導(dǎo)致ΛS(tk-1)∩ΛS(tk)=?,而令覆蓋率的下界值為0,使得結(jié)果沒有價值。

3 數(shù)值實驗

通過數(shù)值仿真對所提出的經(jīng)度條帶法的性能進行驗證,數(shù)值仿真時段起始時刻為2020年1月1日00∶00∶00,結(jié)束時刻為2020年1月1日01∶00∶00,仿真時長為1 h?？紤]一Walker星座,其星座構(gòu)型為40/4/1,所有衛(wèi)星都處于高度1 300 km的圓軌道上,軌道傾角為45°。所有衛(wèi)星除中心引力外,只考慮J2攝動影響。星座中的每顆衛(wèi)星都攜帶有相同類型的簡單圓錐體傳感器,對地面無側(cè)擺。下文中將對累積覆蓋問題和連續(xù)性覆蓋問題進行分析。為了使得結(jié)果保持在合適的大小,將為2類覆蓋問題,設(shè)置不同的傳感器參數(shù)。

為驗證經(jīng)度條帶法在不同類型地面區(qū)域的性能,以美國大陸范圍為目標。該目標是由3 369個球面點組成的球面不規(guī)則凹多邊形區(qū)域。

在進行數(shù)值仿真時,給出“條帶精度”的概念:

定義5條帶精度。條帶精度定義為赤道上1 km的寬度內(nèi)含有的條帶數(shù)目。對于L(θ,Δθ),其條帶精度κ定義為

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式中,RE為地球半徑,單位取km,Δθ為條帶寬度,以弧度制表示。

在后續(xù)仿真實驗中,為了將經(jīng)度條帶法與傳統(tǒng)網(wǎng)格點法在計算效率上進行對比,可以在傳統(tǒng)網(wǎng)格點法領(lǐng)域,定義和條帶精度等價的概念,即1 km2內(nèi)網(wǎng)格點數(shù)目的開平方。從數(shù)學(xué)角度分析可知,在這種定義下,2種精度可以近似等價,即相同的精度下,2種算法的計算誤差相當。

3.1 累積覆蓋問題數(shù)值仿真

對于累積覆蓋問題,考慮傳感器半視場角為10°,則在1 h的仿真時間內(nèi),星座對目標的累積覆蓋率上下界隨條帶精度變化曲線如圖2所示。

圖2 星座對目標的覆蓋率上下界隨條帶精度的變化曲線

如圖2所示,對于累積覆蓋問題,對于不規(guī)則形狀球面凹多邊形目標,經(jīng)度條帶法都可對其進行求解,當條帶精度較低時,覆蓋率上界與下界結(jié)果差別較大,隨著條帶精度增加,覆蓋率的上下界值會收斂為同一個值。

圖3 經(jīng)度條帶法與傳統(tǒng)網(wǎng)格點法求解累積覆蓋問題計算時間隨精度變化曲線

當時間間隔為15 s時,經(jīng)度條帶法和傳統(tǒng)網(wǎng)格點法在對目標的累積覆蓋問題求解時,計算時間隨著精度的變化曲線如圖3所示。由圖3可知,傳統(tǒng)網(wǎng)格點法在計算精度增加10倍的情況下,計算時間增加約100倍,而經(jīng)度條帶法在計算精度增加10倍的情況下,計算時間增加約10倍。也就是說,傳統(tǒng)網(wǎng)格點法計算時間隨計算精度呈平方形式增加,而經(jīng)度條帶法呈近似線性的增加。

3.2 連續(xù)覆蓋問題數(shù)值仿真

對于連續(xù)覆蓋問題,考慮傳感器半視場角為52°,則在1 h的仿真時間內(nèi),計算星座對目標的連續(xù)性覆蓋率上下界結(jié)果。

連續(xù)性覆蓋問題和累積覆蓋問題的求解方法有所不同。對于累積覆蓋問題,采用單峰函數(shù)求極值的方法進行求解,而對于連續(xù)性覆蓋問題,則依賴于劃分的時間間隔的上下界。因此,不同的時間間隔,對于覆蓋率上下界值會有較大影響。

圖4 不同時間間隔下星座對目標的連續(xù)性覆蓋率上下界隨條帶精度的變化曲線

圖4為時間間隔為15 s時,星座對目標的連續(xù)性覆蓋率隨條帶精度的變化曲線。對于連續(xù)性覆蓋問題,對于任意形狀球面凹多邊形目標,經(jīng)度條帶法都可對其進行求解。對于某個特定的時間間隔下,隨著劃分精度的提高,覆蓋率的上界和下界趨于收斂于同一值。

時間間隔為15 s時,經(jīng)度條帶法和傳統(tǒng)網(wǎng)格點法在對目標連續(xù)性覆蓋計算時間隨著精度的變化曲線如圖5所示。連續(xù)覆蓋問題計算時間隨計算精度的變化規(guī)律,與累積覆蓋問題的變化規(guī)律相同。

圖5 經(jīng)度條帶法與傳統(tǒng)網(wǎng)格點法求解連續(xù)性覆蓋問題計算時間隨精度變化曲線

圖3及圖5仿真實驗結(jié)果表明,經(jīng)度條帶法在求解累積性覆蓋問題和連續(xù)性覆蓋問題下,都有比傳統(tǒng)網(wǎng)格點法更高的計算效率。

4 結(jié) 論

本文提出了一種計算星座對地覆蓋問題的求解算法—經(jīng)度條帶法,使用形式化的符號對經(jīng)度條帶法的覆蓋問題求解過程進行描述,并給出對累積覆蓋率和連續(xù)性覆蓋率的上下界求解算法。仿真實驗結(jié)果表明,該算法可對連續(xù)性覆蓋問題和累積覆蓋問題進行求解,并且能夠?qū)Ψ且?guī)則任意形狀地面目標進行求解。與傳統(tǒng)網(wǎng)格點法相比,該算法具有更高的效率。

與網(wǎng)格點法相比,經(jīng)度條帶法也有一些不足之處,主要體現(xiàn)在,經(jīng)度條帶法只能用于計算以“面積”這個概念為基礎(chǔ)的覆蓋性能指標,如覆蓋率、覆蓋面積等。而對于非面積概念的性能指標,如觀測仰角計算、區(qū)域GDOP計算、區(qū)域平均重訪時間計算等,該算法目前還無法完成。后續(xù)工作,可從對經(jīng)度條帶法的非面積概念性能指標的計算進行開展。