縱向數(shù)據(jù)缺失和輔助信息下分位數(shù)回歸模型的估計

張雨婷,羅雙華,張成毅

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048; 2.西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院,陜西 西安 710049)

0 引 言

在抽樣調(diào)查、人口普查、生物醫(yī)學(xué)、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)等研究領(lǐng)域，經(jīng)常產(chǎn)生大量的縱向數(shù)據(jù)。然而，在縱向數(shù)據(jù)的研究中時常會遇到數(shù)據(jù)的缺失，因此處理完整觀測數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)推斷方法將不再適用。例如，隨機(jī)區(qū)組、重復(fù)測量設(shè)計以及大型數(shù)據(jù)回歸分析等都要求數(shù)據(jù)完整。對于這些缺失數(shù)據(jù)，如果剔除缺失的部分?jǐn)?shù)據(jù)而僅用完全觀測到的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計推斷，那么所得到的估計往往產(chǎn)生偏差。因此，如何對縱向數(shù)據(jù)缺失進(jìn)行有效的統(tǒng)計分析和推斷，已成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，取得了眾多的研究成果[1-4]。

變量隨機(jī)缺失下的分位數(shù)回歸模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、醫(yī)學(xué)和生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，目前已有大量研究[5-8]。OWEN提出的經(jīng)驗似然法是在完全樣本下的一種非參數(shù)統(tǒng)計推斷方法[9]。由于其具有自動確定置信域形狀和方向的優(yōu)點(diǎn)，許多學(xué)者在處理缺失數(shù)據(jù)的問題上應(yīng)用了經(jīng)驗似然方法[10-14]。為了提高估計效率，WHANG和OTSU引入了光滑方法,研究分位數(shù)模型的經(jīng)驗似然估計[15-16]。這種光滑經(jīng)驗似然方法是很有意義的，迄今已有大量研究[17-20]。在上述研究基礎(chǔ)上，通過加入輔助信息可以提高估計的有效性[21-24]。其中，TANG等首次在正態(tài)逼近的基礎(chǔ)上應(yīng)用逆概率加權(quán)方法，研究了含有輔助信息的線性分位數(shù)模型的經(jīng)驗似然估計[21]。但其方法在進(jìn)行推理時須估計復(fù)雜的協(xié)方差矩陣。此外，WHANG認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)的Bootstrap理論不能直接推理分位數(shù)回歸模型的估計[15]。故在此基礎(chǔ)上，LYU等提出了基于光滑經(jīng)驗似然方法研究輔助信息下分位數(shù)模型的參數(shù)估計問題，不僅包含了輔助信息，而且避免了估計復(fù)雜的協(xié)方差矩陣[22]。

綜上所述，基于縱向數(shù)據(jù)缺失且具有輔助信息的線性分位數(shù)回歸模型的統(tǒng)計推斷還有很多問題值得討論。因此，本文在縱向數(shù)據(jù)響應(yīng)變量隨機(jī)缺失的情形下，運(yùn)用輔助信息下分位數(shù)回歸模型的經(jīng)驗似然方法給出了參數(shù)估計，并在一定條件下證明了所得估計的大樣本性質(zhì)。

1 似然估計及主要結(jié)果

1.1 縱向數(shù)據(jù)缺失下的經(jīng)驗似然估計

考慮如下縱向數(shù)據(jù)線性分位數(shù)回歸模型：

(1)

式中：Yij為第i個個體的第j次觀測值；Xij為已知的p維設(shè)計點(diǎn)列向量；β是p維未知回歸系數(shù)向量；εij是隨機(jī)誤差且滿足P(εij<0|Xij)=τ，這里τ∈(0,1)是分位數(shù)水平。記εi=(εi1,εi2,…,εini)T，那么{εi,i=1,2,…,n}相互獨(dú)立，但對同一個i(i=1,2,…,n)，εij1和εij2(j1≠j2)不獨(dú)立。

在數(shù)據(jù)沒有缺失時，模型(1)定義線性分位數(shù)回歸估計為

(2)

式中：B為參數(shù)空間；ρτ(u)=u{τ-I(u<0)}是分位數(shù)損失函數(shù)。

當(dāng)模型(1)中響應(yīng)變量Yij缺失時，引入變量δij表示Yij可觀測到的示性函數(shù)，即Yij可觀測到時δij=1，否則δij=0。假設(shè)MAR缺失機(jī)制可表示為

P(δij=1|Yij,Xij)=P(δij=1|Xij)=π(Xij)

(3)

式中：π(Xij)=P(δij=1|Xij)為選擇概率函數(shù)。由于在實際問題中，π(Xij)往往是未知的，因此，采用核估計方法進(jìn)行估計，可以得到

式中：K(·)被稱為核函數(shù)；hn為窗寬。則模型(1)在響應(yīng)變量缺失下的加權(quán)分位數(shù)回歸估計為

在以上的模型假設(shè)下，β滿足如下估計方程：

(4)

式中：ψ(Y,X,β)=I(XTβ-Y)-τ是分位數(shù)得分函數(shù)，I(·)為示性函數(shù)。

定義Xi=(Xi1,Xi2,…,Xini)T為第i個個體的ni×p設(shè)計矩陣，

Xj=(X1j,X2j,…,Xnij)T,

Yi=(Yi1,Yi2,…,Yinj)T

ψi(β)=ψi(Yi,Xi,β)=

(ψ(Yi1,Xi1,β),ψ(Yi2,Xi2,β),…,

ψ(Yini,Xini,β))T

根據(jù)式(4)可定義,β的估計方程為

(5)

(6)

根據(jù)Lagrange乘子法計算可得β的對數(shù)經(jīng)驗似然比為

(7)

其中λ=σ(β)是方程

(8)

的解。進(jìn)而可以得到β的經(jīng)驗似然估計

(9)

1.2 具有輔助信息的經(jīng)驗似然估計

在實際的統(tǒng)計推斷中，關(guān)于協(xié)變量的輔助信息是可用的。通過

E(g(Ui,θ))=0

考慮模型的輔助信息,稱g(Ui,θ)為模型的輔助信息量函數(shù)。其中，g(Ui,θ)∈Rr，θ為輔助信息量函數(shù)的參數(shù)，θ∈Rp且r≥p，Ui表示可以觀測到的樣本。g(Ui,θ)包含了可以從Ui的概率分布知識中推導(dǎo)出來的一大類信息，從而可以提高估計的有效性。

為了使用輔助信息，定義如下經(jīng)驗似然函數(shù):

(10)

用Lagrange乘子法，求出權(quán)重ωi的估計：

(11)

其中γ是方程

(12)

的解。

(13)

(14)

(15)

1.3主要結(jié)果

設(shè)s是大于或等于2的整數(shù)，定義g(Xij)為Xij的密度函數(shù)，F(xiàn)(u1,u2,…,um|x)為εi=(εi1,εi2,…,εim)T的聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)j(uj|x)為當(dāng)Xi=x時εij的邊緣分布函數(shù)。在Legbesgue測度下，設(shè)f(u1,u2,…,um|x)為εi的聯(lián)合概率密度，fj(uj|x)為εij的邊緣密度。 令

f(u|x)=diag[f1(u1|x),f2(u2|X),…,

fm(um|x)]

在證明本文的主要結(jié)果之前，給出所需要的一些正則化條件：

A3：K(·)是一個s(s>1)階核函數(shù)，它有界且有緊支撐[-1,1]，且存在正常數(shù)C1,C2和ρ，滿足C1I{|u|≤ρ}≤K(u)≤C2I{|u|≤ρ};

A6：函數(shù)g(Ui,θ)是有界的，矩陣S,B正定。

定理1 假設(shè)條件A1～A6成立，則有

定理2 假設(shè)條件A1～A6成立，則有

其中，χ2(p)表示自由度為p的卡方分布。

2 定理的證明

2.1引理

首先給出一些引理，再給出定理1、2的證明。

引理1 假設(shè)條件A1～A5成立，則有

證明類似于文獻(xiàn)[6]中的引理6.7，從略。

引理2 設(shè)

rn=(lnn/(nh))1/2+hs，gn(x)=

在條件A2、A3成立下，若lnn/(nh)→0，則有

證明類似于文獻(xiàn)[6]中的引理6.1，從略。

引理3 設(shè)條件A5～A6成立，則有

其中θ=E(g2(Ui,θ))。

證明類似于文獻(xiàn)[6]中的引理6.4，從略。

引理4 設(shè)條件A6成立，則有

‖γ‖=Op(n-1/2)

證明類似于文獻(xiàn)[6]中的引理6.5，從略。

引理5 假設(shè)條件A1～A6成立，則有

證明由引理4，可得γTg(Ui,θ)=op(1)，根據(jù)式(11)和(12)以及引理3易得nωi=1-γTg(Ui,θ)(1+op(1))，則有

(16)

由引理2以及Taylor展開式,易得

(17)

根據(jù)條件A4，A5以及式(17)得

由條件A6和式(16)以及引理4得

(π(Xij))-1ψi(β0)=

由γTg(Ui,θ)=op(1)，使用相同的計算過程得

根據(jù)條件A6和式(16)以及引理4，使用相同的計算過程可得，

因此，

其中，

根據(jù)中心極限定理以及大數(shù)定律，引理5得證。

2.2 定理1的證明

將式(14)進(jìn)行Taylor展開,得

由引理5可得，

類似可推導(dǎo)出，

由中心極限定理可得

與文獻(xiàn)[16]中式(28)～(30)證明類似，有

定理1得證。

2.3定理2的證明

即

(18)

由引理1可得，

則式(18)可變形為

即

(19)

記

則有

因此式(19)第3項的上界為

即式(19)可改寫成，

A-1(β)B2(β)+op(1)

其中，

根據(jù)引理1和引理5，定理2得證。

3 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬實驗驗證所提出方法的有限樣本性?？紤]模型(1)

式中：協(xié)變量X的觀測值Xij來源于N(0,1)分布，εij來自于正態(tài)分布N(0,1)，取β=1p。在模擬研究中，取τ=0.5,0.8，且對于不同的樣本量n=100,200,300，基于3種選擇概率函數(shù)分別產(chǎn)生2 000個隨機(jī)樣本：

π3(x)=0.6,x∈R

以上3種選擇概率函數(shù)對應(yīng)的平均缺失率分別約為0.07、0.26和0.40。選取核函數(shù)

表1 置信水平為0.95的置信區(qū)間的覆蓋概率

表2 置信水平為0.95的置信區(qū)間的平均區(qū)間長度

由表1～2可以看出：

1) 對于選擇概率π1(x)，WAQEL方法比NAQEL方法、CAQEL方法和NA方法得到更高的覆蓋概率，但有更長的置信區(qū)間；對于選擇概率π2(x)和π3(x)，WAQEL方法比NAQEL方法、CAQEL方法和NA方法都好，因為它得到更短的置信區(qū)間和更高的覆蓋概率。表明當(dāng)缺失概率比較大時，分位數(shù)加權(quán)十分必要。對3種選擇概率，WAQEL方法得到的覆蓋概率和區(qū)間長度和NAQEL方法得到的幾乎接近，說明加權(quán)分位數(shù)且具有輔助信息的經(jīng)驗似然方法的效果較好。

3) 對于每一種缺失率，隨著n增加，置信區(qū)間長度減小并且收斂概率增加。顯然，當(dāng)樣本個數(shù)不變時，缺失率也影響置信區(qū)間長度和收斂概率。一般而言，當(dāng)缺失率增加時，區(qū)間長度增加且覆蓋概率減小。

可見，對于模型(1)，WAQEL方法表現(xiàn)出較好的結(jié)果。

4 結(jié) 語

本文應(yīng)用逆概率加權(quán)方法和輔助信息下的經(jīng)驗似然方法相結(jié)合，給出了縱向數(shù)據(jù)響應(yīng)變量隨機(jī)缺失下線性分位數(shù)回歸模型參數(shù)估計。在一定正則條件下，證明了所得估計量的漸近正態(tài)性。同時，用輔助信息下加權(quán)的經(jīng)驗似然方法減小了參數(shù)估計的方差，提高了估計效率。