初三壓軸題深度探究、解答策略分析

鄧勇剛

【摘要】通過引例深入分析初三中考或者中考模擬壓軸題，啟示一線教師對壓軸題教學(xué)進(jìn)行深度探究，積極引導(dǎo)學(xué)生尋求思考解答壓軸題的方法策略，充分落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求。

【關(guān)鍵詞】壓軸題;核心素養(yǎng);深度探究;方法策略

初中數(shù)學(xué)整體不難，但是難在中考壓軸（模擬）題，基礎(chǔ)知識基本都懂，就是無法靈活運(yùn)用，解題通法一點(diǎn)就明，可是解題“靈感”就是不盡人意，怎么也想不到！探尋其原因主要在于知識的廣泛聯(lián)系不夠緊密，思想方法不夠靈活和深入，學(xué)生無法將已有的知識遷移到新的情境中去解決新問題，提高認(rèn)知，積累有意義的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的深度學(xué)習(xí)，進(jìn)而沒有深度探究壓軸題的方法策略。

一、深度探究作保障，深度分析壓軸題

筆者的學(xué)校初三年級曾經(jīng)進(jìn)行一次年級考試，我負(fù)責(zé)閱卷批改以下題目，倒數(shù)第二題，屬于壓軸題。幾乎百分之八十的同學(xué)基本能完成此題的前兩問，第三問只有百分之十的同學(xué)答對，究其原因何在？

引例一：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長DO交⊙O于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長線于F點(diǎn)，連接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長;（結(jié)果保留π）

（2）求證：OD=OE;

（3）求證：PF是⊙O的切線。

分析：學(xué)生在平常學(xué)習(xí)中，對于切線的證明幾乎是遵循兩種思路，一是連半徑證垂直，一種是作垂直證半徑。本題也不另外。很多學(xué)生卻無從下手，或者中途遇到解題瓶頸，不會深度探究，斷然錯(cuò)用條件，究其原因何在？

先從學(xué)生的解答看：

錯(cuò)解一：OD⊥AB， BF⊥AB，PD∥BF，直接得到DP⊥PF，錯(cuò)誤原因是錯(cuò)用平行線的性質(zhì)，基礎(chǔ)知識不牢固，學(xué)生知識的遷移能力也較弱。

錯(cuò)解二：OD⊥AB， BF⊥AB，DB=PF，DF=DF，進(jìn)而△PDF≌△BFD，得到DP=BF，再證明四邊形PDBF是平行四邊形，得出DP⊥PF;或者直接得到DP⊥PF，錯(cuò)誤原因：有一定的方向，但是無法將需要的條件充分挖掘出來，直覺思維的誤用，邏輯思維能力混亂。

錯(cuò)解三：連接PC，很多同學(xué)想實(shí)現(xiàn)△PEC≌△PFC得到∠PFC=90°，但是出現(xiàn)了PE=PF ，CE=CF ，PC=PC。估計(jì)都是想當(dāng)然的“湊答案”，學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力較差，無法提煉本題所需要的條件，更沒有深度分析題設(shè)中的條件，對于前一問的條件沒有充分體現(xiàn)。

綜上，從學(xué)生的角度看，主要是基礎(chǔ)知識不牢固，基本技能不熟練，知識的遷移能力和數(shù)學(xué)邏輯思維能力不能有機(jī)整合，他們的審題閱讀能力也需要進(jìn)一步提高，本題中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)邏輯推理，直觀想象等方面的落實(shí)主要是體現(xiàn)在平時(shí)的學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)中，不是讓學(xué)生在題海中去毫無頭緒地“掙扎”，而是在壓軸題訓(xùn)練中精準(zhǔn)分析，精準(zhǔn)演繹，精準(zhǔn)作答中展現(xiàn)出來。

一線教師應(yīng)當(dāng)站在深度探究的角度去引導(dǎo)學(xué)生對壓軸題進(jìn)行有意義的分析，對于題設(shè)中的條件進(jìn)行執(zhí)果索因式的探究，在日常的教學(xué)中采取“故意設(shè)置”法，故意把條件隱藏或者設(shè)置條件的難度，或者也可以有由索果實(shí)式的有梯度地去探究，可以將條件分成有梯度地去增加，進(jìn)行循序漸進(jìn)的“螺旋式地”訓(xùn)練，或者引導(dǎo)學(xué)生自我探究，抓住問題的本質(zhì)，逐漸熟練解決壓軸題的策略，積極培育學(xué)生的深度探究意識，使之真正內(nèi)化于學(xué)生心，外化于學(xué)生行！

二、深度探究來引領(lǐng)，深度思考壓軸題

引例二：如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的☉O經(jīng)過點(diǎn)C，連接AC，OD交于點(diǎn)E.

（1）證明：OD∥BC;

（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與☉O相切;

（3）在（2）條件下，連接BD交于☉O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長.

本壓軸題的第（1）（2）問屬于簡單基礎(chǔ)題型，主要是難在第（3）問，難在如何找到具體的解題方法思路。

分析：（1）略（2）略

第（3）問：從學(xué)生思考的角度看，根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)圖形的直觀感知，本問題基本有兩個(gè)角度去思考，一是直接求EF，利用勾股定理的方法來確定EF所在三角形是直角三角形，學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)后無法找到直角三角形，用正余弦定理已經(jīng)超出初中范圍！二是常規(guī)通性通法，通過深度探究，確定利用相似的方法來求EF，經(jīng)過嘗試，直接利用相似也不行，經(jīng)過探究需要先確定相似的條件來整體建構(gòu)，先實(shí)現(xiàn)△AFD∽△BAD，得到 DF·BD=AD2，接著實(shí)現(xiàn)△AED∽△OAD得到OD·DE=AD2，整個(gè)問題的難點(diǎn)是如何利用DF·BD=AD2=OD·DE，這個(gè)難點(diǎn)的突破在于深度思考：△EDF∽△BDO成立的條件，利用兩組對角相等（比較簡單），但是行不通，只能考慮兩組對邊成比例及夾角相等來實(shí)現(xiàn)相似，尋求突破口，此時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生深度探究相似成立的條件，怎么做？為什么這樣做？還有什么因素要考慮等等，經(jīng)過一系列的深度思考，進(jìn)而探究出解答思路！

由此可知，積極引導(dǎo)學(xué)生的深度探究是關(guān)鍵，作為一線教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生自主思考、深度思考壓軸題的所有條件，充分利用題設(shè)中的顯性和隱含條件，探究多種思路方向，深度思考，應(yīng)當(dāng)盡快精準(zhǔn)選擇最佳的壓軸題解題思路（中考考試時(shí)間的限制），達(dá)到事半功倍的效果，比如本例中找準(zhǔn)相似的方向來求，但是如何找到相似的三角形以及相似三角形的分類討論都是難點(diǎn)，這里的相似三角形不是特別直觀呈現(xiàn)，需要選擇精準(zhǔn)角度間接地作輔助線去找尋相似三角形，這必然需要學(xué)生進(jìn)行深度思考，積極推理，使得每一步都有邏輯依據(jù)，進(jìn)而順利地完成解答的全過程！

綜上所述，對于初三壓軸題的解答，以深度探究為抓手，深度分析，深度思考，這必然需要培養(yǎng)這方面的意識，這個(gè)過程絕非一朝一夕能完成的，需要師生通力合作，進(jìn)行長期有針對性的培養(yǎng)，強(qiáng)化參與，也絕非純粹的“題海戰(zhàn)術(shù)”能實(shí)現(xiàn)的，需要教師選好壓軸題（靈活、典型、有代表性的題型），選好對象（學(xué)生基礎(chǔ)不一，需因材施教），只有做好前期工作，才能培養(yǎng)學(xué)生逐步具備深度探究的意識，具備深度分析深度思考的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳春.圓的基本性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2021（2）：38.