把握四“度” 搭建“云梯”

倪志敏

摘 要：正比例和反比例，屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。本單元教學，筆者認為可以把握好四“度”——高度、角度、牢固度、靈活度，為學生搭建尋求變化數(shù)量之間規(guī)律的“云梯”。

關(guān)鍵詞：正比例和反比例;函數(shù)關(guān)系;四“度” ?“云梯”

正比例和反比例的關(guān)系，本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系。函數(shù)以運動、變化的觀點反映事物數(shù)量之間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律。但是正比例和反比例教學，歷來被數(shù)學老師們概括為有三難——概念抽象、思維復(fù)雜、關(guān)系隱晦。在疫情防控期間，學生已通過觀看“名師空中課堂”教學視頻學習了這部分知識。因此，復(fù)學前，筆者以一道題對“正比例和反比例”單元進行了前測摸底。

題目呈現(xiàn)：圓的周長一定，圓的直徑和圓周率成比例嗎？如果成比例，成什么比例？如果不成比例，為什么？

測后經(jīng)統(tǒng)計，全班53名同學一致認為圓的直徑和圓周率成反比例。因為圓的直徑×圓周率=圓的周長（一定）。

如何讓“正比例和反比例”單元教學，在復(fù)學后的數(shù)學課堂能夠平穩(wěn)著地，筆者認為可以把握好四“度”，為學生搭建尋求變化數(shù)量之間規(guī)律的“云梯”。

一、由薄到厚，定好“云梯”的高度

考慮到學生在疫情防控期間學習效果的差異性，因此復(fù)學后的“正比例和反比例”單元教學應(yīng)既不等同于新課，也不等同于復(fù)習。如果說以往的復(fù)習重在“融會貫通”，而復(fù)學后的本單元教學則首要重在“查漏補缺”，厘清概念，注重概念的“生長點”與“延伸點”，讓知識生發(fā)“由薄到厚”。通過前測題，筆者認為學生對于正比例和反比例概念的“生長點”——“相關(guān)聯(lián)”理解不到位。成正比例或反比例的兩個量必定是相關(guān)聯(lián)的，所以認識正、反比例關(guān)系之前，應(yīng)該先認識相關(guān)聯(lián)的量。

【案例片段】

出示：下題中的兩種量是否是相關(guān)聯(lián)的量？為什么？

（1）購買同一種鉛筆的數(shù)量和總價。

（2）一輛自行車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表：

（3）用60元購買筆記本，購買筆記本的單價和數(shù)量。

（4）讀一本書，已讀頁數(shù)和剩下頁數(shù)。

（5）圓的直徑和圓周率。

“一種量變化，另一種量也隨之變化”這種“關(guān)聯(lián)性”體現(xiàn)在5道題的比較辨析中，讓學生深刻理解題5中，圓周率是固定不變的，它不會隨著直徑的變化而變化。因此，圓的直徑和圓周率不是兩種相關(guān)聯(lián)的量。既然不是兩種相關(guān)聯(lián)的量，那么這兩種量既不成正比例，也不成反比例。

二、由末到本，設(shè)定“云梯”的角度

為什么要學習正比例和反比例？這應(yīng)該是我們在教學前首先要厘清的問題。小學生在學習本單元知識之前，接觸的基本上是常量數(shù)學的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學知識。而正比例和反比例研究的是變量與變量之間的關(guān)系，兩種相關(guān)聯(lián)的量雖然都在變化，但又保持著某種不變。學生感受到這種“變”與“不變”的對立統(tǒng)一性，就受到了辯證思想的影響。所以，“變中找不變（規(guī)律）”就是正比例和反比例意義教學中的核心。

【案例片段】

教師繼續(xù)讓學生觀察，在題1至題4中，一種量變化，另一種量也隨之變化。那么題2中，最后一個空，填多少是根本沒有辦法確定的。因為正比例和反比例中，兩種相關(guān)聯(lián)的量在變化中是相互影響、相互制約的。題2中，路程比時間得到速度，如果速度不確定，路程和時間的變化也不確定，所以最后一個空無法填。因此，這兩種量既不成正比例，也不成反比例。

師：那么剩下的4題中，哪兩種量成正比例？哪兩種量成反比例？為什么？

生1：題1中，=單價（一定）。單價是總價和數(shù)量的比值，比值一定，總價和數(shù)量就成正比例。

生2：題3中，單價×數(shù)量=總價（一定）。總價是單價和數(shù)量的乘積，乘積一定，單價和數(shù)量就成反比例。

師：題4中，已讀頁數(shù)+未讀頁數(shù)=總頁數(shù)（一定），那么已讀頁數(shù)和未讀頁數(shù)成什么比例？為什么？

抽象正比例和反比例概念，除了需要情境的支撐，更需要我們返璞歸真，由末到本，舍棄其非本質(zhì)屬性的部分而抽取其本質(zhì)屬性。教師要讓學生認識到數(shù)學學習中，我們要學會尋找變化中的不變。兩種量成正比例或反比例關(guān)系，它們必定按某種確定的關(guān)系進行相應(yīng)變化，而這種關(guān)系只能是商一定或積一定。否則，就既不成正比例，也不成反比例。

三、由單到雙，強化“云梯”的牢固度

疫情防控期間，“空中課堂”的課雖上得生動有趣，但隔著屏幕，缺少師生之間面對面的交流互動。復(fù)學后，考慮到正比例和反比例畢竟學過，而且在現(xiàn)實生活和生產(chǎn)勞動中經(jīng)常能夠遇到，所以在教學之前，筆者讓學生以小組為單位，去找一找生活中有哪些成正比例或反比例的量?；貧w日常生活，通過尋找成正比例和反比例的量，進一步體驗正、反比例關(guān)系的本質(zhì)特征。這是數(shù)學概念教學經(jīng)常需要的“具體化”環(huán)節(jié)。這一環(huán)節(jié)通過小組合作的形式要求課前完成，既是“空中課堂”學習效果的反饋，也是一次小組內(nèi)的“集思廣益”。

筆者先匯總學生收集的成正比例和反比例的量，寫下相關(guān)的數(shù)量關(guān)系式，然后看其中一個數(shù)量關(guān)系式：單價×數(shù)量=總價。

學生反饋：如果總價一定，單價和數(shù)量成反比例。如果確定單價，那么數(shù)量和總價就成正比例。如果確定數(shù)量，總價和單價成正比例。

接著，教師讓學生在組內(nèi)互相說一說，在時間×速度=路程，工作效率×工作時間=工作總量，長×寬=長方形面積，圓柱的底面積×圓柱的高=圓柱的體積……這些數(shù)量關(guān)系中，其中一個量一定，另外兩個量成什么比例關(guān)系？

最后，通過討論交流，學生發(fā)現(xiàn)如果總量一定，兩個部分量之間滿足反比例關(guān)系;如果決定總量的任何一個部分量一定，那么總量和另一個部分量就滿足正比例的關(guān)系規(guī)律。

四、由仿到變，改變“云梯”的靈活度

因時間有限，線上課程速度較快，留給學生思考的時間太少，課堂上學生只能聽，來不及練。而練習的題型也只能以教材中的習題為主，就題講題。生活中，木工師傅連接梯子時，往往會在梯子的頂端部位上各上一對“荷葉”，就能讓梯子收縮自如。那么，“云梯”的靈活度也需要安裝“荷葉”——相應(yīng)的變式練習。“變”要把概念的本質(zhì)屬性以不同的方式呈現(xiàn)，引發(fā)學生從不同的角度去明晰概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性之間的區(qū)別。

出示：長方形的面積和寬成正比例嗎？為什么？

師追問：要使長方形的面積和寬成正比例，怎樣修改表格中的數(shù)據(jù)？為什么這樣改？

在正比例和反比例教學中，理解“單值對應(yīng)”也是一個難點。例題和“試一試”中的題型都是依據(jù)表格中的兩種量相對應(yīng)的數(shù)值的比值或乘積是否一定，進而判斷兩種量是否成正比例和反比例。變式練習中的兩題，在正、反比例概念的“生長點”的理解運用上避免了機械地重復(fù)辨析，讓學生逆向思考：乘積或比值一定時，何謂“單值對應(yīng)”。

總之，疫情復(fù)學后的“正比例和反比例”單元教學，筆者認為可以為學生搭建“云梯”，注意把握好四“度”，以尋求變化數(shù)量之間的規(guī)律。

參考文獻

[1]沈重予，王林.小學數(shù)學內(nèi)容分析與教學指導(dǎo)1[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015：117+125.