張東琪
摘? ? 要:不等式的性質證明在不等式學習中至關重要。在高考中證明不等式問題,常常是與數列、三角函數、二次曲線、隨機變量分布列及其分布等問題相結合。不等式是高中教學的重要組成部分,利用好不等式是高中解決問題的工具,是數學思想得以解答的關鍵,不等式也是進行數學計算和推理的重要手段。
關鍵詞:不等式的概念;不等式的基本性質;證明不等式的基本方法;不等式中的數學思想
在中學基礎教育階段,不等式是一個十分重要的內容,而到了大學,有關不等式的很多知識與高等數學仍然密不可分,高中數學教材4-5關于不等式知識內容是對初中簡單不等式的基礎知識的完善和提升,高中不等式的知識也是打開高等數學的鑰匙,因此高中數學的不等式知識就顯得格外重要。通過歷年高考真題,不難看出不等式已經成為高考必考的熱點內容,不等式的綜合運用可以檢驗學生的基礎知識,解題技巧,還能考查學生對數學方法運用,數學思想的掌握,數學運算的方法。
一、不等式的基本性質
1.如果a>b,那么bb。
2.如果a>b,且b>c,那么a>c。
3.如果a>b,那么a+c>b+c。如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d。
4.如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd。 如果a>b>0,那么an>bn(n?綴N且n>1)。 不等式的基本性質是不等式證明的理論基礎,只要能合理掌握并運用好不等式的性質,才能更加合理地解決不等式的難點證明。 二、證明不等式的基本方法 1.比較法 比較法分作差比較與作商比較。作差比較為A>B?圳A-B>0,作商比較為A>B?>1(B>0) 作差比較的關鍵是判斷差的符號,操作步驟為作差、變形、判斷差的符號;而作商比較的關鍵是判斷商是否大于1,操作步驟為作商、變形、判斷商與1的大小關系。 (1)作差法:a>b?圳a-b>0 2.三角換元法 三角換元法是解決不等式問題的常用方法,主要在于換元,將某些復雜的不等式證明簡單直觀化,多數可將原不等式轉化成簡單不等式,使得問題變得直觀化、簡單化。 若x2+y2=a2(a為常數)我們可設x=acosα,y=asinα. 例3:設x2+y2=r2(r為常數) 3.綜合分析法 綜合分析法是已知條件和恒成立的不等式出發(fā),充分利用不等式的理論知識進行整理化簡,從而能夠得出欲求證的不等式,用好綜合法的關鍵在于熟練掌握解題常用的不等式,如: 例 已知a,b,c是不全等的正數,求證 a(a2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 證明:∵? ?b2+c2≥2bc, a>0, ∴? a(b2+c2)≥2abc? ? ① 同理? ? ? ? b(c2+a2)≥2abc? ? ② c(a2+b2)≥2abc? ? ? ③ 因為a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能取“=”號,從而①,②,③三式也不能取“=”號。 ∴a(a2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 4.分析法 分析法的關鍵思想是確立因果關系,主要方法是:先從預證明的不等式作為出發(fā)點,通過數學知識的分析和推導得出使結論成立的充分條件,也就是說要想證明一個已知不等式成立,轉而去判斷使這個不等式成立的另一個命題,最后,如能找到一個成立的命題,就能判定原命題成立。它和綜合法恰好是互逆的過程。 這種證法,常與綜合法一起運用,即先用分析法找出證題思路,再用綜合法加以敘述。在書寫時常用“?坩”,表示“只需”。不能用符號“?圳”,“?圯”。 例 證明:當周長相等時,圓的面積比正方形的面積大。 通過上述證明就成功利用分析法證明出:在周長相等的條件下,圓的面積會比正方形的面積大。 5.反證法 反證法是一種間接證法,當直接證法不易得不等式時,常常采用反證法。具體操作步驟是:首先假設結論不成立,然后根據題設條件和某些公理、定理進行推理,導出矛盾,從而肯定結論成立。 此式與②矛盾,這就說明假設不成立,故原命題成立。 6.放縮法 放縮法就是將不等式一端放大(或縮?。?,從而得到不等式另一端的證明方法。具體為欲證A>B需證A>C且C>B這就是放大;或C>B且C 這個同向不等式相乘得 7.幾何圖形法 如果已知不等式中的復雜代數關系能用數學圖形表示,就可以利用集合圖形法來證明不等式。 分析過程:從求證不等號左邊的多項式可以看出,它們是四個兩點之間的距離公式。因此我們可以設點坐標為:A(0,1),B(1,1),C(0,1),D(0,0) 而已知為正方形,設點的坐標為,所以: 不等式中含有豐富的數學思想,對這些思想的掌握,能夠有力的幫助我們解決高中不等式? 的難題。 通過上述不等式的研究反映出,不等式是各個階段都不可或缺的一部分,是解開眾多數學問題的鑰匙,所以要想在中考和高考中取得佳績就必須研究好不等式的知識點,做到熟練地掌握不等式的基礎知識。把握所有不等式的有關題型,尤其是不等式與其他數學思想綜合在一起的數學問題,對學生的思維開拓和解題能力的提高有很大幫助。 ?■ 編輯/魏繼軍