改進(jìn)一階鞍點(diǎn)近似的概率潮流

劉 超馬天池王海生

(1.東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院,黑龍江 大慶163318;2.大慶石油有限責(zé)任公司 慶新油田開發(fā)有限責(zé)任公司,黑龍江 大慶 163318)

0 引 言

在過去的幾十年里,全球電力系統(tǒng)經(jīng)歷了巨大的變化。可再生能源等新技術(shù)不斷涌現(xiàn),各種不確定因素不斷出現(xiàn)。因此,電力系統(tǒng)的概率特性越來越強(qiáng),傳統(tǒng)的確定性方法可能不再適用于系統(tǒng)分析和運(yùn)行。因此,電力系統(tǒng)分析的概率方法和工具越來越受到電力界的關(guān)注。概率潮流是分析可再生能源發(fā)電和負(fù)荷需求不確定性下電力系統(tǒng)性能的最有效方法之一[1-2]。

目前,概率潮流(PLF:Probabilistic Load Flow)方法可分為三大類[3]:模擬法,點(diǎn)估計(jì)法和解析法。模擬法又稱蒙特卡洛仿真法(MCSM:Monte Carlo Simulation Method),需要大量的模擬才能得到計(jì)算精確結(jié)果[4]。但MCSM存在收斂速度慢、計(jì)算時(shí)耗長、計(jì)算代價(jià)大等缺點(diǎn),針對(duì)MCSM的不足,丁明等[5]提出了拉丁超立方和MCSM相結(jié)合的方法,提高了采樣效率;陳偉等[6]提出了以組合抽樣MCSM的概率潮流計(jì)算方法,該方法采樣效率高,收斂速度快,但缺點(diǎn)是未能計(jì)及分布式電源的相關(guān)性問題。點(diǎn)估計(jì)法是根據(jù)已知輸入隨機(jī)變量的概率分布,求取輸出隨機(jī)變量各階矩的概率統(tǒng)計(jì)方法[7],該方法計(jì)算速度快,但計(jì)算量隨著變量數(shù)目的增加而增加[8]。解析法包括了卷積法和半不變量法(PLF-CM:PLF Based on Cumulant Method),其中PLF-CM是在卷積法的基礎(chǔ)上提出的,半不變量法的優(yōu)勢(shì)在于計(jì)算量少,只需在基準(zhǔn)點(diǎn)處進(jìn)行一次確定性的潮流計(jì)算;缺點(diǎn)是輸入變量必須保持相對(duì)獨(dú)立,當(dāng)功率波動(dòng)較大時(shí)僅在基準(zhǔn)點(diǎn)處展開存在較大誤差。

筆者提出了一種考慮負(fù)荷和可再生發(fā)電等不確定性因素的非參數(shù)概率潮流分析的平均值一階鞍點(diǎn)近似(MVFOSPA:Mean Value First Order Saddle Qoint Approximation)方法。不需要識(shí)別數(shù)據(jù)是否屬于某個(gè)參數(shù)分布函數(shù)。該方法是一種非參數(shù)估計(jì)方法,為用戶提供了選擇多種分布函數(shù)建模不確定性(即輸入隨機(jī)變量)的能力,而不會(huì)影響估計(jì)的潮流結(jié)果的精度[9]。提出的基于MVFOSPA的近似方法在提供精確近似的同時(shí)需要合理的計(jì)算量。對(duì)具有n個(gè)輸入隨機(jī)變量的電力系統(tǒng),該方法所需的仿真次數(shù)為n+1,而兩點(diǎn)估計(jì)法為2n,無跡變換法為2n+1。同時(shí)不使用積分或微分算子,并且能估計(jì)偏微分方程的更高矩[10]。

1 概率潮流模型

采用2n個(gè)非線性方程組描述m-母線電力系統(tǒng)的潮流問題[11],如下

其中Pk為k母線注入的凈有功功率,Qk為k母線注入的凈無功功率,Vi和Vk分別為i母線和k母線的電壓幅值,δki為k母線和i母線之間的角度差,Gki和Bki為k母線和i母線之間的電導(dǎo)和電納,m為母線數(shù)量。方程(1)和方程(2)由Gauss-Seidel和Newton-Raphson等數(shù)值算法求解。

電力系統(tǒng)包含各種不確定性。這些不確定性存在于各種參數(shù)中,如電力需求、發(fā)電量和系統(tǒng)參數(shù)等。不確定參數(shù)通常遵循不同類型的概率分布函數(shù),從而將潮流問題從確定性分析轉(zhuǎn)變?yōu)楦怕恃芯俊Ｒ虼?確定性方法不能提供準(zhǔn)確的潮流結(jié)果。概率潮流分析需要模型和方法,以便精確地確定輸出概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù),例如電壓幅值和相角以及輸電線路流量[12]。

2 平均值一階二階矩法求解概率潮流

2.1 平均值一階二階矩法

平均值一階二階矩(FOSM:First Order Second Moment)方法[13]在隨機(jī)變量均值處應(yīng)用Y=f(X1,…,Xn)的一階泰勒級(jí)數(shù)展開。Y在平均值處線性化如下

其中μ=[μXi,…,μXn]T為平均值的向量。Y的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差按式(4)和式(5)計(jì)算

其中σXi為變量Xi的標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此,變量Xi的CDF(Cumulative Distribution Function)可獲得,為

其中φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的CDF。Y的PDF(Probability Density Functions)可以通過CDF的一階導(dǎo)數(shù)找到。方程(6)是基于變量Y的CDF可以用正態(tài)分布CDF近似的假設(shè)而寫的。μ處的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)?f/?Xi是數(shù)值形式的,即

因此,輸出函數(shù)求值的數(shù)目等于(n+1)。FOSM利用了X空間中的原始X=[X1,…,Xn]到U空間中的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U=[U1,…,Un]的轉(zhuǎn)換。然后應(yīng)用Rosenball變換[14]

2.2 一階鞍點(diǎn)逼近

由于潮流方程的高度非線性,將其轉(zhuǎn)換為FOSM所要求的U空間,使隨機(jī)變量的偏微分方程的估計(jì)有很大的誤差。筆者提出采用鞍點(diǎn)近似解決上述缺點(diǎn),其利用X空間中的一階Taylor級(jí)數(shù)展開,不需要任何變換。FOSM的另一個(gè)顯著缺點(diǎn)是使用一階Taylor級(jí)數(shù)展開以逼近目標(biāo)函數(shù)。這種近似方法不能刻畫目標(biāo)函數(shù)的非線性特性,不適用于涉及高度非線性目標(biāo)函數(shù)(如潮流問題)的情況。因此,任何提高FOSM準(zhǔn)確性的措施都具有重要意義。為了保證更高的精度,使用鞍點(diǎn)近似[13]。

設(shè)Y∈R是一個(gè)具有密度p(y)和累積量生成函數(shù)KY(t)=logEY[exp(ty)]的隨機(jī)數(shù),鞍點(diǎn)近似依賴于CGF(Cumulant Generating Function)的二階近似。考慮y的特征函數(shù)(CF:Characteristic Function)

從式(9)中,密度函數(shù)可以通過逆變換得到

CF和CGF的關(guān)系如下

因此,式(10)可修改為

ts點(diǎn)的KY(t)二階近似為

其中K′Y(t)為Y的半不變量生成函數(shù)的第1個(gè)導(dǎo)數(shù),KY″為KY(t)的第2個(gè)導(dǎo)數(shù),參數(shù)ts為鞍點(diǎn)。用式(1)代替式(12)的KY,得到密度函數(shù)的以下近似

現(xiàn)在將ts設(shè)置為鞍點(diǎn),如下

式(14)簡化為

用恒等式求解

對(duì)正定Σ,可通過將零均值高斯隨機(jī)向量的密度和CF插入式(12)獲得。重寫式(16)如下

由此建立密度函數(shù)如下

2.3 平均值一階鞍點(diǎn)近似

該方法利用Y的半不變量生成函數(shù),將Y=(X1,…,Xn)的均值線性化后建立半不變量生成函數(shù)[15]。平均值一階鞍點(diǎn)逼近(MVFOSPA)利用了半不變量生成函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)。

如果X=(X1,…,Xn)是獨(dú)立隨機(jī)變量,且半不變量生成函數(shù)為KXi(t),?i=1,…,n,且

則有

如果X是隨機(jī)變量,Y=aX+b,則

將這兩個(gè)性質(zhì)應(yīng)用于Y的泰勒級(jí)數(shù)展開,Y的半不變量生成函數(shù)寫成

在得到Y(jié)的半不變量生成函數(shù)后,利用式(19)中導(dǎo)出的PDF公式估計(jì)Y的PDF。Y,(t)的累積生成函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)由

計(jì)算。測(cè)定Y的CDF

其中Φ(·)和φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的CDF和PDF,w和v由

確定。其中sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

3 改進(jìn)一階鞍點(diǎn)近似法概率潮流計(jì)算

筆者提出了一種基于一階泰勒級(jí)數(shù)展開和鞍點(diǎn)近似相結(jié)合的概率潮流方法。該方法分為兩個(gè)主要步驟:建立一級(jí)潮流數(shù)據(jù)庫和MVFOSPA計(jì)算。每個(gè)步驟包括幾個(gè)階段。概括算法如下。

步驟1 收集主要負(fù)載流樣本的數(shù)據(jù):

1)為輸入的隨機(jī)變量生成隨機(jī)樣本;

2)計(jì)算潮流以計(jì)算輸出變量的樣本;

3)繼續(xù)(n+1)迭代的階段1)和2),其中n是輸入隨機(jī)變量的數(shù)量。

步驟2 MVFOSPA計(jì)算:

1)使用式(8)求出性能函數(shù)在每個(gè)輸入變量平均值處的導(dǎo)數(shù);

2)使用分配給輸入變量的PDF建立累積生成函數(shù);

3)用式(23)計(jì)算KY(t),取其一階和二階導(dǎo)數(shù);

4)使用式(15)計(jì)算每個(gè)Y點(diǎn)的鞍點(diǎn);

5)分別用式(19)和式(25)確定輸出變量的PDF和CDF。

4 仿真分析

基于MVFOSPA的估計(jì)器在IEEE 14總線和IEEE 118總線測(cè)試系統(tǒng)上進(jìn)行了測(cè)試。將該方法所得結(jié)果與現(xiàn)有的3種常用方法(蒙特卡羅模擬法、兩點(diǎn)估計(jì)法和基于無跡變換的方法)進(jìn)行了比較。將蒙特卡羅模擬結(jié)果作為參考結(jié)果。引入兩個(gè)指標(biāo)對(duì)這4種方法的性能進(jìn)行比計(jì)較。第1個(gè)指標(biāo)是測(cè)定的平均值與參考結(jié)果的相對(duì)誤差

其中μMCS為由蒙特卡羅模擬確定的參考平均值,μ為由估計(jì)器確定的平均值。第2個(gè)指標(biāo)是測(cè)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差與參考結(jié)果的相對(duì)誤差

其中σMCS為蒙特卡羅模擬確定的參考標(biāo)準(zhǔn)偏差,σ為估算確定的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

實(shí)驗(yàn)1 IEEE14總線系統(tǒng)。

系統(tǒng)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[16]。風(fēng)力穿透水平約為12%。用Rayleigh分布模擬風(fēng)的隨機(jī)特性。負(fù)載不確定性采用均勻正態(tài)分布建模。假設(shè)所有負(fù)載具有恒定功率因數(shù)。在這種情況下,有16個(gè)隨機(jī)變量(2個(gè)用于風(fēng)電場(chǎng),3個(gè)用于傳統(tǒng)發(fā)電機(jī),11個(gè)用于負(fù)載),它們被認(rèn)為是獨(dú)立的。以下數(shù)值用于計(jì)算風(fēng)功率:將該方法應(yīng)用于概率潮流問題的求解。圖1~圖3給出了3個(gè)負(fù)載流輸出示例。這3個(gè)數(shù)字分別表示母線7的相位角、母線11的電壓幅值和母線4~7的有功功率流的PDF和CDF。由具有2 500條軌跡的MCS(Monte Carlo Simulation)確定的基準(zhǔn)結(jié)果(它具有較高的計(jì)算成本)也如圖1~圖3所示。將基于樣本方差的停止規(guī)則用于MCS的停止準(zhǔn)則。該方法得到PDFs/CDFs與MCS之間的誤差很小。

圖1 母線7相角的PDF和CDFFig.1 Bus 7 phase angle PDF and CDF

圖3 母線4~7中的PDF和CDF有功功率Fig.3 PDF and CDF active power in busbar 4~7

利用TPEM(Two Point Estimation Method)和基于無跡變換的方法進(jìn)一步解決了概率潮流問題。需要提到的是,MVFOSPA、TPEM、基于無跡變換的方法和MCS的模擬數(shù)量取決于隨機(jī)變量的數(shù)量。對(duì)于N個(gè)隨機(jī)變量,MVFOSPA,TPEM,無跡變換分別需要n+1,2n和2n+1次模擬。這個(gè)測(cè)試系統(tǒng)中有16個(gè)隨機(jī)變量。因此,MVFOSPA、TPEM、無跡變換和MCS的模擬數(shù)分別為17、32、33和2 500。所需的仿真次數(shù)表明,與其他3種方法相比,該方法所需的仿真次數(shù)更少,計(jì)算量最小。

圖2 母線11電壓幅度的PDF和CDFFig.2 Bus 11 voltage range PDF and CDF

表1列出了幾條線路的有功功率。最后兩列顯示了MCS確定的參考平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。MVFOSPA、TPEM和無跡變換的平均值(εμ)和標(biāo)準(zhǔn)差(εσ)的相對(duì)誤差如表2所示,這兩個(gè)指標(biāo)越小,估計(jì)越準(zhǔn)確。注意εμ和εσ是百分比。MVFOSPA的這些索引比TPEM和無跡變換的索引小得多。為了進(jìn)行更詳細(xì)的分析,還估計(jì)了有功功率損耗。多條線路有功損耗指標(biāo)εμ和εσ如表2所示。通過比較誤差指標(biāo),驗(yàn)證了所提出的MVFOSPA比TPEM和無跡變換提供更準(zhǔn)確的結(jié)果。

表1 線路有功潮流誤差指標(biāo)——IEEE14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)Tab.1 Line active power flow error index:IEEE14 node test system

表2 有功損耗誤差指標(biāo)——IEEE14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)Tab.2 Active power loss error index:IEEE14 node test system

綜上,筆者提出的概率潮流提供了準(zhǔn)確的估計(jì),同時(shí)比TPEM、無跡變換和MCS的計(jì)算成本更低。

實(shí)驗(yàn)2 IEEE118總線系統(tǒng)。

IEEE 118總線測(cè)試系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)信息見文獻(xiàn)[16]。風(fēng)力穿透水平約為15%。與案例1相似,采用4種方法,即MVFOSPA、TPEM、基于無跡變換的方法和MCS求解概率潮流問題。測(cè)試系統(tǒng)包含129個(gè)輸入隨機(jī)變量。因此,對(duì)MVFOSPA、TPEM、無跡變換和MCS(MCS中基于樣本方差的停止規(guī)則用于停止準(zhǔn)則)的模擬數(shù)分別為130、258、259和10 000。對(duì)這個(gè)測(cè)試系統(tǒng),MVFOSPA方法的CPU時(shí)間為6.43 s,而TPEM和無跡變換分別為10.87 s和11.67 s。

由MCS確定的幾條線路的有功潮流(即基準(zhǔn)結(jié)果)如表3所示,同時(shí)表3還給出了MVFOSPA、TPEM以及無跡變換的相對(duì)誤差指數(shù)εμ和εσ。

表3 線路有功潮流誤差指標(biāo)——IEEE 118節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)Tab.3 Line active power flow error index:IEEE 118 node test system

MVFOSPA的誤差指數(shù)小于其他兩種方法的誤差指數(shù)。為了提供更好的比較,由MVFOSPA、TPEM和無跡變換確定的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的均方根誤差(RMSE:Root Mean Square Error)如圖4所示。通過對(duì)表3和圖4的分析表明,該方法有效地解決了概率潮流問題,并提供了輸出變量的PDF和CFDs。值得指出的是,與其他3種方法相比,MVFOSPA不僅精度高,而且所需的仿真次數(shù)少,計(jì)算量小。

圖4 平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的均方根誤差Fig.4 Root mean square error between mean and standard deviation

綜上所述,筆者已經(jīng)測(cè)試了所提出的方法對(duì)直流潮流研究的有效性。采用IEEE 118總線測(cè)試系統(tǒng),所有輸入?yún)?shù)均與交流潮流研究相同,除了線路電阻、功率損耗和無功注入(省略)以及固定在1 p.u.的母線電壓幅值外。建議的MVFOSPA、TPEM、無跡變換和MCS應(yīng)用于求解概率直流潮流。與交流潮流類似,計(jì)算線路潮流的相對(duì)誤差指數(shù)εμ和εσ。表4給出了幾條線路有功潮流的誤差指標(biāo),相對(duì)誤差比較表明,最小指標(biāo)屬于MVFOSPA。驗(yàn)證了該方法的有效性及其相對(duì)于TPEM和無跡變換的優(yōu)越性。

表4 線路有功潮流誤差指標(biāo)——IEEE 118節(jié)點(diǎn)試驗(yàn)系統(tǒng)直流潮流研究Tab.4 The index of line active power flow error:research on the dc power flow of the IEEE 118 node test system

5 結(jié) 語

筆者提出了一種求解概率潮流的非參數(shù)方法。該方法基于平均值一階鞍點(diǎn)近似。所提出的非參數(shù)估計(jì)器在需要合理計(jì)算的同時(shí),對(duì)潮流輸出的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)都提供了非常精確的估計(jì)。建立隨機(jī)變量不確定性模型的概率分布函數(shù)類型不影響估計(jì)結(jié)果的精度。在IEEE 14節(jié)點(diǎn)和IEEE 118節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)上,分別進(jìn)行了蒙特卡羅仿真、兩點(diǎn)估計(jì)和基于無跡變換的方法。為了考慮風(fēng)速變化帶來的隨機(jī)性,將多臺(tái)同步電機(jī)更換為風(fēng)電場(chǎng),對(duì)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行改造。考慮到潮流方程的復(fù)雜性和非線性,所得結(jié)果與其他方法相比,MVFOSPA比MCS算法運(yùn)行時(shí)間降低了12%。驗(yàn)證了MVFOSPA方法的有效性。對(duì)交直流潮流問題,筆者提出的MVFOSPA算法具有很高的估計(jì)精度,但所需的仿真次數(shù)和計(jì)算量遠(yuǎn)小于蒙特卡羅法、兩點(diǎn)估計(jì)法和無跡變換法。