人工原子間耦合：超構(gòu)表面調(diào)控電磁波的新自由度

林 婧，李 琦，邱 孟，何 瓊，周 磊

（復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系 表面物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200438）

1 引 言

電磁超構(gòu)材料（Metamaterials，MTMs）是指由亞波長(zhǎng)人工微結(jié)構(gòu)單元(“人工原子”)按一定宏觀序組成的人工復(fù)合材料[1], 它的誕生突破了自然材料的限制，展現(xiàn)出了奇異的光學(xué)響應(yīng)及對(duì)電磁（光）波豐富的調(diào)控自由度，近年來(lái)引起了人們廣泛的研究興趣。相較于自然材料，超構(gòu)材料的優(yōu)勢(shì)在于人們可任意設(shè)計(jì)“人工原子”和體系的宏觀“序”，在亞波長(zhǎng)尺度下實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波的局域調(diào)控，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)諸如負(fù)折射率、超成像、電磁隱身[2-4]等自然材料無(wú)法實(shí)現(xiàn)的奇異物理現(xiàn)象。然而，雖然超構(gòu)材料在調(diào)控電磁波方面取得了卓越的成就，其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、尺寸龐大、損耗相對(duì)較高（特別是在光波段）等缺點(diǎn)也是不容忽視的，這使得各大研究組都把目光轉(zhuǎn)向了更易加工的二維超構(gòu)材料——電磁超構(gòu)表面（簡(jiǎn)稱“超構(gòu)表面”）。相較于三維材料，超構(gòu)表面易控制損耗，體積小，重量輕，在集成光學(xué)、通訊、軍事等方向，均有非常大的應(yīng)用前景。近年來(lái)，人們?cè)诶贸瑯?gòu)表面實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)調(diào)控方面取得了重大突破，發(fā)現(xiàn)了許多奇異物理現(xiàn)象和新規(guī)律（如拓展 Snell 定理、高效全息成像、光子自旋霍爾效應(yīng)[5-7]等）和具有優(yōu)異光學(xué)性能的功能性器件（無(wú)色散超寬帶波片、超透鏡、高效表面波耦合器[8-10]等）。超構(gòu)表面也正因其對(duì)光場(chǎng)的超強(qiáng)調(diào)控能力而成為近年來(lái)物理學(xué)、信息學(xué)以及相關(guān)交叉學(xué)科的研究熱點(diǎn)。

“人工原子”是超構(gòu)材料最核心的結(jié)構(gòu)，其通常是具備很強(qiáng)電磁響應(yīng)能力的光學(xué)共振結(jié)構(gòu)。在不同情形下，人們需要設(shè)計(jì)出具備各種功能的電磁共振體，以滿足超材料對(duì)“人工原子”的需求。然而，隨著科學(xué)和社會(huì)的發(fā)展，人們的需求逐步擴(kuò)大到包括大帶寬或多頻應(yīng)用、非線性現(xiàn)象和密集集成等領(lǐng)域，單個(gè)人工原子的設(shè)計(jì)自由度有限，性質(zhì)也比較單一，無(wú)法提供充足的自由度來(lái)實(shí)現(xiàn)各種各樣的設(shè)計(jì)需求。近年來(lái)，由多類材料/結(jié)構(gòu)成分構(gòu)成的復(fù)合人工原子因?yàn)橄嗷ラg的耦合作用可提供更大的調(diào)控自由度和更具辨識(shí)度的物理現(xiàn)象而備受人們關(guān)注。在先驅(qū)性的實(shí)驗(yàn)工作中，人們發(fā)現(xiàn)了非常多的有趣的人工原子耦合所導(dǎo)致的物理現(xiàn)象。如Stefan Maier 課題組在 2003 年在金屬局域共振體（LSPR）之間通過(guò)近場(chǎng)耦合傳遞能量，從而實(shí)現(xiàn)了等離子波導(dǎo)[11-12]，使得集成光學(xué)的集成度打破了波長(zhǎng)限制。Giessen 課題利用單根金屬棒跟兩根金屬棒的耦合效應(yīng)實(shí)現(xiàn)了電磁感應(yīng)透 明（Electromagnetically Induced Transparency，EIT）現(xiàn)象[13]。此后，人們利用各種各樣的耦合共振體實(shí)現(xiàn)了多種奇特的光學(xué)響應(yīng)[14-18]。在這些研究中，耦合行為對(duì)光學(xué)響應(yīng)的調(diào)控能力主要表現(xiàn)在共振頻率、共振Q值、偏振響應(yīng)等方面。

從上述回顧中可以發(fā)現(xiàn)，耦合的相關(guān)研究具有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值。相比人們?cè)趯?shí)驗(yàn)方面取得的長(zhǎng)足進(jìn)步，對(duì)于耦合問(wèn)題的理論理解卻遠(yuǎn)未令人滿意。人們研究耦合體系時(shí)，基于計(jì)算電磁學(xué)的數(shù)值模擬工具能夠輸出可信的結(jié)果，然而這種方法不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且無(wú)法揭示現(xiàn)象背后隱藏的物理機(jī)制，往往難以提供物理上的洞見；已有的經(jīng)驗(yàn)理論（如耦合模理論[19-20]、Fano 公式[21-22]等）則往往由于依賴于唯象參數(shù)的擬合而更適用于對(duì)已有結(jié)果的分析。因此，亟需建立一套既能精確描述耦合作用，又可以明確提煉重要物理過(guò)程的理論，進(jìn)而幫助科研人員深入理解與耦合相關(guān)的物理圖像，以大量節(jié)省工程仿真設(shè)計(jì)中的前期試錯(cuò)成本。

本綜述將圍繞處理人工原子間耦合問(wèn)題的理論工具展開討論。在回顧前人的一些處理方法之后，重點(diǎn)介紹本課題組近期發(fā)展的一系列理論方法，從光子封閉體系的少體問(wèn)題到周期體系，再到開放體系下的復(fù)雜光子共振結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)介紹了各種體系下對(duì)于耦合問(wèn)題的理論理解，以及如何利用這些理論工具實(shí)現(xiàn)角度色散調(diào)控、譜線線型調(diào)制等具有特定電磁波調(diào)控功能的新型超構(gòu)表面。最后，基于以上相關(guān)研究進(jìn)展，展望了這些新理論/新技術(shù)對(duì)超構(gòu)表面未來(lái)研究及應(yīng)用產(chǎn)生的重要啟發(fā)和影響。

2 超構(gòu)表面人工原子及其耦合行為的研究

2.1 常用的人工原子結(jié)構(gòu)及其光學(xué)響應(yīng)探究

超構(gòu)材料對(duì)于光的調(diào)控主要源自于人工原子被激勵(lì)產(chǎn)生共振時(shí)的響應(yīng)。接下來(lái)以4 種常用于人工原子設(shè)計(jì)的極具代表性的納米共振結(jié)構(gòu)為例，來(lái)探討這些結(jié)構(gòu)的基本響應(yīng)特性。這4 種基本結(jié)構(gòu)分別是細(xì)長(zhǎng)的金屬納米棒、金屬-絕緣體-金屬(MIM)結(jié)構(gòu)、金屬開口環(huán)結(jié)構(gòu)(SRR)和介質(zhì)納米盤，它們是構(gòu)建光學(xué)和近紅外光子共振體系(如超材料和超表面等)必不可少的組成部分[23]，如圖1 所示。

如圖1(a)所示，最常用的人工原子設(shè)計(jì)之一就是具有電偶極共振的細(xì)長(zhǎng)金屬納米棒結(jié)構(gòu)。納米棒結(jié)構(gòu)的電響應(yīng)往往呈現(xiàn)很強(qiáng)的各向異性，僅能被電偏振方向沿著長(zhǎng)軸的外場(chǎng)激勵(lì)。在微波波段，電磁波激勵(lì)下的天線產(chǎn)生的來(lái)回震蕩的感應(yīng)電流使共振總是發(fā)生在半波長(zhǎng)的整數(shù)倍處[24]，而等離激元模式則將其延伸出了金屬棒幾何結(jié)構(gòu)以外，這是高頻段納米棒共振模式同射頻段偶極天線的一個(gè)顯著不同(圖1(b))。圖1(b)～1(c) 展示了體系的散射譜線與吸收譜線及被激勵(lì)的電偶極矩與入射場(chǎng)波長(zhǎng)的關(guān)系?？梢钥吹剑娕紭O矩的振幅在共振處達(dá)到最強(qiáng)，并且共振處兩側(cè)的相位經(jīng)歷接近π 的變化，這是非常典型的電偶極響應(yīng)特征[25]。中間被納米尺度電介質(zhì)隔開的兩個(gè)金屬納米棒組成的結(jié)構(gòu)被稱為MIM 結(jié)構(gòu)，如圖1(d)所示?；陔s化理論[15]，可以將MIM結(jié)構(gòu)的共振模式理解為由上下兩個(gè)(相同)納米棒之間的相互作用而形成的兩個(gè)新的雜化模式，其中對(duì)稱模式對(duì)應(yīng)兩納米金棒中響應(yīng)電流同向，能量較高，對(duì)外整體表現(xiàn)出較大的總電偶極矩。而反對(duì)稱模式中兩納米棒的響應(yīng)電流始終方向相反，能量較低，相反的電流使得結(jié)構(gòu)對(duì)外的總電偶極矩被壓制，形成的等效電流環(huán)路使結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出磁響應(yīng)(見圖1(e)～1(f))。圖1(g)所示的金屬開口環(huán)結(jié)構(gòu)(SRR)在幾乎任何頻率范圍內(nèi)都可實(shí)現(xiàn)磁響應(yīng)。由于隨著SRR 的縮小，真實(shí)金屬的響應(yīng)由感應(yīng)電流主導(dǎo)變?yōu)槲灰齐娏髦鲗?dǎo)，這導(dǎo)致磁共振波長(zhǎng)不再隨其尺寸縮小而減小，因此在光頻，人們往往使用MIM共振來(lái)獲得磁響應(yīng)。圖1(h) 為其散射譜線及吸收譜線，從圖1(i)可以看出，盡管SRR 通常被稱為磁性共振結(jié)構(gòu)，其實(shí)它可被偏振方向沿著x軸的正入射光同時(shí)激勵(lì)起沿y軸方向的磁偶極矩以及沿x方向的電偶極矩, 并可通過(guò)改變納米結(jié)構(gòu)彎曲形成的開口大小來(lái)控制這兩個(gè)偶極矩之間的相對(duì)強(qiáng)度。最后一種常用的共振納米結(jié)構(gòu)是硅納米盤(圖1(j))，它是近紅外全介質(zhì)惠更斯超表面的重要組成部分[26]。米氏理論指出球形粒子通常同時(shí)具有電共振和磁共振[27]，其中磁模僅在磁電[28]或高介電常數(shù)[29]結(jié)構(gòu)中才能被激發(fā)。米氏理論的總體結(jié)論通常適用于任意形狀的納米顆粒，因此可以認(rèn)為納米盤和立方體結(jié)構(gòu)也具有電和磁的共振特征(見圖1(k)、1(l))。在可見光波段，硅的吸收開始增加，因此人們往往使用二氧化鈦(TiO2)替代硅來(lái)設(shè)計(jì)介質(zhì)超表面，該材料在整個(gè)可見光譜中具有相對(duì)較高的折射率(n>2.3)，并且其材料吸收可以忽略不計(jì)[30]。

圖 1 常見人工原子結(jié)構(gòu)及其光學(xué)響應(yīng)[23]Fig. 1 Typical Meta-atoms structures and their optical response[23]

單一人工原子自身具有的光調(diào)控效果已經(jīng)足夠滿足一些簡(jiǎn)單的需求，然而，單個(gè)模式一旦確定下來(lái)，其性質(zhì)也基本確定下來(lái)，功能單一，難以進(jìn)行調(diào)控以滿足各種復(fù)雜的實(shí)際需要。比如一些具有很強(qiáng)輻射能力的結(jié)構(gòu)，可以起到傳輸信息的作用，而一些具有非常高Q響應(yīng)的結(jié)構(gòu)，則可以用于增強(qiáng)局域光場(chǎng)，然而，單一結(jié)構(gòu)人工原子往往只能有單一用途，當(dāng)同時(shí)需要很強(qiáng)的場(chǎng)增強(qiáng)和傳輸信息的能力時(shí)，單一結(jié)構(gòu)就無(wú)能為力了。

由此，耦合的重要性便凸顯出來(lái)。在納米結(jié)構(gòu)中，局域電磁模式之間的耦合對(duì)上述結(jié)構(gòu)電磁特性調(diào)制起著關(guān)鍵作用。比如，Liu 等人通過(guò)堆疊多層SRR 結(jié)構(gòu)構(gòu)建了一種三維磁性超材料，當(dāng)SRR 發(fā)生相對(duì)旋轉(zhuǎn)時(shí)，層間相互耦合將使體系模式特性變得相當(dāng)有趣[31]。再比如，由于金屬結(jié)構(gòu)具有不可避免的能量損耗，人們進(jìn)行了許多關(guān)于全介質(zhì)共振體的研究，通過(guò)非對(duì)稱的介質(zhì)二聚體耦合實(shí)現(xiàn)了光束轉(zhuǎn)向、大角度偏轉(zhuǎn)、反對(duì)稱透射等有趣現(xiàn)象[32-35]（圖2）。所有這些實(shí)驗(yàn)表明，耦合對(duì)確定這些復(fù)雜系統(tǒng)的電磁特性至關(guān)重要，突破了單一人工結(jié)構(gòu)的限制，成為調(diào)制電磁波的新自由度。

圖 2 非對(duì)稱介質(zhì)光子共振體耦合結(jié)構(gòu)[32-35]Fig. 2 Asymmetric dielectric resonators[32-35]

2.2 耦合現(xiàn)象的常用理論方法

對(duì)于耦合現(xiàn)象的研究，在實(shí)驗(yàn)方面取得很多成 果的同時(shí)，理論研究也有一定的進(jìn)展。主要的理論研究方法可分為數(shù)值方法和參數(shù)化理論模型兩大類，常用理論方法結(jié)果見圖3。

數(shù)值方法包括有限單元法(Finite Element Method, FEM)、時(shí)域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)和 離 散 偶 極 近 似法(Discrete Dipole Approximation, DDA)等。數(shù)值方法應(yīng)用極為廣泛，幾乎所有體系都可以利用其進(jìn)行一定的分析，特別是對(duì)于不能夠解析求解麥克斯韋方程組(或拉普拉斯方程組) 的體系。以DDA 為例，其主要處理方式是將人們感興趣的研究對(duì)象劃分為N個(gè)可被極化的元素所構(gòu)成的立方晶格[36]，對(duì)于處理形狀不規(guī)則且周圍環(huán)境較復(fù)雜的納米顆粒特別有效(圖3(a)[37])。

除了數(shù)值方法之外，人們還建立了很多理論模型(例如，LC 等效電路模型、Fano 模型、耦合模理論等）以直觀解釋基礎(chǔ)的物理圖像。

LC 振蕩電路模型將阻抗表示為幾種基本類型的簡(jiǎn)單模塊的組合(電阻、電容、電感等)，把體系模型化（見圖3(b)），將求解空間等效成三維電路，電磁波的傳播便可被電路中等效電流/電壓的傳輸所替代。由此人們將阻抗的概念從電流拓展到場(chǎng)和波，可基于位移電流J?d=?iωD?來(lái)定義光阻抗，在足夠高的頻率下，位移電流相比于傳導(dǎo)電流J?=σE? ( σ表示電導(dǎo)率)占據(jù)主導(dǎo)地位。參照電阻抗定義，對(duì)于亞波長(zhǎng)尺寸的均質(zhì)粒子，光阻抗可定義為通過(guò)納米粒子的局部電勢(shì)差與位移電流的通量的比值。如果粒子是亞波長(zhǎng)的，那么從表達(dá)式可以看出所定義的光阻抗是粒子的固有特性，與周圍環(huán)境無(wú)關(guān)，基爾霍夫電路定律可以像適用于常規(guī)電子電路一樣適用于該體系[38-39]。在該阻抗定義下，根據(jù)介電常數(shù)的正負(fù)，等效光電壓和位移電流的震蕩之間保持±90°的相位差，可類比LC 震蕩電路得到光學(xué)共振結(jié)構(gòu)的等效電容/電感。每個(gè)納米粒子都具有自己的固有光學(xué)阻抗，可將不同的納米粒子組裝起來(lái)形成更復(fù)雜的模塊化等效電路，并且可以通過(guò)常規(guī)電路理論輕松設(shè)計(jì)其響應(yīng)[40]。早在超材料發(fā)展的初期，Pendry 就利用 LC 振蕩電路模型研究了耦合的雙開口環(huán)結(jié)構(gòu), 南京大學(xué)的劉輝課題組也用此模型對(duì)復(fù)雜SSR 結(jié)構(gòu)做出了非常有效的解釋[16]。

圖 3 常用理論研究方法。(a)離散偶極近似法[37]；(b) LC 等效電路模型[39]; (c) Fano 理論[41]；(d) 耦合模理論Fig. 3 Theoretical methods. (a) Discrete dipole approximation[37]; (b) LC equivalent circuit model[39]; (c) Fano theory[41];(d) coupled mode theory

當(dāng)離散的量子態(tài)與連續(xù)態(tài)發(fā)生干涉時(shí)，會(huì)發(fā)生Fano 共振，并且在吸收光譜 δ(E)中表現(xiàn)出來(lái)，其線型由著名的Fano 公式描述：

其中E是能量，q=cotδ是 Fano 參數(shù)， δ是連續(xù)譜的相移， Ω=2(E?E0)/Γ ，其中 Γ和E0分別是共振寬度和能量，D2=4sin2δ。公式(1)被證明可適用于多種系統(tǒng)的不同光譜(包括透射和散射)。近年來(lái)，隨著光子體系研究的發(fā)展，F(xiàn)ano 共振引起了很多關(guān)注。實(shí)際上，幾乎任何共振狀態(tài)都可以被視為具有復(fù)頻率的準(zhǔn)離散狀態(tài)，從而可以用Fano共振來(lái)描述。光學(xué)體系中的Fano 共振是由兩個(gè)阻尼率差異很大的振子耦合而產(chǎn)生的，所得的光譜(圖3(c))顯示出典型的不對(duì)稱性，在波峰和波谷之間急劇變化。光學(xué)體系的研究主要集中于Fano 共振產(chǎn)生的陡峭的透射-反射曲線，以及從透射到反射的急劇轉(zhuǎn)變。這個(gè)特性可用于實(shí)現(xiàn)光子體系中的一些開關(guān)器件[41-42]。

耦合模理論是描述開放體系下多個(gè)模式和多個(gè)端口相互作用的建模工具[19,43](圖3(d))，其基本方程如下：

其中，a=(a1a2···an)T表示每個(gè)共振模式的振幅， |s+〉與 |s?〉分別描述體系入射和出射波函數(shù)， Ω與 Γ均 為n×n的厄米矩陣，分別用于描述每個(gè)模式的共振頻率與輻射損耗，KT代表每個(gè)端口的入射波函數(shù)與模式的相互作用，D代表被激勵(lì)的共振模式與出射波函數(shù)在端口處的耦合，C矩陣描述的是背景矩陣，即共振模式不存在時(shí)背景對(duì)入射波函數(shù)的散射。式(2)和式(3)分別描述了體系模式在入射波激勵(lì)下的響應(yīng)與體系的散射過(guò)程。時(shí)間反演與能量守恒條件保證了這些參數(shù)之間并不是完全獨(dú)立的，滿足：

其中，“?”與“?”分別表示取共軛轉(zhuǎn)置與取共軛，后文同理。由此便可通過(guò)擬合來(lái)分析多個(gè)共振模式耦合的復(fù)雜情況，該理論在研究光學(xué)共振體系時(shí)有著廣泛的應(yīng)用和影響。耦合模理論給出了清晰的物理圖像，在幫助人們理解的基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步指導(dǎo)真實(shí)體系設(shè)計(jì)。

從以上分析可以看出，上述理論方法或依賴數(shù)值模擬獲取參數(shù)，無(wú)法提供清晰的物理理解，或運(yùn)用唯象理論從已有結(jié)果出發(fā)推測(cè)物理圖像，依賴于從實(shí)驗(yàn)或者全波模擬中擬合得到的參數(shù)，往往用于分析已有的結(jié)果，而并不能起到直接預(yù)測(cè)未知結(jié)果的作用。這些方法由于缺乏對(duì)體系物理本質(zhì)的深入探究，對(duì)于耦合問(wèn)題的理解仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

針對(duì)這一問(wèn)題，本研究團(tuán)隊(duì)展開了一系列研究。從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)出不依賴于擬合參數(shù)即可有效描述電磁共振體耦合之間的理論方法，并給出相應(yīng)的物理理解，然后，利用該方法解釋實(shí)際遇到的耦合體系問(wèn)題。通過(guò)深入理解人工原子間的耦合方式，以探尋超構(gòu)表面設(shè)計(jì)新機(jī)理。

3 近似封閉體系的耦合理論

3.1 光子緊束縛近似理論與等效模型理論

當(dāng)兩個(gè)光子共振體相互靠近時(shí)會(huì)耦合產(chǎn)生新的、雜化的共振，這是一個(gè)基本現(xiàn)象，在物理學(xué)的所有領(lǐng)域都可以觀察到。所謂的緊束縛方法(TBM)或原子軌道的線性組合（LCAO）理論就是通過(guò)計(jì)算局域波函數(shù)的交疊積分來(lái)計(jì)算耦合[44]。緊束縛理論可以幫助人們理解耦合并且在理論指導(dǎo)下調(diào)制耦合強(qiáng)度，或者計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)。

TBM 最初用于研究固體中的電子性質(zhì)，是量子體系中處理耦合問(wèn)題的非常有效的方法之一。薛定諤方程的波動(dòng)性質(zhì)意味著在量子體系下發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)方法在電磁學(xué)中也適用[45]。早期光子體系的TBM 要么基本上是經(jīng)驗(yàn)公式，交疊積分（即耦合強(qiáng)度）通過(guò)擬合全波計(jì)算或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)獲得[46-47]，要么往往只能直接計(jì)算介電常數(shù) ε和磁導(dǎo)率 μ與頻率無(wú)關(guān)的非色散系統(tǒng)的波函數(shù)交疊積分[48-49]。這是一個(gè)嚴(yán)重的限制，因?yàn)榇蠖鄶?shù)構(gòu)成等離子體系和光學(xué)超構(gòu)材料的結(jié)構(gòu)不可避免地具有頻率依賴（色散）的介電常數(shù)。因此，建立一個(gè)統(tǒng)一的理論來(lái)研究一般光子體系（無(wú)論是否色散）中的耦合問(wèn)題是非常必要的。

Raman 和Fan 將麥克斯韋方程組寫為“類薛定諤方程”的形式，建立起適用于色散體系的哈密頓形式[50]。考慮光子晶體、超構(gòu)材料等納米周期性光子結(jié)構(gòu)，假設(shè)構(gòu)成體系的色散介質(zhì)的介電常數(shù)滿足洛倫茲形式如下：

其中 ωp為等離子頻率， ω0為特征頻率， Γ為吸收阻尼。這個(gè)介電常數(shù)的色散形式可以由金屬中電子對(duì)外界電場(chǎng)的響應(yīng)推導(dǎo)而來(lái)。設(shè)電場(chǎng)為E?，磁場(chǎng)為H? ，引進(jìn)極化場(chǎng)P?與極化速度（即極化電流）v?=dP?/dt作為輔助場(chǎng)，就可以得到色散介質(zhì)中電磁場(chǎng)的基本方程為：

考慮無(wú)損耗體系，即Γ=0的情況。定義內(nèi)積為：

對(duì)于本征頻率不同的本征函數(shù)滿足正交關(guān)系〈φm|φn〉=δmn，值得注意的是〈φm|φm〉的物理意義為模式m的能量，這里默認(rèn)已經(jīng)做了歸一化處理。

由此色散光子晶體和光學(xué)超構(gòu)材料的能帶結(jié)構(gòu)的求解問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩陣本征值問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值求解該本征值即可獲得體系的能帶與本征模式的波函數(shù)場(chǎng)分布（見圖4）。

圖4 (a)光子晶體能帶與(b-c)本征波函數(shù)場(chǎng)分布[50]Fig.4 (a)Computed band structure and (b-c)visualizationsof two field components[50]

由此便獲得了可以完全描述電磁共振/散射體系的類薛定諤方程，并且定義了其度規(guī)和內(nèi)積的形式。有了這個(gè)形式，就可以借用量子力學(xué)中各種成熟理論方法來(lái)計(jì)算光學(xué)共振體系的耦合。考慮高Q近似下，每個(gè)共振體共振時(shí)波函數(shù)高度局域在結(jié)構(gòu)周圍，由此可將體系近似為封閉體系，將共振結(jié)構(gòu)自身近似為與時(shí)間無(wú)關(guān)的微擾“勢(shì)場(chǎng)”。此近似下，便可將電子體系的緊束縛方法代入色散光子共振體系的緊束縛近似理論推導(dǎo)中，由此求解在此微擾下體系的能級(jí)與波函數(shù)所發(fā)生的變化[51]。

考慮在背景(介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為εh(ω)和 μh(r?))中有多個(gè)全同的光子散射體(第i個(gè)共振體介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為 εi(ω,r?)和 μi(r?))的體系，假設(shè)介電常數(shù)都滿足洛倫茲模型（公式(5)）。首先考慮只有單個(gè)散射體的情況，此時(shí)體系可被描述為：

其中H?h為 背景體系的哈密頓量，V?i為該共振體提供的勢(shì)場(chǎng)：

由此可解得該共振體的一系列本征模式的波函數(shù)分布與對(duì)應(yīng)的本征頻率。

接下來(lái)考慮有多個(gè)共振體的體系，其哈密頓量為：

其中〈Φ|Φ〉是歸一化因子，代表局域模式的電磁總能量。這里值得注意的是，由于所處理的體系并不是真正的封閉體系，因此計(jì)算歸一化因子時(shí)不能直接對(duì)全空間進(jìn)行能量積分，這是因?yàn)檫h(yuǎn)場(chǎng)輻射的存在會(huì)導(dǎo)致能量積分發(fā)散。故需要減除輻射能的影響，從而獲得模式的局域場(chǎng)部分能量。可以通過(guò)積分計(jì)算出以單一共振體為球心，不同半徑R的球體空間內(nèi)部的能量E，然后畫出能量E與半徑R之間的關(guān)系圖，如圖5(a)(右圖)所示，最終得到的E-R曲線切線在縱軸上的截距就是想要的減除了輻射能量的局域場(chǎng)能量，即歸一化因子〈Φ|Φ〉。 最后，通過(guò)對(duì)角化哈密頓量Hi,j=(f0+ti,i)δi,j+ti,j(1?δi,j)即可得到整個(gè)耦合體系的本征頻率與本征波函數(shù)分布。

從最簡(jiǎn)單的兩體耦合系統(tǒng)開始進(jìn)行理論驗(yàn)證。如圖5(b)所示，使用能在508.2 THz達(dá)到共振的單金屬棒，另加一根全同的金屬棒之后，發(fā)現(xiàn)原始的共振頻率會(huì)劈裂成兩個(gè)。為了從多個(gè)方面驗(yàn)證理論計(jì)算的精確性，改變兩根金棒的距離和它們各自的形狀，分別計(jì)算其耦合作用，并進(jìn)行模擬和理論的對(duì)比?？梢钥吹剑M結(jié)果與緊束縛方法的預(yù)測(cè)結(jié)果完全吻合。

圖5 (a)歸一化方法；(b)光子緊束縛理論的數(shù)值驗(yàn)證[51]Fig.5 (a) Normalization method;(b)numerical verification of generalized TBM[51]

緊束縛方法可以預(yù)測(cè)很多常用光學(xué)共振結(jié)構(gòu)的耦合結(jié)果，其對(duì)于各種形狀、各種擺放方式的共振體，都可以非常精確地計(jì)算出共振頻率的偏移與劈裂。然而，緊束縛方法作為形式理論，仍缺少足夠清晰的物理圖像來(lái)理解耦合現(xiàn)象，可以更進(jìn)一步地將其模型化。

對(duì)于兩體耦合體系(圖6(a))，從t1,2的原始表達(dá)式(式(12))出發(fā)導(dǎo)出一個(gè)簡(jiǎn)單且物理圖像清晰的解析形式。將波函數(shù)形式代入式(12)，由內(nèi)積定義(式(8))計(jì)算可得：

現(xiàn)在對(duì)式(13)所描述的方程做進(jìn)一步展開。先將電場(chǎng)展開為標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)的貢獻(xiàn)E?2=??φ2?(?iω0)A?2，代入式(13)可得：

其中：

從表達(dá)式中可以看出，p?,m?和 〈Φ|Φ〉是僅有的需要基于單共振體進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的3個(gè)參數(shù)。一旦從第一性原理計(jì)算中獲得這3個(gè)參數(shù)，一般情況下的耦合就可以很容易地由式(17)～式(18)中推導(dǎo)出來(lái)，無(wú)需進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算。這個(gè)重要特征不僅節(jié)省了大量的數(shù)值計(jì)算工作，而且使物理圖像對(duì)于非專家和實(shí)驗(yàn)人員來(lái)說(shuō)更加清晰。由此便成功地（從第一性原理）導(dǎo)出了一個(gè)可描述一般形狀的光子共振體之間耦合行為的解析模型[52]。

解析模型包含了共振結(jié)構(gòu)等效電偶極子和磁偶極子之間的所有相互作用項(xiàng)，其有效性通過(guò)各種結(jié)構(gòu)的全波模擬得到了很好的驗(yàn)證。有了等效模型，可以不用通過(guò)復(fù)雜計(jì)算就可以預(yù)測(cè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)中等離子體耦合的豐富行為，并且可以理解復(fù)雜現(xiàn)象背后的內(nèi)在物理。例如，我們發(fā)現(xiàn)在所設(shè)計(jì)的模型中，電磁交叉相互作用項(xiàng)可以導(dǎo)致某些耦合系統(tǒng)中出現(xiàn)有趣的模式反轉(zhuǎn)行為（見圖6(b)）。此外，可根據(jù)有效模型得出一個(gè)簡(jiǎn)單推論：通過(guò)簡(jiǎn)單地改變共振結(jié)構(gòu)的相對(duì)角度，耦合強(qiáng)度可以從正值持續(xù)調(diào)整到負(fù)值，從而產(chǎn)生許多有趣的應(yīng)用。如圖6(c)所示，當(dāng)體系的耦合強(qiáng)度非常低的時(shí)候，色散關(guān)系趨向于一條平的直線，能量傳輸發(fā)生在非常深亞波長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，這使得能帶體系中傳輸波的群速度非常低，為實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單深亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)中的慢波傳輸提供了一種新穎的機(jī)制，與采用布拉格散射[54]或電磁感應(yīng)透明效應(yīng)[55]的慢波實(shí)現(xiàn)機(jī)制非常不同。

圖6 (a)兩體耦合示意圖；(b)數(shù)值驗(yàn)證等效模型；(c)通過(guò)調(diào)制耦合實(shí)現(xiàn)慢波系統(tǒng)[52]Fig.6 (a)Schematic diagram of the coupling system;(b)numerical verification of theeffective model;(c)realization of an ultraslow-wave plasmon transport by modulation coupling[52]

3.2 應(yīng)用：超構(gòu)表面的角度色散研究與調(diào)控

人們?cè)诶贸瑯?gòu)材料和超表面設(shè)計(jì)及制備光場(chǎng)調(diào)控器件時(shí)，發(fā)現(xiàn)體系對(duì)不同入射角度的電磁（光）波往往表現(xiàn)出非常不一樣的電磁響應(yīng)[56-57]。這種體系電磁響應(yīng)強(qiáng)依賴于電磁（光）波入射角度的基本特性就是所謂的角度色散。在大多數(shù)情況下，體系的角度色散往往表現(xiàn)為體系共振頻率隨入射角度的偏移，如圖7所示。雖然人們?cè)缇陀^測(cè)到超構(gòu)材料中的角度色散現(xiàn)象，但對(duì)于其背后的物理機(jī)理研究比較少，基本還處于零星孤立的狀態(tài)，缺乏簡(jiǎn)單明了的物理圖像和準(zhǔn)確的理論模型來(lái)明確指導(dǎo)體系角度色散的自主調(diào)控。

圖7 開口環(huán)陣列的角度色散現(xiàn)象[56]Fig.7 Angular dispersion of the SRR array[56]

前文建立的緊束縛方法和等效模型，都是對(duì)于兩體（或有限個(gè)體）耦合問(wèn)題成立的，為了探究超構(gòu)表面的角度色散來(lái)源，需要將兩體問(wèn)題的解推廣到周期體系。根據(jù)式(13)可寫出周期體系任意兩個(gè)人工原子間的耦合強(qiáng)度:

J0、J1、J2分別代表某個(gè)人工原子與行內(nèi)人工原子的耦合、兩行最近鄰人工原子之間的耦合以及兩行次近鄰人工原子之間的耦合；P與k0=ω/c分別代表晶格常數(shù)以及入射電磁波在自由空間中的波矢。由此可見，只要獲得單個(gè)人工原子的波函數(shù)就可以直接計(jì)算推測(cè)體系的角度色散行為。比如，對(duì)于THz 波段的開口環(huán)結(jié)構(gòu)超構(gòu)表面，本課題組通過(guò)計(jì)算開口環(huán)之間的耦合強(qiáng)度成功解釋了圖7中TM偏振波與TE偏振波所激發(fā)的共振頻率有著完全相反的角度色散行為這一現(xiàn)象[56]。由上述分析可知，由于體系中每一個(gè)人工原子都會(huì)與周圍的所有人工原子發(fā)生耦合，因此，孤立人工原子的共振頻率會(huì)劈裂成一條能帶，而不同角度入射的電磁波所激發(fā)的模式本質(zhì)上是能與入射電磁波的平行矢量匹配的Bloch 模式[58]。因此，體系的共振頻率會(huì)隨著晶格內(nèi)的波矢變化，而兩個(gè)共振體之間的耦合強(qiáng)度會(huì)影響這個(gè)變化的幅度。

接下來(lái)，將研究譜線Q值的角度色散?？紤]金屬結(jié)構(gòu)-介質(zhì)層-金屬襯底（MIM）結(jié)構(gòu)的全吸收超表面，通過(guò)使用耦合模理論擬合模擬得到的各個(gè)入射角照射下的反射率和反射相位，可以得到不同角度入射下的輻射阻尼和吸收阻尼。我們發(fā)現(xiàn)吸收阻尼和輻射阻尼均不隨角度的變化而變化[59]。這是由于吸收阻尼主要由材料的性質(zhì)決定，與入射角度無(wú)關(guān)。而由于MIM 體系所激發(fā)的模式是一個(gè)典型的磁共振模式，正如第2.1節(jié)介紹的那樣，共振時(shí)上層的金屬結(jié)構(gòu)會(huì)和最下層的金屬層形成沿x方向的反向電流，這一電流回路會(huì)激發(fā)沿y方向的磁偶極子，而這些磁偶極子在x-z平面的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射是各向同性的。根據(jù)耦合模理論，輻射阻尼與模式的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射能力成正比[44-45]，因此輻射阻尼也表現(xiàn)出非常弱的角度依賴性。

以上這些分析清楚地揭示了超構(gòu)表面中角度色散的物理根源：人工原子之間的近場(chǎng)耦合特性決定了體系共振頻率隨入射角度的偏移，而人工原子的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性決定了體系譜線線形隨入射角的變化[59]。這些物理理解為人們提供了兩種不同的控制超構(gòu)表面角度色散行為的方法。

首先，由于超表面共振頻率的角度色散行為是由人工原子之間的耦合強(qiáng)度決定的，只需要人為設(shè)計(jì)超構(gòu)表面中相鄰人工原子之間的耦合強(qiáng)度，就可以自由地控制這個(gè)超表面的角度色散強(qiáng)弱。比如，可以通過(guò)簡(jiǎn)單調(diào)整人工原子間的位置構(gòu)型實(shí)現(xiàn)體系整體人工原子間的近場(chǎng)耦合強(qiáng)度的最小化，以消除由近場(chǎng)耦合效應(yīng)引起的共振頻率偏移，從而實(shí)現(xiàn)入射角度不依賴功能性器件（圖8(a)）。

其次，可充分調(diào)控角度色散的另外一個(gè)重要因素——人工原子的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射。由于體系中的模式為磁偶極子，垂直于入射波的電場(chǎng)偏振方向，體系的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射是各向同性的，因此不管在任何入射角下都能保持輻射阻尼等于吸收阻尼的臨界條件。若入射電磁波平行于磁偶極子方向，體系的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射就是各向異性的了，此時(shí)只有在特定角度才有可能達(dá)到全吸收的臨界條件，由此實(shí)現(xiàn)了角度選擇性的全吸收器件（圖8(b)）。

進(jìn)一步地，可利用體系對(duì)TM 和TE偏振光截然不同的角度色散特性來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。超構(gòu)表面對(duì)TE偏振光的共振頻率幾乎不隨入射角度發(fā)生變化，而TM 偏振光的共振頻率會(huì)隨入射角的增大發(fā)生明顯藍(lán)移。因此，在不同入射角度下利用TE和TM 模式間不同反射相位差即可實(shí)現(xiàn)角度依賴的多功能偏振調(diào)控。基于此原理設(shè)計(jì)的反射式超構(gòu)表面可對(duì)不同角度入射光實(shí)現(xiàn)不同的偏振轉(zhuǎn)化，可將不同角度入射的線偏振分別轉(zhuǎn)換為橢圓偏振，圓偏振或交叉極化偏振等（圖8(c)）。

自由調(diào)控超表面角度色散的能力也為實(shí)現(xiàn)基于非均勻超表面的角度依賴雙功能波前調(diào)控器件提供了一條新的途徑。相比單一的人工原子，可采用更復(fù)雜的不全同的長(zhǎng)短金屬棒結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)最大的優(yōu)勢(shì)就是可以通過(guò)自由調(diào)節(jié)棒的長(zhǎng)度L1來(lái)控制人工原子的初始相位，并且通過(guò)調(diào)節(jié)L2來(lái)調(diào)控人工原子間的耦合，從而自由調(diào)控角度色散強(qiáng)弱。如圖8(d)所示，通過(guò)構(gòu)建一系列具有特定角度色散特性的人工原子，并將其按一定的相位條件分布組合形成非均勻超構(gòu)表面，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)不同角度入射光的不同波前調(diào)控：在正入射情 況下，該超構(gòu)表面具有反射聚焦功能，而60°斜入射情況下，具備鏡面反射功能。

圖8 基于調(diào)制耦合與輻射實(shí)現(xiàn)的(a)無(wú)角度色散全吸收器件；(b)角度選擇性的全吸收器件；(c)角度依賴的多功能偏振調(diào)控器件；(d)非均勻超表面的角度依賴雙功能波前調(diào)控器件[59]Fig.8 (a)Incident-angle-insensitive meta-absorber；(b)incident-angle-selective meta-absorber；(c)angle-multiplexed metapolarizer ；(d)angle-multiplexed wavefront controller based on modulation coupling and radiation[59]

這一系列研究結(jié)果不僅揭示了超構(gòu)表面中角度色散的物理根源，而且還提出了一條高效自由調(diào)控超構(gòu)表面角度色散的新途徑，從而打開了“入射角度”這一全新的調(diào)控自由度，極大拓展了超構(gòu)表面對(duì)電磁波的調(diào)控能力，為實(shí)現(xiàn)更多角度依賴的多功能器件提供了全新的平臺(tái)。

4 開放體系的耦合理論

4.1 開放體系下模式概念的拓展與泄露本征模的引入

在第三節(jié)中，我們建立了在近似封閉體系下的電磁共振體的耦合理論，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了將物理圖像展示得更為清晰的等效模型。在近似封閉體系的處理方法中，我們將共振體的耗散（包括輻射與吸收）當(dāng)作微擾來(lái)處理，先求解沒有吸收的共振結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)唯象理論擬合結(jié)構(gòu)與環(huán)境的耦合參數(shù)（即3.2節(jié)中用耦合模理論擬合單人工原子輻射強(qiáng)度）。這個(gè)處理方式在高Q體系中非常成功（正如前文所驗(yàn)證的那樣）。

然而，到目前為止，我們求解的都是“近似封閉體系”問(wèn)題，所以理論都只能預(yù)測(cè)共振模式的頻率。而實(shí)際光學(xué)體系中，我們面對(duì)的都是開放體系，光學(xué)共振體一般都是在一定的外場(chǎng)入射下被激發(fā)，然后再輻射到環(huán)境中。在實(shí)際問(wèn)題中，除了共振頻率外，還有兩個(gè)非常重要的自由度：共振的輻射能力（反比于模式的品質(zhì)因數(shù)“Q值”）和共振態(tài)附近的譜線形狀。

雖然物理上光子共振體的耗散性質(zhì)很容易被接受，但引入電磁場(chǎng)的具有耗散的模式似乎不太直觀。事實(shí)上，人們通常會(huì)提到某諧振器的Q因子，但很少提到電磁場(chǎng)耗散模式的Q因子。這里有一個(gè)概念上的問(wèn)題，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)“模式”一詞往往對(duì)應(yīng)厄米特征值問(wèn)題的解，因此開放體系下任何具有耗散的模式似乎不屬于這個(gè)定義的范疇[60]。由此人們對(duì)“模式”的定義進(jìn)行了拓展，從概念上，將給定微分方程的本征函數(shù)定義為“模式”。然而，微分方程本身并不構(gòu)成一個(gè)定義明確的問(wèn)題，只有通過(guò)引入一組邊界或輻射條件，才能得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)足夠嚴(yán)格的表述，可以稱之為“模式”。從這個(gè)角度看，封閉體系的模式與開放體系的模式屬于不同的種類，因?yàn)樗鼈儩M足不同的邊界條件。

例如，在電磁學(xué)中，人們將無(wú)源麥克斯韋方程組的本征函數(shù)集合定義為“模式”，即所謂的準(zhǔn)模（QuasiNormal Modes，QNMs[61]），其在無(wú)窮遠(yuǎn)處滿足Silver-Müller 輻射條件。此條件下無(wú)源麥克斯韋方程組不存在實(shí)數(shù)頻率解，因此準(zhǔn)模是一系列具有分立的復(fù)數(shù)本征頻率的“本征模式”。從概念和計(jì)算的角度來(lái)看，QNM 框架是很有吸引力的，因?yàn)樵谝话闱闆r下，可能沒有方法來(lái)計(jì)算甚至定義一個(gè)嚴(yán)格的封閉體系。即使在可以做出這種定義的情況下，與環(huán)境的耦合也可能導(dǎo)致大量的頻移和波函數(shù)畸變。而且基于QNMs的模型構(gòu)建與微擾閉腔模型相比并不復(fù)雜，主要區(qū)別在于QNM 框架通常提供了一種明確而精確的方法來(lái)計(jì)算模型中的各種耦合參數(shù)。QNM 廣泛地應(yīng)用于建模納米光學(xué)的真實(shí)體系。比如QNMs可用于時(shí)域耦合模理論的推導(dǎo)[62]，處理非線性材料[63]，耦合腔波導(dǎo)系統(tǒng)中的QNMs用于微擾理論和Purcell 因子計(jì)算[64]等。

QNM方法雖然應(yīng)用非常廣泛，其仍存在一些問(wèn)題，比如，其對(duì)計(jì)算資源要求很高，再比如，在數(shù)學(xué)上，QNM 服從輻射條件而不是邊界條件導(dǎo)致了相關(guān)概念和計(jì)算上的困難，因?yàn)檩椛錀l件相對(duì)難以處理[60]。常用的PML 截?cái)喾▌t與輻射條件缺乏明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這意味著模式的許多特性沒有得到廣泛的理解，比如QNMs在大距離下的發(fā)散特性。特別值得注意的是，準(zhǔn)模理論用于求解人們所關(guān)心的多個(gè)共振體之間的耦合問(wèn)題并不高效。由于QNMs并不局域，若直接套用LCAO框架，將導(dǎo)致共振體距離越遠(yuǎn)交疊積分越大的非物理結(jié)果。以一維體系的多層結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題為例，準(zhǔn)模方法主要是通過(guò)建立和求解由各個(gè)層的QNMs建立的自洽矩陣方程，以找到散射矩陣的極點(diǎn)，運(yùn)算量很大。

這里我們采用另一種思路定義模式以構(gòu)建開放體系的總波函數(shù)?？紤]開放自由空間中存在M個(gè)共振體，可由通過(guò)N個(gè)端口入射的外場(chǎng)激發(fā)。該體系的薛定諤方程為：

考慮散射體存在的情況，此時(shí)開放體系下每個(gè)共振模式的本征波函數(shù)不再由求解本征值問(wèn)題來(lái)獲取。由此我們引進(jìn)“泄露本征模”(Leaky Eigen Mode,LEM)的概念[65]?？紤]體系只有第m個(gè)散射體存在的情況，改變?nèi)肷洳l率，當(dāng)體系響應(yīng)最大時(shí)，取響應(yīng)的頻率作為“模式”的“本征”頻率 ωm，在此入射頻率 ωm下 的總場(chǎng)為Ψ(ωm,r?)，背景場(chǎng)為ΨB(ωm,r?)，則取總場(chǎng)減去背景場(chǎng)的部分作為L(zhǎng)EM 模式場(chǎng)分布:

從圖9(a)可以看出這個(gè)“模式”是帶“輻射尾巴”的。當(dāng)這個(gè)“模式”足夠局域，即與外界“溝通”的部分足夠小(也就是Q值夠高)，將總波函數(shù)直接減去入射波函數(shù)作為“模式”部分就會(huì)比較準(zhǔn)確，因?yàn)榇藭r(shí)入射場(chǎng)與其相比是如此之小，以至于可以忽略不計(jì)。

圖9 （a）泄露本征模式的獲取方式與（b）近遠(yuǎn)場(chǎng)分離Fig.9 (a)The way to obtain the leaky eigen mode and (b)separation of the near-and far-field

以上模式均為已做好歸一化。

值得注意的是，以上所有波函數(shù)的場(chǎng)分布都是在共振頻率 ωm處得到的。LEM 的本質(zhì)是一個(gè)受迫振動(dòng)模式，其應(yīng)該被調(diào)整到任意頻率 ω。在高Q近似下，我們認(rèn)為近場(chǎng)部分的場(chǎng)分布不隨外場(chǎng)入射頻率的變化而變化，僅需要把時(shí)諧因子用e?iωt替換掉e?iωmt即可，遠(yuǎn)場(chǎng)輻射部分則需要做相應(yīng)調(diào)整，除了時(shí)諧因子外，還需要用波矢k(ω)替換掉k(ωm)。

從以上分析可以看出，泄露本征模式是在實(shí)數(shù)頻率下獲得的，具有實(shí)際的物理意義，與準(zhǔn)模十分不同。圖10直觀地展示了二者波函數(shù)的不同。

圖10 不同體系的泄露本征模式與準(zhǔn)模的對(duì)比[65]Fig.10 Comparisonsof LEM and QNM for different systems[65]

4.2 基于泄露本征模耦合理論的超構(gòu)表面調(diào)控

C nn′為體系的背景散射矩陣，dnm為模式m對(duì)端口n的散射，端口離模式足夠遠(yuǎn)，近場(chǎng)已經(jīng)衰減完畢，因此可化簡(jiǎn)。這樣就得到了散射方程的具體形式。

式(28)～式(31)構(gòu)成了開放體系理論的核心內(nèi)容，描述了開放系統(tǒng)中的模式演化和散射。它們清楚地顯示了模式在外部激勵(lì)下發(fā)生受迫振動(dòng)的物理過(guò)程。綜上所述，我們建立起了開放體系下的形式耦合理論。對(duì)于任何一個(gè)給定的體系，只需要其滿足高Q近似，原則上都可以將具體的哈密頓量形式與內(nèi)積形式代入形式耦合理論中，從而獲得體系的動(dòng)力學(xué)方程和散射方程。該理論能夠準(zhǔn)確計(jì)算處理模式間的不同耦合方式，包含了近場(chǎng)相互作用和通過(guò)輻射通道產(chǎn)生的遠(yuǎn)場(chǎng)干涉，并給出清晰的物理圖像。

耦合理論加深了對(duì)于耦合這一現(xiàn)象的物理理解，能夠進(jìn)一步指導(dǎo)調(diào)控耦合行為，從而為實(shí)現(xiàn)調(diào)控響應(yīng)譜線提供了可能性。原則上只要獲得單散射體的泄露本征波函數(shù)，便可以計(jì)算任意分布的散射體間的耦合，從而預(yù)測(cè)該耦合體系的光學(xué)響應(yīng)（如透/反射或散射譜）。這啟發(fā)我們通過(guò)設(shè)計(jì)模式間的耦合強(qiáng)度從而實(shí)現(xiàn)對(duì)最終譜線線型的設(shè)計(jì)。

如圖11所示，我們以超表面的兩模式耦合為例，建立起普適的相圖來(lái)指導(dǎo)改變所涉及的兩個(gè)模式之間的耦合，根據(jù)實(shí)際需要定制耦合光學(xué)系統(tǒng)的譜線線形。基于所發(fā)展的理論直接計(jì)算預(yù)測(cè)不同相對(duì)角度下的兩個(gè)散射體之間的耦合強(qiáng)度以及其相對(duì)應(yīng)的透反射譜線，建立起結(jié)構(gòu)分布同譜線行為的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而通過(guò)設(shè)計(jì)散射體耦合實(shí)現(xiàn)了對(duì)響應(yīng)譜線線型的設(shè)計(jì)。

圖11 通過(guò)控制復(fù)雜光子體系的耦合強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)對(duì)譜線線形的自由調(diào)控與完全“暗”模式的構(gòu)建[65]Fig.11 Tailoring of the lineshapesof the coupled plasmonic and achieving BIC by modulating the coupling strength between the resonators[65]

我們發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，盡管光學(xué)共振體自身可能表現(xiàn)出較大的輻射損耗，依然可以通過(guò)設(shè)計(jì)波函數(shù)分布以調(diào)整模式之間的耦合，從而產(chǎn)生輻射損耗為0的完全“暗”模式，即所謂的BIC(Bound State in Continuum)。所有理論上的預(yù)測(cè)都通過(guò)一系列近紅外實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了定量驗(yàn)證。

5 總結(jié)與展望

超材料設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一，就是作為人工原子的光子共振體的選擇。光子共振體的光響應(yīng)效率和響應(yīng)方式基本決定了超材料的效率和功能。因此，對(duì)光子共振體的響應(yīng)研究是超材料研究中十分重要的一環(huán)。本文集中討論了如何處理人工原子的耦合問(wèn)題。以近似封閉體系為起點(diǎn)，將麥克斯韋方程組改寫成了“類薛定諤方程”的形式，將建立好的方程代入量子力學(xué)和固體物理中已經(jīng)發(fā)展成熟的處理方法中，建立了色散光學(xué)體系下的緊束縛方法。我們進(jìn)一步以此為基礎(chǔ)，進(jìn)行多極矩展開，得到了具有清晰物理理解的等效模型。在此理論指導(dǎo)下，我們理解了角度色散現(xiàn)象的物理內(nèi)涵，對(duì)角度色散行為的物理挖掘?yàn)檎{(diào)控電磁波提供了一個(gè)新的自由度，顯著擴(kuò)展了超表面操控電磁波的能力，刺激了角度依賴的多功能元器件的設(shè)計(jì)和應(yīng)用。

最后，我們將理論進(jìn)一步推至開放光學(xué)共振體系。通過(guò)引入泄露本征模式的概念，可以同時(shí)考慮近場(chǎng)與遠(yuǎn)場(chǎng)的相互作用，并以此作為基礎(chǔ)對(duì)復(fù)雜耦合體系的總波函數(shù)進(jìn)行重新構(gòu)建。由此，我們從第一性原理出發(fā)建立了一個(gè)完整的理論框架，其中所有重要的耦合參數(shù)都可以直接進(jìn)行計(jì)算而無(wú)需擬合，從而使直接預(yù)測(cè)耦合光子體系的光學(xué)響應(yīng)(包括模式頻率和譜線線形)成為可能。

我們建立的耦合理論不僅可以幫助研究人員了解在光子系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的獨(dú)特光譜線形背后的豐富物理原理，更重要的是，它能作為全新的理論工具來(lái)指導(dǎo)設(shè)計(jì)滿足特定需求的光學(xué)響應(yīng)系統(tǒng)，幫助人們實(shí)現(xiàn)對(duì)于光與物質(zhì)相互作用的更自由且明確的調(diào)制，并且原則上可以該形式擴(kuò)展到其他類型的波的耦合系統(tǒng)進(jìn)行研究。該理論為已被廣泛使用的耦合模理論提供了扎實(shí)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)，揭示了耦合模理論中所有經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的明確物理含義，同時(shí)為研究人員提供了一套強(qiáng)大工具用于理解并調(diào)控多共振體間的耦合行為，為按需“設(shè)計(jì)”耦合光子系統(tǒng)提供了可能。