基于級聯(lián)四波混頻過程的量子導(dǎo)引*

翟淑琴 康曉蘭 劉奎

1) (山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院, 太原 030006)

2) (山西大學(xué)光電研究所, 量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

多組份量子導(dǎo)引是一種重要的量子資源, 是安全量子通信網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ).本文設(shè)計了串聯(lián)級聯(lián)四波混頻和混合級聯(lián)四波混頻兩種不同的方案, 并基于這兩種方案分別產(chǎn)生了三組份量子導(dǎo)引和五組份量子導(dǎo)引, 通過構(gòu)建系統(tǒng)量子態(tài)的協(xié)方差矩陣, 理論研究了兩種方案產(chǎn)生不同模式組合間的導(dǎo)引參數(shù)隨四波混頻過程振幅增益的變化.結(jié)果表明, 利用這兩種方案可以實現(xiàn)多種類型的量子導(dǎo)引, 這一結(jié)果不僅有助于理解量子導(dǎo)引在多組份系統(tǒng)的分布而且在實際的安全量子通信網(wǎng)絡(luò)、量子秘密共享中具有重要的意義.

1 引 言

在量子光學(xué)領(lǐng)域, 量子關(guān)聯(lián)突破了經(jīng)典力學(xué)局域性的限制, 能描繪遠距離量子系統(tǒng)間的相互作用, 是量子信息處理過程中一種重要的資源.量子非局域性有三種表現(xiàn)形式: 貝爾非局域性[1]、量子導(dǎo)引以及量子糾纏[2], 其中量子導(dǎo)引描繪的是共享一對糾纏粒子的兩體系統(tǒng)中的一方通過對他手中的粒子進行測量可以推測另一方粒子所處的狀態(tài)[3?5].量子導(dǎo)引是介于貝爾非局域與量子糾纏之間的一種特殊的量子關(guān)聯(lián), 具有天然的不對稱性[6?10], 這對單端設(shè)備無關(guān)的安全量子通信[11?18]、量子秘密共享[19]等的實現(xiàn)是非常重要的.

多組份量子導(dǎo)引可以通過分束器網(wǎng)絡(luò)、光學(xué)頻率梳系統(tǒng)以及非線性過程產(chǎn)生.何瓊毅研究小組[20,21]利用線性光學(xué)分束器網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了連續(xù)變量四模以及八模量子導(dǎo)引、利用光學(xué)頻率梳系統(tǒng)實現(xiàn)了十六模量子導(dǎo)引[22].山西大學(xué)光電研究所利用兩個非簡并光學(xué)參量放大器(NOPA)產(chǎn)生了連續(xù)變量四組份方形cluster糾纏態(tài)光場, 并對輸出模式間的導(dǎo)引特性以及單配性關(guān)系進行了實驗驗證[20], 他們在利用NOPA產(chǎn)生雙模壓縮態(tài)的基礎(chǔ)上通過引入損耗, 實驗驗證了量子導(dǎo)引單向性的操控[23].產(chǎn)生量子導(dǎo)引的另一個有效的方法是基于銣原子的四波混頻過程.華東師大的李思謹[24]應(yīng)用四波混頻過程實現(xiàn)了多光束糾纏態(tài)的制備, 理論上應(yīng)用四波混頻實現(xiàn)了真空場中的三光束糾纏和四光束糾纏, 并且實驗上應(yīng)用級聯(lián)四波混頻過程制備出了三光束糾纏態(tài)以及四光束糾纏態(tài).四波混頻效應(yīng)具有強的非線性特性以及空間多模等特性[25],在沒有腔的情況下, 不發(fā)生模式選擇, 可以產(chǎn)生空間多模雙光束[26].此外, 原子介質(zhì)可以作為一個量子存儲器有效地存儲窄帶寬的糾纏光子[27?29].因此, 利用級聯(lián)四波混頻過程制備量子多光束糾纏態(tài)具有廣闊的應(yīng)用前景.本文基于四波混頻過程設(shè)計了串聯(lián)級聯(lián)四波混頻和混合級聯(lián)四波混頻兩種不同的方案, 分別實現(xiàn)了三組份以及五組份量子導(dǎo)引, 雖然后者與前者相比輸出光束只增加了兩個,但豐富了量子導(dǎo)引的種類, 這對安全量子網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建具有重要的意義.

本文的結(jié)構(gòu)設(shè)計如下, 第二部分介紹了量子導(dǎo)引的判定依據(jù), 第三部分基于設(shè)計的模型理論分析了輸出光束的協(xié)方差矩陣關(guān)系式, 第四部分研究了兩種模型輸出光束間的導(dǎo)引特性并進行了分析, 第五部分是對本文研究工作的總結(jié).

2 量子導(dǎo)引特性的判定

通過量子態(tài)的協(xié)方差矩陣可以量化輸出光模之間的導(dǎo)引特性.兩組份系統(tǒng)A (對應(yīng)用戶Alice)及B (對應(yīng)用戶Bob), 其中A中有m個模式,B中有n個模式, 可以用 ( mA+nB) 來表示, 則A,B系統(tǒng)的高斯量子態(tài)的協(xié)方差矩陣可以表示為

系統(tǒng) A (Alice) 對系統(tǒng) B (Bob) 的導(dǎo)引能力可以通過下式進行量化[30]:

式中 σAB表示兩體量子態(tài)的協(xié)方差矩陣,(j=1,···,nB) 表示矩陣=B-CTA-1C 的辛本征值.當(dāng) GA→B(σAB)＞0 時, 系統(tǒng) A (Alice) 可以導(dǎo)引系統(tǒng) B (Bob) .同樣, 系統(tǒng) B (Bob) 對系統(tǒng)A(Alice)的導(dǎo)引能力可以通過式子

來量化.當(dāng) GA→B(σAB)＞ 0 , 且 GB→A(σAB)＞0 , 但此時, 系統(tǒng)A可以導(dǎo)引系統(tǒng)B, 系統(tǒng)B也可以導(dǎo)引系統(tǒng)A, 但兩者間的導(dǎo)引能力不同, 體現(xiàn)出量子導(dǎo)引的不對稱性; 當(dāng)系統(tǒng)A可以導(dǎo)引系統(tǒng)B, 但系統(tǒng)B不可以導(dǎo)引系統(tǒng)A, 或當(dāng)系統(tǒng)B可以導(dǎo)引系統(tǒng)A, 但系統(tǒng)A不可以導(dǎo)引系統(tǒng)B, 此時體現(xiàn)出量子導(dǎo)引的單向性.

3 理論模型

3.1 方案一: 基于串聯(lián)級聯(lián)四波混頻的三組份量子導(dǎo)引

在四波混頻過程中, 泵浦光和信號光注入到銣原子蒸汽池中, 在泵浦光的作用下發(fā)生四波混頻效應(yīng)產(chǎn)生一對糾纏關(guān)聯(lián)光束, 這一過程滿足能量守恒和動量守恒, 依據(jù)四波混頻過程中的相互作用哈密頓量以及光模在海森堡表象下的運動方程, 可以寫出輸出光模與輸入光模之間的關(guān)系式.

圖1(a)為兩個四波混頻串聯(lián)級聯(lián)產(chǎn)生三組份量子導(dǎo)引的方案圖.如圖所示, 信號光和泵浦光注入到第一個銣原子蒸汽池中, 經(jīng)過第一個四波混頻過程后產(chǎn)生一對糾纏光束, 第一個四波混頻對應(yīng)的輸出輸入光模滿足下式:

圖1 (a)串聯(lián)級聯(lián)四波混頻產(chǎn)生三組份導(dǎo)引示意圖.是 信號光注入; 是真空模; P ump 是泵浦光注入.(b)混合級聯(lián)四波混頻產(chǎn)生五組份導(dǎo)引示意圖. 是信號光注入; 是真空模; P ump 是泵浦光注入; G i 為相應(yīng)的四波混頻過程的振幅增益Fig.1.(a) Schematic of generating tripartite steering using series four-wave mixing (FWM)processes. is the seed input; and are the vacuum modes; P ump is the pump input.(b)Schematic of generating quinquepartite steering using hybrid cascaded FWM processes. is the seed input;and are the vacuum modes; P ump is the pump input; G i is the amplitude gain of the corresponding FWM processes.

其中 G1為第一個四波混頻過程的振幅增益, G1與g1滿足關(guān)系式 接著,作為第二個四波混頻過程的信號光注入到第二個銣原子蒸汽池后產(chǎn)生一對糾纏光束用同樣的方法可以寫出第二個四波混頻過程所對應(yīng)的輸出光模的表達式.

3.2 方案二: 基于混合級聯(lián)四波混頻的五組份量子導(dǎo)引

圖1(b)為四個四波混頻過程混合級聯(lián)產(chǎn)生五組份量子導(dǎo)引的方案圖.如圖所示, 信號光和泵浦光注入第一個銣原子蒸汽池中, 經(jīng)過第一個四波混頻過程后產(chǎn)生一對糾纏光束它們又分別作為第二個和第三個四波混頻過程的信號光注入,產(chǎn)生兩對糾纏光束接著作為第四個四波混頻過程的信號光注入到第四個銣原子蒸汽池后產(chǎn)生糾纏光束最終產(chǎn)生五模輸出基于上面的理論分析,該模型輸入輸出模的關(guān)系可以寫作其中

4 結(jié)果分析

4.1 方案一: 基于串聯(lián)級聯(lián)四波混頻的三組份量子導(dǎo)引特性分析

根據(jù)串聯(lián)級聯(lián)四波混頻方案, 利用導(dǎo)引判據(jù)(2)可以研究不同輸出模組合間的量子導(dǎo)引特性.圖2為(1 + 1)型導(dǎo)引, 在圖2(a)中, 取 G2=1.5 , 研究了 A1, C1之間以及 B1, C1之間導(dǎo)引參數(shù)隨 G1的變化, 在圖中的整個取值范圍內(nèi) B1, C1之間的導(dǎo)引是雙向不對稱的, A1, C1之間的導(dǎo)引是單向的.在圖2(b)中, 取 G1=1.5 , 研究了 A1, C1之間以及B1, C1之間的導(dǎo)引參數(shù)隨 G2的變化.由圖2(b)可以看出, 當(dāng) 1 ＜G2＜1.25 時, 可以實現(xiàn) A1, C1之間不對稱雙向?qū)б? 此時, C1→B1單向?qū)б? 當(dāng)G2＞1.25 時, 可以實現(xiàn) B1, C1之間不對稱雙向?qū)б? 此時, C1→A1單向?qū)б? 且 B1, C1之間的導(dǎo)引參數(shù)隨 G2的增大而增大, 這是因為增大第二個四波混頻的振幅增益增強了 B1, C1之間的量子關(guān)聯(lián); A1, C1之間的導(dǎo)引參數(shù)隨 G2的增大而減小,這是因為光束 C1是來自于第一個四波混頻過程FWM1產(chǎn)生的信號光經(jīng)過第二個四波混頻過程FWM2放大產(chǎn)生的, 這一過程引入了額外的噪聲使得 A1, C1之間的關(guān)聯(lián)減弱.從圖2(b)可以看出當(dāng) C1作為被導(dǎo)引的一方時, GA1→C1＞0 ,GB1→C1＞0 不能同時成立, 即兩個不同的系統(tǒng)不能同時導(dǎo)引第三個系統(tǒng)[31,32], 驗證了量子導(dǎo)引的單配性關(guān)系.

圖2 (a) G 2=1.5 時(1 + 1)型導(dǎo)引參數(shù)隨 G 1 的變化; (b) G 1=1.5 時(1 + 1)型 導(dǎo)引參數(shù)隨 G 2 的變化Fig.2.(a) The (1 + 1)-type steering parameters versus with G 1 for fixed G 2=1.5 ; (b) the (1 + 1)-type steering parameters versus with G 2 for fixed G 1=1.5 .

圖3 給出了(2 + 1)型及(1 + 2)型導(dǎo)引, 并比較了與(1 + 1)型導(dǎo)引的關(guān)聯(lián).圖3(a)及圖3(b)為 G2=1.5 時導(dǎo)引參數(shù)隨 G1的變化關(guān)系, 可以看出, (2 + 1)型以及(1 + 2)型的導(dǎo)引能力大于(1 +1)型的導(dǎo)引能力.圖3(c)及圖3(d)為 G1=1.5 時導(dǎo)引參數(shù)隨 G2的變化關(guān)系, 同樣, (2 + 1)型以及(1 + 2)型的導(dǎo)引能力均大于(1 + 1)型的導(dǎo)引能力, 這表明此種情況下多光束之間的聯(lián)合量子導(dǎo)引優(yōu)于兩路單光束間的導(dǎo)引, 為多用戶間量子網(wǎng)絡(luò)秘密共享提供了基礎(chǔ).

圖3 (a) G 2=1.5 時, (2 + 1)型導(dǎo)引參數(shù)隨 G 1的變化; (b) G 2=1.5 時, (1 + 2)型導(dǎo)引參數(shù)隨 G 1 的變化; (c) G 1=1.5 時,(2 + 1)型導(dǎo)引參數(shù) 隨 G 2 的變化; (d) G 1=1.5 時, (1 + 2)型導(dǎo) 引參數(shù)隨 G 2 的變化Fig.3.(a) The (2 + 1)-type steering parameter versus with G 1 for fixed G 2=1.5 ; (b) the (1 + 2)-type steering parameter versus with G 1 for fixed G 2=1.5 ; (c) the (2 + 1)-type steering parameter versus with G 2 for fixed G 1=1.5 ; (d) the (1 + 2)-type steering parameter versus with G 2 for fixed G 1=1.5 .

4.2 方案二: 基于混合級聯(lián)四波混頻的五組份量子導(dǎo)引特性分析

基于方案二產(chǎn)生的五個輸出模, 我們分析了不同模式組合與 E2之間的導(dǎo)引關(guān)系.

兩模聯(lián)合對 E2的導(dǎo)引情況如圖4所示.圖4(a)分析了(2 + 1)型導(dǎo)引, 并比較了與(1 + 1)型導(dǎo)引的關(guān)聯(lián), 將 C2D2→E2, C2→E2以及 D2→E2的導(dǎo)引作了對比.可以看出,且不能同時成立.圖4(b)分析了(2 + 1)型導(dǎo)引, 將不同的兩模聯(lián)合對 E2的導(dǎo)引情況作了對比.可以看出,不能同時成立,不能同時成立,驗證了兩個不同的系統(tǒng)不能同時導(dǎo)引第三個系統(tǒng)[31,32].從圖4(b)同時可以看出, 經(jīng)過一定的閾值條 件 后,隨 G4的增大而增大, 這是因為它們的關(guān)聯(lián)主要是來自于同一個四波混頻FWM4產(chǎn)生的 D2和 E2之間的關(guān)聯(lián), 因此增加第四個四波混頻過程的振幅增益, 導(dǎo)引參數(shù)增大;隨 G4的增大而減小, 直至零, 這是因為它們的關(guān)聯(lián)主要是來自于 C2和 E2的關(guān)聯(lián), 光束 E2是第三個四波混頻過程FWM3產(chǎn)生的光束經(jīng)過第四個四波混頻過程FWM4放大產(chǎn)生的, 這一過程引入了噪聲, 因此隨著 G4的增大 C2和 E2之間的關(guān)聯(lián)變小.

圖4 G 1=G2=G3=1.5 時, (2 + 1)型導(dǎo)引參數(shù)隨 G 4 的變化 (a) ( C2D2) 聯(lián)合導(dǎo)引 E 2 以及 C 2 , D 2 單獨對 E 2 的導(dǎo)引;(b)多種類型兩模聯(lián)合 ( A2C2,A2D2,B2C2,B2D2) 導(dǎo)引 E2Fig.4.The (2 + 1)-type steering parameters versus with G 4 for fixed G 1=1.5 , G 2=1.5 , G 3=1.5 : (a) E 2 can be steered by(C2D2) jointly and E 2 can be steered by C 2 , D 2 individually; (b) E 2 can be steered by different modes combination(A2C2,A2D2,B2C2,B2D2) jointly.

如圖5所示, 將 E2作為導(dǎo)引的一方, 研究了(1 +2)型導(dǎo)引, 并比較了與(1 + 1)型導(dǎo)引的關(guān)聯(lián).圖5(a)研究了 E2→A2D2, E2→A2以 及E2→D2的導(dǎo)引情況, 可以看出, 在整個 G4取值范圍內(nèi),, 而說明E2導(dǎo)引 A2D2聯(lián)合的能力大于對單方的導(dǎo)引能力.圖5(b)研究了 E2→A2B2, E2→A2以及 E2→B2的導(dǎo)引特性, 可以看出,但意味著只有 A2, B2互相協(xié)作才能接收到 E2傳送的信息.

圖5 G 1=G2=G3=1.5 時, (1 + 2)型導(dǎo)引參數(shù)隨 G 4 的變化 (a) E 2 對 A 2 , D 2 的導(dǎo)引以及 E 2 對 ( A2D2) 聯(lián) 合的導(dǎo)引;(b) E 2 對 A 2 , B 2 的導(dǎo)引以及 E 2 對 ( A2B2) 聯(lián)合的導(dǎo) 引Fig.5.The (1 + 2)-type steering parameters versus with G 4 for fixed G 1=1.5 , G 2=1.5 , G 3=1.5 : (a) The steering from mode E2 to individual A 2 , D 2 and the group of them; (b) the steering from mode E 2 to individual A 2 , B 2 and the group of them.

圖6 分析了(3 + 1)型, (1 + 3)型, (4 + 1)型以及(1 + 4)型的導(dǎo)引并比較了與(1 + 1)型的關(guān)聯(lián), 同樣也可以看到多模聯(lián)合對單模的導(dǎo)引能力大于單模對單模的導(dǎo)引能力.圖6(a)中, 在 G4的整個取值范圍內(nèi),隨 G4的增大而增大,而在整個取值范圍內(nèi) GA2→E2=0 ; 當(dāng) G4∈(1.0,1.15)時,; 當(dāng) G4∈(1.35,2.0) 時,當(dāng) G4∈(1.15,1.35) 時, 僅存在聯(lián) 合模式 (A2C2D2)對單模 ( E2) 的導(dǎo)引, 任何單獨的模式都不能導(dǎo)引 E2(GA2C2D2→E2＞0,GA2→E2=0,GC2→E2=0,GD2→E2=0) , 因此 G4在取值區(qū)間 ( 1.15,1.35) , 只有 A2, C2, D2三者相互協(xié)作才能導(dǎo)引 E2.圖6(b)表明(1 + 3)型導(dǎo)引也大于單模間的導(dǎo)引.圖6(c)和圖6(d)中, (4 + 1)型以及(1 + 4)型的導(dǎo)引也大于單模對單模的導(dǎo)引.在圖6(c)中可以看到與圖6(a)類似的現(xiàn)象, 此結(jié)果對多方聯(lián)合量子安全通信網(wǎng)絡(luò)的建立具有重要的參考價值.

圖6 G 1=G2=G3=1.5 時, (3 + 1)型、(1 + 3)型、(4 + 1)型以及(1 + 4)型導(dǎo)引參數(shù)隨 G 4 的變化關(guān)系 (a) ( A2C2D2) 聯(lián)合導(dǎo)引 E 2 以及 A 2 , C 2 , D 2 單獨對 E 2 的導(dǎo)引; (b) E 2 對 A 2 , C 2 , D 2 的導(dǎo)引以及 E 2 對 ( A2C2D2) 聯(lián)合的導(dǎo)引; (c) (A2B2C2D2)聯(lián)合導(dǎo)引 E 2 以及 A 2 , B 2 , C 2 , D 2 單獨對 E 2 的導(dǎo)引; (d) E 2 對 A 2 , B 2 , C 2 , D 2 的導(dǎo)引以及 E 2 對 ( A2B2C2D2) 聯(lián)合的導(dǎo)引Fig.6.The (3 + 1)-type、(1 + 3)-type、(4 + 1)-type and(1 + 4)-type steering parameters versus with G 4 for fixed G 1=1.5 ,G2=1.5 , G 3=1.5 : (a) E 2 can be steered by ( A2C2D2) jointly and E 2 can be steered by C 2 , D 2 individually; (b) the steering from mode E 2 to individual A 2 , C 2 , D 2 and the group of them; (c) E 2 can be steered by ( A2B2C2D2) jointly and E 2 can be steered by C 2 , D 2 individually; (d) The steering from mode E 2 to individual A 2 , B 2 , C 2 , D 2 and the group of them.

圖7分析了不同類型的多模聯(lián)合對 E2的導(dǎo)引情況, 從圖中可以看到即 導(dǎo) 引的一方聯(lián)合的模式越多, 導(dǎo)引能力越強, 這說明四波混頻過程產(chǎn)生的多光束存在著量子關(guān)聯(lián), 且出自同一個四波混頻過程的兩束光之間的量子關(guān)聯(lián)大于不同四波混頻過程產(chǎn)生的光束之間的量子關(guān)聯(lián).這些導(dǎo)引特性對實際的安全量子通信具有重要的意義.

圖7 G 1=G2=G3=1.5 時, 多模聯(lián)合對 E 2 的導(dǎo)引參數(shù)隨 G 4 變 化的比較Fig.7.Comparison of steering parameters of multimode combination for E 2 versus with G 4 for fixed G 1=1.5 ,G2=1.5 , G 3=1.5 .

5 結(jié) 論

本文基于四波混頻過程提出了能夠?qū)崿F(xiàn)多組份量子導(dǎo)引的兩種不同方案, 方案一基于串聯(lián)級聯(lián)四波混頻過程實現(xiàn)三組份量子導(dǎo)引, 方案二通過混合級聯(lián)四波混頻過程實現(xiàn)五組份量子導(dǎo)引, 在實驗可行性參數(shù)取值范圍內(nèi)對兩種模型進行了理論分析, 通過對比發(fā)現(xiàn): 兩種方案都可以通過調(diào)節(jié)四波混頻過程的振幅增益實現(xiàn)不對稱雙向量子導(dǎo)引以及單向量子導(dǎo)引; 方案一在整個取值范圍內(nèi)均存在兩模聯(lián)合與單模之間的導(dǎo)引以及單模與單模之間的導(dǎo)引, 方案二可以實現(xiàn)在某一取值范圍內(nèi)僅存在聯(lián)合模式與單模之間的導(dǎo)引, 且通過增加四波混頻的個數(shù)以及調(diào)節(jié)級聯(lián)四波混頻的結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生更加豐富的量子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu), 這對于單方設(shè)備無關(guān)的安全量子通信、量子秘密共享等的實現(xiàn)具有一定的參考價值, 此研究結(jié)果為安全量子通信提供了可行性方案.