單面雙極性磁鐵空間磁感應(yīng)強(qiáng)度模型*

蘇徐昆 冷永剛 張雨陽(yáng) 范勝波

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 天津 300350)

(2021 年3 月8日收到; 2021 年4 月6日收到修改稿)

1 引 言

基于磁體間相互作用的應(yīng)用可追溯至上千年前.如今, 永磁體也被廣泛應(yīng)用在工業(yè)界和日常生活中[1].例如, 永磁體被大量應(yīng)用于振動(dòng)控制[2]和振動(dòng)能量采集裝置[3,4]中, 利用磁力的非線性性質(zhì)使系統(tǒng)產(chǎn)生雙穩(wěn)或多穩(wěn)狀態(tài)[5,6].在各類(lèi)應(yīng)用永磁體的裝置中, 磁力的計(jì)算顯得尤為重要, 而磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算是磁力計(jì)算中關(guān)鍵的一步.目前, 除去采用有限元算法或經(jīng)驗(yàn)公式的辦法外[7], 計(jì)算永磁體空間磁感應(yīng)強(qiáng)度或永磁體間相互作用力的理論模型主要有磁化電流法和磁荷法[8-10], 二者本質(zhì)上是等效的[11].

本課題組最近的研究發(fā)現(xiàn), 尺寸差異較大的成對(duì)永磁體相互作用時(shí), 若兩磁鐵相同的極性互相靠近到一定距離, 斥力會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槲? 小磁鐵最終會(huì)吸附在大磁鐵上.大磁鐵在小磁鐵磁場(chǎng)的作用下發(fā)生局部退磁[12].在撤掉小磁鐵后, 大磁鐵形成單面雙極性磁鐵而小磁鐵保持不變.定性層面上,小尺寸磁鐵在退磁曲線上負(fù)載線斜率的絕對(duì)值更大, 因而它對(duì)外加磁場(chǎng)的敏感性要小于大尺寸磁鐵[13,14], 小尺寸磁鐵僅用于產(chǎn)生方向和大磁鐵磁化強(qiáng)度方向相反的外加退磁場(chǎng).在機(jī)電系統(tǒng)中利用該單面雙極性磁鐵, 能夠產(chǎn)生近場(chǎng)局部可調(diào)控的磁場(chǎng)而不影響遠(yuǎn)場(chǎng)的值, 在多穩(wěn)態(tài)非線性裝置[15]、直流電機(jī)[16]和新型位移傳感器[17]等研發(fā)領(lǐng)域中可能有一定應(yīng)用前景.但目前在定量層面, 缺乏計(jì)算單面雙極性磁鐵空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的理論模型.

為了解決單面雙極性磁鐵空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分析計(jì)算的問(wèn)題, 本文基于磁化電流法構(gòu)建了理論模型, 并推導(dǎo)了該類(lèi)磁鐵空間磁場(chǎng)分布的表達(dá)式.經(jīng)大量實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn), 該模型直觀且有效.以圓柱形磁鐵為例, 計(jì)算結(jié)果表明, 單面雙極性磁鐵可等效看作可調(diào)控內(nèi)環(huán)位置、尺寸和等效磁化強(qiáng)度的多環(huán)環(huán)形磁鐵.此外, 本文固定大磁鐵尺寸, 分析了小磁鐵尺寸的改變對(duì)單面雙極性磁鐵的影響, 結(jié)果表明,小磁鐵尺寸的改變影響到單面雙極性磁鐵的局域等效磁化強(qiáng)度和反向電流環(huán)的位置, 從而影響空間磁場(chǎng)的分布.本文解釋了單面雙極性磁鐵的成因,給出了空間磁場(chǎng)分布定量的結(jié)果, 為單面雙極性磁鐵的應(yīng)用提供了理論依據(jù).

2 理論模型

由于磁鐵形狀的影響主要體現(xiàn)在磁化電流的計(jì)算方面, 并不影響本模型的構(gòu)建.為簡(jiǎn)潔起見(jiàn),本文大磁鐵和小磁鐵均采用圓柱形磁鐵.其他形狀[18-20]的磁鐵亦可參照本方法得出對(duì)應(yīng)的結(jié)果.由于大磁鐵與小磁鐵同極性相對(duì)并無(wú)限接近, 大磁鐵的磁化強(qiáng)度受到小磁鐵與之反向的磁場(chǎng)的影響,因此大磁鐵發(fā)生不可逆的局部退磁現(xiàn)象, 小磁鐵會(huì)吸附在大磁鐵上, 且大磁鐵以其與小磁鐵接觸的表面為界限形成反常區(qū)域.當(dāng)撤掉小磁鐵后, 小磁鐵不發(fā)生變化, 再用小磁鐵與此時(shí)的大磁鐵同極性相對(duì)并慢慢靠近時(shí), 磁鐵間的作用力逐漸由斥力轉(zhuǎn)變?yōu)槲? 大磁鐵形成單面雙極性磁鐵.為簡(jiǎn)潔起見(jiàn),上述大磁鐵的局部退磁過(guò)程簡(jiǎn)稱(chēng)接觸反磁化過(guò)程,而經(jīng)由接觸反磁化過(guò)程形成的單面雙極性磁鐵本文簡(jiǎn)稱(chēng)為反常磁鐵, 反之稱(chēng)為正常磁鐵.

設(shè)大磁鐵經(jīng)過(guò) N 個(gè)小磁鐵分別在不同位置接觸反磁化后, 形成如圖1所示的單面雙極性磁鐵.其中大磁鐵和小磁鐵的半徑分別為 ra和 rbi, 磁化強(qiáng)度分別為 Ma和 Mbi, 下標(biāo) i =1,2,···,N用于標(biāo)記小磁鐵.反常區(qū)域的中心分別為 O1,O2,···,ON,半徑分別為 r1,r2,···,rN,O1與 大磁鐵中心 O點(diǎn)重合.

圖1 圓柱形磁鐵表面多處接觸反磁化示意圖Fig.1.Schematic diagram of a cylindrical magnet with multiple local demagnetization on the surface.

大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 反常磁鐵的反常區(qū)域具有和大小磁鐵接觸面幾乎相同的形狀和尺寸, 因而反常區(qū)域的半徑 ri等于在此處用于接觸反磁化的小磁鐵的半徑 rbi.在反常磁鐵表面上, 反常區(qū)域的邊界處出現(xiàn)尺寸十分小的帶狀過(guò)渡區(qū)域, 本模型忽略過(guò)渡區(qū)域的寬度, 并做出如下假定: 單面雙極性磁鐵具有分塊均勻的磁化強(qiáng)度 M , 即:

其中, 坐標(biāo)原點(diǎn) O :(0,0)為大磁鐵的圓心;Oi:(xi,yi),ri分別為反常區(qū)域的圓心和半徑,i =1,2,···,N.為 參 考 點(diǎn) 到第 i個(gè) 反 常區(qū)域圓心 Oi的距離.假定 M0=Ma, 即未接觸區(qū)域保持原有的磁化強(qiáng)度, 而反常區(qū)域的局域磁化強(qiáng)度 Mi的取值與用于接觸反磁化的小磁鐵的磁化強(qiáng)度 大 小 Mbi有 關(guān).設(shè) 大 磁 鐵 有 退 磁 系 數(shù) α, 滿 足|α|＜1, 且 反 常 區(qū) 域 局 域 磁 化 強(qiáng) 度 大 小 滿 足Mi=α(Mbi)Ma.一般而言, 小磁鐵磁化強(qiáng)度越大時(shí), 大磁鐵遭受外部退磁場(chǎng)越強(qiáng), 因而退磁系數(shù) α越小.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后, 單面雙極性磁鐵可看作磁化強(qiáng)度分段均勻的磁介質(zhì).考慮不存在自由電流的宏觀恒定磁場(chǎng):

其中 B 為磁感應(yīng)強(qiáng)度,μ0為真空磁導(dǎo)率,j=?×M為磁化電流密度.在分界面處, 磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù), 且切向分量的突變可由分界面上的面電流密度描述[21,22].設(shè) gi為第 i個(gè)反常區(qū)域分界面上的面電流密度, 有

則磁感應(yīng)強(qiáng)度的突變和分界面電流密度的關(guān)系為

其中,ni為第 i個(gè)分界面處的單位法向矢量, 由未接觸區(qū)域指向反常區(qū)域.由于磁場(chǎng)強(qiáng)度 H=1/μ0BM, 代入方程(2), 它是無(wú)旋的, 因而它的切向分量是連續(xù)的.即有:

其中 Hti,Hni分別為磁場(chǎng)在第 i個(gè)分界面上沿切向和法向的分量.代入方程(4)即可得到:

則分界面上面電流密度和磁化強(qiáng)度的關(guān)系為

而磁鐵本身的邊界條件, 令方程(7)中 Mi=0即可得到.設(shè)全局坐標(biāo)系以圓心 O為原點(diǎn), 全局坐標(biāo)系下參考點(diǎn)為 r (x,y,z), 各個(gè)反常區(qū)域圓心相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)平移矢量為在各個(gè)反常區(qū)域圓心 O1,O2,···,ON處建立局部坐標(biāo)系, 它們由全局坐標(biāo)系沿著 ti平移得到.由于場(chǎng)方程的線性性, 空間磁場(chǎng)來(lái)源于各個(gè)電流環(huán)貢獻(xiàn)的線性疊加, 即參考點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B (r)由各個(gè)電流環(huán)在參考點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度獨(dú)立疊加而得:

其 中,d li為第 i個(gè)電流環(huán)的 局 部 坐 標(biāo)系下的線元,r′=(r-ti)-dli為該局部坐標(biāo)系下, 參考點(diǎn)到電流線元的位置矢量.特別地, 若考慮軸向充磁的圓柱形磁鐵, 在 z軸, 即圓心所在軸上的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)有簡(jiǎn)單的表達(dá)式:

其中 R ,L分別為圓柱形磁鐵的半徑和軸向厚度.

通過(guò)接觸反磁化形成的反常磁鐵存在兩種簡(jiǎn)單的極限情況, 當(dāng) N =1 , 且 O1=O時(shí), 即由大磁鐵和小磁鐵對(duì)心接觸反磁化而形成的反常磁鐵, 簡(jiǎn)稱(chēng)為只存在中心反磁化的反常磁鐵.以 z軸上的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度為例, 方程(9)應(yīng)包含外環(huán)電流和內(nèi)環(huán)電流兩項(xiàng)的貢獻(xiàn):

參考方程(7), 當(dāng) M1=M0時(shí),g1=0, 內(nèi)部不存在電流, 模型內(nèi)部磁化強(qiáng)度處處均勻, 此時(shí)模型退化為正常圓柱形磁鐵, 方程(10)退化為方程(9); 而當(dāng) M1=0時(shí), 反常區(qū)域可視作不存在磁介質(zhì)的空氣, 模型退化成環(huán)形磁鐵.

要特別指出的是, 本節(jié)提出的模型建立在反常磁鐵具有分塊均勻的磁化強(qiáng)度這一假設(shè)上.當(dāng)小磁鐵半徑比較大, 它在表面附近產(chǎn)生的磁場(chǎng)不能認(rèn)為是勻強(qiáng)磁場(chǎng), 模型計(jì)算的結(jié)果可能會(huì)產(chǎn)生誤差.此外, 原則上本模型只能計(jì)算反常區(qū)域彼此分離的情況, 同一塊大磁鐵接觸反磁化所產(chǎn)生的反常區(qū)域不能有交集.并且當(dāng)接觸反磁化次數(shù) N 增多時(shí), 磁鐵內(nèi)部磁疇分布會(huì)變得復(fù)雜, 可能將不得不考慮過(guò)渡區(qū)域?qū)τ诜闯４盆F的影響.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)采取兩組實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图右则?yàn)證, 用到的永磁鐵均為商業(yè)N35釹鐵硼磁鐵.兩組模型分別標(biāo)記為A, B.其中模型A僅中心反磁化, 模型B除中心反磁化外, 在半徑 r =12.5mm處的圓周上均勻分布四個(gè)接觸反磁化點(diǎn), 簡(jiǎn)稱(chēng)為中心及軌道接觸反磁化, 兩組模型材料細(xì)節(jié)見(jiàn)表1.通過(guò)分別測(cè)量?jī)山M反常磁鐵軸向的磁感應(yīng)強(qiáng)度與軸向相對(duì)距離的關(guān)系, 驗(yàn)證第2節(jié)理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.

表1 A, B兩組模型材料參數(shù)Table 1.Material parameters of the two models.

實(shí)驗(yàn)過(guò)程分為大磁鐵的接觸反磁化過(guò)程和反常磁鐵磁感應(yīng)強(qiáng)度的測(cè)量?jī)刹?以模型A的接觸反磁化過(guò)程為例, 如圖2所示, 圖2(a)和圖2(b)為用于實(shí)驗(yàn)的軸向充磁正常磁鐵, 在磁顯片下能觀察到表面均勻分布的磁場(chǎng).將大磁鐵和小磁鐵同極性相對(duì)并固定在對(duì)中器件后, 使二者緩慢靠近.如圖2(c)所示, 當(dāng)相對(duì)距離足夠小時(shí)小磁鐵會(huì)吸附到大磁鐵上.測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度的實(shí)驗(yàn)裝置如圖2(d)所示, 將高斯計(jì)(型號(hào)BST100)探測(cè)頭和磁鐵中心對(duì)齊后, 通過(guò)調(diào)節(jié)螺旋測(cè)距儀測(cè)得不同位置處的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

圖2 (a), (b) 磁顯片下 Φ 40×2.5 和 Φ 12×18 的正常磁鐵; (c) 中心接觸反磁化結(jié)果: 小磁鐵被吸附在大磁鐵中心;(d) 磁感應(yīng)強(qiáng)度測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置Fig.2.(a), (b) Normal magnets of size Φ 40×2.5 and Φ12×18 under magnetic field viewing film; (c) the small magnet is observed to be attracted to the center of the large magnet after the local demagnetization process at the center of the large magnet; (d) experiment setup for the measurement of magnetic induction intensity.

3.1 中心接觸反磁化

在遠(yuǎn)場(chǎng)情況下, 反常磁鐵的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)和正常磁鐵具有相近的值.本節(jié)先測(cè)量了大、小兩個(gè)正常磁鐵(Φ 40×2.5和 Φ 12×18 )在 z軸上的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z).這樣, 一方面在方程(8)中令N=0即可驗(yàn)證磁化電流法的準(zhǔn)確性, 另一方面也可作為估算磁化強(qiáng)度的依據(jù).如圖3(a)和圖3(b)所示, 大磁鐵和小磁鐵的磁化強(qiáng)度分別為 Ma=6.8818×105A/m和Mb=6.1387×105A/m.實(shí) 驗(yàn)結(jié)果和磁化電流模型符合較好.除了實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差外, 整體實(shí)驗(yàn)誤差主要來(lái)源于磁鐵尺寸誤差和磁化強(qiáng)度誤差.在軸向充磁圓柱形磁鐵中, 依據(jù)方程(9), 軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)計(jì)算結(jié)果與真實(shí)值應(yīng)只相差常數(shù)倍.在我們選用的大磁鐵 Φ 40×2.5中, 磁鐵高度的變化對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響較大, 高度每變化1 mm, 表面中心磁感應(yīng)強(qiáng)度改變約21.23 mT;而磁鐵半徑每變化1 mm, 表面中心磁感應(yīng)強(qiáng)度約改變2.63 mT, 半徑帶來(lái)的影響可以忽略不計(jì).因而靠近表面時(shí), 磁鐵高度和磁化強(qiáng)度的誤差會(huì)被放大.

圖3 正常磁鐵軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 B z(z) .紅色圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果, 藍(lán)色直線為磁化電流模型計(jì)算結(jié)果 (a) 大磁鐵 Φ 40×2.5 ;(b) 小磁鐵 Φ12×18Fig.3.The axial magnetic induction intensity B z(z) of a normal magnet.Red dot denotes the experimental data whereas the blue line denotes the theoretical results: (a) Larger magnet Φ 40×2.5 ; (b) smaller magnet Φ 12×18 .

本模型中, 大磁鐵接觸反磁化后, 具有一個(gè)同心的反常圓形區(qū)域.如圖4(a)所示, 反常磁鐵中有兩個(gè)電流環(huán)對(duì)空間磁場(chǎng)做出貢獻(xiàn).磁顯片下的反常磁鐵如圖4(b)所示, 在中心出現(xiàn)了寬度1 mm左右的帶狀過(guò)渡區(qū)域, 其內(nèi)部包含一個(gè)直徑恰好為12 mm 的圓形反常區(qū)域.

圖4 模型A: 僅中心接觸反磁化的圓柱磁鐵 (a) 反常磁鐵示意圖; (b) 磁顯片下的反常磁鐵Fig.4.Model A: Cylindrical magnet with local demagnetization at the center: (a) Diagram of the abnormal magnet; (b) the abnormal magnet under magnetic field viewing film.

在本例中取退磁系數(shù) α =0.6471進(jìn)行計(jì)算.如圖5(a)所示, 方程(10)計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合, 隨著離磁鐵表面距離的減小, 反常區(qū)域的作用逐漸體現(xiàn)出來(lái), 從而轉(zhuǎn)變了磁感應(yīng)強(qiáng)度的增長(zhǎng)方向.即使內(nèi)環(huán)電流的強(qiáng)度相較于外環(huán)電流的強(qiáng)度要小一些, 接觸反磁化的作用在近場(chǎng)處仍舊很明顯.這是因?yàn)? 相較于外環(huán)電流, 內(nèi)環(huán)電流到 z軸上參考點(diǎn)的距離要小得多, 因而外環(huán)電流的貢獻(xiàn)實(shí)際要小一些.考慮第2節(jié)所述的模型的兩種極限情況, 圖5(b)分別繪制了相同尺寸下正常磁鐵、環(huán)形磁鐵和反常磁鐵的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度隨軸向距離改變關(guān)系的模擬結(jié)果, 其中環(huán)形磁鐵的內(nèi)環(huán)直徑與單面雙極性磁鐵反常區(qū)域的直徑相同.

圖5 (a) 模型A反常磁鐵軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 B z(z) .紅色圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果, 藍(lán)色直線為磁化電流模型計(jì)算結(jié)果.(b) 正常圓柱形磁鐵, 反常磁鐵和正常環(huán)形磁鐵軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度, 其中三種磁鐵外形尺寸均一致Fig.5.(a) The axial magnetic induction intensity B z(z) for the abnormal magnet.Red dot denotes the experimental data whereas the blue line denotes the theoretical results.(b) The axial magnetic induction intensity B z(z) of a normal cylindrical magnet, an abnormal magnet and a normal ring magnet, of which the dimensions of the three are the same.

很顯然, 在遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí), 三者的磁感應(yīng)強(qiáng)度相差無(wú)幾.若從磁化電流模型考慮, 如圖4(a)所示, 正常磁鐵對(duì)應(yīng)只有最外圈的電流環(huán)做貢獻(xiàn)的情形, 而環(huán)形磁鐵和單面雙極性磁鐵除此之外還有內(nèi)圈反向電流環(huán)的貢獻(xiàn), 但由于遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)內(nèi)環(huán)電流和外環(huán)電流到 z軸上參考點(diǎn)的距離幾乎一致, 而內(nèi)環(huán)電流的強(qiáng)度要小得多.因而在遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí), 內(nèi)圈電流環(huán)的貢獻(xiàn)幾乎可以忽略不記.另外, 只有在距離較靠近磁鐵表面時(shí), 反常效應(yīng)才顯現(xiàn)出來(lái).如方程(7)所示, 環(huán)形磁鐵對(duì)應(yīng)于 Mi=0的情況, 其反向電流強(qiáng)度最大,因而其在近場(chǎng)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小.在 z軸上, 可參考方程(10)的第二項(xiàng), 它對(duì)應(yīng)于反向電流環(huán)產(chǎn)生的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度.方程(10)第二項(xiàng)的系數(shù)為(M1-M0), 由于環(huán)形磁鐵的這一系數(shù)為( -M0),小于反常磁鐵的系數(shù) ( α-1)M0, 因而整體上環(huán)形磁鐵的反向磁感應(yīng)強(qiáng)度要更小.反常磁鐵實(shí)際上因?yàn)榉闯^(qū)域的存在, 抵消了環(huán)形磁鐵的一部分反向電流.從這個(gè)角度看, 僅中心接觸反磁化的單面雙極性磁鐵可看作可調(diào)控近場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)形磁鐵, 其中磁感應(yīng)強(qiáng)度的調(diào)節(jié)范圍介于正常圓柱形磁鐵和環(huán)形磁鐵之間.且該調(diào)控可通過(guò)改變小磁鐵的磁化強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn).

3.2 中心及軌道接觸反磁化

第2節(jié)的理論模型能夠處理多處接觸反磁化的情況, 每個(gè)電流環(huán)獨(dú)立貢獻(xiàn).參考方程(8), 相對(duì)于某個(gè)固定的參考點(diǎn), 各個(gè)電流環(huán)的貢獻(xiàn)彼此只相差一個(gè)坐標(biāo)平移.如圖6(a)所示, 在模型A的基礎(chǔ)上, 分別在點(diǎn) O2(12.5,0),O3(-12.5,0),O4(0,12.5),O5(0,-12.5)處 用小磁鐵(尺寸 Φ 6×20)對(duì)準(zhǔn)圓心進(jìn)行局部接觸反磁化就得到了模型B的反常磁鐵.其中 Φ 6×20 小磁鐵的磁化強(qiáng)度為 Mb2=8.3393×105A/m.如圖6(b)所示, 在磁顯片下, 反常磁鐵共有5處反常區(qū)域, 直徑均和用于接觸反磁化的小磁鐵的直徑相當(dāng).首先, 仍考慮 z軸上的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z), 以圖6(a)中的示意圖為參照, 相較于模型A的反常磁鐵, 模型B的反常磁鐵多出4個(gè)完全對(duì)稱(chēng)的反向電流環(huán), 但由于 z軸位于這些電流環(huán)的外部, 因而他們?cè)?z軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向沿 z軸的負(fù)方向, 而 z軸位于外環(huán)電流 I0的內(nèi)部,則這四個(gè)電流環(huán)及外環(huán)電流在 z軸上的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度方向一致, 而和內(nèi)環(huán)電流 I1產(chǎn)生的 Bz(z)的方向相反.因而在 z軸上, 在反常效應(yīng)起作用的范圍內(nèi), 模型B的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)反而由于四個(gè)電流環(huán)的存在, 要大于模型A的 Bz(z).

圖6 模型B: 中心及軌道反磁化的圓柱形磁鐵 (a) 反常磁鐵示意圖.為便于閱讀, 圖中四個(gè)小圓的半徑放大了一倍.(b) 磁顯片下的反常磁鐵Fig.6.Model B: Cylindrical magnet with local demagnetization at both the center and the orbit: (a) Diagram of the abnormal magnet.For the convenience of reading, the radii of the four small circles in the figure are doubled.(b) The abnormal magnet under magnetic field viewing film.

圖7 (a)給出了模型A和模型B反常磁鐵 z軸上的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 二者均在距離磁鐵表面相同處測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度, 在圖7(a)上二者 x軸上的數(shù)據(jù)點(diǎn)相同.在遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)二者磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)幾乎一致, 而在距離相對(duì)近一些時(shí), 模型B對(duì)稱(chēng)的四個(gè)電流環(huán) I2,I3,I4,I5的作用開(kāi)始顯現(xiàn)出來(lái), 如圖7(a)中虛線標(biāo)注所示, 在 z∈(1,5)mm的相同位置處, 模型B的磁感應(yīng)強(qiáng)度顯著高于模型A的磁感應(yīng)強(qiáng)度.而當(dāng)距離趨近于0, 即靠近磁鐵上表面時(shí), 起作用的主要是內(nèi)環(huán)的反向電流 I1,因而二者磁感應(yīng)強(qiáng)度差異值又開(kāi)始減小.模型B包含中心 Φ 12 的反常區(qū)域和軌道上四個(gè) Φ 6的全同反常區(qū)域, 各自區(qū)域內(nèi)取退磁系數(shù) α12=0.6471,α6=0.5016 .計(jì) 算 得 到 的Bz(z)和 實(shí) 驗(yàn) 測(cè) 得 的 數(shù)據(jù)繪制于圖7(b)中, 理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果符合良好.

圖7 (a) 模型A, B反常磁鐵軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù); (b) 模型B反常磁鐵軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度.藍(lán)色圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果, 紅色直線為磁化電流模型計(jì)算結(jié)果Fig.7.(a) Experimental data of axial magnetic induction for abnormal magnets of type A and B; (b) the axial magnetic induction intensity of the abnormal magnet of type B.Blue circle denotes the experimental data whereas the red line denotes the theoretical results.

以上選取的計(jì)算軸(z軸)剛好在軌道四個(gè)電流環(huán) I2,I3,I4,I5所形成的反常區(qū)域的外部, 并且距離這四個(gè)電流環(huán)的中心 O2,O3,O4,O5較遠(yuǎn), 這四個(gè)電流環(huán)對(duì)整個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)的貢獻(xiàn)并不太大.為清晰地區(qū)別模型A和B, 選取在距離反常磁鐵表面 3 mm處的 x y 平面上, 沿 x軸方向的線段為計(jì)算軸, 計(jì)算并測(cè) 量 其 x方向的 磁 感 應(yīng) 強(qiáng)度 Bx(x).這樣, 該計(jì)算軸剛好經(jīng)過(guò)了兩個(gè)軌道電流環(huán) I2和 I3.圖8(a)給出了 Bx(x)的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果, 二者符合良好.其中, 沿豎直方向的黑色實(shí)線標(biāo)注了反常區(qū)域的邊界位置, 紅色虛線為反常區(qū)域的圓心.當(dāng)z=3mm,y=0時(shí), 沿著 x軸方向, 反常區(qū)域的邊界點(diǎn)出現(xiàn)在中心反常區(qū)域 x =±6mm和軌道反常區(qū)域 x =±9.5mm,±15.5mm, 且各自的圓心分別為 x =0,±12.5mm.圖8(b)給出了相同情況下模型A, B及正常磁鐵在 z =3mm平面處的水平磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bx(x).參考圖4(a)和圖6(a), 模型A, B的反常磁鐵都存在一個(gè)相同的中心反向電流環(huán), 在該電流環(huán)所包圍的圓域內(nèi)部二者的磁感應(yīng)強(qiáng)度相差無(wú)幾.脫離該圓域后, 模型A的反常磁鐵逐漸回歸到正常磁鐵的趨勢(shì), 意味著隨著半徑 |x|的增大,中心反向電流環(huán)的影響逐漸減小.而由于模型B的反常磁鐵在半徑 r =12.5mm的圓上還存在四個(gè)對(duì)稱(chēng)的反向電流環(huán), 相應(yīng)地, 在 |x|增大到脫離中心反常區(qū)域時(shí), 又受到軌道上反常區(qū)域的影響.特別注意到圖8(b)中磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bx(x)與三條紅色虛線的交點(diǎn), 它們是反常磁鐵模型A、B和正常磁鐵的水平磁感應(yīng)強(qiáng)度在反常區(qū)域中心的值.在第一個(gè)交點(diǎn) x =-12.5mm處, 模型A與模型B的水平磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bx相等并且高于正常磁鐵在此處的水平磁感應(yīng)強(qiáng)度.這是由于模型B軌道上的電流環(huán)I2,I4和 I5距離點(diǎn) x =-12.5太遠(yuǎn), 他們產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以忽略, 且電流環(huán) I3在中心產(chǎn)生的水平磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bx=0.在其他交點(diǎn)處, 也有類(lèi)似的結(jié)果.因而, 模型B的反常磁鐵亦可看作可調(diào)控局部磁感應(yīng)強(qiáng)度的多孔磁鐵.

圖8 (a) 在 z =3mm 平面上, 模型B反常磁鐵的水平磁感應(yīng)強(qiáng)度 B x(x) , 紅色圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果, 藍(lán)色直線為磁化電流模型計(jì)算結(jié)果; (b) 在 z =3mm 平面上, 模型A, B反常磁鐵及正常磁鐵的水平磁感應(yīng)強(qiáng)度 B x(x) 的對(duì)比Fig.8.(a) The horizontal magnetic induction intensity B x(x) of the abnormal magnet of type B at z =3mm .Red circle denotes the experimental data whereas the blue line denotes the theoretical results.(b) Comparison of horizontal magnetic induction intensity B x(x) of the abnormal magnets of type A and B and a normal magnet with the same size at z =3mm .

4 參數(shù)分析

第3節(jié)的結(jié)果表明, 接觸反磁化形成的圓柱形反常磁鐵可以視作可調(diào)控局部空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的多孔環(huán)形磁鐵.若已知大磁鐵退磁曲線, 調(diào)控措施主要通過(guò)改變小磁鐵的尺寸和磁化強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn).一般來(lái)說(shuō), 在其他條件都保持不變時(shí), 小磁鐵半徑的改變主要影響反向電流環(huán)的大小, 小磁鐵高度的改變可能影響磁化強(qiáng)度的大小.為更細(xì)致地探究小磁鐵半徑及磁化強(qiáng)度的變化對(duì)反常磁鐵的影響, 本節(jié)選取了半徑和高度各不相同的多組小磁鐵來(lái)中心接觸反磁化尺寸為 Φ 40×2.5的大磁鐵, 小磁鐵的尺寸及磁化強(qiáng)度信息如表2所列.實(shí)驗(yàn)仍測(cè)量反常磁鐵沿 z軸的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z).

表2 小磁鐵尺寸、磁化強(qiáng)度及相應(yīng)反常磁鐵指標(biāo)Table 2.The size and magnetization of small magnet and the indicators of corresponding abnormal magnet.

本節(jié)定義兩個(gè)指標(biāo): 反常磁鐵表面中心軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bsz和轉(zhuǎn)變點(diǎn)的位置, 即軸向上 ?Bz/?z=0的位置.二者用于衡量反常區(qū)域的強(qiáng)度, 后者可根據(jù)方程(10)計(jì)算.反常磁鐵的空間磁場(chǎng)隨小磁鐵磁化強(qiáng)度的改變是簡(jiǎn)單的, 由于小磁鐵半徑及接觸反磁化的位置皆保持不變, 小磁鐵的磁化強(qiáng)度Mb只影響了反常區(qū)域的等效磁化強(qiáng)度 M1.在本節(jié)選取的半徑相同的小磁鐵中, 小磁鐵高度越大它的磁化強(qiáng)度 Mb就越大, 因而大磁鐵反常區(qū)域受到的外部退磁場(chǎng)越大, 最終使得大磁鐵反常區(qū)域的等效磁化強(qiáng)度 M1越小.由方程(7)和方程(10)可知 M1越小, 反向電流環(huán)強(qiáng)度的絕對(duì)值越大, 因而軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)越小.

圖9(a)和圖9(b)繪制了反常區(qū)域直徑分別為15和10 mm的反常磁鐵的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz(z), 圖中對(duì)應(yīng)顏色的豎直虛線標(biāo)注了三組反常磁鐵轉(zhuǎn)變點(diǎn)的位置, 數(shù)值見(jiàn)表2.

圖9 不同厚度小磁鐵 (a) Φ 15×10 , Φ 15×15 和Φ15×20 以 及(b) Φ 10×10 , Φ 10×15 和 Φ 10×20 接觸反磁化大磁鐵 Φ 40×2.5 后得到的反常磁鐵,其沿 z 軸的軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z)Fig.9.The axial magnetic induction B z(z) of larger magnet Φ 40×2.5 demagnetized by smaller magnets of different heights with (a) Φ 15×10 , Φ 15×15 , Φ 15×20 and(b) Φ 10×10 , Φ 10×15 , Φ 10×20 .

實(shí)驗(yàn)結(jié)果和本文模型給出的預(yù)測(cè)一致, 即小磁鐵高度的改變影響到反常磁鐵的等效磁化強(qiáng)度時(shí),由于小磁鐵半徑不變, 結(jié)果上只改變了反向電流強(qiáng)度的大小, 因此反常磁鐵空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化也只受到反向電流環(huán)強(qiáng)度改變的影響.因而一般來(lái)說(shuō), 小磁鐵半徑不變, 但磁化強(qiáng)度越大時(shí), 反常磁鐵的空間磁感應(yīng)強(qiáng)度受到反向電流環(huán)的影響越大,因而 Bsz越小, 而轉(zhuǎn)變點(diǎn)的位置也越遠(yuǎn)離磁鐵表面.

而當(dāng)小磁鐵半徑改變時(shí), 不僅會(huì)影響反常磁鐵中反常區(qū)域的等效磁化強(qiáng)度, 還會(huì)影響到反向電流環(huán)的位置.考慮小磁鐵半徑在小范圍內(nèi)變化, 因而可以忽略為此帶來(lái)的磁化強(qiáng)度的變化, 依據(jù)方程(10), 對(duì)小磁鐵半徑 r1求導(dǎo)有:

注意到, 當(dāng)距離 z →+∞時(shí),fr(r1,z)→0, 對(duì)于軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz(z), 在遠(yuǎn)場(chǎng)處, 小磁鐵半徑的改變帶來(lái)的影響可以忽略.若考慮反常磁鐵表面中心軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bsz, 在方程(11)中令 z =0, 當(dāng)r1＞0時(shí)有 fr(r1,z)＞0 恒成立, 因而隨著半徑 r1的增大,Bsz也會(huì)增大, 這也符合我們實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果.從電流模型也能直觀地得出這一結(jié)論, 當(dāng)反向電流環(huán)強(qiáng)度幾乎一致時(shí), 小磁鐵半徑越大對(duì)應(yīng)反常磁鐵的反向電流環(huán)越遠(yuǎn)離中心, 因而在表面中心處反向電流環(huán)的效果越弱, 因此 Bsz也會(huì)越大.

以上結(jié)果均表明, 接觸反磁化形成的反常磁鐵, 其反常效果僅僅在近場(chǎng)處體現(xiàn), 在遠(yuǎn)場(chǎng)處表現(xiàn)得和正常磁鐵一樣.不僅如此, 由于大磁鐵幾乎只在反常區(qū)域內(nèi)受到小磁鐵產(chǎn)生的外部退磁場(chǎng)的影響, 反常效果也僅在反向電流環(huán)所包圍的區(qū)域內(nèi)體現(xiàn).正如圖8(b)的結(jié)果, 在反常區(qū)域內(nèi)部, 磁感應(yīng)強(qiáng)度受到反向電流環(huán)的影響較大, 而在反常區(qū)域外, 磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化逐漸回歸到正常磁鐵的變化趨勢(shì).由于本文模型的圓對(duì)稱(chēng)性, 這一規(guī)律在任何水平方向都是成立的.

在距離磁鐵表面 z0=5mm的平面上, 計(jì)算了兩個(gè)反常磁鐵的磁感應(yīng)強(qiáng)度, 他們由直徑均為15 mm, 高度分別為20和10 mm的小磁鐵接觸反磁化而形成.以這兩塊反常磁鐵磁感應(yīng)強(qiáng)度的差值:Bβ(x,y,z0)=Bβh20(x,y,z0)-Bβh10(x,y,z0)來(lái)表現(xiàn)這兩塊反常磁鐵反常效應(yīng)的差別.其中等式左邊的下標(biāo) β =t,n,abs分別代表磁感應(yīng)強(qiáng)度切向, 法向大小的差值和磁感應(yīng)強(qiáng)度絕對(duì)值的差值, 法向?qū)?yīng)于 z軸的正向.等式右邊的下標(biāo) h 20,h10對(duì)應(yīng)小磁鐵的高度為 2 0 和 1 0mm.在 Bβ(x,y,z0)=0的區(qū)域, 是外環(huán)電流起主導(dǎo)的區(qū)域.除此之外的區(qū)域,我們認(rèn)為是反常效應(yīng)起作用的區(qū)域.如圖10(a)-圖10(c)所示, 圖中紅虛線標(biāo)注的圓為反常區(qū)域的邊界, 它是直徑為15 mm的圓弧.很顯然在遠(yuǎn)離反常區(qū)域時(shí), 磁感應(yīng)強(qiáng)度的差異值迅速衰減, 反常磁鐵在此時(shí)表現(xiàn)得和正常磁鐵一致.

圖10 由小磁鐵 Φ 15×20 和 Φ 15×10 接觸反磁化形成的反常磁鐵C, D, 在遠(yuǎn)離磁鐵表面 z =5mm 處二者磁感應(yīng)強(qiáng)度的差值: (a)反常磁鐵C與D的切向磁感應(yīng)強(qiáng)度差值 B t ; (b) 反常磁鐵C與D的法向磁感應(yīng)強(qiáng)度差值 B n ; (c)反常磁鐵C與D的磁感應(yīng)強(qiáng)度的絕對(duì)值的差值 BabsFig.10.Abnormal magnets C, D are locally demagnetized by smaller magnets of size Φ 15×20 and Φ 15×10 at the center, the difference of magnetic induction between C and D at the plane 5 mm away from the abnormal magnets'surface: (a) The tangential difference B t ; (b) the axial difference B n ; (c) the difference of absolute value B abs .

可以總結(jié), 對(duì)于由接觸反磁化形成的反常磁鐵而言, 它的反常效應(yīng)只體現(xiàn)在近場(chǎng)且比反常區(qū)域略大一些的區(qū)域內(nèi).而在遠(yuǎn)離這些區(qū)域時(shí), 反向電流環(huán)的作用迅速衰減.在調(diào)節(jié)這一反常效應(yīng)時(shí), 用于接觸反磁化, 提供反向磁場(chǎng)的小磁鐵和大磁鐵的接觸面積決定了反常區(qū)域的大小, 而小磁鐵的磁化強(qiáng)度決定了反常區(qū)域邊界上反向電流環(huán)的強(qiáng)度.因而當(dāng)需要有更大反常區(qū)域, 且有更強(qiáng)的反常效應(yīng)的反常磁鐵時(shí), 應(yīng)選用磁化強(qiáng)度較大且大小磁鐵接觸面積更大的小磁鐵作為反向磁場(chǎng)的提供者.但是需要指明, 若小磁鐵的半徑過(guò)大, 就不能看作勻強(qiáng)磁場(chǎng)源, 實(shí)際情況會(huì)更復(fù)雜.

5 結(jié) 論

本文研究了一類(lèi)由同極性相面對(duì)的大小磁鐵,在外力作用下相互接觸后形成的單面雙極性反常磁鐵, 其中局部反常區(qū)域具有和兩個(gè)磁鐵接觸面一樣的形狀和尺寸.需要說(shuō)明的是, 本文研究的單面雙極性磁鐵不同于多極充磁形成的單面多極性磁鐵(它的極性由磁化強(qiáng)度的方向來(lái)定義), 由于小磁鐵在整個(gè)接觸反磁化過(guò)程中幾乎不發(fā)生改變, 因此本文反常磁鐵的雙極性指代的是在反常磁鐵表面上, 既有和小磁鐵相吸引, 又有和小磁鐵相排斥的區(qū)域.至于接觸反磁化形成的反常磁鐵, 它的局部磁化強(qiáng)度原則上可從大磁鐵的退磁曲線上得到.本文研究取得了以下結(jié)論:

1) 推導(dǎo)并建立了反常磁鐵的等效磁化電流模型, 可以有效計(jì)算反常磁鐵的空間磁感應(yīng)強(qiáng)度.其中, 反常區(qū)域分界面上的電流可由磁化強(qiáng)度的突變描述, 反常磁鐵所產(chǎn)生的空間磁場(chǎng)可看作由多個(gè)電流環(huán)的貢獻(xiàn)疊加而成.

2) 設(shè)計(jì)了僅中心反磁化和多處反磁化兩組實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)等效模型的準(zhǔn)確性, 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果和理論計(jì)算模型相符合.模型表明, 對(duì)于大小永磁鐵均為圓柱形磁鐵的情況, 接觸反磁化形成的反常磁鐵可等效為可調(diào)節(jié)局部磁場(chǎng)的多環(huán)環(huán)形磁鐵.

3) 給出了小磁鐵尺寸變化對(duì)于反常磁鐵的影響規(guī)律.小磁鐵尺寸的變化主要影響到小磁鐵的磁化強(qiáng)度和小磁鐵與大磁鐵的接觸面積.小磁鐵的磁化強(qiáng)度越大, 則反常區(qū)域具有更小的等效磁化強(qiáng)度, 分界面上的反向電流強(qiáng)度絕對(duì)值越大, 因而反常效應(yīng)越明顯.而小磁鐵和大磁鐵的接觸面積決定了反常區(qū)域的大小.

4) 在垂直于反常磁鐵表面的方向上, 反常效應(yīng)是近場(chǎng)效應(yīng), 在平行于磁鐵表面的平面內(nèi), 反常效應(yīng)幾乎只在反常區(qū)域內(nèi)體現(xiàn), 遠(yuǎn)離反常區(qū)域后便迅速衰減.