基于D-P修正準則的擴孔理論在黃土劈裂注漿中的應用分析

王 騰, 李 萍, 丁艷梅, 宋 彧,3

(1. 濰坊科技學院 山東省高校設施園藝實驗室, 山東 濰坊 262700; 2. 濰坊科技學院 建筑與藝術學院, 山東 濰坊 262700; 3. 蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心, 甘肅 蘭州 730050)

圓孔擴張理論自被Vesic[1]提出后,在巖土工程領域得到了廣泛應用,如樁基礎和地錨承載力的分析[2]、靜力觸探[3-5]、隧道和地下開挖[6-7]等土工問題.其分析中均涉及到了小孔擴張理論,所應用巖土材料的強度準則卻有所不同.巖土強度是巖土準則理論的重要組成部分,一直是眾多學者研究的熱點[8-9].自1900年摩爾(O.Mohr)教授建立了著名的Mohr-Coulomb強度理論(簡稱M-C強度理論)以來,大量的實驗和工程實踐已證實,M-C強度理論能較好地描述巖土材料的強度特性.如張淼等[10]基于擴孔理論和統(tǒng)一強度準則并考慮非對稱荷載的作用,研究了在非對稱荷載作用下土體劈裂注漿壓力.王延斌等[11]考慮軸對稱荷載作用推導出柱形擴孔問題應力場和位移場的解析解.鄒金峰等[12]基于擴孔理論和廣義SMP強度準則對土體劈裂灌漿壓力計算方法進行了研究.但正如鄧楚鍵等[13]在文獻中描述的,由于M-C準則在三維空間的屈服面為不規(guī)則的六角形截面的角錐體表面,在二平面上的圖形為不等角六邊形,存在尖頂和菱角,給數(shù)值計算帶來困難.故基于M-C強度理論所考慮的擴孔理論對劈裂注漿壓力的研究亦存在其不便性.諸多學者經(jīng)過大量修正,在π平面上用光滑曲線來逼近M-C準則,其中Drucker-Prager準則(簡稱D-P準則)較為簡單高效.其主應力屈服面上為光滑圓錐,表述極其簡單且數(shù)值計算效率極高,在數(shù)值模擬計算中有較廣泛的應用.但大量研究表明,有限元軟件中的D-P準則在分析巖土工程問題時仍具有較大的誤差,甚至有部分學者認為此類軟件不能研究巖土工程問題,于是出現(xiàn)了D-P系列修正屈服.如何將D-P修正準則應用于小孔擴張理論并解決諸如黃土劈裂注漿等實際工程問題,是本次研究的重點.

基于考慮Drucker-Prager修正準則的圓孔擴張理論,擬對劈裂注漿漿泡周圍彈性區(qū)及塑性區(qū)土體的應力場進行分析,將其應用于黃土地區(qū)注漿啟劈壓力的預估,以期對黃土地區(qū)注漿等巖土工程問題提供一定的理論支持.

1 力學模型與基本假設

1.1 基本假設

對濕陷性黃土地基劈裂注漿機理的探索[14],通常先類比其它非濕陷性黃土地基注漿,記錄注漿過程及參數(shù)變化,再經(jīng)過開挖.基于注漿記錄及開挖結果分析劈裂注漿的發(fā)生、發(fā)展過程.以寧夏同心縣某行政辦公樓糾偏加固現(xiàn)場試驗為例,經(jīng)開挖分析可知,濕陷性黃土劈裂注漿漿脈分布極其不均勻,大部分漿液首先會沿著土體固有裂隙或者軟弱面進行拓展,直至其強度與周圍土體接近時,才會在次一級裂隙或軟弱面上進行劈裂.根據(jù)開挖檢查及注漿記錄,濕陷性黃土劈裂過程可以分成三個階段：充填與壓密階段、起裂與上抬階段及裂縫擴展與板狀凝固體形成階段.因此可以將劈裂注漿初始階段的整個力學過程分為土體在受到擠壓后的變形、屈服直至最終破壞而被劈裂的過程.基于此,作如下假設：

1) 劈裂注漿的鼓泡壓密階段可以視為圓孔擴張問題,按照平面應變條件來處理.為了分析問題方便,將圓孔周圍土體的應力分布分為兩個區(qū)域：塑性區(qū)和彈性區(qū)(如圖1所示).假定無限土體內(nèi)有初始小孔受球形均布壓力,當此壓力逐漸增加時,球形小孔周圍土體將從彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài),當孔壓繼續(xù)增加時,塑性區(qū)不斷擴大,直到內(nèi)壓力P增加至極限孔壓Pu,此時小孔半徑為au,塑性區(qū)范圍為au≤r≤rP,彈性區(qū)范圍為r≥rP.

2) 黃土土體是均勻的各向同性體.

3) 土體屈服服從Drucker-Prager修正準則.

4) 在彈性區(qū)中采用彈性小變形理論,在塑性區(qū)中采用大變形理論.

5) 土體初始壓力P0具有水壓力性質(zhì),即各方向數(shù)值大小相等.

6) 凈應力與基質(zhì)吸力共同引起土體體積的變化,它們之間是耦合的.分析過程中,將以粒間應力來代替二者之間的耦合作用應力,不再單獨去考慮各自的影響,粒間應力將包括凈應力與基質(zhì)吸力兩部分[15].

1.2 Drucker-Prager修正屈服準則

為反映平均主應力P(或應力第一不變量I1)對土抗剪強度的影響,1952年Drucker和Prager發(fā)展了廣義Mises準則,提出Drucker-Prager準則,表達式為[16]

(1a)

Drucker-Prager準則在π平面上為圓形,它主要包括以下幾種[17](圖2所示)：1) M-C外角點外接圓準則(DP1);2) M-C內(nèi)角點外接圓準則(DP2)；3) M-C內(nèi)切圓準則(DP3);4) M-C等面積圓準則(DP4);5) M-C匹配DP圓(DP5).

圖2 各屈服準則在π平面上的曲線Fig.2 The curves of each yielding criterion on π plane

國內(nèi)研究一般采用關聯(lián)流動法則的平面應變狀態(tài)下與M-C準則匹配的DP3準則[13],其k與α的表達式如下：

(2)

式中:c、φ為黃土土體的黏聚力及內(nèi)摩擦角.

2 漿液壓縮土體的彈塑性解析

2.1 彈性區(qū)(r≥rP)的應力場

在圓孔擴張問題中選用球形擴散理論,根據(jù)力學平衡方程,在任意一點處,土體的應力有如下關系：

(3)

由于小孔擴張問題為軸對稱問題,采用球坐標系,根據(jù)彈性理論[18],幾何方程為

(4)

式中：εr、εθ分別為徑向應變與環(huán)向應變.

在彈性理論中,考慮初始應力P0,位移表示的應力-應變方程為

(5)

在擴孔問題中,用位移表示公式(3)的平衡微分方程為[19]

(6)

式(6)的常微分方程解析解為

(7)

將式(7)代入公式(5)可得應力分量為

(8)

再根據(jù)邊界條件：

(9)

將式(9)代入式(8)可得

(10)

將式(10)所得A、B值代入式(7、8)可知一點應力場與位移場為

(11)

當r=rP時,式(11)可得

(12)

由對稱性知,在D-P準則中取σ1=σr,σ3=σθ,代入式(12)中,有

(13)

在彈塑性交界處應力應變關系服從D-P屈服準則,則將式(13)代入式(1b)得

(14)

2.2 塑性區(qū)(ru≤r≤rP)的應力場

由假設可知,在塑性區(qū)服從DP3修正屈服準則,屈服條件式(2)與式(7)聯(lián)立有

(15)

解式(15),可得塑性區(qū)應力場為

(16)

式中

(17)

代入邊界條件式(14),σr|r=rP=σrP,有

(18)

將式(18)代入式(16)得

(19)

則塑性區(qū)的應力場為

(20)

則圓孔擴張理論中,水平劈裂注漿壓力為

(21)

其中

(22)

2.3 塑性區(qū)應力分布參數(shù)分析

為了驗證理論的正確有效性,選取文獻[20]中的隴東地區(qū)土體參數(shù)數(shù)據(jù)進行驗證.其中的土體參數(shù)共6組,分別為(c,φ)=[(32 kPa,26°)、(37 kPa,28°)、(42 kPa,29°)、(47 kPa,32°)、(52 kPa,35°)、(57 kPa,40°)]；E=3 000 kPa；ν=0.3；P0=80 kPa,徑向及環(huán)向應力與參數(shù)r/rP的關系如圖3所示.

圖3 應力與參數(shù)r/rP之間的關系Fig.3 The relationship between stress and parameters r/rP

圖3為不同土體參數(shù)下塑性區(qū)徑向及環(huán)向應力與r/rP的關系.從圖中可以看出,徑向及環(huán)向應力與參數(shù)r/rP呈現(xiàn)非線性遞減關系,表明在越接近彈塑性交界面處區(qū)域內(nèi),擴孔產(chǎn)生的應力越小.對比文獻[12]中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),變化規(guī)律是一致的.相同土體參數(shù)條件下,徑向應力的計算結果相差不大,但環(huán)向應力較文獻[12]中的數(shù)據(jù)略大.

為驗證理論正確有效,選取一組經(jīng)驗土體參數(shù)作定性分析.參數(shù)為c=20～40 kPa；φ=18°～30°,r/rP=0.4,應力隨土體參數(shù)c、φ的遞變規(guī)律如圖4所示.

圖4為塑性區(qū)徑向及環(huán)向應力與參數(shù)c及φ的關系.從圖中可以看出,在參數(shù)c、φ的共同作用下,徑向應力隨二者的增大呈線性增大的趨勢.而環(huán)向應力遞變規(guī)律卻與之相反.同時,黏聚力c對環(huán)向應力的影響不顯著.

圖4 應力與參數(shù)c、φ的關系Fig.4 The relationship between stress and parameters c、φ

3 劈裂注漿中的應用分析

3.1 不排水條件下的劈裂注漿壓力解答

3.1.1漿液豎向劈裂土體時的劈裂壓力

根據(jù)假定(4)可知

(23)

上式為圓孔從r0變化到任意r處的徑向應變和環(huán)向應變.

在彈性區(qū)的應變理論表達式為[21]

εv=εr+2εθ

(24)

假設不排水條件下擴孔時土體體積不變,則

εr+2εθ=0

(25)

在彈塑性邊界處,聯(lián)立式(23)和式(25)可得塑性區(qū)位移協(xié)調(diào)方程為

(26)

當孔徑從a0擴張到au的過程中,上式可表示為

(27)

聯(lián)立式(11,27),利用泰勒級數(shù)展開式,結合式(14)可得

(28)

式(28)表明了塑性區(qū)半徑rP與擴孔半徑au的關系.

假設a0→0時,當a→au,rP/r→rP/ru時,有

(29)

聯(lián)立式(21,29),可得非飽和黃土不排水時,豎向劈裂土體的劈裂壓力為

(30)

3.1.2漿液水平劈裂土體時的劈裂壓力

當漿液水平向劈裂土體時,由式(16)可知

(31)

其中

(32)

則漿液水平向劈裂土體時劈裂壓力為

(33)

對上式分析可知,黃土土體劈裂注漿壓力與土體參數(shù)(c、φ、E、ν)、D-P準則參數(shù)(α、k)、土體原始應力P0及屈服準則等因素有關.

3.2 注漿壓力參數(shù)分析

為分析不排水條件下,劈裂注漿壓力隨土體參數(shù)的變化規(guī)律,取2組經(jīng)驗參數(shù)進行定性分析[14].第1組：c=20～40 kPa,φ=18°～30°,E=5 500 kPa,ν=0.35;第2組：E=3 000～7 500 kPa,ν=0.3～0.45,c=30 kPa,φ=26°,P0=100 kPa.

圖5、圖6分別為豎向及水平劈裂注漿壓力與參數(shù)(c、φ)及(E、ν)的關系.從圖5中可以看出,不排水條件下,豎向及水平劈裂注漿壓力隨著土體材料參數(shù)(c、φ)的增大呈線性增長.相同參數(shù)情況下,豎向與水平注漿壓力相差值隨(c、φ)的增大而相應增大.從圖6可以看出,當ν一定時,隨著壓縮模量E的增大,土體豎向及水平劈裂時則需要更大的注漿壓力.當E一定時,豎向劈裂注漿壓力隨泊松比ν的增大而減小,在注漿壓力持續(xù)增加到一定程度時,大小主應力換位,土體出現(xiàn)水平劈裂,其注漿壓力值隨著泊松比ν的增大而增大.且豎向劈裂注漿壓力一般都小于水平壓力值,這也是與很多工程實際情況相符的.

圖5 劈裂注漿壓力與參數(shù)(c、φ)的關系Fig.5 The relationship between fracturing grouting pressure and parameters (c、φ)

圖6 劈裂注漿壓力與參數(shù)(E、ν)的關系Fig.6 The relationship between fracturing grouting pressure and parameters (E、ν)

4 算例分析

4.1 工程概況

某辦公樓場地位于黃土高原董志塬,建筑物原始地形復雜,根據(jù)勘察報告得知,場區(qū)為濕陷性黃土,濕陷性類型為自重濕陷性,濕陷等級為Ⅱ級.辦公樓的使用過程中,陸續(xù)發(fā)現(xiàn)室內(nèi)局部墻體有開裂現(xiàn)象,該樓一層餐廳室內(nèi)地面出現(xiàn)明顯下沉.

經(jīng)鑒定,采用注漿法加固對地基進行處理,如圖7所示.在該場地通過3個不同深度(3、5、7 m)的試驗點來驗證本文理論計算結果,試驗加固土層土體物理力學性質(zhì)見表1.

圖7 辦公樓現(xiàn)場加固Fig.7 The figure of office site reinforcement

表1 原狀試驗土樣基本數(shù)據(jù)

4.2 注漿壓力及注漿量時程分析

整個試驗實施過程用照相機或者攝像機進行全程追蹤(如圖7所示),特別是記錄3組不同深度土體的注漿壓力P和注漿量Q隨時間t的變化情況.繪制成P-Q-t圖,如圖8所示.

圖8 注漿記錄過程Fig.8 Grouting recording process

理論計算所需要的試驗參數(shù)見表1,將劈裂注漿壓力計算值與實測值對比結果列于表2.其中,Pshu、Pshui分別表示豎向劈裂壓力及水平向劈裂壓力.

從表2可以看出,理論計算值在514.2～693.7 kPa,與實測值430～780 kPa比較接近.誤差可能是試驗土樣選取、計算參數(shù)取值、注漿時壓力表記錄及漿液配比等因素的影響造成.但理論計算值與實測值在總體上較為接近,說明了理論分析方法在黃土地區(qū)劈裂注漿工程中具有一定的實用價值.

表2 理論計算值與實測數(shù)據(jù)對比

5 結論

在Drucker-Prager修正準則的圓孔擴張理論基礎上,考慮不排水條件,建立了基于擴孔理論的劈裂注漿壓力分析模型.

1) 基于考慮Drucker-Prager修正準則的圓孔擴張理論下,徑向應力與環(huán)向應力隨ru/rP呈現(xiàn)非線性遞減關系,離塑性區(qū)越遠,應力越小.2) 漿液擴孔壓力和最終擴孔半徑 、黃土的土體強度參數(shù)(E、ν、c、φ)、土體的不排水強度及土體抗拉強度等因素有關.3) 理論劈裂注漿計算值在514.2～693.7 kPa之間,與現(xiàn)場實測值430～780 kPa比較接近，證明理論分析方法在黃土地區(qū)劈裂注漿工程中具有一定的實用價值.