SMA彈簧驅(qū)動的柔性操控臂動力學(xué)分析

滕亞軍，陳務(wù)軍，楊天洋，敬忠良，劉物己

(上海交通大學(xué) a.空間結(jié)構(gòu)研究中心；b.航空航天學(xué)院，上海 200240)

與由電機(jī)驅(qū)動的機(jī)器人相比，由智能材料[1-2]驅(qū)動的柔性機(jī)器人具有靈活性好、體積小、質(zhì)量輕、環(huán)境適應(yīng)性好、噪聲低等優(yōu)勢.柔性機(jī)器人對工作條件受限的環(huán)境具有良好的適應(yīng)能力，可廣泛用于家庭服務(wù)、災(zāi)難救護(hù)、教育娛樂、醫(yī)學(xué)和太空探索等許多領(lǐng)域，在未來這些應(yīng)用領(lǐng)域中將會占有十分重要的地位.柔性機(jī)器人一般采用氣動、離子交換聚合物、形狀記憶合金(SMA)[3-5]、形狀記憶聚合物[6]、響應(yīng)水凝膠[7-8]等驅(qū)動方式并由柔性材料來做支撐結(jié)構(gòu).McMahan等[9]研制出一種仿章魚觸手的連續(xù)型機(jī)器人OctArm，該機(jī)器人可以抓取形狀復(fù)雜的物體，并且可以在相對受限的工作環(huán)境下運動.韓國漢陽大學(xué)Choi等[10]設(shè)計研制出一種彈簧骨架支撐的連續(xù)型內(nèi)窺鏡機(jī)器人.該機(jī)器人通過彈簧支架支撐，彈簧支架的作用是保持機(jī)器人的形狀和為彎曲運動提供彎曲剛度的作用，其運動通過柔性臂內(nèi)部的3根驅(qū)動繩索協(xié)調(diào)運動而實現(xiàn).哈爾濱工業(yè)大學(xué)的胡海燕等[11]研制出的機(jī)器人用于結(jié)腸鏡檢查，此連續(xù)機(jī)器人通過NiTi合金絲驅(qū)動線驅(qū)動兩個機(jī)器人單元，可實現(xiàn)平面與空間內(nèi)彎曲.

準(zhǔn)確的運動學(xué)和動力學(xué)分析對于理解機(jī)器人的機(jī)理和控制至關(guān)重要.常規(guī)的建模方法有牛頓-歐拉法[12-13]和拉格朗日動力學(xué)方法[14-15].拉格朗日動力學(xué)方程是基于機(jī)械系統(tǒng)能量對系統(tǒng)變量(位移、速度等)以及時間的微分所建立的.在機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)比較簡單、自由度比較少的情況下，拉格朗日方程法可能會比牛頓-歐拉方程法復(fù)雜，但是隨著機(jī)械系統(tǒng)越來越復(fù)雜、自由度越來越多，用拉格朗日方程法對機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模與分析變得比牛頓-歐拉方程法更加簡單.丁希侖等[16]提出一種多連桿復(fù)雜的柔性臂系統(tǒng)動力學(xué)建模方法——D -Holzer法，用該法推導(dǎo)了兩連桿柔性臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型.但由于空間柔性操控臂采用形狀記憶合金彈簧驅(qū)動，且SMA具有很強(qiáng)的非線性，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程推導(dǎo)和求解變得較為復(fù)雜.前人的文獻(xiàn)研究并無帶有SMA彈簧的動力學(xué)研究，導(dǎo)致對使用SMA彈簧驅(qū)動的軟體機(jī)器人動力學(xué)分析沒有足夠的了解.

本文以八面體桁架為理論基礎(chǔ)，設(shè)計一種基于SMA彈簧驅(qū)動的柔性驅(qū)動模塊.基于拉格朗日動力學(xué)建模方法，并結(jié)合SMA彈簧的本構(gòu)模型獲得動力學(xué)普遍方程.通過Adams仿真，計算出關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度與SMA彈簧長度.通過算例分析SMA彈簧在不同關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動下的動力響應(yīng)，為后續(xù)SMA彈簧控制和柔性操控臂的實驗研究奠定基礎(chǔ).

1 空間柔性操控臂結(jié)構(gòu)設(shè)計

結(jié)合串聯(lián)機(jī)構(gòu)與并聯(lián)機(jī)構(gòu)各自的優(yōu)點，賈林睿等[17]設(shè)計了一種八面體單元組成的變幾何桁架式機(jī)構(gòu)，具有高剛度以及大運動空間的特點.八面體桁架是由多個正八面體桁架結(jié)構(gòu)組成，相鄰兩節(jié)呈對稱關(guān)系.以相鄰的兩個正八面體的共用面作為驅(qū)動面，通過主動驅(qū)動器改變驅(qū)動面3根桿件的長度以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)幾何的形狀改變.

通過改變驅(qū)動面與驅(qū)動方式，提出如圖1所示的柔性操控臂模塊.柔性臂主結(jié)構(gòu)由光敏樹脂3D打印而成，每個柔性臂主結(jié)構(gòu)有3個分支以120° 間隔圓周分布.上部分主結(jié)構(gòu)繞球鉸O點轉(zhuǎn)動.每個分支末端有設(shè)計好的小孔，將SMA彈簧嵌入對應(yīng)的小孔中，柔性操控臂單元有6根SMA彈簧.

圖1 柔性操控臂模塊Fig.1 Flexible manipulator unit

柔性操控臂模塊仍為八面體結(jié)構(gòu)，SMA彈簧側(cè)面驅(qū)動.通過改變SMA彈簧的溫度來控制SMA彈簧長度，從而驅(qū)動結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動.

2 動力學(xué)分析

拉格朗日力學(xué)在處理力學(xué)體系時，將力學(xué)體系作為一個整體考慮，由力學(xué)體系的特征選定廣義坐標(biāo)并寫出系統(tǒng)總的動能Ek、勢能V及拉格朗日函數(shù)L=Ek-V.拉格朗日函數(shù)包含了力學(xué)體系的所有信息，包括約束、運動狀態(tài)、能量、相互作用等，是十分重要的物理量.拉格朗日方程組具有約束越多，方程組個數(shù)越少的優(yōu)點.拉格朗日方程的建立步驟固定，所有系統(tǒng)都具有統(tǒng)一簡單的形式，力學(xué)體系的不同歸結(jié)為拉格朗日函數(shù)的不同，因而容易掌握且不易出錯，即拉格朗日力學(xué)在建立方程過程中具有“整體”、“分析”和“標(biāo)量”的特點.拉格朗日法不僅能以最簡單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動力學(xué)方程，而且具有顯式結(jié)構(gòu).本節(jié)將采用拉格朗日法推導(dǎo)相應(yīng)的動力學(xué)方程，分析柔性操控臂的動力學(xué)特性.

圖2 柔性臂坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of flexible manipulator

2.1 運動學(xué)

所建立的柔性臂坐標(biāo)系如圖2所示.其中：Ot為上部結(jié)構(gòu)的中點；OB為底部結(jié)構(gòu)的中點；y軸與OtS1平行，z軸與主干OOt的中心線重合，x軸垂直與平面yOz；S1、S2、S3為頂部的3個彈簧連接點；B1、B2、B3為底部的3個彈簧連接點；l1～l6為6根彈簧的長度.

運動學(xué)假設(shè)：

(1)忽略主結(jié)構(gòu)的變形.

(2)圓盤的轉(zhuǎn)動由SMA彈簧引起.

假設(shè)SMA彈簧連接點S1、S2、S3、B1、B2、B3的坐標(biāo)向量為

(1)

(2)

式中：θB為底部的天頂角；rB為底部結(jié)構(gòu)半徑；θ1、θ2、θ3為頂部天頂角；φ1、φ2、φ3為頂部方位角；rt為上部結(jié)構(gòu)半徑.

假設(shè)繞x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣為Rx，繞y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣為Ry，繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣為Rz：

(3)

式中：α、β、γ為轉(zhuǎn)動角度.

S1點旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為S1r，S2旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為S2r，S3旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為S3r.旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)向量可表示為

(4)

SMA彈簧長度與旋轉(zhuǎn)后的θir與φir(i=1,2,3)的關(guān)系為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2 勢能與動能

在柔性操控臂初始位置，上圓盤的質(zhì)心坐標(biāo)為Oc=[xcyczc]T.柔性臂轉(zhuǎn)動后的質(zhì)心Ocr=[xcrycrzcr]T可表示為

(11)

重力勢能VG以及SMA的彈簧勢能VS可分別表示為

(12)

式中：Fj為SMA彈簧力；mt為上部結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；g為重力加速度；Δ為SMA彈簧的變形量.

1986年，Tanaka[18]根據(jù)SMA在相變過程中自由能應(yīng)該達(dá)到最小值的原理建立了SMA本構(gòu)模型，用能量平衡方程和Clausius-Duhem非平衡熱力學(xué)原理描述了其超彈性和記憶性能.文獻(xiàn)[18]假定相變過程中，馬氏體體積分?jǐn)?shù)與溫度間成指數(shù)關(guān)系.根據(jù)SMA自由回復(fù)過程中的變形特征，Liang等[19-20]用余弦函數(shù)來表示馬氏體體積分?jǐn)?shù)和溫度、應(yīng)力之間的關(guān)系，關(guān)系式包括了馬氏體正逆相變?nèi)^程.后來在Brinson[21]所提出的模型中，將馬氏體變體分為兩部分，溫度誘發(fā)相變和應(yīng)力誘發(fā)相變，因此馬氏體相變動力學(xué)方程在不同溫度區(qū)間有正反兩個演化方程，這樣記憶合金超彈性本構(gòu)關(guān)系的基本框架得到了建立.

根據(jù)Brinson[21]提出的形狀記憶合金一維本構(gòu)模型，利用拉伸應(yīng)力、拉伸應(yīng)變和剪切應(yīng)力、剪應(yīng)變之間的等效關(guān)系，進(jìn)行修正后再結(jié)合普通彈簧理論，獲得由SMA彈簧的本構(gòu)模型[22]：

(13)

E(ξ)=EA+(EM-EA)ξ

(14)

Θ(ξ)=ΘA+(ΘM-ΘA)ξ

(15)

j=1,2,…,6

從奧氏體轉(zhuǎn)換為馬氏體:

(16)

(17)

(18)

(19)

當(dāng)TMf

(20)

ΔTξ=0

(21)

從馬氏體轉(zhuǎn)換為奧氏體：

(22)

(23)

(24)

aM=π/(TMs-TMf),aA=π/(TAf-TAs)

(25)

機(jī)構(gòu)總動能可表示為

(26)

2.3 拉格朗日動力學(xué)方程

以α、β、γ為廣義坐標(biāo),令q1=α,q2=β,q3=γ;拉格朗日動力學(xué)方程為

L=Ek-(VS+VG)

(27)

(28)

m=1,2,3

(29)

將動能與勢能代入拉格朗日動力學(xué)方程，得到矩陣形式:

(30)

2.4 數(shù)值算例分析

2.4.1理論計算 已知關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度的變化，可表示為

(31)

式中：Ψ為最大轉(zhuǎn)動角度.機(jī)構(gòu)的建模參數(shù)如表1所示，SMA彈簧材料參數(shù)如表2所示.

表1 建模參數(shù)Tab.1 Modeling parameters

表2 SMA彈簧材料參數(shù)Tab.2 Material parameters of SMA spring

圖3 當(dāng)時的柔性臂運動形態(tài)Fig.3 Kinematic forms of flexible manipulator at

圖4 計算流程圖Fig.4 Flowchart of calculation

通過計算，6根SMA彈簧長度li與時間t的關(guān)系如圖5所示.當(dāng)SMA彈簧長度小于初始長度時，表示該SMA彈簧需要通電.

(1)當(dāng)t=0～10 s時，對SMA彈簧l3、l6通電，其余SMA彈簧l1、l2、l4、l5被動拉伸.SMA彈簧l3、l6上的力是由通電后馬氏體向奧氏體相變而來的，SMA彈簧l1、l2、l4、l5上的力是被動拉伸而產(chǎn)生的.

(2)當(dāng)t=10～20 s時，對SMA彈簧l1、l5通電，其余彈簧l2、l3、l4、l6被動拉伸.SMA彈簧l1、l5上的力是由通電后馬氏體向奧氏體相變而來的，SMA彈簧l2、l3、l4、l6上的力是被動拉伸而產(chǎn)生的.

(3)6根SMA彈簧的初始長度都為258.6 mm.在運動過程中，SMA彈簧長度最大值為303.6 mm，最小值為186.8 mm.

SMA彈簧li上的彈簧力為Fj，SMA彈簧力F與時間t的關(guān)系如圖6所示.

(1)SMA彈簧l1、l3、l5、l6承受拉力，SMA彈簧l2、l4承受壓力.當(dāng)拉力與壓力最大值出現(xiàn)在5 s和15 s時，拉力最大值為3.1 N，壓力最大值為 -1.5 N.

圖5 當(dāng)Ψ=π/4時的SMA彈簧長度Fig.5 Lengths of SMA spring at Ψ=π/4

圖6 當(dāng)Ψ=π/4時的SMA彈簧力Fig.6 SMA spring forces at Ψ=π/4

(2)為了方便后面進(jìn)行Adams仿真計算，將理論計算出的力擬合.

當(dāng)t=0～10 s時，

F3=-7.738+3.727cos(0.261 6t)+

14.29sin(0.261 6t)+4.742cos(0.523 2t)-2.653sin(0.523 2t)-0.729 4cos(0.784 8t)-0.7595sin(0.784 8t)

(32)

當(dāng)t=10～20 s時，

F1=-7.699-10.03cos(0.265 3t)-

11.15sin(0.265 3t)+0.575cos(0.530 6t)-5.393sin(0.530 6t)+0.867 3cos(0.795 9t)-0.627 2sin(0.795 9t)

(33)

圖7 當(dāng)Ψ=π/4時的l3、l6馬氏體體積分?jǐn)?shù)Fig.7 Martensite volumn fractions of l3 and l6 at Ψ=π/4

圖8 Ψ=π/4,π/6,π/12時SMA彈簧力Fig.8 SMA spring forces at Ψ=π/4,π/6,and π/12

由圖5和6可以看出，通電SMA彈簧任意時刻的彈簧長度與彈簧力.通過SMA彈簧力與彈簧長度，根據(jù)SMA彈簧的本構(gòu)模型(見式(13)和(14))，可以計算出SMA彈簧的馬氏體體積分?jǐn)?shù).可以得到在t=0～10 s時，SMA彈簧l3、l6馬氏體體積分?jǐn)?shù)ξ與時間t的關(guān)系如圖7所示.馬氏體體積分?jǐn)?shù)最小值出現(xiàn)在t=5 s時，其值為0.74.

當(dāng)Ψ=π/4、π/6、π/12時，SMA彈簧力Fj與時間t的關(guān)系如圖8所示.其中，由于機(jī)構(gòu)的對稱性，F(xiàn)1=F5，F(xiàn)2=F4，F(xiàn)3=F6，此處只列出F1～F3的受力情況.由圖8可以看出，當(dāng)Ψ增大時，SMA彈簧力也需要隨之增大.SMA彈簧力的最大值Fmax與最小值Fmin如表3所示.

表3 SMA彈簧力最大值Tab.3 Maximum forces of SMA spring

2.4.2Adams模擬 為驗證理論計算的正確性，采用Adams進(jìn)行仿真計算.Adams仿真計算流程圖如圖9所示.由于SMA彈簧建模的困難，將理論計算出的SMA彈簧力施加到SMA彈簧上，從而帶動結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動.通過比較轉(zhuǎn)動角度與SMA彈簧長度驗證理論模型的正確性.

圖9 Adams仿真計算流程圖Fig.9 Flowchart of Adams simulation

仿真與理論中的轉(zhuǎn)動角度α與時間t的關(guān)系如圖10所示，SMA彈簧長度與時間t的關(guān)系如圖11所示.仿真得到的轉(zhuǎn)動角度最大值與最小值分別為49.5° 與 -41.6°，與理論計算相差9%與7.5%.對于SMA彈簧長度l1、l2、l3，仿真值與理論值分別相差最大為1.3%、1.9%與3.6%.仿真與理論的結(jié)果相近，證明了理論推導(dǎo)模型的正確性.

圖10 α與t的關(guān)系Fig.10 α versus t

圖11 li與t的關(guān)系Fig.11 li versus t

3 實驗

選用Dynalloy公司生產(chǎn)的TiNi基SMA彈簧作為柔性機(jī)械臂的驅(qū)動，SMA絲的直徑為0.51 mm，繞成彈簧的中徑為3.45 mm.主結(jié)構(gòu)采用3D打印，單節(jié)柔性操控臂模塊樣機(jī)如圖12所示.

圖12 柔性操控臂模塊樣機(jī)Fig.12 Prototype of flexible manipulator unit

在樣機(jī)上貼上反光靶點，采用恒流電源通電.在機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動過程中，用3臺高清單反相機(jī)對機(jī)構(gòu)拍照，主要拍攝反光靶點，每2 s拍攝1次.在PhotoModeler Scanner軟件中處理并分析靶點，得到每個靶點的位置信息.通過向量方法獲得機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動角度.通過軟件處理后，得到O、Ot、OB這3點的坐標(biāo).則轉(zhuǎn)動角度α可表示為

(34)

式中：Ut為O到Ot向量；UB為O到OB向量.

當(dāng)電流I=0.8,1.0,1.2A時，時間t與轉(zhuǎn)動角度α的關(guān)系如圖13所示.

圖13 實驗中α與t的關(guān)系Fig.13 α versus t in the experiment

4 結(jié)語

本文以形狀記憶合金彈簧為驅(qū)動材料及3D打印光敏樹脂為支撐材料作為柔性機(jī)械臂的機(jī)體，設(shè)計空間柔性操控臂.通過幾何法建立運動學(xué)模型，為動力學(xué)模型的構(gòu)建奠定了基礎(chǔ).基于拉格朗日動力學(xué)，分析了柔性操控臂的動能、彈性勢能和重力勢能，得到動力學(xué)普遍方程.

通過Adams仿真，仿真與理論對比得到，轉(zhuǎn)動角度與理論計算相差9%與7.5%.對于SMA彈簧長度，仿真值與理論值分別相差最大為1.3%、1.9%與3.6%.結(jié)果表明，所提理論能正確分析柔性操控臂動力學(xué).通過算例分析SMA彈簧在不同關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動下的動力響應(yīng)，為后續(xù)SMA彈簧控制和柔性操控臂實驗研究奠定基礎(chǔ).最后，制作單節(jié)柔性操控臂樣機(jī)并針對樣機(jī)測量不同電流下的轉(zhuǎn)動角度.本文的建模和仿真方法對于其他類型的機(jī)器人也具有借鑒意義.