基于鄰域保持嵌入的主多項(xiàng)式非線性過程故障檢測

李 元，姚宗禹

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院,沈陽 110142)

在現(xiàn)代工業(yè)中，為了在提高過程系統(tǒng)運(yùn)行安全性和可靠性的同時(shí)，保證化學(xué)工程工藝系統(tǒng)中的產(chǎn)品質(zhì)量，必須對過程進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控.數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的過程監(jiān)測和控制技術(shù)已廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)過程[1-3]，包括化學(xué)品、藥品和半導(dǎo)體制造等[4-8].

傳統(tǒng)主成分分析(PCA)是目前常用的多元統(tǒng)計(jì)方法，基于PCA的過程監(jiān)測方法已成功地應(yīng)用于大量工業(yè)過程中.然而，基于PCA的方法均假設(shè)過程是線性的，這限制了其在非線性工業(yè)過程中的應(yīng)用.現(xiàn)代工業(yè)非線性過程大量存在，為了監(jiān)測非線性過程，多種非線性過程檢測方法相繼被提出.

文獻(xiàn)[9]通過在PCA中引入核技術(shù)提出了核主元分析(KPCA).而文獻(xiàn)[10-11]提出基于KPCA的連續(xù)過程監(jiān)測的非線性過程監(jiān)測技術(shù)，KPCA將非線性低維數(shù)據(jù)映射到高維空間，使其在高維空間中存在線性關(guān)系.相對于PCA方法而言，KPCA方法在故障檢測過程中可以提取系統(tǒng)中的非線性特征信息而不至于丟失重要信息，具有更好的非線性故障檢測能力.但是，KPCA沒有明確地考慮數(shù)據(jù)的非線性幾何結(jié)構(gòu)可能駐留在流形上的可能性[12]，若參數(shù)設(shè)置不當(dāng)，核方法的故障檢測性能就無法得到保證.此外，計(jì)算核函數(shù)耗時(shí)較長，影響對實(shí)時(shí)檢測的需求.

文獻(xiàn)[13-14]提出一種基于自聯(lián)想的5層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性主成分分析 (NLPCA)，使用自關(guān)聯(lián)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將數(shù)據(jù)映射到特征空間.文獻(xiàn)[15]提出一種基于主曲線和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的非線性主成分分析法，并應(yīng)用于非線性過程監(jiān)測.然而，大部分存在的非線性方法都是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的，需要離線和在線訓(xùn)練，而且為了計(jì)算主元，需要解決非線性優(yōu)化問題，主元的數(shù)量必須在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練之前確定，給實(shí)際應(yīng)用帶來不便.

文獻(xiàn)[16]提出一種基于等距離映射(ISOMAP)的故障檢測方法.該方法用等距離映射進(jìn)行非線性降維，采用自適應(yīng)準(zhǔn)則選取鄰域參數(shù)，能夠有效地挖掘過程的非線性特征.但是當(dāng)流形曲率較大時(shí)，流形上的測地距離估計(jì)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，導(dǎo)致嵌入結(jié)果產(chǎn)生變形.文獻(xiàn)[17-18]提出主多項(xiàng)式分析(PPA)，通過最小化相應(yīng)正交子空間中的回歸誤差(或方差)來變形直線主成分，并將其應(yīng)用于遙感數(shù)據(jù)處理.文獻(xiàn)[19-20]將PPA法引入到工業(yè)過程的故障檢測和診斷技術(shù)上，使用一組靈活的主多項(xiàng)式分量來描述數(shù)據(jù)，與基于PCA的方法相比，PPA法更能有效地捕捉過程數(shù)據(jù)中固有的非線性幾何結(jié)構(gòu).雖然，PPA法的提取曲線主成分可以包含大部分的數(shù)據(jù)變化，但是其只捕獲過程數(shù)據(jù)的全局結(jié)構(gòu)，不能有效地保留數(shù)據(jù)詳細(xì)的局部結(jié)構(gòu)信息.

針對工業(yè)過程數(shù)據(jù)的非線性特征，提出一種基于鄰域保持嵌入(NPE)-主多項(xiàng)式分析的過程故障檢測算法.使用NPE算法提取高維數(shù)據(jù)的低維子流形，并進(jìn)行維數(shù)約減，同時(shí)保持鄰域結(jié)構(gòu)不變.將特征空間的數(shù)據(jù)應(yīng)用主多項(xiàng)式分析建立故障檢測模型，計(jì)算其檢測統(tǒng)計(jì)量及控制限來進(jìn)行故障檢測.本研究以Tennessee Eastman(TE)化工過程為背景進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，為基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的故障檢測領(lǐng)域提供了實(shí)踐基礎(chǔ).

1 NPE算法

鄰域保持嵌入算法的目的是在保持?jǐn)?shù)據(jù)集局部流形結(jié)構(gòu)不變的同時(shí)，將給定原始數(shù)據(jù)X=[x1x2…xn],xi∈RD從D維空間RD映射到一個(gè)相對低維的特征空間Y=[y1y2…yn]，{yi|yi∈Rd}(d

(1)通過樣本間的歐式距離確定每個(gè)樣本的前k個(gè)近鄰并構(gòu)造鄰域連接圖.

(2)計(jì)算鄰接圖中每一條邊上的權(quán)重值構(gòu)成權(quán)重矩陣F，確定每個(gè)樣本點(diǎn)與其鄰域點(diǎn)之間的重構(gòu)權(quán)向量，并在低維空間中保持每個(gè)鄰域的權(quán)值不變，使誤差函數(shù)達(dá)到最小，可由下式計(jì)算：

(1)

(2)

(3)計(jì)算特征映射矩陣.根據(jù)高維空間中的樣本點(diǎn)與其近鄰點(diǎn)之間的權(quán)值矩陣F,嵌入低維空間的投影矩陣A可以通過求解損失函數(shù)的最小化問題可以得到：

(3)

通過拉格朗日函數(shù)法可將最優(yōu)化求解問題轉(zhuǎn)化為廣義特征矩陣中的特征值問題,如下式所示:

XTMXai=λXTXai

(4)

式中：M=(I-W)T(I-W)，I為同維度單位矩陣.求解式(4)中最小的d個(gè)特征值所對應(yīng)的特征向量組成映射矩陣A=[a1a2…ad]∈Rn×d.

2 主多項(xiàng)式分析

PPA是一種計(jì)算主多項(xiàng)式成分的順序算法.在每一步的計(jì)算中，計(jì)算出最佳投影數(shù)據(jù)的向量，通過使用一組主多項(xiàng)式成分從過程數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的低維表示，將PCA中的直線主成分更換為曲線的主多項(xiàng)式成分，可以更好地捕捉過程變量的非線性特征[19].給定數(shù)據(jù)矩陣G為m個(gè)變量，n個(gè)訓(xùn)練樣本，PPA對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行如下分解：

(5)

(6)

(7)

Vp=[νp,1νp,2…νp,n]

(8)

(9)

式中：V?為V的偽逆.

3 基于低維子流行空間主多項(xiàng)式分析的故障檢測

(10)

(11)

(12)

式中：ΛPPA∈Rρ×ρ為對角元素為主多項(xiàng)式分量的方差對角矩陣.PPA的平方預(yù)測誤差(SPE)統(tǒng)計(jì)量定義如下：

(13)

(14)

T2統(tǒng)計(jì)量的控制限可以計(jì)算如下:

(15)

式中：Fα(ρ，n-ρ)為在顯著性水平θ上具有自由程度ρ和n-ρ的F分布.

SPE統(tǒng)計(jì)量的控制限可以計(jì)算如下:

(16)

故障檢測的兩個(gè)階段可以分為離線建模和在線監(jiān)測.

(1)離線建模.離線建模的步驟如下：

步驟1采集正常工況下的過程數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.

步驟2利用下式計(jì)算權(quán)重矩陣F，利用得到的權(quán)重矩陣根據(jù)式(4)計(jì)算映射矩陣A.

(17)

j=1,2,…,k

步驟3在數(shù)據(jù)矩陣上構(gòu)造PPA模型，得到對應(yīng)的主多項(xiàng)式分量與殘差分量，并在主多項(xiàng)式分量空間和殘差空間分別計(jì)算T2統(tǒng)計(jì)量與SPE統(tǒng)計(jì)量.

步驟4計(jì)算其對應(yīng)的監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量的控制限ξT2和ξSPE；保存訓(xùn)練模型中所獲得的4個(gè)參數(shù)ep，Ep，Wp和Vp.

(2)在線檢測.在線檢測的步驟如下:

步驟1獲得一個(gè)新的樣本xnew，然后使用建模數(shù)據(jù)的均值和方差對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.

步驟2利用投影矩陣A將xnew投影到低維子空間中，得到樣本點(diǎn)ynew.

步驟3利用訓(xùn)練模型中所學(xué)習(xí)的模型參數(shù)將樣本點(diǎn)ynew映射到主多項(xiàng)式空間和殘差空間，并在對應(yīng)空間求得T2與SPE統(tǒng)計(jì)量.

步驟4將上一步求得的統(tǒng)計(jì)量與離線建模步驟中的控制限進(jìn)行對比，若T2與SPE中任一統(tǒng)計(jì)量超過其對應(yīng)的控制限，則認(rèn)為該樣本為故障樣本.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過將基于NPE-PPA的故障檢測方法應(yīng)用于一個(gè)非線性數(shù)值實(shí)例和TE過程，說明該方法的效率和優(yōu)點(diǎn)，并將應(yīng)用結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)的基于KPCA和PPA的監(jiān)測方法進(jìn)行比較.

4.1 非線性數(shù)值實(shí)例仿真應(yīng)用

給出了一個(gè)非線性仿真實(shí)例，說明了該方法在故障檢測方面的有效性.非線性系統(tǒng)由以下方程描述：

(18)

(19)

式中：s1和s2為系統(tǒng)控制變量；σ1～σ5服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.01的高斯分布的5個(gè)獨(dú)立白噪聲.通過仿真生成400個(gè)正常樣本組成訓(xùn)練集進(jìn)行建模，另外生成200個(gè)正常樣本和200個(gè)故障樣本作為測試數(shù)據(jù)集.為該數(shù)值仿真實(shí)例設(shè)定如下2種故障：

故障1對變量x1從第201個(gè)樣本至第400個(gè)樣本上添加0.2(i-200)來引入斜坡故障，i為樣本數(shù).

故障2對變量x5從第201個(gè)樣本至第400個(gè)樣本上添加幅值為25%的階躍故障.

接下來，使用前文所提到的數(shù)值實(shí)例分別應(yīng)用KPCA、PPA和NPE-PPA這3種方法進(jìn)行建模分析.在KPCA中，通過85%累計(jì)貢獻(xiàn)率來確定主元個(gè)數(shù)，在PPA和NPE-PPA模型中的主多項(xiàng)式成分和多項(xiàng)式度均設(shè)置為2.采用KPCA、PPA和NPE-PPA算法對故障1的檢測結(jié)果如圖1所示.從圖1(a)中可以看出，KPCA的SPE統(tǒng)計(jì)量能夠檢測出故障的發(fā)生，T2統(tǒng)計(jì)量完全不能檢測出故障的發(fā)生.PPA的SPE統(tǒng)計(jì)量能夠檢測出故障的發(fā)生，T2統(tǒng)計(jì)量在故障發(fā)生一段時(shí)間后能夠做出一定的反應(yīng)，但是故障檢測的精確度低.NPE-PPA的T2統(tǒng)計(jì)量和SPE統(tǒng)計(jì)量在故障發(fā)生后能立即跳變到控制限以上，并且持續(xù)報(bào)警，能夠迅速準(zhǔn)確地檢測到故障的發(fā)生.

采用KPCA、PPA和NPE-PPA算法對故障2的檢測結(jié)果如圖2所示.從圖2(a)中可以看出，KPCA的兩種統(tǒng)計(jì)量均不能有效地檢測出故障的發(fā)生，PPA只有SPE統(tǒng)計(jì)量能夠檢測出故障的發(fā)生，NPE-PPA 的兩種統(tǒng)計(jì)量能夠迅速準(zhǔn)確地檢測到故障的發(fā)生.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，鄰域保持嵌入算法能夠有效地保留數(shù)據(jù)的局部結(jié)構(gòu)信息，提升主多項(xiàng)式分析處理數(shù)據(jù)的效果.

圖1 故障1的檢測結(jié)果Fig.1 Monitoring results of Fault 1

圖2 故障2的檢測結(jié)果Fig.2 Monitoring results of Fault 2

4.2 TE過程仿真應(yīng)用

TE過程仿真應(yīng)用平臺(tái)是一個(gè)基于實(shí)際工業(yè)過程的仿真例子，用于測試過程系統(tǒng)工程中故障檢測和診斷方法的效率[22-23].Tennessee Eastman過程最早由Downs和Vogel提出，其原型是美國伊斯曼化學(xué)公司的一個(gè)真實(shí)工業(yè)過程[24-25].過程主要包括5個(gè)操作單元：反應(yīng)器、冷凝器、循環(huán)壓縮機(jī)、氣液分離器以及汽提塔.整個(gè)過程中共涉及8種物料成分，分別為主要參加反應(yīng)的氣體進(jìn)料U、C、D、E；惰性不可溶進(jìn)料B;反應(yīng)副產(chǎn)品F以及反應(yīng)液態(tài)主產(chǎn)物G和H.在過程中共包含有41個(gè)測量變量和12個(gè)控制變量，其中，41個(gè)測量變量又可以劃分為22個(gè)過程測量變量以及19個(gè)成分測量變量.

該仿真平臺(tái)總共預(yù)設(shè)了21種故障，具體的故障描述如表1所示，共包含階躍型故障、隨機(jī)變化故障、慢偏移故障、閥門粘滯故障、閥門卡死故障以及未知故障.利用在正常操作條件下包含500個(gè)觀測值的訓(xùn)練數(shù)據(jù)建立模型.測試數(shù)據(jù)包含一組21個(gè)不同的過程故障，這些故障在樣本161引入過程中，即過程在前160個(gè)樣本中正常運(yùn)行，然后從樣本161到結(jié)束發(fā)生故障.表1中列出了故障的詳細(xì)描述，故障3、9和15是微小故障，由于反饋控制，對整個(gè)過程行為的影響不大.

將所提方法與基于KPCA和PPA算法的方法對TE過程的21種故障進(jìn)行檢測對比.首先，建立統(tǒng)計(jì)監(jiān)控模型，在建立 KPCA 模型時(shí)，使用主元貢獻(xiàn)率85%來確定其主元個(gè)數(shù)，在PPA方法和所提方法中使用的PPA模型通過交叉驗(yàn)證確定，主多項(xiàng)式空間數(shù)量設(shè)置為4，主多項(xiàng)式的冪設(shè)置為3，檢測統(tǒng)計(jì)量控制限置信度設(shè)置為99%.

表1 TE過程的21種故障Tab.1 Induced 21 faults in TE process

表2匯總了基于KPCA、PPA和NPE-PPA方法對TE過程的21種故障的故障檢測結(jié)果，計(jì)算了所有21個(gè)故障的監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量的檢測率.針對每一個(gè)故障，檢測率最高的值在表中用粗體突出表示.對于故障3、9和15在眾多文獻(xiàn)中被認(rèn)為很難檢測出來，在本文的研究中也同樣得到證實(shí).基于KPCA和PPA的方法在檢測6個(gè)故障(故障5、10、16、19、20和21)方面存在困難，大多數(shù)情況下的檢測率小于60%.然而所提出的基于NPE-PPA的故障檢測方法能夠檢測到所有18個(gè)故障(除故障3、9和15外)，檢出率高于85%.特別是故障5、10和20，基于NPE-PPA方法的故障檢出率比KPCA和PPA高出2～3倍.

圖3 故障5的檢測結(jié)果Fig.3 Monitoring results of Fault 5

為了說明基于NPE-PPA檢測方法的優(yōu)越性，分別比較了基于KPCA、PPA和NPE-PPA方法對故障5和10的檢測結(jié)果，如圖3和4所示.故障5是TE過程中的冷凝器冷卻入口溫度發(fā)生變化形成的一種階躍故障.由圖3可知，基于KPCA和基于PPA方法的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量成功地檢測了樣本160～345的故障，而在樣本346之后未能檢測到故障，基于NPE-PPA的T2和SPE統(tǒng)計(jì)量都檢測到樣本160至過程結(jié)束的大部分故障，具有較高的檢測率和較低的誤報(bào)率.故障10是TE過程中物料C進(jìn)料溫度改變形成的一種隨機(jī)變化故障.從圖4可以清楚地觀察到，所提出的基于NPE-PPA的方法比基于KPCA和PPA的方法更敏感，其T2和SPE統(tǒng)計(jì)量的變化比基于KPCA和PPA統(tǒng)計(jì)量的變化要顯著得多，所提方法對于故障10的SPE統(tǒng)計(jì)量的檢測率遠(yuǎn)高于其他監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量(見表2).

表2 3種方法對TE過程21個(gè)故障的檢測率Tab.2 Fault detection rates for 21 faults by using three methods in TE process

圖4 故障10的檢測結(jié)果Fig.4 Monitoring results of Fault 10

由表2可知，與其他方法的監(jiān)測統(tǒng)計(jì)方法相比，所提NPE-PPA方法的SPE統(tǒng)計(jì)量在TE過程的大多數(shù)故障中提供了最佳的監(jiān)測結(jié)果，展示了所提出的基于NPE-PPA方法的故障檢測性能.NPE-PPA算法的檢測效果得到了非常明顯的提升，說明了由NPE-PPA算法投影得到的特征空間包含了更多有效的信息，具有更好的特征提取能力，使得NPE-PPA方法具有更好的分類效果以及較好的故障檢測性能.

5 結(jié)語

本文提出一種基于NPE-PPA的故障檢測算法，通過鄰域保持嵌入算法提取數(shù)據(jù)局部結(jié)構(gòu)信息，再使用PPA方法通過主多項(xiàng)式分量來捕捉過程數(shù)據(jù)中潛在的非線性結(jié)構(gòu).本文通過將其應(yīng)用于一組非線性數(shù)值實(shí)例和TE過程的工業(yè)基準(zhǔn)過程，驗(yàn)證了所提出的基于NPE-PPA的故障檢測算法的有效性與優(yōu)越性.應(yīng)用結(jié)果表明，所提出的基于NPE-PPA的故障檢測算法優(yōu)于基于KPCA和PPA的傳統(tǒng)非線性故障檢測方法.