弱非線性內(nèi)孤立波在斜坡上的傳播演化特性

郅長(zhǎng)紅,陳 科，尤云祥

(上海交通大學(xué) 三亞崖州灣深?？萍佳芯吭海Ｄ?三亞 572000; 上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

海洋內(nèi)孤立波是在密度層化海洋內(nèi)部一種常見(jiàn)的波動(dòng)，尤其發(fā)生在近海沿岸及海峽周圍.Cai等[1]在中國(guó)南海發(fā)現(xiàn)具有穩(wěn)定波峰的內(nèi)孤立波，這些內(nèi)孤立波周期長(zhǎng)、波高大，有的甚至能達(dá)到100 m，于是當(dāng)這些攜帶了巨大能量和動(dòng)量的內(nèi)孤立波傳播至陸架海域時(shí)，會(huì)對(duì)近岸海洋結(jié)構(gòu)物造成巨大的動(dòng)載荷，從而危害其生產(chǎn)和生存安全[2-5].在軍事領(lǐng)域，海洋內(nèi)波導(dǎo)致的密度面脈動(dòng)能影響水下聲波的傳播，嚴(yán)重影響水下目標(biāo)的探測(cè)和定位，甚至引發(fā)潛艇失控等重大事故.在民用上，內(nèi)波頻發(fā)對(duì)海上作業(yè)平臺(tái)和水下生產(chǎn)設(shè)備也會(huì)造成巨大的影響.我國(guó)南海北部海域地形復(fù)雜且密度垂向?qū)踊卣髅黠@，是內(nèi)波頻發(fā)的海域，為保障海上作業(yè)安全和規(guī)避可能的海下作業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)，深刻理解在南海海域內(nèi)波的生成演化傳播機(jī)制具有重大的意義.

在理論與數(shù)值研究方面，弱非線性內(nèi)孤立波在平坦地形上的傳播已經(jīng)被廣泛研究.為描述內(nèi)孤立波在斜坡上的傳播過(guò)程，張善武[6]利用該理論很好地對(duì)南海北部的內(nèi)孤立波的傳播演化進(jìn)行了模擬.Helfrich等[7]提出了三階非線性項(xiàng)的KdV(Korteweg-de Vries)方程，但他并未對(duì)KdV理論做進(jìn)一步的適用性分析.為定量地衡量非線性和色散性，黃文昊等[8]又通過(guò)系列模型試驗(yàn)給定了上述KdV理論的適用范圍,并基于以上理論針對(duì)張力腿平臺(tái)建立了載荷計(jì)算理論模型[9].Hsieh等[10]通過(guò)數(shù)值計(jì)算研究了不同斜坡坡度對(duì)內(nèi)孤立波傳播的影響.

過(guò)去的50年，不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者也相繼通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)內(nèi)孤立波與多種地形(如拱形底、梯形底、三角形、半球形及斜坡等)的相互作用做了不同方面的研究.研究發(fā)現(xiàn)弱非線性的KdV理論適用于大部分內(nèi)波的傳播演化.Kao等[11]在研究?jī)?nèi)孤立波向坡度為 1∶16和1∶9的斜坡上傳播時(shí)，發(fā)現(xiàn)在淺化過(guò)程中波背面逐漸變陡，隨后破碎，他們將其歸因于界面的剪切不穩(wěn)定.Helfrich等[7]在研究下凹型的內(nèi)孤立波在斜坡上傳播演化時(shí)發(fā)現(xiàn)初始波會(huì)分裂為多個(gè)上凸型的類孤立波以及尾波鏈.杜輝等[12]等對(duì)內(nèi)孤立波在緩坡上的破碎及能量分析進(jìn)行了深入的討論.屈子云等[13]等通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)了突變地形對(duì)內(nèi)孤立波形態(tài)的影響.

本文采用變系數(shù)KdV(Variable-Coefficient Korteweg-de Vries,vKdV)方程來(lái)模擬內(nèi)孤立波在緩坡上的傳播演化過(guò)程.盛立等[14]的研究結(jié)論表明平坦地形下常系數(shù)的KdV方程適用于弱非線性內(nèi)孤立波的傳播演化.故本文采用KdV的解作為初始波，并用vKdV方程數(shù)值模擬弱非線性的內(nèi)孤立波的在斜坡上的傳播演化過(guò)程.因此本文中設(shè)計(jì)了兩種坡度的斜坡，用以研究弱非線性內(nèi)孤立波在斜坡上傳播時(shí)的演化特性，討論了斜坡的坡度對(duì)弱非線性內(nèi)孤立波傳播的影響.除此之外，對(duì)弱非線性內(nèi)孤立波在經(jīng)過(guò)斜坡后的演化波進(jìn)行深入的研究.通過(guò)本文工作，希望能揭示在較為復(fù)雜地形上內(nèi)孤立波的傳播規(guī)律.

1 理論模型

考慮有限深兩層流體中內(nèi)孤立波在斜坡上的傳播演化問(wèn)題.假設(shè)兩層流體均是不可壓縮且無(wú)旋的理想流體.建立直角坐標(biāo)系Oxz，其中Ox位于兩層流體未擾界面處，Oz垂直向上為正.設(shè)上、下層流體密度分別為ρ1、ρ2，底部最大深度處到未擾界面處的距離為常數(shù)H2.記地形高度函數(shù)為b(x)，上層流體深度為h1，則下層深度為h2=H2-b(x).

設(shè)上下兩層流體的速度勢(shì)為φi(i=1，2，分別表示上、下層流體)，壓力為pi.記內(nèi)孤立波的振幅和特征波長(zhǎng)分別為a及λ，特征水深為h0，地形特征高度為b0.定義內(nèi)孤立波的非線性參數(shù)ε=a/h0，色散系數(shù)μ=(h0/λ)2，地形高度參數(shù)為β=b0/h0.對(duì)各物理量進(jìn)行無(wú)因次變換如下：

(1)

式中：t為時(shí)間；g為重力加速度；ζ為兩層流體界面的垂向位移；帶星號(hào)的量表示無(wú)因次物理量.

首先定義上、下兩層流體中水平速度沿深度方向積分的平均速度：

(2)

(3)

Choi等[15]提出了平坦地形下的MCC (Miyata-Choi-Camassa)方程，用以描述強(qiáng)非線性內(nèi)孤立波.當(dāng)在有地形的情況下，通過(guò)改變MCC控制方程中的底部邊界條件和界面水動(dòng)力條件得到：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

取地形函數(shù)b(x)=bα(αx)，其中α為地形坡度參數(shù).那么對(duì)弱非線性地形，βα=O(μ)，O表示精度.式(6)簡(jiǎn)化為

(9)

(10)

(11)

若直接采用式(10)和(11)來(lái)模擬內(nèi)孤立波在斜坡上傳播演化過(guò)程，尤其是地形較為復(fù)雜時(shí)，在進(jìn)行數(shù)值時(shí)會(huì)遇到Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性問(wèn)題，從而增加了計(jì)算的工作量.因此，若能對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，化為只與界面位移有關(guān)的單一方向模型，將大大提高大尺度范圍的計(jì)算效率.保留O(ε)的平方非線性項(xiàng)，最終式(10)和(11)可化為變系數(shù)KdV方程：

ζt+c0(x)ζx+c1(x)ζζx+c2(x)ζxxx+

(12)

(13)

KdV方程的內(nèi)孤立波解為

ζ=asech2[λKdV(x-cKdVt)]

(14)

vKdV方程在文獻(xiàn)[16]中也有提及.

2 結(jié)果與分析

2.1 初始條件

圖1 數(shù)值水槽示意圖(m)Fig.1 Schematic diagram of numerical flume (m)

對(duì)式(12)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，對(duì)于空間以及時(shí)間上分別采用有限差分法和四階Runge-Kutta數(shù)值離散方法.初始波為KdV方程的定態(tài)解(式(14))，其無(wú)因次振幅分別為a/h1=-0.164,-0.237，-0.310 5.本文在對(duì)vKdV方程進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)采用與黃文昊等[8]實(shí)驗(yàn)中相同的初始條件，如圖1所示，數(shù)值水槽的無(wú)因次全長(zhǎng)L/h1=200，水深h=1.0 m，上、下層流體深度比為1∶4.內(nèi)孤立波的無(wú)因次初始位置為x0/h1=50，表1中給出了具體的內(nèi)孤立波傳播演化初始條件.網(wǎng)格尺寸大小為Δx=0.1，Δt=0.005.這里設(shè)計(jì)了兩種坡度δ=1/10和7/50的斜坡，不同坡度是通過(guò)調(diào)整斜坡區(qū)域的垂直高度而保證水平方向的長(zhǎng)度不變得到的.文獻(xiàn)[8]表明：存在臨界色散系數(shù)μ0=0.1，KdV定態(tài)解適用于弱色散弱非線性(ε≤μ，μ<μ0)工況.盛立等[14]通過(guò)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)KdV傳播模型適用于弱色散弱非線性工況，可用來(lái)傳播KdV方程的定態(tài)解.基于此，本文采用式(12)所述方程傳播弱非線性內(nèi)孤立波是合理的.

圖2 δ=1/10,h1/h2=1/4,a/h1=-0.310 5時(shí)內(nèi)孤立波在斜坡上傳播的演化特性Fig.2 Propagation evolution characteristics of internal solitary waves on slope at δ=1/10,h1/h2=1/4,and a/h1=-0.310 5

表1 內(nèi)孤立波傳播演化初始條件Tab.1 Initial conditions of propagation and evolution of internal solitary waves

2.2 弱非線性內(nèi)孤立波在斜坡上的傳播演化

內(nèi)孤立波在坡度為1/10的斜坡上的傳播過(guò)程時(shí)波形變化并不是特別明顯，當(dāng)?shù)竭_(dá)斜坡頂端x/h1=50時(shí)背部產(chǎn)生了一個(gè)突起(圖2(c))，并隨著波的傳播，波背面突起逐漸增大并演化成為一系列分散開(kāi)來(lái)的尾波列(圖2(d)～2(f))，首波的前后兩端也不再對(duì)稱.

圖時(shí)不同振幅內(nèi)孤立波在斜坡上的傳播演化特性Fig.3 Propagation evolution characteristics of internal solitary waves at different amplitudes on slope at δ=1/10,h2/h1=4,and

圖4 δ=7/50,h1/h2=1/4,a/h1=-0.310 5時(shí)孤立波在斜坡上傳播的演化特性Fig.4 Propagation evolution characteristics of internal solitary waves on slope at δ=7/50,h1/h2=1/4,and a/h1=-0.310 5

圖4所示為a/h1=-0.310 5 的內(nèi)孤立波在坡度為7/50斜坡上的傳播演化過(guò)程.數(shù)值結(jié)果是由vKdV (式(12))模型傳播定態(tài)弱非線性內(nèi)孤立波(式(14))計(jì)算得到.與坡度為1/10的情況相比，在上游形成的突起幅度明顯變大(圖4(c))，且在上游形成振幅較大的尾波列，首波不再對(duì)稱.由圖4(a)和4(b)能清楚地看到在較大坡度的斜坡的作用下振幅隨時(shí)間的變化關(guān)系.與δ=1/10的情況不同之處在于：當(dāng)δ=7/50時(shí)，振幅先增加后減小，內(nèi)孤立波由下凹型變?yōu)樯贤剐?當(dāng)δ=1/10時(shí)，振幅先增大后趨于穩(wěn)定，內(nèi)孤立波的極性并未發(fā)生改變.上述演化特性是由于在與斜坡相互作用的初期，斜坡的淺化作用起主導(dǎo)作用，使得振幅增加.隨著坡度進(jìn)一步增大，演化過(guò)程中會(huì)導(dǎo)致兩層流體密度層的混合和波面背部不斷變陡，從而使得剪切作用不斷增強(qiáng)，由此導(dǎo)致首波能量的損失遠(yuǎn)大于淺化作用，此時(shí)能量耗散作用起主導(dǎo)作用，因此振幅減小.如圖 4(c)～4(f)所示，首波波前變得平坦，幾乎與斜坡平行，波背部則逐漸變陡，波形最終變?yōu)樯贤剐?值得注意的是，當(dāng)斜坡坡度為7/50時(shí)，上下層流體深度比h1/h2變?yōu)?，上層流體深度大于下層流體深度，說(shuō)明內(nèi)孤立波在斜坡上時(shí)經(jīng)過(guò)了臨界點(diǎn)(h2/h1=1)，由式(6)中可以看到，c1(x)=0 (即h1=h2)處是內(nèi)孤立波極性轉(zhuǎn)變的臨界點(diǎn)，此時(shí)需要立方非線性項(xiàng)來(lái)更好地描述上下層流體深度相等時(shí)內(nèi)孤立波的極性轉(zhuǎn)變過(guò)程[7].因此算例中當(dāng)上層流體大于下層流體時(shí)，內(nèi)孤立波會(huì)由下凹型轉(zhuǎn)變?yōu)樯贤剐?

弱非線性內(nèi)孤立波在通過(guò)斜坡傳播時(shí)的演化特性與波受到由下層流體深度減小而導(dǎo)致的淺化效應(yīng)以及在與斜坡相互作用下的能量耗散作用有關(guān).此時(shí)由于上下層流體深度的變化導(dǎo)致一系列尾波的產(chǎn)生，使得內(nèi)孤立波振幅減小，而淺化效應(yīng)使振幅增大.斜坡坡度越大，非線性越強(qiáng)，作用于內(nèi)孤立波上的能量耗散作用逐漸超過(guò)淺化作用，故而呈現(xiàn)出振幅先增加后減小的趨勢(shì)，當(dāng)內(nèi)孤立波經(jīng)過(guò)臨界點(diǎn)后，波形由下凹型變?yōu)樯贤剐停莼蟮牟ㄈ匀荒苡肒dV理論來(lái)表征.

3 結(jié)論

在模擬弱非線性內(nèi)孤立波在斜坡上的傳播演化時(shí)，vKdV方程更為簡(jiǎn)便高效，能適用于大部分常見(jiàn)的內(nèi)孤立波.采用vKdV方程對(duì)弱非線性內(nèi)孤立波建立了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算模型模擬并研究其在不同坡度的斜坡上的傳播演化特性，主要結(jié)論如下：

(1)當(dāng)斜坡坡度較小時(shí)，弱非線性內(nèi)孤立波經(jīng)過(guò)斜坡上的傳播演化時(shí)其受到的淺化效應(yīng)大于能量耗散作用，振幅逐漸增加直至在平坦區(qū)域趨于穩(wěn)定，且隨著斜坡坡度的增加，該現(xiàn)象愈加明顯.內(nèi)孤立波在斜坡上傳播時(shí)會(huì)形成尾波列，尾波的振幅會(huì)隨著斜坡坡度的增加而增大.

(2)在相同的地形條件下，非線性越強(qiáng)的內(nèi)孤立波受到的來(lái)自斜坡的作用力越大，阻礙作用越明顯，表現(xiàn)為振幅越大的內(nèi)孤立波在傳播過(guò)程中振幅的增加量越小，波速的減小量越大.隨著斜坡坡度的增大，弱非線性內(nèi)孤立波在傳播過(guò)程中受地形因素導(dǎo)致的能量耗散作用逐漸超越淺化作用，因此內(nèi)孤立波在傳播過(guò)程中表現(xiàn)出振幅先增加后減小的特性.當(dāng)在斜坡傳播經(jīng)過(guò)臨界點(diǎn)后內(nèi)孤立波由下凹形轉(zhuǎn)變?yōu)樯贤剐停以谏嫌萎a(chǎn)生了一系列振幅逐漸衰減的尾波列.