結(jié)合斜變換與方差的圖像聚焦測度

郭立強，劉 戀

（1. 淮陰師范學(xué)院 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223300；2. 淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院，江蘇 淮安 223300）

1 引 言

自動聚焦技術(shù)在面陣、線陣相機、電子顯微鏡、消費數(shù)碼、機器人技術(shù)以及工業(yè)影像測量領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用［1-6］。它決定了所生成的圖像是否清晰，在成像設(shè)備中起著關(guān)鍵的作用。自動對焦的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是設(shè)計聚焦測度，用于評估當前所獲取圖像的清晰度。以消費數(shù)碼領(lǐng)域的單反相機為例，鏡頭中的步進電機驅(qū)動變焦距光學(xué)鏡頭組件實現(xiàn)連續(xù)變焦，CMOS 成像傳感器會獲取到不同焦距的一組圖像，通過計算每一幅圖像的聚焦測度來評估圖像清晰度，以此來確定最佳焦距。

20 世紀80 年代，研究人員致力于聚焦測度的研究。早期的聚焦測度比較研究由Groen 等人完成［7］，他們分析了典型的基于差分的聚焦測度算法，包括絕對梯度聚焦測度、閾值梯度聚焦測度和平方梯度聚焦測度等。這些方法本質(zhì)上是設(shè)計一個3×3 的梯度模板，用這些模板來遍歷整幅圖像，最后將遍歷結(jié)果進行累加求和并作為圖像的清晰度指標?；谶@些方法，進一步對基于差分的聚焦測度進行改進，人們提出了一系列的聚焦測度，包括高斯導(dǎo)數(shù)聚焦測度［8］、能量梯度聚焦測度［9］和全變差聚焦測度［10］等。上述聚焦測度的核心思想是提取圖像的邊緣信息，并進行累加求和，邊緣信息數(shù)值越大，圖像越清晰。此外，還有基于統(tǒng)計學(xué)的方法，即從統(tǒng)計學(xué)的角度來計算圖像的清晰度指標。Zeder 提出了基于權(quán)重直方圖的聚焦測度［11］并應(yīng)用于高通量電子顯微鏡的自動聚焦。Wee 等人通過圖像特征值的求解來實現(xiàn)圖像清晰度的建模，并構(gòu)造了基于奇異值分解的聚焦測度［12］。劉滿華等人將模糊集理論與圖像的信息熵相結(jié)合，提出了模糊熵聚焦測度［13］。夏曉華等人提出了基于索貝爾梯度與信息熵相結(jié)合的聚焦測度［14］。李陽等人提出了基于內(nèi)積能量的聚焦測度［15］。Ahmad 等人構(gòu)建了基于顏色差異性的聚焦測度［16］。

實際上，基于統(tǒng)計學(xué)的方法與基于差分的方法均是在圖像的空域進行聚焦測度的計算。另外一大類聚焦測度算法是在圖像的變換域（即頻域）上實現(xiàn)聚焦測度的構(gòu)建。文獻［17］中給出了基于小波變換的聚焦測度，將圖像用小波系數(shù)進行表征，然后取對數(shù)能量，最后對水平、垂直和對角線方向的對數(shù)能量進行加權(quán)平均來構(gòu)造聚焦測度。文獻［18］使用四元數(shù)小波變換來處理圖像并得到3 個相位信息，最后通過低頻系數(shù)的相位信息來構(gòu)建聚焦測度。除了小波變換外，離散余弦變換也被用于構(gòu)造聚焦測度［19-20］。Mahmood 等人提出基于短時傅里葉變換的聚焦測度［21］，通過選擇窗函數(shù)寬度（與頻率相關(guān)）并計算短時傅里葉變換的高頻系數(shù)能量之和來構(gòu)建最優(yōu)聚焦測度。

現(xiàn)有的聚焦測度算法主要通過獲取圖像的清晰度信息（或者是模糊度信息）來實現(xiàn)，因此傳統(tǒng)的邊緣檢測方法成為構(gòu)建聚焦測度的方法之一。小波變換、傅里葉變換和離散余弦變換等積分變換法，通過在變換域累加圖像的高頻系數(shù)作為聚焦測度，因為在頻域高頻系數(shù)代表著圖像的細節(jié)信息。然而，上述兩類方法存在一個共同的缺點，就是對噪聲比較敏感。由于圖像噪聲的本質(zhì)也是高頻信號，在計算聚焦測度過程中（無論是空域的梯度算法還是頻域基于特定積分變換的算法）不可避免地會將噪聲作為清晰度信息，最終破壞聚焦測度的單調(diào)性（即圖像的模糊程度越高，聚焦測度的數(shù)值越小）。統(tǒng)計學(xué)方法可以在一定程度上克服這一缺點，但其描述圖像清晰度的能力還不足。為了解決現(xiàn)有聚焦測度噪聲魯棒性較差的缺點，本文提出了一種基于斜變換與方差的聚焦測度算法。與現(xiàn)有算法相比，該算法不但具有較強的噪聲魯棒性，而且在SDA 指標和離散度指標上均有較大的提升。

2 算法原理

2.1 斜變換

斜變換最初是由日本學(xué)者Enomoto 和Shibata 提出并應(yīng)用于圖像編碼中［22］。一幅N×N圖像F（x，y）的二維離散斜變換表達式為：

其中“S（·，·）”是離散斜變換的核函數(shù)。

斜變換是一類離散正交變換，在具體的程序設(shè)計中，式（1）可以用如下矩陣乘法運算來實現(xiàn)：

其中Sn是階數(shù)為n的斜變換矩陣（階數(shù)n只能是2 的整數(shù)次冪）。該矩陣是酉矩陣，即矩陣的轉(zhuǎn)置就是該矩陣的逆矩陣。2 階斜變換矩陣S2為：

類似地，采用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：n階斜變換矩陣可以由n/2 階斜變換矩陣計算得到，具體如下：

式中：I（n/2）-2代表（n/2-2）階單位矩陣，OA代表2行（n/2-2）列的零矩陣，OB代表（n/2-2）行2 列的零矩陣，OC代表（n/2）行（n/2）列的零矩陣。an和bn可以用如下遞歸公式計算得到：

式中n∈{2m，m=1，2，3，…}。

在數(shù)學(xué)上，一些傳統(tǒng)的變換，如傅里葉變換、離散余弦變換以及本節(jié)介紹的斜變換，其本質(zhì)是將被積函數(shù)F（x，y）“投影”到積分變換的核函數(shù)上。如果被積函數(shù)與核函數(shù)的結(jié)構(gòu)類似，那么積分變換的數(shù)值結(jié)果就比較大，也就是變換后的系數(shù)能量較為集中，這樣便于后續(xù)處理。具體到數(shù)字圖像領(lǐng)域，一幅數(shù)字圖像大部分區(qū)域的亮度（灰度值）是漸變的，也就是離散化的，其相鄰像素的值往往呈現(xiàn)出遞增或者遞減的規(guī)律。如果某一積分變換的核函數(shù)能夠反映出這種遞增或者遞減的規(guī)律，則將圖像投影到該核函數(shù)上，所得到的絕大多數(shù)變換系數(shù)的數(shù)值較小，能量均集中在低頻系數(shù)部分。斜變換的核函數(shù)（即斜變換矩陣）是具有這種遞增和遞減規(guī)律的。圖1 給出了8 階斜變換矩陣行向量波形圖，除了第一行元素的數(shù)值均相等外（具體數(shù)值為0.353 6），其余7個行向量均呈現(xiàn)階梯狀，這與實際圖像像素點灰度值的變化相類似。這也是本文在構(gòu)造聚焦測度中使用斜變換的首要原因。其次，斜變換屬于離散正交變換，正交性去除了變換系數(shù)間的冗余，具有能量集中的特性。最后，就是計算復(fù)雜度低，能夠?qū)崟r地對圖像進行處理。

圖1 八階斜變換矩陣行向量波形圖Fig.1 Waveforms of row vectors of 8th-order slant transform matrix

2.2 聚焦測度構(gòu)造

基于斜變換與方差的圖像聚焦測度的具體構(gòu)造步驟如下：

首先，將圖像進行分塊處理，分塊大小為2 的整數(shù)次冪，這樣便于后續(xù)進行圖像的斜變換處理。分塊尺寸可以選擇8×8、16×16 或者32×32，本文采用32×32 分塊。

其次，對每一個子圖像進行斜變換處理，得到變換域系數(shù)。目前，大多數(shù)基于圖像變換的聚焦測度的構(gòu)造過程中，通常使用高頻系數(shù)［17-21］，因為高頻系數(shù)通常對應(yīng)圖像的細節(jié)信息。但是，基于高頻信息的圖像聚焦測度又容易受到噪聲的干擾。為了使聚焦測度具有較高的噪聲魯棒性，本文選擇斜變換的中頻系數(shù)進行聚焦測度的計算，因為中頻系數(shù)不易受到噪聲干擾。以8×8 子圖像為例，其斜變換域中（系數(shù)矩陣尺寸也是8×8）中頻系數(shù)的位置如圖2 所示。類似地，我們可以得到32×32 子圖像變換域中頻系數(shù)位置。圖2 中標記星號的位置對應(yīng)著中頻系數(shù)。計算中頻系數(shù)的絕對值并進行累加求和，將累加求和結(jié)果取平方作為當前子圖像的清晰度指標。

圖2 中頻系數(shù)位置示意圖Fig.2 Position diagram of mid-frequency coefficients

最后，根據(jù)每一幅子圖像的清晰度指標來構(gòu)造整幅圖像的聚焦測度。一幅圖像越清晰，圖像中包含的細節(jié)信息越豐富，圖像中相應(yīng)像素點和其周圍像素點的灰度值變化越劇烈。也就是說，圖像的細節(jié)信息越豐富，圖像各像素點的灰度值以及各個子圖像間灰度值的離散程度也就越大。統(tǒng)計學(xué)中使用方差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度?；谝陨纤伎?，計算各子圖像清晰度指標的方差，并作為整幅圖像的聚焦測度FM，即有：

式中：Fi是上一個步驟中所計算出來的各子圖像的清晰度指標，N是圖像分塊的總數(shù)。

式（8）給出的聚焦測度是正向指標，也就是說計算得到的數(shù)值越大，表明圖像中各子圖像的離散度（即對比度的反差）越大，圖像中所包含的細節(jié)信息越豐富，整幅圖像越清晰。

3 實 驗

3.1 對比算法

為了評估本文所提出的聚焦測度的有效性，本文采用經(jīng)典算法進行了實驗對比。二十世紀八、九十年代所提出的一些基于差分的聚焦測度算法的噪聲魯棒性普遍較差，因此不將它們納入到對比實驗中。對比算法均是近十年的一些經(jīng)典算法，分別是基于奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的聚焦測度［12］；基于小波變換對數(shù)能量加權(quán)平均（Discrete Wavelet Transform，DWT）的聚焦測度［17］；基于四元數(shù)小波變換相位提?。≦uaternion Wavelet Transform，QWT）的聚焦測度［18］；低通濾波與離散余弦變換相結(jié)合（Midfrequency Discrete Cosine Transform，MFDCT）的聚焦測度［19］；基于模糊熵（Fuzzy En，F(xiàn)E）的聚焦測度［13］；索貝爾梯度與信息熵相結(jié)合（Sobel Gradient and En，SGE）的聚焦測度［14］；基于內(nèi)積能量（Inner Energy，IE）的聚焦測度［15］；基于離散余弦變換系數(shù)重組（Reorganized Discrete Cosine Transform，ReDCT）的聚焦測度［20］；基于顏色差異性（Color Difference，CD）的聚焦測度［16］。

3.2 評估指標

一般而言，聚焦測度應(yīng)具有單調(diào)性、噪聲魯棒性、較大的數(shù)值區(qū)間以及較低的計算復(fù)雜度。其中，單調(diào)性是指聚焦測度的數(shù)值與圖像模糊程度間呈單調(diào)關(guān)系。圖像的模糊程度越大，對應(yīng)的聚焦測度值越小；圖像越清晰，對應(yīng)的聚焦測度值越大。

噪聲魯棒性是指聚焦測度能夠抵御一般的噪聲影響。在噪聲條件下，大多數(shù)聚焦測度的單調(diào)性會被破壞，這種條件下會導(dǎo)致聚焦不準。例如，在夜間低對比度條件下，CCD 或CMOS 傳感器在成像過程中電子噪聲更多，這也是為什么在夜間拍攝照片時相機的自動聚焦功能并不好用。本文采用文獻［20］中所提出的清晰度檢測能力（Sharpness Detection Ability，SDA）來評估噪聲條件下不同聚焦測度算法的有效性，該指標的計算公式如下：

式中：FMi代表第i幅模糊圖像的聚焦測度，σi代表相應(yīng)圖像的高斯模糊標準差。SDA越大，表明相應(yīng)的聚焦測度性能越好。

較大的數(shù)值區(qū)間是指圖像在不同的模糊程度下所對應(yīng)的聚焦測度應(yīng)該具有較大的區(qū)分度，即不同焦距下獲取的圖像聚焦測度的離散度要大，這樣自動對焦算法能夠準確地定位于極值點（也就是合焦）。本文采用“s/μ”來量化離散度，其中s和μ分別代表一系列模糊圖像聚焦測度的標準偏差和均值。s/μ的數(shù)值越大，表明相應(yīng)聚焦測度的離散度越好。

計算復(fù)雜度低是指聚焦測度算法的復(fù)雜程度要低，便于實際的工程應(yīng)用。

3.3 基本實驗

本實驗主要測試噪聲對聚焦測度的影響，具體步驟如下：首先將清晰的圖像進行模糊處理，來模擬不同焦距下的圖像，如圖3 所示。模糊參數(shù)σ取0.25，0.5，0.75，…，3，一 共 生 成12 幅 不 同模糊程度的圖像。圖3 是不同模糊程度的圖像，σ越大，圖像越模糊。

圖3 模糊圖像序列Fig.3 Defocused image sequence

圖4 是無噪聲條件下各個聚焦測度的曲線圖，從該圖可以看出，在沒有噪聲的條件下所有的聚焦測度都有較好的單調(diào)性。對于聚焦測度的數(shù)值離散化指標而言，在上述聚焦測度中，基于SVD 的聚焦測度和基于IE 的聚焦測度的離散度較低?；贒WT 的聚焦測度、基于QWT 的聚焦測度、基于FE 的聚焦測度和基于CD 的聚焦測度的離散度較好?；赟GE 的聚焦測度、基于離散余弦變換的聚焦測度（MFDCT 和ReDCT）和本文所提出的聚焦測度的離散度最好。

圖4 無噪聲聚焦測度曲線Fig.4 Curves of focus measure without noise

然而，當圖像中含有噪聲時，相應(yīng)的聚焦測度曲線會發(fā)生較大的變化。對12 幅不同模糊程度的圖像分別加入2%的高斯隨機噪聲、2%的椒鹽噪聲以及2%的沖擊噪聲后再次計算聚焦測度，實驗結(jié)果如圖5～圖7 所示。

圖5 2%高斯噪聲聚焦測度曲線Fig.5 Curves of focus measure with 2% Gaussian noise

圖6 2%椒鹽噪聲聚焦測度曲線Fig.6 Curves of focus measure with 2% salt & pepper noise

圖7 2%沖擊噪聲聚焦測度曲線Fig.7 Curves of focus measure with 2% speckle noise

從圖5 可以看出，高斯隨機噪聲對聚焦測度性能的影響較大，大多數(shù)聚焦測度的單調(diào)性被破壞，除了本文算法外，其余9 種算法的數(shù)值區(qū)間均被壓縮，離散度較小。從圖6 和圖7 可以看出，椒鹽噪聲和沖擊噪聲相比高斯隨機噪聲而言對圖像聚焦測度的影響較小。由此表明，無論是高斯隨機噪聲、椒鹽噪聲還是沖擊噪聲，都對圖像聚焦測度有著一定的影響。為了進一步分析這種影響的程度，接下來在LIVE 數(shù)據(jù)庫上進一步開展實驗。

3.4 基于LIVE 圖像數(shù)據(jù)庫的實驗

以上是通過定性分析的方法來對比各個聚焦測度受噪聲影響的程度。為了深入分析各聚焦測度的性能，本文在經(jīng)典的LIVE 圖像數(shù)據(jù)庫［23］進行實驗，并對各聚焦測度進行定量分析。

LIVE 圖像數(shù)據(jù)庫有29 幅不同場景的原始圖像，對這些圖像進行一系列的模糊處理，每幅圖像產(chǎn)生12 幅不同模糊程度的圖像。然后，對這些模糊圖像分別加入2%的高斯隨機噪聲、2%的椒鹽噪聲和2%的沖擊噪聲，并計算聚焦測度。針對上述聚焦測度數(shù)值結(jié)果分別計算相應(yīng)的噪聲魯棒性指標SDA 和數(shù)值區(qū)間離散度指標（s/μ）。

需要注意的是，對于每一幅原始圖像均會得到SDA 指標和s/μ指標，為了使分析結(jié)果更加客觀，本文對同一噪聲條件下數(shù)據(jù)庫中的29 幅圖像的指標取平均值，結(jié)果見表1 和表2。

表1 不同聚焦測度的SDA 評價指標Tab.1 SDA evaluation index of different focus measures

表2 不同聚焦測度的離散度評價指標Tab.2 Discreteness evaluation index of different focus measures

表1 是各聚焦測度的SDA 指標，在添加2%高斯隨機噪聲下，CD、FE、DWT 和SVD 算法的噪聲魯棒性較弱，MFDCT、QWT、IE、ReDCT 和SGE 算法的噪聲魯棒性相對較好，而本文算法的噪聲魯棒性最好。通過圖5～圖7 發(fā)現(xiàn)，椒鹽噪聲和沖擊噪聲對聚焦測度的影響相對于高斯噪聲而言較小，SVD 和DWT 算法對這兩種噪聲較為敏感。這一點通過表1 中的數(shù)據(jù)得到了驗證。在上述對比算法中，DWT 和QWT 均是基于小波變換的聚焦測度，前者主要使用小波系數(shù)的能量來構(gòu)造聚焦測度，而后者基于小波系數(shù)的相位信息來構(gòu)造聚焦測度。這表明基于相位的聚焦測度不容易受到噪聲干擾。本文算法在椒鹽噪聲和沖擊噪聲條件下的噪聲魯棒性仍是最好的。

表2 是各聚焦測度的數(shù)值區(qū)間離散度指標。該指標主要表征不同模糊程度或不同焦距條件下所獲取圖像的清晰度差異性，這種差異性越大表明圖像的聚焦測度指標越好。從表2 可以看出，在這3 種類型噪聲條件下，SVD、DWT、FE 和CD 的離散度指標較??；MFDCT、QWT、SGE、IE 和ReDCT 的離散度指標較好，其中SGE 算法的指標在這9 種算法中最好。本文算法的離散度指標最好，與SGE 算法相比，本文算法的離散度指標平均提高了125.61%。

3.5 計算復(fù)雜度

表3 給出了不同聚焦測度算法處理512×512 和1 024×1 024 分辨率圖像的運行時間。其中，MFDCT、SGE 和本文算法的運行時間在一個數(shù)量級上，運行時間較短；而SVD、DWT、QWT、CD 和ReDCT 算法的運行時間相對較長，但仍可接受；FE 和IE 算法的運行時間最長，不適合實時聚焦系統(tǒng)。

表3 不同聚焦測度的運行時間Tab.3 Run time of different focus measures

4 結(jié) 論

本文針對現(xiàn)有聚焦測度噪聲魯棒性差的缺點，提出了基于斜變換和方差相結(jié)合的聚焦測度。實驗結(jié)果表明，本文算法能夠有效地克服噪聲對聚焦測度數(shù)值計算的影響，與現(xiàn)有算法相比，本文算法的SDA 指標和離散度指標均有較大幅度的提升，相比于魯棒性較好的SGE 平均提高了20.27%和125.61%，并且本文算法的計算復(fù)雜度低、運行時間較短，能夠滿足自動聚焦系統(tǒng)的實時性要求。未來本文提出的聚焦測度有望應(yīng)用于被動成像系統(tǒng)中。