引入競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的改進(jìn)AR譜估計(jì)間諧波分析方法

劉海濤，孫放，夏書(shū)悅

（1.南京工程學(xué)院 電力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167；2.江蘇省配電網(wǎng)智能技術(shù)與裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇南京 211167）

近年來(lái)，隨著電力電子技術(shù)的迅速發(fā)展，電力系統(tǒng)中諧波問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，嚴(yán)重影響了電力設(shè)備的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。其中，由較大電壓波動(dòng)或沖擊性非線性負(fù)載引起的間諧波，不僅具有諧波的危害，還會(huì)導(dǎo)致次同步震蕩、電壓閃變及波動(dòng)等問(wèn)題。因此，精確地檢測(cè)和分析間諧波具有非常重要的工程實(shí)際意義[1-2]。

針對(duì)電力系統(tǒng)中間諧波的分析與檢測(cè)，眾多學(xué)者進(jìn)行了大量研究，并取得了豐碩成果。目前較為常用的間諧波分析方法有很多，包括傅里葉變換、自回歸（autoregressive，AR）譜估計(jì)法、小波變換法、S 變換法等[3-5]。文獻(xiàn)[6]提出了一種小波包變換和快速傅里葉變換相結(jié)合的檢測(cè)方法，從而確定諧波的相位、幅值以及頻率信息，但在低頻諧波的檢測(cè)方面誤差較大，需要進(jìn)一步改進(jìn)算法來(lái)得到更加精確的低頻諧波參數(shù)。文獻(xiàn)[7]通過(guò)把CEEMD 和改進(jìn)Prony 相結(jié)合實(shí)現(xiàn)諧波分量特征參數(shù)的有效提取，具有良好的抗噪性能，但是對(duì)頻率和相位的檢測(cè)精度較差，間諧波的檢測(cè)精度偏低。文獻(xiàn)[8]提出了一種最優(yōu)加權(quán)Burg 譜估計(jì)來(lái)分析間諧波，進(jìn)一步改進(jìn)了Burg 算法的性能，提高了頻率分辨率，但檢測(cè)間諧波的幅值和相位精度不高。文獻(xiàn)[9]將Synchrosqueezing 小波變換應(yīng)用到電力系統(tǒng)諧波檢測(cè)中，對(duì)連續(xù)小波變換的結(jié)果進(jìn)行同步擠壓，以此計(jì)算電力信號(hào)主頻率，并結(jié)合最小二乘擬合和Hilbert 變換，計(jì)算噪聲背景下諧波的幅頻參數(shù)，有效地抑制了噪聲的干擾，但在對(duì)間諧波頻率檢測(cè)時(shí)誤差較大，且算法運(yùn)算量很大。

上述文獻(xiàn)的方法在針對(duì)間諧波檢測(cè)方面都有一個(gè)共同點(diǎn)：若要最終求得的間諧波參數(shù)足夠精確，首要的是獲得間諧波信號(hào)中各個(gè)分量的頻率，接著再展開(kāi)下一步的計(jì)算。而上述這些方法都很難做到同時(shí)兼顧諧波檢測(cè)的高分辨率和高精度。針對(duì)多數(shù)諧波檢測(cè)方法諧波頻率精度低的問(wèn)題，文中采用頻率分辨率較高的AR 譜估計(jì)法進(jìn)行求得間諧波頻率，但由于AR 譜分析無(wú)法精確估計(jì)間諧波幅值及相位，因此需要對(duì)間諧波的幅值及相位進(jìn)一步優(yōu)化。文章基于已有成果，提出了一種具有競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的改進(jìn)混合遺傳粒子群算法，利用AR 譜估計(jì)法獲取間諧波的階數(shù)和頻率，并將間諧波信號(hào)幅值編碼于改進(jìn)混合遺傳粒子群算法中，最后利用該算法對(duì)間諧波的相位及幅值進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，進(jìn)而使諧波檢測(cè)中參數(shù)估計(jì)的精確度和抗干擾性得到有效提高。

1 基于AR模型的間諧波譜估計(jì)

在現(xiàn)代譜估計(jì)中AR 譜估計(jì)是較為常用的一種間諧波分析方法，由于其頻率分辨率高以及計(jì)算量小的特點(diǎn)，得到了廣泛的研究和應(yīng)用[10]。對(duì)于一個(gè)間諧波信號(hào)x（n），其AR模型可以表示為

式中：u（n）為白噪聲序列；p為AR 模型的階數(shù)；ak（k=1，2，…，p）為AR模型的參數(shù)。

由式（1）可得AR模型的Yule-Walker方程：

式中：rx（m）為信號(hào)x（n）的自相關(guān)函數(shù)；σ2為白噪聲序列的方差。

利用x（n）的前p+1 個(gè)相關(guān)函數(shù)rx（k）（k=0，2，…，p）能夠獲得AR模型的參數(shù)ak，所求參數(shù)ak代入式（2）能夠得到x（n）的功率譜：

由式（3）可知，若想求得間諧波信號(hào)x（n）的功率譜Px（ω），就要求得AR 模型參數(shù)ak以及方差。這樣，間諧波譜估計(jì)可以轉(zhuǎn)化成AR 模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。

由于相比其他算法，Burg 算法求得的頻率分辨率較高且更易實(shí)現(xiàn)，因此文中采用該算法求解AR模型參數(shù)。p階前、后向預(yù)測(cè)誤差分別為

式中：kp為反射系數(shù)。

由式（5）求得kp后，再根據(jù)Levinson-Durbin 遞推公式即可計(jì)算AR 模型的參數(shù)，進(jìn)而得到間諧波信號(hào)的功率譜密度估計(jì)。并且由于使用Levinson-Durbin 遞推公式進(jìn)行計(jì)算，使得整體計(jì)算的復(fù)雜程度低于Prony 法、MUSIC 法等空間譜估計(jì)方法。

2 改進(jìn)混合遺傳粒子群算法

粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）是一種具有全局搜索能力的智能優(yōu)化算法，以速度為步長(zhǎng)進(jìn)行迭代尋優(yōu)，第t+1 代第i個(gè)粒子的速度與位置更新的進(jìn)化方程分別為

遺傳算法（genetic algorithm，GA）也是一種基于生物進(jìn)化規(guī)律而產(chǎn)生的全局搜索智能算法，因此這2 種算法都具有群體優(yōu)化的優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)自身也存在某種不足和缺陷。對(duì)于粒子群算法而言，其實(shí)現(xiàn)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，迭代求解初期的收斂速度很快，不過(guò)隨迭代次數(shù)的增加，所有粒子都不斷地朝最優(yōu)粒子的方向靠近，導(dǎo)致整個(gè)種群很容易陷入局部最優(yōu)。而遺傳算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，但操作較復(fù)雜且后期搜索效率較低?；?種算法的優(yōu)缺點(diǎn)，人們嘗試將兩者結(jié)合，進(jìn)行取長(zhǎng)補(bǔ)短，研究出性能更為優(yōu)越的算法[11]。

目前，遺傳算法與粒子群算法主要有2 種結(jié)合方式。一種是將2種算法以同等地位混合，即串聯(lián)和并聯(lián)。串聯(lián)是指在每一代進(jìn)化過(guò)程中對(duì)所有個(gè)體依次進(jìn)行遺傳操作及粒子群優(yōu)化，并聯(lián)則是在進(jìn)化過(guò)程中使兩種算法各計(jì)算1/2。文獻(xiàn)[12]提出了一種遺傳算法和粒子群算法結(jié)合的多子群分層串聯(lián)混合算法（hybrid genetic algorithm and particle swarm optimization，HGAPSO），采用分層結(jié)構(gòu)，一系列遺傳算子組成底層，每個(gè)子群最優(yōu)個(gè)體的精英群組成上層，但是相比標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，這種方法增加了近1 倍的計(jì)算量。另一種是把遺傳算子引入到粒子群算法中，以提高算法尋優(yōu)能力。文獻(xiàn)[13]將選擇算子引入到粒子群算法中，一定程度提升了收斂速度，但由于選擇機(jī)制的影響，種群的多樣性有明顯的降低。文獻(xiàn)[14]將變異算子引入到粒子群算法中，雖然在一定程度上增加了種群的多樣性，但并不足以改變?nèi)后w優(yōu)化的本質(zhì)特征。

基于淘汰和精英學(xué)習(xí)的策略提出了一種具有競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的改進(jìn)混合遺傳粒子群算法，通過(guò)篩選精英粒子、淘汰劣質(zhì)粒子，同時(shí)在精英粒子間互相學(xué)習(xí)，以獲取最優(yōu)粒子。實(shí)驗(yàn)表明，采用這種競(jìng)爭(zhēng)策略不僅避免了粒子易陷入局部最優(yōu)和搜索能力欠佳等問(wèn)題，還顯著提升了算法的求解精度。其操作方式主要由排序、選擇、交叉以及變異4部分組成，具體內(nèi)容包括：

1）排序操作。在每次迭代的過(guò)程中，通過(guò)適應(yīng)度值對(duì)粒子進(jìn)行比較并排名，以此來(lái)確定該粒子是否為精英粒子，即將前50%的粒子標(biāo)記為精英粒子，保存并記錄該精英粒子群體，將后50%的粒子標(biāo)記為劣質(zhì)粒子并淘汰剔除。

2）選擇操作。由于在排序操作中剔除了劣質(zhì)粒子群體，使得粒子群體規(guī)模減少了1/2，因此需要對(duì)淘汰的粒子群體進(jìn)行補(bǔ)充使群體規(guī)模完整。為了獲得高質(zhì)量的粒子以補(bǔ)充淘汰粒子，采取優(yōu)中選優(yōu)的方式選取父代，即從精英粒子群體中隨機(jī)選擇2 個(gè)粒子進(jìn)行適應(yīng)度值比較，并記錄適應(yīng)度值較小的粒子，作為父代parent1，采取同樣的操作選取出父代parent2，進(jìn)行交叉而獲得子代作為新生的生命體，并對(duì)淘汰的粒子群體進(jìn)行補(bǔ)充。

3）交叉操作。對(duì)2 個(gè)父代進(jìn)行交叉操作，具體操作表達(dá)式為

式中：child1（x），child2（x）分別為父代parent1（x）和parent2（x）經(jīng)過(guò)交叉產(chǎn)生的子代粒子位置；rand為0～1 之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)；child1（v），child2（v）分別為父代parent1（v）和parent2（v）經(jīng)過(guò)交叉產(chǎn)生的子代粒子速度。

檢查更新后的速度與位置是否超出范圍，超出范圍的取邊界值。

4）變異操作。種群的變異操作能夠恢復(fù)粒子或者再次開(kāi)發(fā)粒子的遺傳物質(zhì)，以防止粒子在求解過(guò)程中出現(xiàn)早熟收斂。文中采用的變異方式為

改進(jìn)HGAPSO算法基本步驟如下：

步驟1：確定算法的種群規(guī)模N、搜索維度d、慣性權(quán)重w、加速系數(shù)c1和c2、迭代次數(shù)k；

步驟2：在求解問(wèn)題定義范圍內(nèi)隨機(jī)初始化每個(gè)粒子的速度和位置；

步驟3：通過(guò)適應(yīng)度值對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行升序排序，確定出精英粒子群體和淘汰粒子群體；

步驟4：根據(jù)選擇操作確定父代粒子，通過(guò)式（8）～式（11）進(jìn)行交叉計(jì)算，直到種群規(guī)模完整為止，并更新該部分粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)值和全局最優(yōu)值；

步驟5：通過(guò)式（6）、式（7）更新精英粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)值和全局最優(yōu)值；

步驟6：通過(guò)式（12）對(duì)所有粒子進(jìn)行相應(yīng)的變異處理，更新粒子群體的個(gè)體歷史最優(yōu)值和全局最優(yōu)值；

步驟7：判斷是否滿足條件，滿足則輸出結(jié)果，否則返回步驟3。

3 基于改進(jìn)HGAPSO 算法的AR 譜估計(jì)法

間諧波信號(hào)模型如下：

式中：M為信號(hào)模型的階數(shù)；Ak，fk，φk分別為第k個(gè)諧波分量的幅值、頻率和初相位；λ（t）為方差為σ2的白噪聲。

根據(jù)三角公式，式（13）可變?yōu)?/p>

通過(guò)式（14）將幅值和初相位的分析轉(zhuǎn)化為參數(shù)ak和bk的計(jì)算。經(jīng)過(guò)改進(jìn)HGAPSO算法實(shí)現(xiàn)幅值參數(shù)ak，bk的優(yōu)化計(jì)算，即把所求參數(shù)ak，bk編碼于粒子群的位置當(dāng)中。在一定的諧波分析時(shí)間Ta下，使粒子群的目標(biāo)函數(shù)值F最小，即

改進(jìn)HGAPSO 算法基于式（15）進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算后，獲得幅值參數(shù)ak，bk的估計(jì)值，并通過(guò)下式計(jì)算出幅值A(chǔ)k和初相位φk：

結(jié)合AR 譜估計(jì)法獲得諧波頻率及階數(shù)后，使用改進(jìn)HGAPSO 算法對(duì)間諧波進(jìn)行分析計(jì)算。圖1 為AR 譜估計(jì)結(jié)合改進(jìn)HGAPSO 算法進(jìn)行間諧波分析的流程圖。

圖1 基于AR譜估計(jì)和改進(jìn)HGAPSO算法進(jìn)行間諧波分析的流程圖Fig.1 Flow chart of inter-harmonic analysis based on AR spectral estimation method and improved HGAPSO algorithm

4 算例分析

4.1 簡(jiǎn)單間諧波信號(hào)參數(shù)檢測(cè)

考慮簡(jiǎn)單間諧波信號(hào)如下：

式中：λ（t）為白噪聲，信噪比40 dB。

表1 和表2 分別為使用AR 譜估計(jì)、插值FFT及加窗BT譜分析諧波頻率和幅值的估計(jì)結(jié)果。

表1 AR譜估計(jì)、插值FFT及加窗BT譜分析的諧波頻率估計(jì)結(jié)果Tab.1 Analysis result of harmonic frequency with AR spectral，interpolation FFT and windowed BT spectral estimation

表2 AR譜估計(jì)、插值FFT及加窗BT譜分析的諧波幅值估計(jì)結(jié)果Tab.2 Analysis result of harmonic amplitude with AR spectral，interpolation FFT and windowed BT spectral estimation

從表1 可以看出，與插值FFT 以及加窗BT 譜分析相比，使用AR 譜估計(jì)法能夠獲得較高的頻率分辨率，但從表2 的諧波幅值估計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)其幅值分析出現(xiàn)了較大誤差。因此本文旨在AR 譜估計(jì)獲得較高頻率分辨率的基礎(chǔ)上，采用智能算法對(duì)諧波的幅值和初相位進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

4.2 復(fù)雜間諧波信號(hào)參數(shù)檢測(cè)

4.2.1 無(wú)噪聲干擾下的間諧波參數(shù)檢測(cè)考慮無(wú)噪聲干擾下的復(fù)雜間諧波信號(hào)如下：

式（18）中各諧波、間諧波的頻率、幅值和初相位如表3所示。

表3 諧波及間諧波參數(shù)Tab.3 Harmonic and inter-harmonic parameters

取采樣頻率2 000 Hz、采樣點(diǎn)數(shù)1 024、頻率細(xì)化插入點(diǎn)數(shù)100，分別采用文中提出的改進(jìn)HGAPSO 算法、HGAPSO 算法、標(biāo)準(zhǔn)PSO算法和標(biāo)準(zhǔn)GA 算法對(duì)諧波模型進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化參數(shù)具體設(shè)置為：粒子數(shù)目50，迭代步數(shù)500，w=0.729 8，c1=c2=1.494 4，搜索范圍ai，bi∈[-1，1]，i=1，2，…，9。粒子在每次迭代過(guò)程中通過(guò)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最佳適應(yīng)度值，進(jìn)而獲得諧波的幅值和初相位，迭代收斂曲線如圖2所示。

圖2 4種算法迭代收斂曲線Fig.2 Iterative convergence curves of four kinds of algorithms

從圖2 可以看出，隨著迭代的增加，改進(jìn)HGAPSO 算法適應(yīng)度值呈現(xiàn)持續(xù)下降的趨勢(shì)，并在第500 步迭代終止時(shí)收斂到10-6數(shù)量級(jí)，達(dá)到了較高的精確度。而其他3種算法從迭代初始便陷入了局部最優(yōu)，最終PSO 算法和HGAPSO 算法的適應(yīng)度函數(shù)值下降了3個(gè)數(shù)量級(jí)，而GA算法僅下降了2個(gè)數(shù)量級(jí)。因此文中提出的改進(jìn)HGAPSO 搜索速度更快，適應(yīng)度值的數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)超于HGAPSO 算法、PSO 算法和GA 算法，對(duì)諧波的幅值和初相位的計(jì)算具有明顯的優(yōu)勢(shì)。仿真結(jié)果如表4～表7所示。

表4 基于改進(jìn)HGAPSO算法諧波和間諧波參數(shù)的仿真結(jié)果Tab.4 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on improved HGAPSO algorithm

表5 基于HGAPSO算法諧波和間諧波參數(shù)的仿真結(jié)果Tab.5 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on HGAPSO algorithm

表6 基于PSO算法諧波和間諧波參數(shù)的仿真結(jié)果Tab.6 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on PSO algorithm

表7 基于GA算法諧波和間諧波參數(shù)的仿真結(jié)果Tab.7 Simulation results of harmonic and inter-harmonic parameters based on GA algorithm

由表4～表7 可以看出，文中提出的改進(jìn)HGAPSO 算法能有效地估計(jì)9 個(gè)諧波分量的幅值和初相位。其對(duì)于幅值和初相位的求解精度明顯高于采用HGAPSO 算法、PSO 算法和GA 算法。4種算法幅值和初相位誤差如表8所示。

表8 幅值和初相位誤差Tab.8 Errors of amplitude and initial phase

從表8 可以看出，改進(jìn)HGAPSO 算法優(yōu)化后幅值的絕對(duì)值誤差和初相位絕對(duì)誤差也明顯低于其他3種優(yōu)化算法?？梢园l(fā)現(xiàn)，使用PSO算法對(duì)幅值和諧波進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)，計(jì)算精度明顯要高于GA算法，總體來(lái)看，對(duì)于諧波的優(yōu)化計(jì)算使用PSO算法更加合適，并且能夠達(dá)到工程的實(shí)際要求。

4.2.2 噪聲干擾下的諧波和間諧波參數(shù)檢測(cè)

實(shí)際工程中，諧波的分析通常伴有噪聲存在，故在算例4.2.1 復(fù)雜間諧波信號(hào)中加入隨機(jī)噪聲λ（t）進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。定義間諧波參數(shù)的綜合誤差Et如下式：

λ（t）依次取0.01，0.02，0.03，0.04，0.05 做仿真試驗(yàn)，隨機(jī)噪聲對(duì)間諧波綜合誤差的影響如表9所示。

從表9 可以看出，隨著隨機(jī)噪聲值的不斷增加，間諧波估計(jì)參數(shù)的綜合誤差不斷增加，說(shuō)明隨機(jī)噪聲的增加對(duì)算法分析諧波的精度具有一定的影響。經(jīng)過(guò)比較可知，改進(jìn)HGAPSO 算法的求解精度明顯強(qiáng)于其他幾種算法。

表9 隨機(jī)噪聲對(duì)間諧波綜合誤差的影響Tab.9 Effects of random noise on inter-harmonic combined error

5 結(jié)論

1）AR 譜估計(jì)法具有較高的頻率分辨率，同時(shí)可較準(zhǔn)確分辨信號(hào)中所含間諧波的個(gè)數(shù)，但是對(duì)諧波的幅值和相位計(jì)算誤差較大，因此不能單獨(dú)使用AR譜估計(jì)法對(duì)諧波各參數(shù)進(jìn)行分析。

2）基于淘汰和精英學(xué)習(xí)的策略，提出了一種具有競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制的改進(jìn)HGAPSO 算法，并將其與其他3 種算法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明，改進(jìn)HGAPSO 算法可以較好地實(shí)現(xiàn)間諧波幅值和相位的參數(shù)優(yōu)化，間諧波參數(shù)的綜合誤差Et低于3%，且該算法求解精度更高，能夠有效地逃避局部最優(yōu)，具有強(qiáng)健的穩(wěn)定性。

3）采用AR 譜估計(jì)法和改進(jìn)HGAPSO 算法相結(jié)合的諧波分析策略，能夠有效地分析諧波頻率、幅值及初相位，求解精度較高且易于實(shí)現(xiàn)。但在實(shí)際求解過(guò)程中，由于使用群體智能算法的影響，使得諧波分析時(shí)間較長(zhǎng)，因此，如何加快諧波分析效率仍然是今后需要研究的問(wèn)題。