基于灰色-馬爾科夫模型的橋梁運(yùn)行狀況預(yù)測(cè)

賈慶林，韓智強(qiáng)，晉民杰，李路遙，李華騰

(太原科技大學(xué) 交通與物流學(xué)院，太原 030024)

隨著橋梁服役時(shí)間的增加，車(chē)輛行駛、風(fēng)荷載等因素對(duì)橋梁運(yùn)行狀況造成顯著影響。因此，開(kāi)展橋梁運(yùn)行狀況的預(yù)測(cè)研究對(duì)后續(xù)安全檢查有著重要的意義。

近年來(lái)，灰色系統(tǒng)模型和灰色-馬爾科夫模型是進(jìn)行預(yù)測(cè)較為精準(zhǔn)的算法，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在該領(lǐng)域開(kāi)展了大量的研究。Hang Jiang等運(yùn)用灰色模型對(duì)我國(guó)的直接投資進(jìn)行預(yù)測(cè)，并結(jié)合殘差進(jìn)行修正，以提高其精度[1]；裴彧等提出新陳代謝法與殘差修正來(lái)優(yōu)化灰色馬爾科夫模型，并對(duì)橋梁狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)[2]；哈娜和付深遠(yuǎn)采用三彎矩法對(duì)其原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用灰色-馬爾科夫組合模型和回歸方程對(duì)橋梁耐久性進(jìn)行精確預(yù)測(cè)，消除了傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型無(wú)法考慮不確定因素的影響[3]；Dengji Zhou等建立馬爾科夫-灰色關(guān)聯(lián)度的新型模型，并對(duì)該模型的參數(shù)和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性進(jìn)行分析，得出最佳的參數(shù)和預(yù)測(cè)結(jié)果[4]。

基于上述研究成果，可以看出運(yùn)用灰色系統(tǒng)模型和灰色馬爾科夫模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，精度頗高，其函數(shù)的走向和趨勢(shì)也與原始數(shù)據(jù)非常接近，但是一些不規(guī)則因子的影響，導(dǎo)致其預(yù)測(cè)結(jié)果可能與其真實(shí)值有些波動(dòng)。因此，本文提出一種灰色-馬爾科夫模型，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合曲線(xiàn)擬合進(jìn)行修正，使用MATLAB數(shù)值處理軟件進(jìn)行模型計(jì)算，并通過(guò)案例分析，與橋梁實(shí)際狀況，進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證該方法的實(shí)用性和可行性。

1 灰色-馬爾科夫模型與曲線(xiàn)擬合

1.1 灰色系統(tǒng)模型

灰色系統(tǒng)模型就是應(yīng)用不足的、不完整的數(shù)據(jù)，對(duì)事物的發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1)灰色系統(tǒng)模型的基本公式，如式(1)所示[5]。

k=2,3,…,n

(1)

式中：x(0)為模型的灰導(dǎo)數(shù)；a為模型的發(fā)展系數(shù)。b為模型的灰作用量。

2)灰色系統(tǒng)模型的矩陣算式如式(2)～式(4)所示[6]。

(2)

Y=[x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),…,x(0)(n)]T

(3)

(4)

由上式(4)計(jì)算出a和u，并得到灰色系統(tǒng)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，如式(5)所示[7]。

k=1,2,…

(5)

由公式(5)進(jìn)行還原，得到實(shí)際數(shù)據(jù)模擬序列函數(shù)，如式6所示[8]。

k=1,2,…

(6)

公式(6)可以準(zhǔn)確地反映原始數(shù)列的變化趨勢(shì)、增長(zhǎng)(減少)趨勢(shì)。當(dāng)k取1,2,…時(shí)，可以求出數(shù)據(jù)的訓(xùn)練值，當(dāng)k大于等于n時(shí)，可以求得數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。

1.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫模型屬于隨機(jī)數(shù)學(xué)模型，該模型主要記錄預(yù)測(cè)目標(biāo)在不同時(shí)間中所處的狀態(tài)。

1)根據(jù)灰色系統(tǒng)模型，計(jì)算模型的殘差和相對(duì)誤差，如式7所示。

(7)

式中：t為每一時(shí)刻。

2)根據(jù)相對(duì)誤差的大小，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行劃分狀態(tài)。

Ei=[E1,E2…Er]，Er=[Δ1(t)…Δ2(t)]

(8)

劃分狀態(tài)就是將相對(duì)誤差按照實(shí)際情況平均劃分為若干區(qū)間，在根據(jù)這些區(qū)間，劃分出各變量的工作狀態(tài)[9]。

按照各變量的工作狀態(tài)，將灰色系統(tǒng)模型的訓(xùn)練值進(jìn)行修正，如式9所示。

(9)

3)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P，首先得出k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pij(k)，其中Pij(k)表示第一個(gè)狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)Ej的概率[10-12]。

(10)

(11)

式中：k為狀態(tài)的數(shù)目；mij為狀態(tài)Ei經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移到Ej的數(shù)量；mi為狀態(tài)Ei的數(shù)量。

4)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P計(jì)算出預(yù)測(cè)年份的各個(gè)狀態(tài)所占的比重，在用加權(quán)平均法計(jì)算出預(yù)測(cè)值。

(12)

1.3 最小二乘法曲線(xiàn)擬合

最小二乘法曲線(xiàn)擬合較好的消除數(shù)據(jù)一些不規(guī)則因子的影響，并對(duì)灰色-馬爾科夫預(yù)測(cè)模型結(jié)果進(jìn)行修正，以達(dá)到符合現(xiàn)實(shí)要求的效果。

設(shè)年份為自變量t，橋梁的工作狀態(tài)評(píng)分分?jǐn)?shù)F為因變量，用n次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，p為相關(guān)系數(shù)，則對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系表達(dá)式[13-14]，如式13所示。

F=p1nt+p2tn-1+…+pnt+pn+1

(13)

根據(jù)灰色-馬爾科夫模型與曲線(xiàn)擬合的相關(guān)理論，首先對(duì)橋梁的原始數(shù)據(jù)，運(yùn)用灰色系統(tǒng)模型進(jìn)行初步預(yù)測(cè)，在此基礎(chǔ)上，使用馬爾科夫模型進(jìn)行修正，之后，對(duì)得到的預(yù)測(cè)值用最小二乘法曲線(xiàn)擬合進(jìn)行修正；其次，就是精度驗(yàn)證，結(jié)果對(duì)比；最后得出結(jié)論。該流程如圖1所示。

圖1 灰色-馬爾科夫模型預(yù)測(cè)的流程圖

2 案例分析

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

數(shù)據(jù)是采用2007-2016年河北省某地區(qū)的159座橋梁的安全檢測(cè)樣本[15]，如表1所示。

表1 2007-2016年的橋梁安全檢測(cè)樣本

2.2 灰色系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)

使用橋梁運(yùn)行狀況的原始數(shù)據(jù)，建立灰色系統(tǒng)模型，并通過(guò)灰色系統(tǒng)建模軟件GTMS3.0的應(yīng)用，得到灰色預(yù)測(cè)值[16]，即利用2007-2014年的原始數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)2015-2016年的橋梁運(yùn)行狀況，其預(yù)測(cè)值分別為59.5231、53.1926，并運(yùn)用公式(6)，得出2007-2014年的訓(xùn)練值，如表2所示。

表2 2007-2014年的訓(xùn)練值

2.3 馬爾科夫模型修正

1)根據(jù)上述結(jié)果，運(yùn)用公式(7)，得出殘差值和相對(duì)誤差值，并如圖2，圖3所示。

圖2 殘差折線(xiàn)圖

由圖3可知，橋梁運(yùn)行狀況的相對(duì)誤差區(qū)間為-3.52%～3.78%.

圖3 相對(duì)誤差折線(xiàn)圖

2)根據(jù)橋梁運(yùn)行狀況的相對(duì)誤差，按照公式(8)，可以將其劃分為三個(gè)狀態(tài)區(qū)間，并介于-3.52%～3.78%，詳細(xì)如表3所示。

表3 馬爾科夫模型的狀態(tài)劃分

按照馬爾科夫模型的狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)橋梁2007～2014年的運(yùn)行狀況進(jìn)行劃分，并根據(jù)公式(9)算出2007-2014年的訓(xùn)練值修正，如表4所示。

表4 橋梁工作狀況的劃分以及訓(xùn)練值修正

3)根據(jù)表4以及公式(10)和公式(11)，得到轉(zhuǎn)移矩陣P(1)，由于高次方使得馬爾科夫預(yù)測(cè)更加精確，所以本文進(jìn)行四次方和五次方，如P(2)和P(3)所示。

4)由表4得知，2014年橋梁的運(yùn)行狀況處于E1，令其v0等于(1,0,0)，進(jìn)而可以預(yù)測(cè)出2015年和2016年的運(yùn)行狀況，見(jiàn)表5.

表5 運(yùn)行狀況的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)表

從表5可以得出2015年的運(yùn)行狀況處于E1，2016年也處于E1，再由式(12)以及加權(quán)平均法，得到2015年的預(yù)測(cè)值為58.573 5，2016年的預(yù)測(cè)值為53.007 8.

2.4 最小二乘法曲線(xiàn)擬合修正

將馬爾科夫修正值和原始數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法曲線(xiàn)擬合。根據(jù)公式(13)，原始數(shù)據(jù)為因變量，馬爾科夫修正值為自變量，建立二次多項(xiàng)式方程[17]。

y=-0.000 550 3x2+1.119x-6.087，擬合方差為2.097，相關(guān)系數(shù)為0.999 6，調(diào)整后相關(guān)系數(shù)為0.999 5，均方差為0.647 7，擬合曲線(xiàn)如圖4.

圖4 方程的曲線(xiàn)擬合圖

從圖4中，可以看出曲線(xiàn)擬合的誤差極小，證明其擬合的效果極佳。將馬爾科夫修正的預(yù)測(cè)值代入方程中，得到2015年的預(yù)測(cè)值為57.568 7，2016年預(yù)測(cè)值為51.682 5.

3 預(yù)測(cè)精度

本文運(yùn)用后殘差法進(jìn)行檢驗(yàn)其預(yù)測(cè)精度，等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)[18]見(jiàn)表6.

表6 檢驗(yàn)精度等級(jí)劃分表

根據(jù)已知數(shù)據(jù)，計(jì)算得知，在預(yù)測(cè)橋梁的運(yùn)行狀況中，2014年和2015年原始數(shù)據(jù)的均值為54，原始值與預(yù)測(cè)值的誤差均值為0.9431，原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差S1為2，原始值與預(yù)測(cè)值的誤差標(biāo)準(zhǔn)差S2為0.625 6.

計(jì)算方差比：

從表6中查詢(xún)可知，該預(yù)測(cè)模型的精度等級(jí)達(dá)到了一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，所以可以用于預(yù)測(cè)橋梁的運(yùn)行狀況。

4 結(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證本次預(yù)測(cè)模型的有效性和可行性，將曲線(xiàn)擬合修正的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與單純使用灰色模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)以及馬爾科夫模型修正的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

從表7可以看出，原始數(shù)據(jù)經(jīng)灰色系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)后，再經(jīng)過(guò)馬爾科夫模型修正以及曲線(xiàn)擬合修正后，所預(yù)測(cè)出來(lái)的數(shù)據(jù)的平均誤差極小，其預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度較高。

表7 三種預(yù)測(cè)方法的結(jié)果對(duì)比表

由于橋梁的運(yùn)行狀況中，預(yù)測(cè)值的單位為座，所以2015年預(yù)測(cè)值為58座，2016年為52座。

5 結(jié)論

1)本文是以河北省某地區(qū)159座橋梁的運(yùn)行狀況為依托數(shù)據(jù)，運(yùn)用灰色系統(tǒng)模型、馬爾科夫模型以及最小二乘法曲線(xiàn)擬合，對(duì)2015年、2016年的運(yùn)行狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與原始值作對(duì)比。

2)通過(guò)模型預(yù)測(cè)，采用灰色系統(tǒng)模型，其相對(duì)誤差在2.29%～6.34%；采用馬爾科夫模型修正，其相對(duì)誤差在1.94%～4.60%；采用灰色-馬爾科夫和最小二乘法組合模型，其相對(duì)誤差0.61%～2.80%，誤差為最小。其結(jié)果滿(mǎn)足工程需求，同時(shí)研究結(jié)果對(duì)橋梁運(yùn)行狀態(tài)的預(yù)測(cè)有一定的參考意義。