低成本BDS 雙頻單點定位方差分量估計方法

徐天揚，章浙濤，何秀鳳，陳廣鄂

（1.河海大學 地球科學與工程學院，南京 211100；2.同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092）

0 引言

北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system,BDS）是中國自主研發(fā)、獨立運行的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)（global navigation satellite system,GNSS），是我國對世界的重要貢獻。于2012 年建設完成的北斗衛(wèi)星導航（區(qū)域）系統(tǒng)即北斗二號（BeiDou navigation satellite (regional) system,BDS-2），由5 顆地球靜止軌道（geostationary Earth orbit,GEO）衛(wèi)星、5 顆傾斜地球同步軌道（inclined geosynchronous orbits,IGSO）衛(wèi)星和4 顆中圓地球軌道（medium Earth orbit,MEO）衛(wèi)星[1]組成。2020 年，第 3 代北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)即北斗三號（BeiDou navigation satellite system with global coverage,BDS-3）最后1 顆全球組網衛(wèi)星完成發(fā)射，標志著BDS-3 全面建成，整個系統(tǒng)由3 顆GEO 衛(wèi)星、3 顆IGSO 衛(wèi)星和24 顆MEO 衛(wèi)星組成。

北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)（BeiDou navigation satellite system,BDS）是全星座播發(fā)3 頻信號的GNSS。BDS-2 播發(fā)頻率為1 561.098 MHz的B1信號、頻率為1 207.140 MHz的B2 信號和頻率為1 268.520 MHz的B3 信號。BDS-3 播發(fā)B1、B3 信號，不再播發(fā) B2 信號，但新增了頻率為1 575.42 MHz的B1C 信號及頻率為1 191.795 MHz的B2a 信號；B1C 及B2a 為民用導航信號。與美國的全球定位系統(tǒng)（global positioning system,GPS）只有部分衛(wèi)星可以播發(fā)3 頻信號不同，BDS-2、BDS-3的每顆衛(wèi)星都可以播發(fā)3 個頻率的信號。BDS的多頻信號給用戶提供了更多的組合，增加了多余觀測量，提高了衛(wèi)星定位精度的穩(wěn)定性與可靠性。

目前市場主要分為消費市場的低成本接收機和工程領域的測量型接收機。低成本接收機由于其體積質量小，可以滿足小型平臺對GNSS 接收機的體積和載荷的限制性要求[2-3]，而且成本低廉，針對的是消費市場的需求。但在測量精度上，低成本接收機不如測量性接收機，單點定位的精度不如測量型接收機的結果，而且可以接收的觀測值也更少[3-4]。受到接收機和天線本身的衛(wèi)星信號處理能力的影響，不同的接收機在信號質量和穩(wěn)定性上會表現出很大的差異[3,5]。本文探討基于低成本接收機 Ublox 在靜態(tài)模式下的單點定位，該低成本接收機可以接收BDS B1、B2 2 個信號的頻率，從而可以實現雙頻單點定位的計算。

如何合理確定多頻多模GNSS 組合定位的不同觀測值的權，是提高組合系統(tǒng)導航定位精度的關鍵。當前GNSS 不同觀測值組合定位采用的隨機模型一般為以下3 種：等權模型、高度角模型[6]、驗后估計模型[7]。等權模型形式簡單，但該模型把不同的觀測值視為等精度，而許多觀測值并不等權；因此這種方法不夠準確，會造成定位結果的偏差。衛(wèi)星高度角模型把衛(wèi)星高度角作為函數的變量來計算各觀測值的方差，可有效減小低高度角的差異對定位的影響，是目前普遍采用的定權方法；但是僅考慮了衛(wèi)星高度角的因素，在含有多種觀測值的情況下不夠準確。驗后估計模型的本質是隨機模型的驗后估計，其基本思想為先對不同觀測量初次定權，再預平差，然后利用預平差后得到的觀測值殘差陣V對各類觀測量值的方差因子和協方差矩陣重新估計。其中，赫爾默特（Helmert）方差分量估計作為一種常用的驗后方差方法，被廣泛應用于衛(wèi)星定位領域。文獻[8]在GPS 及格洛納斯衛(wèi)星導航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GLONASS）組合標準單點定位中，通過對這2 個系統(tǒng)進行Helmert 方差分量驗后定權，得到此組合定位結果相比于單個系統(tǒng)的點位精度更高的結論。文獻[9]通過Helmert 方差分量估計進行系統(tǒng)間的定權，得到GPS 與BDS 間偽距觀測值的最優(yōu)權比為1∶1。文獻[10]比較以上3 種模型在BDS/GPS 組合定位中的精度，得到Helmert 方差分量模型定位精度優(yōu)于衛(wèi)星高度角模型與等權模型的結論。

以上文獻主要是在不同的導航系統(tǒng)的觀測值間定權，但是很少基于同一系統(tǒng)不同類型的觀測值進行定權。本文從BDS 單個系統(tǒng)的不同頻率觀測值出發(fā)，對單一系統(tǒng)的不同觀測值定權。從文獻[11]中可得知，盡管雙頻定位的觀測值更多，但是由于雙頻無電離層組合放大了觀測噪聲，在電離層延遲較小時的定位精度反倒不如單頻單點定位的結果。所以本文對于雙頻定位采用非組合的方式，并提高不同類型觀測的定權精度，以達到提高定位結果精度的目的；然后通過采用低成本接收機Ublox 數據進行實驗計算和比較定位結果，比較雙頻單點定位分別采用衛(wèi)星高度角定權模型和Helmert 雙差分量估計定權模型的定位結果的精度。旨在探討在低成本接收機多余觀測較少的情況下，通過采用方差分量估計定權的方法來提高北斗衛(wèi)星雙頻單點定位精度的可行性。

1 雙頻單點定位模型

1.1 數學模型

BDS B1、B2 信號的偽距觀測方程分別為：

式中：P1、P2分別為B1、B2 信號的觀測值；ρ為站星的幾何距離；δtr為接收機鐘差；δts為衛(wèi)星鐘差；Δtrop為對流層延遲；Δion,1、Δion,2分別為B1、B2 信號的電離層延遲；ε1、ε2為偽距噪聲。

對流層采用薩斯塔莫伊寧（Saastamoinen）模型，它是GNSS 定位常用的一種對流層改正模型。對流層的延遲是由干分量延遲與濕分量延遲組成，其常用模型可以表示為

式中：T為對流層總延遲；dtry、dwet分別為天頂干分量與濕分量；Md、Mw為干分量與濕分量分別對應的映射函數。

電離層延遲采用克洛布徹（Klobuchar）模型，它是單點定位中最常用的對電離層延遲的改正模型，該模型將白天的電離層延遲視為隨時間變化的余弦函數，而將晚上的電離層延遲視為一個常數。

BDS 廣播星歷中的衛(wèi)星鐘差的基準是B3 頻點，而此次實驗的接收機采集到的是BDS 衛(wèi)星的B1、B2 信號。盡管各種衛(wèi)星信號都是在同一臺原子鐘信號的驅動下生成的；但由于不同信號生成的方法不同，所用的電子元器件和電子線路也不同，因此所產生的信號內部時延也是不相同的[12]：所以要對這2 種頻率的觀測值進行內部時延的修正。

1.2 高度角定權模型

高度角定權隨機模型是目前GNSS 定位中最常用的定權模型。對流層延遲誤差隨著衛(wèi)星高度角的減小而逐漸增加，衛(wèi)星高度角高的信號質量通常優(yōu)于衛(wèi)星高度角低的信號[13]。高度角定權其實質就是以高度角為指標，對具有不同高度角的觀測值進行方差估計而得到的一種簡單的驗前隨機模型，形式簡單，計算量小。

由于觀測的基線向量以及衛(wèi)星軌道模型都是基于空間3 維（3D）直角坐標系，所以衛(wèi)星的高度角和方位角也可以基于笛卡爾運算法則，通過構建直角坐標系統(tǒng)來獲得；但目前更常用的是基于矢量的方法求得衛(wèi)星高度角。

首先將衛(wèi)星與測站的在空間直角坐標系下的基線向量通過平移旋轉，得到站心坐標下的在東、北、天頂3 個方向的坐標E、N、U[14]為：

式中：L0、B0分別為測站坐標的經度、緯度；Xs、Ys、Zs為衛(wèi)星的空間直角坐標；X0、Y0、Z0為測站的空間直角坐標。

則可以求得該衛(wèi)星與測站間的衛(wèi)星高度角

然后就可以利用衛(wèi)星高度角進行觀測值方差的估計。其中一種方法就是利用正弦三角函數公式對不同高度角衛(wèi)星的觀測值方差σ2進行估計，即

由于BDS 空間星座包括GEO 衛(wèi)星、MEO 衛(wèi)星和IGSO 衛(wèi)星，這些衛(wèi)星高度差異較大；當衛(wèi)星高度角相同時，衛(wèi)星高度可能不一樣，僅以衛(wèi)星高度角定權未必準確[15]。

1.3 Helmert 方差分量估計

Helmert 方差分量估計是一種利用預平差的改正數V，按驗后估計各類觀測量驗前方差的方法。以2 種獨立的觀測值L1、L2為例，它們的誤差方程為

式中：V1、V2分別為L1、L2的改正數；B1、B2分別為L1、L2的系數陣；為參數改正數；l1、l2分別為L1、L2的觀測殘差。利用最小二乘求得殘差，然后依次求得各類殘差的平方和由此估計出新的單位權方差，即

式中：n1、n2分別為L1 與L2 頻率的觀測值個數；

2 實驗與結果分析

本實驗算例選取了Ublox 接收機1 h 內采集的數據。觀測時間為1 h，采樣間隔1 s，共3 600 個歷元。由于該低成本接收機只能夠接收BDS B1、B2 信號，所以讀取了BDS 衛(wèi)星在B1、B2的偽距觀測值。通過圖1 可以看出在觀測時段內衛(wèi)星數較少，從而觀測值數也較少。圖2 為衛(wèi)星在這1 h內運行軌跡的天空圖。

圖1 BDS 衛(wèi)星數

圖2 BDS 衛(wèi)星運行軌跡

本文利用高級程序設計語言C++自行設計的單點定位程序，對衛(wèi)星鐘差、對流層延遲、電離層延遲、地球自轉、相對論效應都進行了改正，并設置衛(wèi)星高度角為 10°。先對衛(wèi)星先驗方差采用衛(wèi)星高度角定權，其次用最小二乘平差得到觀測值殘差，再次利用Helmert 方差分量估計重新定權，然后對比僅采用衛(wèi)星高度角模型的定位結果與后來又采用Helmert 方差分量估計的定位結果。接著利用 RTKLIB 軟件的精密單點定位（precise point positioning，PPP）靜態(tài)模式計算出接收機的坐標。因為其在PPP 靜態(tài)模式下的精度遠高于單點定位的精度，所以可以作為接收機的坐標真值。最后對 2 種定權模式進行比較：①B1/B2 雙頻定位，采用衛(wèi)星高度角定權；②B1/B2雙頻定位，先采用衛(wèi)星高度角定權，再利用Helmert 方差估計定權。

2.1 定位動態(tài)解

圖3 為2 種定權模式下在東、北、天頂3 個方向的真誤差的結果比較。

從圖中可以看出：采用Helmert 方差分量定權得到的各歷元的位置結果與B1/B2 采用衛(wèi)星高度角定權得到的位置的結果相差較大；前者各歷元的結果更接近真值且波動變化更小。

表1 為2 種模式下內符合精度標準差（standard deviation，STD）的比較。表2 為2 種模式下外符合精度均方根誤差（root mean square error，RMSE）對比。

表1 BDS 雙頻不同隨機模型下組合定位的標準差對比

表2 BDS 雙頻不同隨機模型下組合定位的均方根誤差對比

從表中可以看出，B1/B2 雙頻采用Helmert方差分量估計的定權的定位結果無論是內符合精度還是外符合精度，在東、北、天頂3 個方向上都高于B1/B2 雙頻采用衛(wèi)星高度角的定權定位結果。

2.2 定位靜態(tài)解

以上是2 種模式下動態(tài)解的精度對比。同樣的，可以對多個歷元的觀測值進行整體解算，通過法方程疊加的方式來比較2 種模式的靜態(tài)結果。表3 反映了2 種模式得到的靜態(tài)解與真值在X、Y、Z3 個方向上的偏差。

表3 靜態(tài)定位結果與真值的偏差 m

從表中可以看出，整體解得到的結果要遠遠好于單個歷元的解。相對于僅采用衛(wèi)星高度角模型的B1/B2 雙頻定位得到的米級誤差結果，采用了Helmert 方差分量估計的B1/B2 雙頻定位得到的結果誤差僅在毫米級，與真值十分接近。所以采用Helmert 方差分量估計模型對于整體解也有一定的提高。

3 結束語

通過對低成本接收機Ublox 所采集的數據進行處理，對比了B1/B2 雙頻分別采用衛(wèi)星高度角定權與Helmert 方差分量定權的定位結果，得到以下結論：

1）在雙頻定位時，如果不能對不同類型的觀測值確定合理的權，則定位結果不如單頻定位理想；反之，如果能確定不同觀測值之間的合理權比，則可以得到更優(yōu)的定位結果。所以通過Helmert方差分量估計定權對于提升雙頻定位的精度是有一定幫助的。

2）最常用的衛(wèi)星高度角模型在雙頻定位時可能出現失效的情況，而采用Helmert 方差分量估計得到的雙頻定位結果，無論是動態(tài)解還是靜態(tài)解的精度都有很大的提升，尤其是靜態(tài)解得到的結果非常接近真值。

3）方差分量估計一般用于多余觀測值較多的情況下，可以得到較優(yōu)的定位結果。而低成本接收機受自身的限制，多余觀測值相對較少。本次實驗驗證了方差分量估計在多余觀測數較少的情況下仍有較大的定位優(yōu)勢，在E、N、U 3 個方向上的定位精度都能有較大的提高。