精講·深剖·慎思

徐秋慧 周麗光 張志軍

在遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科質(zhì)量提升暨“聚焦學(xué)科課程育人關(guān)鍵問題”教研論壇上，本文作者從學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)、中考命題三個不同角度進行說題分享，引起與會教師的強烈共鳴。

[原題內(nèi)涵]

一、數(shù)學(xué)技能

1. 求四邊形周長最小值

先將邊按常量、變量分類;再利用軸對稱變換，將變化的邊之和轉(zhuǎn)化成可能共線的折線段之和;最后利用“兩點之間線段最短”的原理得解.

2.求坐標平面內(nèi)的三角形面積

如果三角形中有邊在坐標軸上，或有邊平行于坐標軸，那就以在軸上或平行于軸的邊為底.

如果三角形的三邊都不在坐標軸上，且都不平行于坐標軸，通常有兩種選擇：（1）過某頂點作坐標軸的平行線，進行“分割”或“補形”;（2）過某頂點作三角形的邊的平行線，進行同底等高變換.

3. 確定點的坐標

首先，由于點到橫、縱軸的距離分別等于點的縱、橫坐標的絕對值，所以可由點向坐標軸作垂線段，再用幾何方法求其長;

其次，由于點的坐標本質(zhì)就是一個有序?qū)崝?shù)對，求點的坐標就是求一對實數(shù)，所以可先設(shè)點的坐標，再用數(shù)量關(guān)系列方程（組）求解;

此外，如果所求點恰好是兩條函數(shù)圖象的交點，還可將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立，通過解方程組進行求解.

二、數(shù)學(xué)經(jīng)驗

1. “是否存在”問題

（1）根據(jù)題意列方程（組），并求解：能求出符合條件的解，則存在;求不出解，或者求出的解不符合條件，則不存在.

（2）根據(jù)題意列不等式（組），求出未知量的取值范圍：題中要求的情況在取值范圍內(nèi)，則存在;不在范圍內(nèi)，則不存在.

2. “坐標系內(nèi)的斜線段的長”問題

已知三角形的高就作出高，是最自然不過的想法.但接下來的步驟對數(shù)形結(jié)合能力和幾何思維要求較高，許多同學(xué)都會遇到瓶頸.其關(guān)鍵在于要將“高”這條斜線段的長轉(zhuǎn)化為水平線段或鉛垂線段的長，以便與點的坐標相結(jié)合.所以，常過已知點作坐標軸的垂線，結(jié)合“一線三垂直”模型得解.

3. “坐標系內(nèi)的三角形的面積”問題

常用“割補法”或“同底等高轉(zhuǎn)化法”.如果三角形的兩個頂點已知，第三個頂點未知，則解題關(guān)鍵不在于選擇“割”還是“補”，而是有兩個竅門：

一是過未知點作y軸的平行線，與已知邊所在直線相交.如本題（見第7期第20頁，下同）中，過點P作y軸的平行線，與邊OD所在的直線相交于H. 這樣做，直線OD的解析式易知，點H的橫坐標即點P的橫坐標，于是將點H的橫坐標代入OD的解析式即可. 因此，這種做法計算量小，解題更快.

二是過未知點作已知邊的平行線，與y軸相交. 如本題中，過點P作OD邊的平行線，交y軸于點M. 這樣做，已知△ODM的面積和高，可求出底OM的長，就可直接得到直線PM的縱截距，再結(jié)合OD的斜率，直接可得直線PM的解析式.因此，這種做法計算更為簡便，解題更快.

4. “動態(tài)”問題

數(shù)感好、幾何直觀能力強的同學(xué)通過觀察圖形的特殊位置，往往就能分析得出問題的答案. 因此，遇到動態(tài)的綜合題不要放棄，一要通過準確作圖、觀察測量，去合理猜想，二要挖掘圖中特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，去分析推理.

[原題外延]

一、理性審視引拓展

原題問題（3）中提到點P在點D左側(cè)的情形，即當點P在直線OD下方的拋物線上時是否可使△ODP 的面積為12，還可以求此時△ODP面積的最大值，再通過比較與12的大小得出結(jié)論.

之前，我們剖析了原題的一題多解，在這里，不妨將此問題拓展開來，審視其一題多變.

【問題原型】如圖20，P在x軸下方的拋物線上，求△ODP的面積的最大值.

【問題變式一】

（1）如圖21，P在x軸下方的拋物線上，PH⊥OD于H，求PH的最大值.

（2）如圖22，P在x軸下方的拋物線上，PK[?]y軸，交OD于點K，求PK的最大值.

（3）如圖23，P在x軸下方的拋物線上，PM[?]x軸，交OD于點M，求PM的最大值.

[x][O] [P][D（2，-6）][y] [H] [x][O] [P][D（2，-6）][y] [K] [x][O] [P][D（2，-6）][y][M]

圖21? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖23

由于以上三問中△ODP的面積可分別由PH，PK，PM三條線段長來表示，且其最大值分別取決于這三條線段長的最大值，所以以上三個“線段長的最大值”問題都可以歸結(jié)為“△ODP的面積的最大值”問題.

【問題變式二】

（4）如圖24，P在x軸下方的拋物線上，PH⊥OD于H，PK[?]y軸，交OD于點K，求△PHK的周長的最大值.

（5）如圖25，P在x軸下方的拋物線上，PK[?]y軸交OD于點K，PM[?]x軸交OD于點M，求△PKM的周長的最大值.

（6）如圖26，P在x軸下方的拋物線上，PH⊥OD于H，PM[?]x軸交OD于點M，求△PHM的周長的最大值.

[x][O] [P][D（2，-6）][y] [H] [K] [x][O] [P][D（2，-6）][y] [M] [K] [x][O] [P][D（2，-6）][y] [H] [M]

圖24? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖25? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖26

由于以上三問中三角形周長可分別由問題變式一中的三條線段長來表示，且其最大值分別取決于這三條線段長的最大值，所以以上三個“三角形周長的最大值”問題也都可以歸結(jié)為“△ODP的面積的最大值”問題.

二、大膽改編練創(chuàng)新

以原題中壓軸的問題（4）為基礎(chǔ)，改編如下.

改編一：將原題中的“平分矩形的面積”改為“將矩形面積分為1∶3兩部分”.

改編說明：基于原問題的整體框架，不改變條件，也不改變對矩形面積問題的考查.但是，從“平分矩形的面積”這種特殊情形變?yōu)橐话闱樾危覐奈ㄒ磺闆r變?yōu)閮煞N情況，加強了對空間想象能力和分類討論能力的考查，也使區(qū)分度略有提升.

編后解析：如圖27、圖28，拋物線平移的距離為2或4個單位長度.

[y][x][B][A（K）][D][L][C] [y][x][B][A][D][C][K] [O][O]

圖27? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖28

改編二：矩形ABCD不動，拋物線向右平移t個單位長度，平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點K，L，當K在AB上、L在CD上時，線段KL與線段AM交于點E，求四邊形KEMB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出S的最小值.

改編說明：原問題雖然立意新穎，但整體思維難度不大. 所以，基于原問題的整體框架，不改變條件，但將考查“頂點確定的矩形的面積”問題改為“有頂點運動的不規(guī)則四邊形的面積”問題，提升了原問題的思維難度，加強了對分析問題、解決問題能力的考查，也增加了區(qū)分度.

編后解析：如圖29，四邊形KEMB的面積等于△ABM與△AKE的面積的差.因為OK = t， 所以點K坐標為（t，0），又因為直線KL[?]OD，可求得KL的解析式為y = -3x + 3t.將KL的解析式與AM的解析式y(tǒng) = -x + 2聯(lián)立，可得點E坐標[3t-22，6-3t2]，∴S△AEK = [12t-2×3t-62] = [34（t-2）2]. ∴S = S△ABM -S△AEK = 8 - [34（t-2）]2 =[ -34t2+3t+5]. 因為2 ≤ t ≤ 4，所以當t = 4時，S最小值為5.

改編三：矩形ABCD不動，拋物線向右平移t個單位長度，平移后的拋物線與矩形的邊AD或AB交于點K，與BC或CD交于點L，在平移過程中，直線KL與直線AD所夾的銳角α也發(fā)生變化.試說明α隨t變化而變化的情況，并簡要說明理由.

改編說明：原題第（3）、（4）小題都是考查圖形的面積，考點重復(fù)，于是，我們改變了視角，在不改變原題大背景條件的前提下，變“面積問題”為“角問題”.這種改編立意新穎，且具有一定的開放性.不僅對空間想象能力、幾何作圖能力和邏輯推理能力有所考查，還對數(shù)感、空間觀念和幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行了考查.

編后解析：如圖30、圖31、圖32，首先根據(jù)t的范圍猜想出α的變化情況，再通過計算α的三角函數(shù)值，證明猜想.

如圖30，當0 < t ≤ [2]時，拋物線解析式為y = [12（x-4-t）2-8]，令x = 2，得[12（-2-t）2] - 8 =[ t22] + 2t - 6，∴KA = [-t22] - 2t + 6，∴KD = AD - KA = [t22] + 2t，∴tan∠DKL = [DLKD ]= [tt22+2t] = [1t2+2=2t+4]. 顯然，tan∠DKL隨t的增大而減小，∴α隨t的增大而減小.

如圖31，當2 < t [≤4]時，KL[?]OD，∴α不變.

如圖32，當4 < t[ ≤6]時，BK'= 6 - t. 令6 - t = m，則此時平移之后的拋物線為y = [12（x-10+m）2-8]. 令x = 6，y = [12]（-4+ m）2 - 8 = [m22] -4m.∴BL' = -[m22] + 4m，tan∠BL'K' = [m-m22+4m] = [1-m2+4] =[2-m+8=2t+2].顯然，tan∠DKL隨t的增大而減小，故α隨t的增大而減小.

[y][x][B][A（K'）][D][L][C][K] [L'][O] [y][x][B][A（K'）][D][L][C] [L'] [K][O] [y][x][B][A][D][C（L）] [L'] [K][O][K']

圖30? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖31? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖32