關(guān)聯(lián)：讓思維開(kāi)出智慧之花

陳英

在AI時(shí)代，智慧、創(chuàng)新是核心?！笆谥詽O”是課堂教學(xué)改革和人才培養(yǎng)的主旋律。本文從三層教學(xué)目標(biāo)模型出發(fā)，從知識(shí)開(kāi)始探討關(guān)聯(lián)思維的發(fā)生，給出了三種不同類型的關(guān)聯(lián)思維并思考它們的意義。所得認(rèn)識(shí)為：感性關(guān)聯(lián)與理性關(guān)聯(lián)激發(fā)解決問(wèn)題能力的提升;模糊關(guān)聯(lián)與精準(zhǔn)關(guān)聯(lián)催生知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)探究智慧的提升;物理關(guān)聯(lián)與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)培養(yǎng)借鑒智慧能力的提升。

● 辨析：智慧溯源——知識(shí)

知識(shí)是雙目看到的世界的“像”，智慧是看世界的雙目。知識(shí)是智慧的源頭和基礎(chǔ)，智慧是知識(shí)的抽象和升華。

第一，知識(shí)是對(duì)物的研究，智慧是對(duì)人的研究。知識(shí)是對(duì)物的研究，通常是邏輯的、無(wú)矛盾的;智慧是關(guān)于人的，表現(xiàn)為面對(duì)客觀世界中錯(cuò)綜復(fù)雜的矛盾的能力。

第二，知識(shí)通常用語(yǔ)言表達(dá)，并能夠直接習(xí)得，智慧本質(zhì)則反之。事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)是可以通過(guò)語(yǔ)言描述并習(xí)得，原理性知識(shí)、程序性知識(shí)則可通過(guò)體驗(yàn)習(xí)得。智慧本身，無(wú)法直接習(xí)得，智慧是一種觀察和體驗(yàn)?zāi)芰Α⒁环N關(guān)聯(lián)的能力，需要在實(shí)踐中觀察和體驗(yàn)，它源于知識(shí)，又高于知識(shí)，是對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用和升華。

第三，知識(shí)有學(xué)科屬性，智慧無(wú)學(xué)科束縛。一般說(shuō)來(lái)，我們通常先學(xué)習(xí)知識(shí)，然后再運(yùn)用，在運(yùn)用中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的價(jià)值并思考如何靈活運(yùn)用，這就獲得了局部智慧。為了本領(lǐng)域（本學(xué)科）更好的發(fā)展，我們可能會(huì)去了解其他領(lǐng)域的進(jìn)展，在別的領(lǐng)域（其他學(xué)科）中發(fā)現(xiàn)新思想、新方法，并為自己所用，這時(shí)就更接近整體智慧。

● 解密：智慧密碼——關(guān)聯(lián)

南京師范大學(xué)李藝教授團(tuán)隊(duì)提出的核心素養(yǎng)三層目標(biāo)為：最底層——“學(xué)科知識(shí)層”指向基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。中間層——“問(wèn)題解決層”指向解決問(wèn)題過(guò)程中發(fā)生的認(rèn)知沖突及解決。最頂層——“學(xué)科思維層”指向在系統(tǒng)的學(xué)科學(xué)習(xí)中通過(guò)體驗(yàn)、內(nèi)化等過(guò)程，逐步形成的相對(duì)穩(wěn)定的思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方法和價(jià)值觀。該模型為探究知識(shí)學(xué)習(xí)與智慧生成提供了可操作的模型。

學(xué)科知識(shí)層為我們提供智慧生成的基礎(chǔ)——“知識(shí)”，問(wèn)題解決層為我們提供智慧生成的舞臺(tái)——“體驗(yàn)”，學(xué)科思維層為我們提供智慧生成的載體——“關(guān)聯(lián)”。

關(guān)聯(lián)是從一個(gè)事物聯(lián)想到另一個(gè)事物的思維，是大腦運(yùn)行的基本方式。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們能從原有知識(shí)點(diǎn)聯(lián)想到新知識(shí)點(diǎn)，這就是關(guān)聯(lián)在起作用。關(guān)聯(lián)思維，就是找到你已經(jīng)熟悉掌握的舊知識(shí)、原經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)關(guān)聯(lián)，把新舊知識(shí)鏈接上，最終形成新的認(rèn)知系統(tǒng)。要達(dá)成關(guān)聯(lián)，可從以下方面入手：明確關(guān)聯(lián)事物、尋找內(nèi)在邏輯、明確關(guān)聯(lián)性質(zhì)。

● 實(shí)踐：智慧之花——綻放

“用遞歸法解決問(wèn)題”是高中選修教材《算法與程序設(shè)計(jì)》（教科版）第三章《算法的程序?qū)崿F(xiàn)》第五小節(jié)的內(nèi)容。在本課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了用循環(huán)的方法來(lái)解決問(wèn)題，但循環(huán)的方法往往并不會(huì)那么清晰地描述解決問(wèn)題的步驟，遞歸法則可以非常直白地描述一個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程，因此遞歸法也是最容易被想到和實(shí)現(xiàn)的算法。遞歸的基本思想是把規(guī)模大的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)模小的相似的子問(wèn)題來(lái)解決。在函數(shù)實(shí)現(xiàn)時(shí)，因?yàn)榻鉀Q大問(wèn)題的方法和解決小問(wèn)題的方法往往是同一個(gè)方法，所以就產(chǎn)生了調(diào)用它自身的情況。遞歸是利用系統(tǒng)的堆棧保存函數(shù)當(dāng)中的局部變量來(lái)解決問(wèn)題的，因?yàn)楹瘮?shù)調(diào)用的開(kāi)銷，遞歸常常會(huì)帶來(lái)效率問(wèn)題。本節(jié)課不僅要學(xué)會(huì)用遞歸法解決問(wèn)題，更重要的是領(lǐng)會(huì)遞歸思想的精髓。遞歸思想是計(jì)算機(jī)學(xué)科中的核心技術(shù)思想之一，其本質(zhì)反映的是一種將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的思維方法。因此，在本課的教學(xué)中，要充分考慮和利用學(xué)生的舊知識(shí)和原經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)感官、體驗(yàn)等喚醒學(xué)生原經(jīng)驗(yàn)、舊知識(shí)，運(yùn)用關(guān)聯(lián)手段，打通新舊知識(shí)間的邏輯鏈路，使學(xué)習(xí)自然發(fā)生。下面，筆者以本節(jié)內(nèi)容為例，給出三種不同類型的思維關(guān)聯(lián)，分享思維關(guān)聯(lián)教學(xué)片段。

1.感性關(guān)聯(lián)與理性關(guān)聯(lián)激發(fā)解決問(wèn)題能力智慧的提升

基于感性的關(guān)聯(lián)相對(duì)容易發(fā)生，而且，理性關(guān)聯(lián)必然以感性關(guān)聯(lián)為基礎(chǔ)，因此，從感性關(guān)聯(lián)入手并使之過(guò)渡到理性關(guān)聯(lián)，完成理性知識(shí)的學(xué)習(xí)，是一種可取的辦法。遞歸算法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一種全新的事物，沒(méi)有任何學(xué)科經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，如果直接給出遞歸的定義，學(xué)生不容易理解，因此，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，必須運(yùn)用“關(guān)聯(lián)”，讓學(xué)生通過(guò)看、聽(tīng)等感官刺激，對(duì)遞歸有初步體驗(yàn)。

教學(xué)片段1：導(dǎo)入——謝爾斯賓三角形。

圖形是最好的感官素材，學(xué)生通過(guò)觀察含有遞歸思想的謝爾斯賓三角形，對(duì)遞歸有了最初步的感性認(rèn)識(shí)。

師：同學(xué)們，在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容之前，先請(qǐng)大家來(lái)欣賞幾幅圖（如圖1），圖中的第一幅圖是著名的謝爾斯賓三角形，大家看看這三張圖之間有何奧秘？

生：謝爾斯賓三角形中，第二張可以由第一張得到，第三張可以由第二張得到。

師：這位同學(xué)觀察得很仔細(xì)，的確是這樣，如果把這幅圖倒著看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：要畫(huà)出第三張圖，必須能畫(huà)出第二張圖，要畫(huà)出第二張圖，必須能畫(huà)出第一張圖，從第三張圖到第一張圖，問(wèn)題的復(fù)雜度降低了，化繁為簡(jiǎn)了。其實(shí)在生活中有很多這樣的實(shí)例，這其中也蘊(yùn)含了一種思想方法：把規(guī)模大的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)模小的相似的子問(wèn)題來(lái)解決，這就是本課要學(xué)習(xí)的一種重要算法——遞歸。

在形成了初步感性的認(rèn)識(shí)后，再引導(dǎo)學(xué)生遞歸思想解決生活中的代數(shù)問(wèn)題，從感性關(guān)聯(lián)過(guò)渡到理性關(guān)聯(lián)。

師：下面，來(lái)看生活中一個(gè)有趣的問(wèn)題——簽到送金幣。規(guī)則如下：第1天，1個(gè)金幣，第2天，1個(gè)金幣，第3天，2個(gè)金幣，第4天，3個(gè)金幣……請(qǐng)問(wèn)第15天能收獲多少金幣？同學(xué)們可以在紙上畫(huà)一畫(huà)，找一找送金幣的規(guī)律，也可以試著寫(xiě)一寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式。

f（n）=? ________n=1或n=2

________ n>2

生：第1天或第2天都是1個(gè)，第3天開(kāi)始是前兩天之和。

師：假設(shè)第n天的金幣數(shù)是f（n），請(qǐng)問(wèn)前兩天的金幣數(shù)如何表示？

生：f（n-1）和f（n-2）。

師：非常好，大家一定要有這樣一個(gè)概念，f（）是一個(gè)模塊，它能幫我們計(jì)算某天的金幣數(shù)，f（n）就是第n天的金幣數(shù)，f（n-1）代表的是第n-1天的金幣數(shù)。這樣，送金幣的函數(shù)表達(dá)式就能輕松表示出來(lái)了。

其實(shí)這個(gè)問(wèn)題有兩種解法，一種是遞推法，可以利用循環(huán)遞推來(lái)解決，另一種是遞歸法。下面，我們一起來(lái)試一試，同學(xué)們寫(xiě)遞推法的代碼，老師寫(xiě)遞歸法的代碼，我們比一比哪種方法好（如圖2）。

生：從代碼量上看，遞歸法更加簡(jiǎn)潔，也更容易理解。

師：那我們?cè)俦容^一下兩者的運(yùn)行速度。從下表的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在問(wèn)題規(guī)模比中較小的情況下，兩者運(yùn)行速度大體相當(dāng)，但是當(dāng)問(wèn)題規(guī)模較大時(shí)，遞歸運(yùn)行效率很低，這是為什么呢？下面，我們一起來(lái)解密遞歸的運(yùn)行機(jī)制。

2.模糊關(guān)聯(lián)與清晰關(guān)聯(lián)催生知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)探究智慧的提升

在SOLO模型中所說(shuō)的關(guān)聯(lián)思維，應(yīng)該是清晰而精準(zhǔn)的關(guān)聯(lián)，錯(cuò)誤的關(guān)聯(lián)不僅不能起到好的學(xué)習(xí)效果，反而會(huì)使學(xué)習(xí)者陷入誤區(qū)。但是，清晰的關(guān)聯(lián)可以從相對(duì)比較容易得到的模糊關(guān)聯(lián)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，走向正確的清晰關(guān)聯(lián)，也是一種很好的辦法。還是以遞歸為例，至此，學(xué)生對(duì)遞歸有了初步的認(rèn)識(shí)，知道遞歸是函數(shù)或過(guò)程的自我調(diào)用，但是計(jì)算機(jī)具體是如何實(shí)現(xiàn)的？自我調(diào)用的過(guò)程如何？要學(xué)好遞歸算法，這是必須過(guò)的一個(gè)坎，必須要求學(xué)生對(duì)遞歸的本質(zhì)有比較深入的認(rèn)識(shí)。此處，帶著對(duì)遞歸思想的初步認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生參與游戲，模擬遞歸過(guò)程。

教學(xué)片段2：游戲體驗(yàn)遞推過(guò)程。

師：我們來(lái)做一個(gè)數(shù)學(xué)容積游戲——一個(gè)容器里有8升水，如何用一個(gè)3升和一個(gè)5升的容器將水分成相等的兩份？

生：裝滿3升桶→倒進(jìn)5升桶里，裝滿3升桶→倒進(jìn)5升桶里→3升桶里最后會(huì)留1升，倒干凈5升桶，把3升桶里的1升水倒進(jìn)5升桶里，再裝滿3升桶→倒進(jìn)5升桶里→共4升。

師：下面，我們?cè)倏聪乱粋€(gè)游戲！假設(shè)我們?cè)谝粋€(gè)漆黑一片的電影院中，我不知道我是第幾排，請(qǐng)問(wèn)能不能用遞歸的思想獲得答案？

生：可以不斷地往前排追問(wèn)，最終能找到第1排，然后再回頭告訴后一排當(dāng)前排數(shù)，這樣最后一個(gè)就能得到答案了。

師：遞歸=遞推+回歸，遞推是為了縮小問(wèn)題規(guī)模，直到最簡(jiǎn)單的情況有確定解，再通過(guò)回歸得到最終解。那么，這兩個(gè)游戲哪個(gè)是遞歸呢？

生：第二個(gè)游戲更像遞歸！

師：大家能夠畫(huà)出電影院排數(shù)題遞歸法的求解過(guò)程圖嗎（通過(guò)雙向箭頭問(wèn)題解決過(guò)程圖形化描述，遞歸過(guò)程逐漸從模糊到清晰）？下面，老師從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的角度給大家來(lái)解釋一下遞歸的執(zhí)行機(jī)制，并一起來(lái)探究為什么遞歸執(zhí)行速度要比遞推慢。計(jì)算機(jī)執(zhí)行遞歸時(shí)，是通過(guò)堆棧來(lái)實(shí)現(xiàn)的（黑板畫(huà)圖）。在遞歸開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)建立一個(gè)堆棧，入棧，保存現(xiàn)場(chǎng)，在遞歸結(jié)束后，把運(yùn)算值出棧，恢復(fù)現(xiàn)場(chǎng)。這就是遞歸算法在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的運(yùn)行機(jī)制，現(xiàn)在大家能夠理解為什么遞歸執(zhí)行效率比較低了嗎？

生：明白了，因?yàn)橛?jì)算機(jī)需要不停地出入棧，會(huì)占用很多資源，也很費(fèi)時(shí)間。

3.物理關(guān)聯(lián)與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)培養(yǎng)借鑒智慧能力的提升

我們對(duì)物理對(duì)象的嚴(yán)格把握，是通過(guò)對(duì)其建立數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這種情況，是所有自然科學(xué)學(xué)科中的普遍現(xiàn)象，因此，讓學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)知識(shí)最終建立數(shù)學(xué)意義上的關(guān)聯(lián)才是根本目標(biāo)。但在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)關(guān)系建立之前，可以有物理的或表象的關(guān)聯(lián)關(guān)系先予建立，學(xué)習(xí)者可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步走向數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，這是就所學(xué)知識(shí)建立關(guān)聯(lián)關(guān)系的一個(gè)有效途徑。

教學(xué)片段3：生活中的遞歸。

師：經(jīng)過(guò)前面的活動(dòng)，我們對(duì)遞歸有了初步了解，下面動(dòng)手來(lái)實(shí)踐一下，用遞歸解決生活中的問(wèn)題。大家請(qǐng)看梵塔問(wèn)題。要解決這個(gè)問(wèn)題需要不斷減小問(wèn)題規(guī)模，最簡(jiǎn)單的情況是1個(gè)盤(pán)子，只要會(huì)移動(dòng)1個(gè)盤(pán)子，就會(huì)移動(dòng)2個(gè)……符合遞歸思想。梵塔問(wèn)題是一個(gè)只能用遞歸法求解的經(jīng)典問(wèn)題，在學(xué)習(xí)遞歸算法后，看到類似梵塔模型（如走臺(tái)階問(wèn)題），就能聯(lián)想到遞歸法。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一門(mén)語(yǔ)言，是結(jié)構(gòu)和關(guān)系的描述。物理和數(shù)學(xué)的研究對(duì)象都是結(jié)構(gòu)，其中物理的結(jié)構(gòu)是客觀存在，而數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)則是抽象邏輯映射。下面，讓我們走進(jìn)數(shù)學(xué)，欣賞代數(shù)之美——?dú)W幾里德算法（求最大公約數(shù)）（如圖3）。

最后，我們一起來(lái)總結(jié)一下遞歸算法：遞歸是一種化繁為簡(jiǎn)的思想方法，相鄰兩項(xiàng)之間必須有確定的遞推關(guān)系，必須有遞歸出口。遞歸算法用簡(jiǎn)單模式解決復(fù)雜問(wèn)題的思想廣泛地存在于程序設(shè)計(jì)乃至其學(xué)科中。

● 結(jié)束語(yǔ)

本課通過(guò)三種不同類型的思維關(guān)聯(lián)舉例，分析了關(guān)聯(lián)思維在算法教學(xué)中的運(yùn)用，并得到以下幾點(diǎn)體會(huì)：第一，對(duì)于抽象度高的知識(shí)點(diǎn)，教師必須充分利用學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和生活經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過(guò)各種方式來(lái)喚醒原概念。第二，要在新舊知識(shí)點(diǎn)之間產(chǎn)生聯(lián)系，“關(guān)聯(lián)”是最好的激發(fā)方式，從關(guān)聯(lián)對(duì)象維度出發(fā)，進(jìn)行生活關(guān)聯(lián)、學(xué)科內(nèi)關(guān)聯(lián)、學(xué)科間關(guān)聯(lián)等。從關(guān)聯(lián)方式角度看，有感性關(guān)聯(lián)與理性關(guān)聯(lián)、模糊關(guān)聯(lián)與清晰關(guān)聯(lián)、物理關(guān)聯(lián)與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)等。