人教A版新教材拓展性習(xí)題的分析與思考

【摘 要】習(xí)題是教材的重要組成部分，研究人教A版新教材中拓展性習(xí)題的數(shù)量、情境、活動(dòng)等指標(biāo)，解析其教學(xué)功能，并給出教學(xué)建議，真正發(fā)揮其教學(xué)功能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

【關(guān)鍵詞】探究性習(xí)題;指標(biāo)分析;教學(xué)功能

習(xí)題是教材的重要組成部分，是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中組織學(xué)生學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的重要載體.各版教材均設(shè)置了不同層次的習(xí)題來滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性化需求，引導(dǎo)學(xué)生展示數(shù)學(xué)理解力，滿足學(xué)生自主探究的欲望，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野[1].人教A版新教材的習(xí)題分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”三個(gè)層次，其中，“拓廣探索”習(xí)題著眼于鼓勵(lì)學(xué)生數(shù)學(xué)探究和知識(shí)拓廣，所選問題具有探究性、創(chuàng)造性與開放性.本文將此類習(xí)題稱為拓展性習(xí)題，并以人教A版必修新教材中的拓展性習(xí)題為例，對(duì)該類習(xí)題的數(shù)量、情境、活動(dòng)等指標(biāo)進(jìn)行分析，解析其教學(xué)功能，并提出在具體教學(xué)時(shí)的建議，敬請(qǐng)指正.

1 幾個(gè)指標(biāo)的分析

1.1 習(xí)題數(shù)量的分析將必修部分拓展性習(xí)題統(tǒng)計(jì)如下表（見表1）.由表1可知，人教A版必修新教材中的拓展性習(xí)題數(shù)量為108道，約占習(xí)題總數(shù)（共605道）的17.9%，拓展性習(xí)題主要分布在“三角函數(shù)”“平面向量”“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“立體幾何初步”等五個(gè)單元中，這是由這些章節(jié)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系中的地位決定的，是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，因此很有必要通過一系列的探究、拓展來實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深刻理解和熟練掌握.

若與其他教材相比，“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”單元中的拓展性習(xí)題數(shù)量（共13道）比其它版教材（北師大版8道，蘇教版7道，湘教版1道）都要高，一方面是因?yàn)槿私藺版本單元的教材定位是在掌握指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，揭示兩種運(yùn)算下數(shù)值的變化特征，為后面研究指、對(duì)數(shù)函數(shù)兩類模型的增長差異提供感性認(rèn)識(shí)，如習(xí)題4.1第10題和習(xí)題4.3第9題.另一方面，人教A版教材在本章增加“不同函數(shù)增長的差異”和“函數(shù)的應(yīng)用”兩節(jié)內(nèi)容，習(xí)題數(shù)量相應(yīng)地隨之增多.而“平面向量”這一單元的拓展性習(xí)題數(shù)量卻遠(yuǎn)少于其他版本（如蘇教版23道），這是因?yàn)槿私藺版教材將此類習(xí)題的重心放在“向量的數(shù)量積”這一核心運(yùn)算上.

1.2 習(xí)題呈現(xiàn)的情境

拓展性習(xí)題的情境可根據(jù)情境的屬性分為真實(shí)情境、虛設(shè)情境、純數(shù)學(xué)情境[2]，其中真實(shí)情境取材于日常生活、外部現(xiàn)實(shí)世界（自然、藝術(shù)、體育、人文等），或文學(xué)作品、科幻作品等的故事情境，虛設(shè)情境是有一定現(xiàn)實(shí)依據(jù)的人為構(gòu)造的情境.人教A版教材按此標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)如下（見表2）.

從表2可以看出，新教材拓展性習(xí)題以純數(shù)學(xué)情境為主要的呈現(xiàn)方式，以真實(shí)情境或虛設(shè)情境作為素材背景的拓展性習(xí)題約占總數(shù)的三分之一，這樣的占比契合此類問題的訓(xùn)練目標(biāo).如果數(shù)量過多，則會(huì)加重學(xué)生信息表征的負(fù)荷，沖淡此類問題的核心旨意;如果數(shù)量過少，則易造成文本素材的呈現(xiàn)比較呆板且脫離生活實(shí)際，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).由此可見，新教材在編寫拓展性習(xí)題時(shí)準(zhǔn)確把握了情境設(shè)置的“度”，一方面強(qiáng)調(diào)素材在探究和拓展方面發(fā)揮作用，另一方面強(qiáng)調(diào)以現(xiàn)實(shí)背景引出數(shù)學(xué)問題，注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系.

1.3 解答習(xí)題的活動(dòng)

教材在設(shè)計(jì)拓展性習(xí)題時(shí)，注重考慮為學(xué)生創(chuàng)造一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)條件和空間，學(xué)生在此過程中進(jìn)行解答、寫作、項(xiàng)目、閱讀、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng).按照文[2]的觀點(diǎn)這些活動(dòng)的含義如下（見表3）.

將教材中拓展性習(xí)題按上述活動(dòng)類型分類統(tǒng)計(jì)如下（見表4）.由表4可知教材設(shè)置拓展性習(xí)題時(shí)充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和量力性原則，以傳統(tǒng)的解答活動(dòng)為主要的活動(dòng)類型，習(xí)題結(jié)構(gòu)完整，問題指向清楚，對(duì)相關(guān)知識(shí)起到了拓展與提升的作用.同時(shí)，新教材按照新課程理念設(shè)置了以項(xiàng)目、實(shí)驗(yàn)、閱讀和寫作等多元活動(dòng)來引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)的習(xí)題，通過不同類型的活動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提升對(duì)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).新教材注重引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀情境中的信息掌握新知和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力和知識(shí)遷移能力;新教材還設(shè)置了針對(duì)某一主題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，要求學(xué)生在此過程中進(jìn)行調(diào)查、統(tǒng)計(jì)、分析與撰寫報(bào)告等一系列實(shí)踐與反思的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析客觀事實(shí)（現(xiàn)象）的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).但是，新教材在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和寫作活動(dòng)這兩類習(xí)題上數(shù)量相對(duì)偏少，占比僅為3.7%和1.8%.

2 教學(xué)功能解析

眾所周知，拓展性習(xí)題在深化理解，鞏固認(rèn)知，拓寬視野等方面有著重要的功能.除此之外，這類習(xí)題還有一些隱性的教學(xué)功能值得研析.

2.1 承前啟后，體現(xiàn)整體教學(xué)

有些拓展性習(xí)題具有承前啟后的教學(xué)功能，若能在教學(xué)中注重開發(fā)利用，可極大提高教學(xué)的整體性，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體理解.題1 （習(xí)題1.4第6題）設(shè)a，b，c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c.我們知道，如果△ABC為直角三角形，那么a2+b2=c2.反過來，如果a2+b2=c2，那么△ABC為直角三角形.由此可知，△ABC為直角三角形的充要條件是a2+b2=c2.請(qǐng)利用邊長a，b，c分別給出△ABC為銳角三角形和鈍角三角形的一個(gè)充要條件，并證明.

這道題基于學(xué)生已有的認(rèn)知和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅對(duì)已學(xué)知識(shí)（勾股定理）或方法（化斜為直）進(jìn)行鞏固與拓展，還為新知的學(xué)習(xí)提供探究準(zhǔn)備，充分體現(xiàn)整體的教學(xué)理念，讓學(xué)生在已有的經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行探究活動(dòng)，更利于知識(shí)目標(biāo)的達(dá)成.題1正是必修第2冊(cè)P43學(xué)習(xí)余弦定理時(shí)旁白中的問題“你能用其他方法證明余弦定理嗎？”的呼應(yīng).

2.2 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用

正如前文分析，一些拓展性習(xí)題以現(xiàn)實(shí)生活為情境，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”去進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng).

題2 （習(xí)題9.1第11題）你可能想了解全校同學(xué)生活、學(xué)習(xí)中的一些情況，例如，全校同學(xué)比較喜歡哪門課程，每月的零花錢平均是多少，喜歡看《新聞聯(lián)播》的同學(xué)的比例是多少，每天大約什么時(shí)間起床，每天睡眠的平均時(shí)間是多少，等.選一些自己關(guān)心的問題，設(shè)計(jì)一份調(diào)查問卷，利用簡單隨機(jī)抽樣方法調(diào)查你們學(xué)校的情況，并解釋你所得到的結(jié)論.這道題與學(xué)生的生活密切相關(guān)，需要學(xué)生親身實(shí)踐，確定學(xué)習(xí)的主題、方向、方法，并用數(shù)學(xué)的方法分析，闡明自己的理解和觀點(diǎn).整個(gè)研究的過程就是“用數(shù)學(xué)”，少了枯燥的解題，多了豐富的應(yīng)用，這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)歷對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)是大有裨益的.

2.3 文化滲透，突顯數(shù)學(xué)價(jià)值

新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，包括將數(shù)學(xué)文化融入在習(xí)題中，這一點(diǎn)在新教材的拓展性習(xí)題中也得到體現(xiàn).題3 （習(xí)題1.1第5題）集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.當(dāng)時(shí)，康托爾在解決涉及無限量研究的數(shù)學(xué)問題時(shí)，越過“數(shù)集”限制，提出了一般性的“集合”概念.關(guān)于集合論，希爾伯特贊譽(yù)為“數(shù)學(xué)思想的驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一”，羅素描述其為“可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作.”請(qǐng)你查閱相關(guān)資料，用簡短的報(bào)告闡述你對(duì)這些評(píng)價(jià)的認(rèn)識(shí).

作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始課，在習(xí)題中安排本題旨在讓學(xué)生主動(dòng)去了解“集合”，走進(jìn)“集合論”，在拓寬知識(shí)的同時(shí)感受數(shù)學(xué)史料的樂趣，了解集合論的發(fā)展史，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，有利于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理趨向.

2.4 指導(dǎo)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)

新教材中還設(shè)置了一類引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再探究的拓展性習(xí)題.

題4 （習(xí)題5.3第10題）借助單位圓，還可以建立角的終邊之間的哪些特殊位置關(guān)系？由此還能得到三角函數(shù)值之間的哪些恒等關(guān)系？

這類習(xí)題體現(xiàn)的是學(xué)生在相同學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的“二次學(xué)習(xí)”，用已經(jīng)積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)新的思維活動(dòng)，這是一種反思性的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，也是對(duì)自己原有思維進(jìn)行的遷移活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力和展示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的途徑之一，這樣的過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

3 教學(xué)建議

如何開發(fā)利用拓展性習(xí)題？筆者認(rèn)為除了日常教學(xué)中重視運(yùn)用此類問題進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)、專題學(xué)習(xí)外，還可以嘗試以下教學(xué)組織與實(shí)施.

3.1 設(shè)計(jì)開放問題，培養(yǎng)發(fā)散思維

2020年全國高考新課程卷命制了結(jié)構(gòu)不良試題，2021年八省聯(lián)考填空題中出現(xiàn)開放題，這些無不指向新高考要求學(xué)生具備發(fā)散思維，而發(fā)散思維的培養(yǎng)需要教師在平時(shí)教學(xué)中設(shè)計(jì)開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究與思考.拓展性習(xí)題就是最佳的學(xué)材，以此作為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維學(xué)習(xí)的載體和典型案例，使其在問題解決的過程中學(xué)習(xí)一類知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法.

學(xué)生會(huì)根據(jù)自己所學(xué)知識(shí)進(jìn)行發(fā)散聯(lián)想，不同知識(shí)水平的學(xué)生寫的求值問題必定不同，學(xué)生還會(huì)在交流中進(jìn)行思維碰撞，誘發(fā)自己的二次思維，形成自己的發(fā)散性思維.同時(shí)，教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)續(xù)寫的問題進(jìn)行整體思維，尋找它們之間的關(guān)聯(lián)，最終形成解決一類問題的“知識(shí)框圖”，也是解決此類問題的“線路圖”（如下圖），大大提升知識(shí)的理解深度.

3.2 開發(fā)實(shí)際問題，引領(lǐng)項(xiàng)目學(xué)習(xí)

很多實(shí)際問題受時(shí)空、資金等因素影響，學(xué)生無法在學(xué)習(xí)時(shí)真實(shí)地完成，可以模擬問題情境，讓學(xué)生以項(xiàng)目學(xué)習(xí)的視角開展探究與拓展性學(xué)習(xí)，引導(dǎo)他們運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)模擬的實(shí)際問題進(jìn)行分析與解決，培養(yǎng)知識(shí)遷移能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)[3].案例2 （習(xí)題6.4第23題）根據(jù)實(shí)際需要，利用本節(jié)所學(xué)的知識(shí)完成一次有關(guān)測量的實(shí)習(xí)作業(yè)，并寫出實(shí)習(xí)報(bào)告（包括測量問題、測量工具、測得數(shù)據(jù)和計(jì)算過程及結(jié)論）.

以此習(xí)題作為研究實(shí)際生活中“測量”問題的一個(gè)項(xiàng)目，具體實(shí)施時(shí)加入具體的生活情境，讓學(xué)生在身臨其境中經(jīng)歷項(xiàng)目學(xué)習(xí)的完整流程：測量的預(yù)設(shè)、測量的方案設(shè)計(jì)、測量的數(shù)據(jù)處理、測量結(jié)果的評(píng)估等.學(xué)生在實(shí)踐中抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)對(duì)象，選擇合適的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行分析等等，這一系列都直指數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界.整個(gè)過程可能需要通過小組合作來完成，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作的精神.

最后需要指出的是，在實(shí)際教學(xué)中由于受急功近利的考試氛圍影響，拓展性習(xí)題會(huì)處于高評(píng)價(jià)、低使用的尷尬境況，本文旨在呼吁一線教師重視拓展性習(xí)題的教學(xué)與研究，從學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展考慮，真正發(fā)揮其教學(xué)功能，以此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]徐斌艷.高中數(shù)學(xué)教材探究內(nèi)容分析指標(biāo)體系及比較研究[J].課程·教材·教法，2012（10）：35-40.

[3]丁益民.結(jié)構(gòu)不良試題的認(rèn)識(shí)、功能與教學(xué)實(shí)施——以2020年新課程卷第17題為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2021（02）：11-14.

作者簡介 丁益民（1981—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教材教法研究，曾獲江蘇省教學(xué)成果獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)，江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人，蘇州市學(xué)科帶頭人，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等數(shù)學(xué)期刊發(fā)表論文百余篇.