考慮關(guān)節(jié)摩擦的3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模研究

陳國(guó)強(qiáng) 周紅鵬 黃俊杰 代 軍 白秉欣 劉夢(mèng)超

(河南理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 焦作 454000)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊穩(wěn)定、承載能力強(qiáng)、精度高、功能強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[1-2]。目前，關(guān)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究大多集中在結(jié)構(gòu)、控制策略以及運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的模塊化等方面[3-7]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)包括閉環(huán)結(jié)構(gòu)的約束，并且并聯(lián)機(jī)構(gòu)因考慮關(guān)節(jié)之間的摩擦而增加了非線性和耦合性[8]，因此，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析是難點(diǎn)。對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析需要建立計(jì)算簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)模型。常用的動(dòng)力學(xué)模型包括拉格朗日法[9-10]、牛頓-歐拉法[11-12]、虛功原理法[13-14]和凱恩法[15-16]。拉格朗日法表現(xiàn)形式簡(jiǎn)單，但計(jì)算量較大，適用于不考慮摩擦力的動(dòng)力學(xué)分析。虛功原理法和拉格朗日法同樣具有整齊的表達(dá)形式，但在機(jī)構(gòu)較多時(shí)計(jì)算量較大。凱恩法計(jì)算方法簡(jiǎn)捷，但對(duì)力與力矩的分析相對(duì)匱乏。由于關(guān)節(jié)之間存在各種力，因此采用牛頓-歐拉法分析較為復(fù)雜，但牛頓-歐拉法在構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型時(shí)容易表示內(nèi)部的約束力和反約束力，適合用于分析機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)摩擦問(wèn)題[17]。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)精度是衡量其性能的指標(biāo)之一。并聯(lián)機(jī)構(gòu)中部件之間的關(guān)節(jié)對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡有很大影響。關(guān)節(jié)之間存在著諸多不確定因素，如重力、慣性力以及摩擦力等。機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)之間通常采用靜摩擦模型、庫(kù)侖摩擦模型、粘性摩擦模型以及相互組合的一些摩擦模型等[18-23]。段書(shū)用等[24]對(duì)串聯(lián)機(jī)構(gòu)建立了牛頓-歐拉法動(dòng)力學(xué)模型，分析了關(guān)節(jié)間不同摩擦模型對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡造成的影響，并研究了各關(guān)節(jié)之間的相互影響。付建寧等[25]研究了庫(kù)侖摩擦與粘性摩擦對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，提出一種表示關(guān)節(jié)間摩擦力的非線性摩擦補(bǔ)償方法。REYNOSO-MORA等[26]同時(shí)考慮庫(kù)倫摩擦與粘性摩擦對(duì)軌跡和前饋控制產(chǎn)生的影響，并提出采用凸松弛的方法解決機(jī)械臂的非凸問(wèn)題。

本文采用牛頓-歐拉法對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。規(guī)劃3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)軌跡，采用矢量法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，分析關(guān)節(jié)間3種不同的摩擦模型，在考慮關(guān)節(jié)摩擦力的情況下，采用牛頓-歐拉法對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每個(gè)構(gòu)件及整體進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模分析。利用逆動(dòng)力學(xué)分析負(fù)載對(duì)摩擦力的影響，利用正動(dòng)力學(xué)分析不同摩擦模型對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

1 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)矢量運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)分析

3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型和結(jié)構(gòu)示意圖如圖1、2所示，分別包括3個(gè)立柱、3個(gè)滑塊、3根連桿、1個(gè)動(dòng)平臺(tái)以及1個(gè)定平臺(tái)?；瑒?dòng)導(dǎo)軌以120°均勻分布在固定平臺(tái)上，球面副以120°均勻分布在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)上。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)由3個(gè)分支鏈組成，每個(gè)分支鏈由運(yùn)動(dòng)副(P)、旋轉(zhuǎn)副(R)和球面副(S)組成，稱為3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖2中，Ni(i=1,2,3)表示動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)頂點(diǎn)，Mi(i=1,2,3)表示定平臺(tái)的3個(gè)頂點(diǎn)，QiMi(i=1,2,3)表示3根立柱導(dǎo)軌、QiNi(i=1,2,3)表示3根連桿，AiBi(i=1,2,3)表示均分布在固定平臺(tái)上的3個(gè)水平導(dǎo)軌。在定平臺(tái)上設(shè)置定坐標(biāo)系O1x1y1z1，其外接圓半徑為R，在動(dòng)平臺(tái)上設(shè)置移動(dòng)坐標(biāo)系O2x2y2z2，其外接圓半徑為r。連桿長(zhǎng)度設(shè)置為L(zhǎng)i，滑塊到固定平臺(tái)的距離設(shè)置為Hi(i=1,2,3)，QiMi和QiNi之間的夾角設(shè)置為θi(i=1,2,3)。設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系繞著定坐標(biāo)系在x軸上的旋轉(zhuǎn)角為α，同理繞著定坐標(biāo)系在y和z軸上旋轉(zhuǎn)角分別表示為β和γ。經(jīng)過(guò)分析3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度，分別是動(dòng)平臺(tái)沿z軸方向上的移動(dòng)自由度，以及分別繞x和y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)劃

對(duì)建立的3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)劃，即設(shè)置該機(jī)構(gòu)的末端理想驅(qū)動(dòng)軌跡。由于該機(jī)構(gòu)只有3個(gè)方向的自由度，其中包括動(dòng)坐標(biāo)系繞著定坐標(biāo)系在x軸方向上的旋轉(zhuǎn)角α，y軸方向上的旋轉(zhuǎn)角β以及z軸方向上的平移，設(shè)置3個(gè)方向規(guī)則運(yùn)動(dòng)軌跡表達(dá)式為

(1)

基于式(1)設(shè)定的運(yùn)動(dòng)軌跡反求出3個(gè)滑塊的驅(qū)動(dòng)力，以驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)得到理想軌跡如圖3所示。

1.3 位置反解

(2)

在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于定坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置參數(shù)設(shè)為O2(xt,yt,zt)，姿態(tài)參數(shù)為(α,β,γ)。該機(jī)構(gòu)共有3個(gè)自由度，因此位置參數(shù)xt和yt等于0，姿態(tài)參數(shù)γ等于0°。動(dòng)平臺(tái)到定平臺(tái)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為

(3)

式中s表示正弦函數(shù)，c表示余弦函數(shù)。

(4)

(5)

其中

(6)

(7)

連桿長(zhǎng)度Li(i=1,2,3)可以表示為

(8)

整理可以得到滑塊的輸入位移Hi(i=1,2,3)為

(9)

由式(5)、(9)可得機(jī)構(gòu)反解聯(lián)立求出的滑塊高度Hi(i=1,2,3)，根據(jù)1.2節(jié)中設(shè)置的機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)軌跡可以得到相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)行程。

1.4 速度分析

(10)

其中

(11)

動(dòng)平臺(tái)上各端點(diǎn)速度可以表示為

(12)

式中vHi——滑塊速度O——零矩陣

eHi——滑塊輸入速度方向單位矢量

ωLi——連桿角速度

δLi——連桿長(zhǎng)度單位矢量

vHi=JvV

(13)

其中

(14)

式(12)兩端同時(shí)叉乘δLi得到連桿角速度為

(15)

(16)

連桿質(zhì)心的速度可以表示為

(17)

(18)

1.5 加速度分析

通過(guò)式(10)可得動(dòng)平臺(tái)加速度為

(19)

根據(jù)式(12)可得動(dòng)平臺(tái)上各端點(diǎn)處的加速度為

aHieHi+εLiδLiL+ωLi(ωLiδLi)L

(20)

aHi=HiA+VTJiV

(21)

其中

(22)

(23)

在式(20)兩端叉乘δLi，可得連桿角加速度為

(24)

(25)

(26)

對(duì)式(17)求導(dǎo)，連桿質(zhì)心加速度可以表示為

(27)

其中

(28)

(29)

2 摩擦模型

2.1 庫(kù)侖摩擦模型

庫(kù)侖摩擦力方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相反，其模型表達(dá)式為

f(v)=fcsgn(v)

(30)

其中

fc=μ|fn|

(31)

式中v——兩物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度

sgn(·)——符號(hào)函數(shù)(隨速度改變方向)

fc——庫(kù)侖摩擦力μ——庫(kù)侖摩擦因數(shù)

fn——兩物體之間的法向力

庫(kù)倫摩擦模型如圖5所示。

2.2 庫(kù)倫-粘性摩擦模型

粘性摩擦力大小與速度成正比，方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向相反，粘性摩擦模型表示為

f(v)=fvv

(32)

式中fv——粘性摩擦因數(shù)

為了更好地體現(xiàn)物體之間的摩擦力模型，常常將不同的摩擦力相互聯(lián)合表達(dá)，從而組成了庫(kù)倫-粘性摩擦模型，該模型可表示為

f(v)=fcsgn(v)+fvv

(33)

庫(kù)倫-粘性摩擦模型如圖6所示。

2.3 庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型

靜摩擦模型可以表示為

(34)

式中fe——物體所受的外界力

fs——物體所受的最大靜摩擦力

由于速度等于零時(shí)沒(méi)有相對(duì)滑移，因此靜摩擦力與速度沒(méi)有關(guān)系。為了描述物體整個(gè)過(guò)程所受的摩擦力，將靜摩擦力與庫(kù)倫-粘性摩擦模型相結(jié)合形成了庫(kù)倫-粘性-靜摩擦力模型，該模型可以表示為

(35)

庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型如圖7所示。

3 動(dòng)力學(xué)建模

運(yùn)用牛頓-歐拉法對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)模型。牛頓方程表示對(duì)部件建立力的平衡，歐拉方程表示對(duì)部件建立轉(zhuǎn)矩的平衡，分別對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各個(gè)部件建立牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)消除部件之間的內(nèi)力，對(duì)整體建立牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)整體動(dòng)力學(xué)模型得到整個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力以及機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)與外力之間的關(guān)系。

3.1 動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)受力如圖8所示，其中分別包括動(dòng)平臺(tái)重力mDg，3根連桿的約束力FNi(i=1,2,3)以及球面副所受的摩擦力矩MNi，另外設(shè)動(dòng)平臺(tái)所受外部的力為Fw和外力矩為Mw。

由圖8可得動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程為

(36)

O1IO2εO2+ωO2(O1IO2ωO2)

(37)

式中O1IO2——?jiǎng)悠脚_(tái)相對(duì)于定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣

IO2——?jiǎng)悠脚_(tái)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣

3.2 連桿動(dòng)力學(xué)模型

3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連桿受力如圖9所示，分別包括連桿重力mLig,動(dòng)平臺(tái)約束反力-FNi和摩擦力矩-MNi，以及轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)約束力FQi和摩擦力矩MQi。

由圖9可得連桿動(dòng)力學(xué)方程為

-FNi+mLig+FQi=mLiaLi

(38)

(39)

式中O1ILi——連桿相對(duì)于定坐標(biāo)系的慣量矩陣

ILi——連桿相對(duì)于支鏈坐標(biāo)系的慣量矩陣

O1RLi——支鏈到定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣

3.3 滑塊動(dòng)力學(xué)模型

3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)滑塊受力分析如圖10所示，其中受到自身重力mHg、連桿轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)約束反力-FQi和摩擦力矩-MQi、立柱對(duì)滑塊的作用力FHi以及滑塊受到的摩擦力Ffi。

由圖10可得滑塊動(dòng)力學(xué)方程為

FHi-FQi+mHg+Ffi=mHaHi

(40)

3.4 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

(41)

根據(jù)式(41)可得作用在滑塊上的驅(qū)動(dòng)力表達(dá)式為

(42)

將連桿的牛頓方程(38)代入式(42)可得

(43)

對(duì)連桿的歐拉方程(39)進(jìn)行推導(dǎo)可得

LδLiFNi=Ci

(44)

其中

(45)

式(44)兩邊同時(shí)叉乘eHi可以表示為

LeHi×δi×FNi=eHi×Ci

(46)

式(46)進(jìn)行變換可以表示為

(47)

式(43)進(jìn)行形式的變化可以表示為

(48)

聯(lián)立式(47)、(48)可以表示為

(49)

聯(lián)立與推導(dǎo)上述公式可得動(dòng)力學(xué)方程為

(50)

式中M(q)——慣量矩陣q——機(jī)構(gòu)位姿

Ff(q)——并聯(lián)機(jī)構(gòu)中3種不同關(guān)節(jié)的摩擦力

F——并聯(lián)機(jī)構(gòu)所受外力(負(fù)載等)

τ——并聯(lián)機(jī)構(gòu)中滑塊上的驅(qū)動(dòng)力

3.5 動(dòng)力學(xué)方程中的摩擦力

3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中關(guān)節(jié)處產(chǎn)生摩擦，設(shè)移動(dòng)副關(guān)節(jié)、轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)和球面副關(guān)節(jié)所受的摩擦模型分別為ff(v)、fN(v)和fQ(v)?；瑝K受到的摩擦力Ffi為摩擦模型ff(v)。設(shè)球面副與轉(zhuǎn)動(dòng)副中的摩擦力矩分別為MNi和MQi，表達(dá)式為

MNi=rNfN(v)

(51)

MQi=rQfQ(v)

(52)

式中rN——球面副半徑

rQ——轉(zhuǎn)動(dòng)副半徑

聯(lián)立式(38)、(39)計(jì)算可得FNi與FQi，將計(jì)算結(jié)果代入摩擦模型fN(v)和fQ(v)，最終得到的結(jié)果即為機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程中的Ff(q)。

4 實(shí)驗(yàn)

設(shè)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各個(gè)部件為質(zhì)地均勻的剛體，各部分參數(shù)如表1所示，將表中的各部分參數(shù)作為已知條件，采用基于ADAMS的GSTIFF數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算。

表1 3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

4.1 逆動(dòng)力學(xué)實(shí)例

4.1.1不同載荷對(duì)摩擦力、摩擦力矩的影響

(1)移動(dòng)副摩擦力

在立柱與滑塊之間為移動(dòng)副關(guān)節(jié)，因此兩實(shí)體之間產(chǎn)生摩擦力。在動(dòng)平臺(tái)中心施加負(fù)載30、40、50、60 kg，圖11為在驅(qū)動(dòng)力作用下移動(dòng)副與立柱之間所受庫(kù)倫摩擦力的變化曲線。

移動(dòng)副在z軸方向上移動(dòng)，因此只在一個(gè)方向上產(chǎn)生摩擦力。在動(dòng)平臺(tái)上分別施加不同的力，動(dòng)平臺(tái)與連桿之間的作用力增加，連桿對(duì)移動(dòng)副的作用力增加，因此移動(dòng)副與立柱之間在x軸與y軸方向上的正壓力增大。當(dāng)摩擦因數(shù)不變，正壓力增加，摩擦力逐漸增大，但是摩擦力變化的趨勢(shì)不變。理論分析與圖11中的變化相符，因此移動(dòng)副摩擦添加正確。

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)副摩擦力矩

由于滑塊與連桿為轉(zhuǎn)動(dòng)副約束，因此兩實(shí)體之間產(chǎn)生摩擦力矩。在動(dòng)平臺(tái)中心施加負(fù)載30、40、50、60 kg，圖12為連桿與滑塊之間所受庫(kù)倫摩擦力矩的變化曲線。

轉(zhuǎn)動(dòng)副繞著z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此只在一個(gè)方向上產(chǎn)生摩擦力矩。在動(dòng)平臺(tái)中間施加向下的作用力，動(dòng)平臺(tái)與連桿之間的作用力增大，因此連桿與滑塊之間的作用力增大。當(dāng)摩擦因數(shù)和摩擦半徑不變，正壓力變大，摩擦力矩逐漸增大。實(shí)體之間作用力的方向沒(méi)有改變，摩擦力的變化趨勢(shì)沒(méi)有改變。轉(zhuǎn)動(dòng)副的摩擦力矩理論分析與圖12中的變化相符，此處摩擦添加正確。

(3)球面副摩擦力矩

連桿與動(dòng)平臺(tái)之間為球面副的約束，兩實(shí)體之間產(chǎn)生摩擦力矩。在動(dòng)平臺(tái)中心施加負(fù)載30、40、50、60 kg，圖13為連桿與動(dòng)平臺(tái)之間所受庫(kù)倫摩擦力矩的變化曲線。

連桿與動(dòng)平臺(tái)之間的關(guān)節(jié)為球面副，球面副有3個(gè)方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此在x、y、z軸方向上都有對(duì)應(yīng)的摩擦力矩。在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心垂直向下的力作用下，動(dòng)平臺(tái)與連桿之間的作用力增大，導(dǎo)致正壓力變大，而摩擦因數(shù)和摩擦半徑不變，因此3個(gè)方向上的庫(kù)倫摩擦力矩都增大。由于實(shí)體之間的作用力方向沒(méi)有改變，因此摩擦力矩的變化趨勢(shì)沒(méi)有改變，只是大小發(fā)生了變化。3個(gè)方向上的摩擦力矩變化符合理論的分析，因此球面副的摩擦模型添加正確。

從圖11～13可知，關(guān)節(jié)間的摩擦力隨著負(fù)載的增加也在不斷地變大，表明摩擦力對(duì)驅(qū)動(dòng)力的施加以及機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡都有很大的影響。

4.1.2關(guān)節(jié)摩擦對(duì)驅(qū)動(dòng)力的影響

在機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心負(fù)載60 kg的情況下，利用牛頓-歐拉法得到的動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算3個(gè)滑塊的驅(qū)動(dòng)力τ1、τ2、τ3。首先計(jì)算3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)移動(dòng)副、轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副3個(gè)關(guān)節(jié)在沒(méi)有關(guān)節(jié)摩擦下驅(qū)動(dòng)力，再計(jì)算將所有的關(guān)節(jié)都施加庫(kù)侖-粘性-靜摩擦模型時(shí)驅(qū)動(dòng)力?；瑝K驅(qū)動(dòng)力及其誤差如圖14所示。

由圖14a、14c、14e可得，在加摩擦力與未加摩擦力兩種情況下驅(qū)動(dòng)力變化較大，說(shuō)明關(guān)節(jié)摩擦力對(duì)驅(qū)動(dòng)力具有較大的影響。在圖14b、14d、14f中，加摩擦力與未加摩擦力2種情況下相對(duì)比3個(gè)滑塊驅(qū)動(dòng)力的最大誤差分別為1.40%、1.51%、1.49%。

4.2 正動(dòng)力學(xué)實(shí)例

將逆動(dòng)力學(xué)得到的力作為驅(qū)動(dòng)，通過(guò)以下方式添加摩擦力：一類是關(guān)節(jié)采用庫(kù)侖-粘性摩擦模型，另一類是關(guān)節(jié)采用庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。各關(guān)節(jié)摩擦模型的具體施加方式分別為：模型1：所有的關(guān)節(jié)都為庫(kù)侖-粘性-靜摩擦模型。模型2：所有的關(guān)節(jié)都為庫(kù)倫-粘性摩擦模型。模型3：只有移動(dòng)副的關(guān)節(jié)為庫(kù)侖-粘性摩擦模型，其余為庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。模型4：只有轉(zhuǎn)動(dòng)副的關(guān)節(jié)為庫(kù)侖-粘性摩擦模型，其余為庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。模型5：只有球面副的關(guān)節(jié)為庫(kù)侖-粘性摩擦模型，其余為庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。

由圖15可知靜摩擦力的添加對(duì)末端的運(yùn)動(dòng)軌跡有明顯的影響。對(duì)于末端運(yùn)動(dòng)軌跡在x和y方向上的旋轉(zhuǎn)角α和β差異很小，對(duì)于z軸方向的位移有著較明顯的變化。當(dāng)關(guān)節(jié)全部為庫(kù)倫-粘性摩擦模型時(shí)對(duì)于末端的運(yùn)動(dòng)軌跡沒(méi)有明顯的變化，只有相對(duì)位置發(fā)生了一些變化。只在移動(dòng)副關(guān)節(jié)處施加庫(kù)倫-粘性摩擦模型與施加庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型相比，末端運(yùn)動(dòng)軌跡有較大的差異。只在轉(zhuǎn)動(dòng)副處施加庫(kù)倫-粘性摩擦模型與施加庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型相比，運(yùn)動(dòng)軌跡只有較小的變化。只在球面副處施加庫(kù)倫-粘性摩擦模型相比基本沒(méi)有變化。由此可見(jiàn)移動(dòng)副關(guān)節(jié)對(duì)摩擦力較為敏感，轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)次之，球面副最小。

以逆動(dòng)力學(xué)得到的力作為驅(qū)動(dòng)力，改變?cè)陉P(guān)節(jié)上添加摩擦模型的方式為：一類是關(guān)節(jié)采用庫(kù)侖摩擦模型，另一類是關(guān)節(jié)采用庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。各關(guān)節(jié)摩擦模型的具體施加方式分別為：模型1：所有的關(guān)節(jié)都為庫(kù)侖-粘性-靜摩擦模型。模型2：所有的關(guān)節(jié)都為庫(kù)倫摩擦模型。模型3：只有移動(dòng)副的關(guān)節(jié)為庫(kù)侖摩擦模型，其余為庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。模型4：只有轉(zhuǎn)動(dòng)副的關(guān)節(jié)為庫(kù)侖摩擦模型，其余為庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。模型5：只有球面副的關(guān)節(jié)為庫(kù)侖摩擦模型，其余為庫(kù)倫-粘性-靜摩擦模型。

從圖16可以看出，在旋轉(zhuǎn)以及移動(dòng)的3個(gè)方向上都有明顯的末端運(yùn)動(dòng)軌跡變化。關(guān)節(jié)全部為庫(kù)侖摩擦模型時(shí)，關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了較大的變化。當(dāng)只有移動(dòng)副的關(guān)節(jié)為庫(kù)侖摩擦模型時(shí)，機(jī)構(gòu)末端的運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生了極大的變化，移動(dòng)副對(duì)粘性摩擦的敏感程度極高。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副關(guān)節(jié)只有庫(kù)侖摩擦模型時(shí)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)軌跡變化相對(duì)較小，球面副關(guān)節(jié)處的末端變化次之。由此可見(jiàn)各個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)粘性摩擦都有一定程度的敏感，從高到低依次為：移動(dòng)副、轉(zhuǎn)動(dòng)副和球面副。

5 結(jié)論

(1)在規(guī)定末端運(yùn)動(dòng)軌跡的情況下，末端負(fù)載越大，關(guān)節(jié)間的摩擦越大，在施加摩擦力、不施加摩擦力兩種狀態(tài)下求解驅(qū)動(dòng)力，結(jié)果表明，摩擦力對(duì)驅(qū)動(dòng)力有較大的影響。

(2)在關(guān)節(jié)間施加不同摩擦模型的情況下，靜摩擦力對(duì)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)軌跡的影響較小，粘性摩擦對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡的影響較大。

(3)分析了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)施加不同摩擦模型對(duì)末端運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，結(jié)果表明，各關(guān)節(jié)對(duì)粘性摩擦的敏感程度從高到低依次為：移動(dòng)副、轉(zhuǎn)動(dòng)副、球面副。