火炮后效期火藥氣體流空過程的近似計算方法

繆偉，尹強，錢林方,2

(1.南京理工大學 機械工程學院, 江蘇 南京 210094; 2.西北機電工程研究所, 陜西 咸陽 712099)

0 引言

膛內后效時期是指彈丸離開炮口瞬間開始到膛內外流動平衡為止的這個過程[1]。準確計算火藥氣體的壓力及反作用力對包括預估火炮的后坐運動、確定安全的開閂時機、設計炮口裝置等火炮設計的多個階段都有重要意義[2]。

早期的后效期理論建立在準定常假設之上，包括Hugoniot理論[3]和斯魯霍斯基理論[4]。這些理論采用處理定常流的方法計算膛內氣體的空間分布，用平均參數(shù)計算氣流隨時間變化的規(guī)律，而平均處理的方法各有不同，這類理論稱為準定常理論。鄭建國[5]摒棄準定常假設，保留拉格朗日假設，推導了火炮后效期非定常理論計算公式，其理論可視為準定常理論的延續(xù)與發(fā)展。Corner[6]根據(jù)膛內氣流的控制方程，考慮膛內膨脹波的傳播過程，得出了膛內氣體的溫度、壓力和速度的分布，以及膛底壓力隨時間的變化規(guī)律。由于采用了密度隨空間線性變化等假設，Corner得到的結果只能近似地符合膛內氣流的分布。此外，Corner方法僅計算到膨脹波第1次抵達膛底前的過程。上述這些方法都是解析方法，它們能夠滿足工程設計的需求，但是所假設的氣流分布與數(shù)值解不能嚴格符合，因此仍存在一定的誤差。隨著計算機硬件和計算理論的發(fā)展，計算流體力學(CFD)方法在后效期計算中得到了廣泛應用[7-23]。CFD方法能夠得到流場的細節(jié)，給出詳細的數(shù)值結果，然而計算過程通常消耗大量計算資源。

綜上所述，后效期過程的關鍵問題之一是氣流的空間分布。本文根據(jù)相似性假設得出膛內氣流的相似分布及氣流參數(shù)隨時間的變化規(guī)律，據(jù)此得出后效期炮膛合力的計算公式，針對氣流分布向相似分布過渡的過程，給出修正方法。此外，本文根據(jù)炮膛合力公式推導了后效作用系數(shù)β的計算公式，并將計算公式結果與經(jīng)典理論計算結果、數(shù)值仿真結果進行對比，以驗證其有效性。

1 后效期膛內氣流的相似性解

文獻[10]中圖4數(shù)值仿真結果表明，后效期中后期膛內氣體的密度、速度和壓力的分布曲線形狀趨近于不變，據(jù)此假設膛內氣流控制方程存在這樣一個相似性解(相似性假設)，即氣流參數(shù)可分解為一個固定不變的空間分布函數(shù)與一個時變函數(shù)的乘積，稱此空間分布函數(shù)為后效期相似分布。

1.1 基本假設

在尋找相似性解之前，先給出以下有益的假設：

1)身管是一根等截面的細長圓柱形管道，其左端封閉，彈丸與氣體從右端噴出(見圖1)。真實火炮的內膛一般包括一段錐形的藥室，當藥室擴大系數(shù)較小時將身管簡化成等截面的圓管并不引入很大的誤差。

圖1 火炮發(fā)射過程示意圖

2)火藥在彈丸射出前即已完全燃燒，火藥燃氣是理想氣體，忽略余容的影響。

3)氣體微元各自經(jīng)歷等熵過程，即忽略摩擦等因素引起的熱量損失，并且膛內沒有出現(xiàn)激波。

4)膛內氣體的熵值處處相等，即膛內氣流是均熵流動。

5)炮口截面在整個后效期內(包括彈丸通過炮口的時刻)是臨界截面，其氣流的速度等于當?shù)匾羲佟?/p>

6)忽略身管的后坐運動。身管后坐的速度比炮口處的氣流速度小兩個數(shù)量級，因此身管的后坐運動對氣流分布的影響很小。

1.2 氣流的控制方程及其相似解

根據(jù)1.1節(jié)假設，膛內氣流是一維可壓縮無黏流體的非定常流動，其控制方程組為

(1)

(2)

(3)

式中：ρ、u、p分別為氣流密度、速度和壓力；k為氣體的絕熱指數(shù)；根據(jù)等熵假設及氣流的均熵性，K為一個不隨時間和空間變化的常數(shù)。記身管長度為L，引入無量綱坐標s=x/L，s∈[0,1]。根據(jù)相似性假設，在t時刻、s處的氣流密度、速度和壓力可以分別表示為

ρ(s,t)=ξρm,

(4)

u(s,t)=ηum,

(5)

p(s,t)=ζpm,

(6)

式中：ρm、um、pm依次是炮口截面的氣體密度、速度和壓力；ξ、η、ζ依次是密度、速度和壓力的空間分布函數(shù)。在不考慮身管后坐運動的假設下，膛底的氣流速度應為0 m/s，所以在s=0處，η=0，在s=1處，ξ,η,ζ=1.炮口截面是臨界截面，此處氣流參數(shù)應滿足臨界關系：

(7)

由氣流的均熵性可得

ζ=ξk.

(8)

(4)式～(8)式代入(1)式～(3)式并整理，得

(9)

(10)

(9)式、(10)式左端都是時間的函數(shù)而右端都是空間的函數(shù)，要使這兩個等式恒成立，則等式兩端應都是常數(shù)。令

(11)

(12)

式中：C1、C2是待定常數(shù)。(11)式和(12)式的左邊部分決定炮口氣流參數(shù)隨時間的變化規(guī)律，右邊部分則決定膛內氣流的空間分布。

1.3 炮口氣流參數(shù)

對(11)式和(12)式左邊的等式進行積分，得

ρm=ρm0(1+C2um0t)C1/C2,

(13)

um=um0(1+C2um0t)-1，

(14)

根據(jù)氣流的等熵關系，炮口的壓力為

pm=pm0(1+C2um0t)kC1/C2,

(15)

式中：ρm0、um0、pm0是ρm、um、pm在0 s時刻的值，一般后效期的0 s時刻取為彈底通過炮口截面的時刻。

膛內氣體的總質量為

(16)

(17)

整理后，有

(18)

(18)式與(11)式對比，可知

(19)

炮口氣流參數(shù)(13)式～(15)式代入臨界關系(7)式，得

(20)

考慮到臨界關系(7)式對包括t=0 s時刻在內的整個后效期都成立，對比(20)式兩端的指數(shù)，可得

(21)

于是

(22)

則炮口截面的氣流參數(shù)為

(23)

(24)

(25)

1.4 膛內氣流的分布

C1、C2代入(11)式、(12)式，得到描述分布函數(shù)形狀的積分微分方程組：

(26)

(27)

邊界條件為

(28)

這組積分微分方程及邊界條件構成了膛內氣流分布的邊值問題。方程組的解曲線ξ(s)、η(s)分別屬于兩個曲線族，曲線族的形狀因子只有絕熱指數(shù)k，因而Iξ是k的函數(shù)。從方程組(26)式和(27)式中解出導數(shù)項，有

(29)

(30)

當k=1時，方程組(29)式、(30)式存在以下滿足邊界條件的特解：

(31)

(32)

對應的積分為

(33)

當k≠1時，方程組沒有顯式解，因此尋求數(shù)值解。

在右邊界處，邊界條件ξ=η=1使得方程組的分母為0，因此分布函數(shù)在右邊界具有奇性。數(shù)值求解時采用變步長法從左邊界向右進行數(shù)值積分。由于右邊界處存在奇性，取積分步長充分小處作為近似的積分終點。在得到解之前ξ(0)和Iξ是未知的，所以積分過程需要以迭代的方式進行。數(shù)值求解的步驟如下：

圖2繪制了k=1.333時ξ和η的計算收斂過程，停止條件取|εm|≤1.0×10-12時僅需要進行6次積分即可收斂。

圖2 k=1.333時密度和速度分布函數(shù)的收斂過程

圖3 膛內氣流密度和速度的分布函數(shù)

ξ=exp(a1η4+a2η2+a3),

(34)

s=a4η5+a5η3+a6η,

(35)

式中：擬合系數(shù)a1～a6是i的函數(shù)，如表1所示。更進一步地，系數(shù)a1～a6對i的關系可以擬合成為

表1 分布函數(shù)的擬合系數(shù)a1～a6

(36)

式中：系數(shù)pj、qj、rj如表2所示。

表2 系數(shù)pj、qj、rj

由(30)式可得

(37)

擬合關系(35)式代入(37)式，有

Iξ=a6.

(38)

需要特別說明的是，相似性要求膛內氣流分布的形狀在后效期內保持不變。而實際上，在后效期開始的瞬間，膛內氣流服從內彈道末期的氣流分布。在后效期初期，氣流分布從內彈道末期的分布逐漸過渡到后效期相似分布，這一過程是由膛內臨近炮口截面處產生的原發(fā)膨脹在膛內傳播與反射實現(xiàn)的。因此不能直接用內彈道時期結束時的炮口參數(shù)作為炮口氣流參數(shù)(23)式～(25)式中的初值，而應該根據(jù)守恒律計算ρm0、um0和pm0.此外，內彈道時期的膛內氣流通常不能嚴格滿足均熵性，因此對K進行平均處理。本文采用基于密度的加權平均法，則K的平均值為

(39)

式中：mP為發(fā)射藥的裝藥量；ρ0和p0分別為內彈道時期結束時膛內的密度和壓力。于是炮口截面的氣流參數(shù)的初值為

(40)

(41)

(42)

至此便可以計算后效期內任意時刻和任意位置處膛內氣流的參數(shù)。

以上所述膛內氣流相似性解的計算步驟可歸納為一個流程框圖(見圖4)。本文提出的相似性解包括炮口氣流參數(shù)和氣流空間分布函數(shù)兩部分，其中炮口氣流參數(shù)隨時間變化的規(guī)律(23)式～(25)式具有解析的形式，空間分布函數(shù)(34)式、(35)式是數(shù)值解的擬合公式，因此本文提出的方法屬于半解析解法。

圖4 氣流參數(shù)計算流程圖

2 后效期炮膛合力與后效作用系數(shù)β

火炮氣體在后效期對炮身作用的沖量約占火炮后坐總動量的20%，因此，準確地計算后效期內炮膛合力的變化規(guī)律，對于火炮的受力和運動計算有著十分重要的意義[24]。

2.1 無炮口裝置時的炮膛合力

對于等截面的身管，其不裝炮口裝置時在后效期內所受的炮膛合力主要來自膛底的氣體壓力，身管內外表面及炮口端面所受的力很小。膛底的氣體作用力為

Fb=Ap|s=0=pmAζ|s=0=

(43)

式中：ζ0=ζ(0)。用擬合公式(34)式近似壓力的分布函數(shù)ξ，則ζ0=ξ(0)k=exp(ka3)。當k取1.333時，ζ0=1.755.

2.2 考慮膨脹波傳播的修正

由1.4節(jié)可知，后效期內膛內氣流從內彈道末期的分布向后效期相似分布的過渡是逐漸完成的。在此過程中，炮口產生的原發(fā)膨脹在膛底和炮口之間往復反射。數(shù)值仿真結果表明，在膨脹波第1次抵達膛底時，膛內氣流的分布已經(jīng)十分接近后效期相似分布，此后膨脹波的傳播不會對氣流分布產生很大的影響。因此本文將后效期分成兩個階段：第1階段，膛內氣流被膨脹波前分成兩部分，靠近炮口的部分經(jīng)歷了膨脹波的擾動，而靠近膛底的部分則沒有；第2階段，膛內氣流完全服從相似分布。

在第1階段，膨脹波前面的氣體未受擾動，因此它們的運動規(guī)律完全由初值決定，這部分氣體將延拓內彈道過程。對于一般的槍械和火炮，假設彈丸在穿過炮口后沿著一段虛擬的身管繼續(xù)內彈道運動，在后效期時間內其速度的增量很小。因此，為了簡化計算，認為彈丸在穿過炮口后以速度φv0勻速運動。v0是彈丸穿過炮口時的速度，φ是速度補償系數(shù)，其值略大于1.對于初速高的彈丸，φ應取得小一些，對于初速低的彈丸，φ應取得大一些。這是因為初速低的彈丸在上述假想的運動中獲得的速度增量相對更大。這里的初速高低指初速相對彈丸極限速度的大小。綜上所述，在膨脹波第1次抵達膛底前，炮膛合力是內彈道過程的延拓，在此之后炮膛合力服從(43)式。

在經(jīng)典內彈道理論中[25]，彈后空間中氣體的密度就是平均密度：

(44)

由等熵關系可以得到彈后氣流的平均壓力為

(45)

(46)

式中：φ1為次要功系數(shù)；mS為彈丸質量。由(44)式～(46)式，膨脹波第1次抵達膛底前的膛底氣體作用力為

(47)

為了保證膛底氣體作用力的連續(xù)性，膨脹波第1次抵達膛底的時刻tR由(48)式隱式地確定：

(48)

修正后的膛底氣體作用力公式為

(49)

2.3 無炮口裝置時的后效作用系數(shù)β

后效作用系數(shù)是反映火藥燃氣從膛口高速流出運動對炮身運動影響大小的系數(shù)，是火炮設計中的重要參數(shù)。它包括內彈道部分和后效期部分：

(50)

(51)

若依據(jù)修正的炮膛合力計算公式(49)式，因為后效期被分成兩個階段，則

(52)

2.4 帶炮口裝置時的炮膛合力

與無炮口裝置時相比，加裝炮口裝置后炮口流場被改變，氣流對后坐部分的作用力也隨之發(fā)生變化。為了保證彈丸安全地飛出，炮口裝置的截面總是比身管內膛的截面大，因此加裝炮口裝置后，炮口截面仍然是臨界截面。炮口之外的膨脹擾動不能穿過臨界截面?zhèn)鞑サ教艃龋耘诳谘b置不改變膛內氣流的流空過程，膛底的氣流作用力與無炮口裝置時的情形并無不同，因此后坐部分受力的改變完全來自炮口裝置。

無炮口裝置時炮膛合力[4]又可以寫為

(53)

(54)

若考慮2.2節(jié)的修正，則將Fb替換為Fb,m.

3 算例

本文以37 mm高射炮[10]和122 mm榴彈炮[16]為例驗證本文公式的有效性，這兩種火炮分別代表兩類火炮，以彈底氣流的當?shù)匾羲儆嬎悖?7 mm高射炮的彈丸初速是超音速的，而122 mm榴彈炮的彈丸初速是亞音速的。本文參照王楊等[10]的計算方法，用商用流體力學分析軟件Fluent的AUSM+格式計算后效期的炮膛流空過程，以數(shù)值仿真結果作為對比基準。計算域的構成如圖5所示。計算所用參數(shù)如表3所示，膛內氣流初始條件根據(jù)文獻[10,16]中的曲線圖擬合得到(見表4和表5)，膛外大氣環(huán)境的初始條件為海平面標準大氣。

圖5 計算域示意圖

表3 計算參數(shù)

表4 37 mm高射炮后效期膛內氣流初始條件

表5 122 mm榴彈炮后效期膛內氣流初始條件

在斯魯霍斯基及鄭建國的理論中，火藥氣體的密度在膛內是均勻分布，速度從膛底到炮口是線性分布。圖6中是用本文公式和CFD數(shù)值方法計算氣流分布的對比，其中數(shù)值仿真結果取37 mm高射炮在后效期15 ms時的氣流分布，此時膛內氣流已充分發(fā)展。由圖6中可以看出，本文公式求解的相似分布與數(shù)值求解的氣流分布最接近。

圖6 本文公式與數(shù)值方法計算氣流分布的對比

圖7繪制了炮膛內平均密度和平均壓力隨時間變化的曲線。由圖7可以看出，本文公式所計算的平均密度和平均壓力介于斯魯霍斯基公式與鄭建國公式[5]的結果之間，37 mm高射炮的結果在5 ms之后、122 mm榴彈炮的結果在整個后效期內與數(shù)值解符合得很好。圖8對比了37 mm高射炮的炮口壓力與數(shù)值解、實驗測量值[26]，三者在后效期內基本符合。上述對比結果表明本文的計算方法有效。

圖7 膛內平均密度和平均壓力隨時間的變化曲線

圖8 37 mm高射炮的炮口壓力

圖9繪制了用不同方法計算的后效期炮膛合力。由圖9可以看出，CFD方法得到的炮膛合力曲線明顯地分成兩段。(43)式計算的結果偏離第1段曲線，但是與第2段曲線很好地符合，反映出后效期過渡階段的存在。

圖9 后效期炮膛合力隨時間的變化

考慮膨脹波的傳播過程并對其進行修正后，由(49)式計算的后效期內炮膛合力與CFD仿真結果的對比如圖10所示。在計算時，對于37 mm高射炮和122 mm榴彈炮，本文將速度補償系數(shù)分別取為φ=1.05和φ=1.10.通過對比可得，修正后炮膛合力計算結果與數(shù)值解的符合程度得到提升。采用不同方法計算后效作用系數(shù)β，結果如表6所示。由表6中可以看出：斯魯霍斯基公式和鄭建國公式計算的后效作用系數(shù)均小于CFD結果；而修正前的(51)式過高地估計了后效期氣體沖量，其β值偏大，據(jù)此進行火炮設計則偏保守；修正后的本文公式計算β與數(shù)值仿真結果很接近，相對誤差為0.38%～1.80%.

圖10 修正后的后效期炮膛合力隨時間的變化

表6 不同方法計算的后效作用系數(shù)β

4 結論

本文根據(jù)后效期膛內氣流控制方程的一組相似性解提出了后效期炮膛合力與后效作用系數(shù)β的計算公式，并將計算結果與經(jīng)典公式及數(shù)值方法的結果進行對比。與經(jīng)典公式相比，本文公式有以下優(yōu)點：

1)本文提出的氣流相似分布與充分發(fā)展的膛內氣流分布更接近。

2)本文提出的炮膛合力計算公式能夠與后效期中后期的炮膛合力變化規(guī)律很好地符合。

3)考慮膨脹波的傳播，修正后的炮膛合力計算公式與后效期炮膛合力變化規(guī)律的符合程度得到提升。

4)修正后的本文公式計算的后效作用系數(shù)β與數(shù)值仿真結果很接近，相對誤差為0.38%～1.80%.