縝密思考，啟迪智慧，巧妙假設(shè)，破解難題

熊家昌

摘 要：小學數(shù)學題題型多，解題方法多而靈活，在避免盲目刷題的前提下，數(shù)學題是鍛煉學生思維的好素材。就解題方法而言，假設(shè)法是一種重要的方法。文章以幾道小學典型應(yīng)用題的求解來闡述假設(shè)法在小學數(shù)學問題求解中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學題;解題方法;假設(shè)法

中圖分類號：G623.5?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）11-0073-02

例題一：一件工程，甲單獨完成需要20天，乙單獨完成需要30天?，F(xiàn)在甲、乙兩人合作， 乙中途休息了若干天，到完成工程時用了16天，求乙中途休息了幾天？

簡析：本題進行合理化假設(shè)（可理解為“題述情況未發(fā)生”），即假設(shè)“中途無人休息”（ 因該假設(shè)總工作量大于1而似悖于常理但不影響問題的求解，這恰顯假設(shè)法的巧妙之處），則由假設(shè)情況下所完成的總工作量減單位“1”，再除以請假者的（工作）效率，即求出其中途休息天數(shù)。即本質(zhì)上，這一超單位1部分的工作量是由請假者不請假（則）本可完成的。

假設(shè)“中途無人休息”這是在求解工程類問題時?？捎玫囊粋€技巧。本題通過假設(shè)避免了設(shè)參數(shù)，求解過程更加明了。

例題二：學校食堂運回一批糧食，其中大米占糧食總質(zhì)量的? ? ，當吃了36千克大米后，剩下的大米占剩下的糧食總質(zhì)量的? ? 。運回的這批糧食共多少千克？

簡析：本題假設(shè)“等比例地吃”，由一定（量）的剩下的大米與（兩種吃法情況下）剩下的其他糧食的比不同來進行求解。類似問題中也可假設(shè)“不同比例” “不同量”為相同“值”來進行求解。本題求解過程靈活運用了比例的思想。

針對性練習題1：A與B兩種商品成本共200元，A商品按40%的利潤定價，B商品按30%的利潤定價，后來銷售時各打八五折，仍獲利28.65元，問：A與B兩種商品的成本各是多少？

提示：假設(shè)兩種商品均按40%的利潤定價，則可先算出A商品的成本;反之，假設(shè)均按照30%的利潤定價，則可先算出B的成本。對這類經(jīng)濟利潤問題利用假設(shè)法求解可簡化運算（避免了設(shè)參數(shù)）。

例題三：瓶中裝有濃度為14%的酒精溶液1000克，現(xiàn)在又分別倒入100克和200克的A、B兩種酒精溶液，瓶里的溶液濃度變成了12%。已知A種酒精溶液濃度是B種酒精溶液濃度的2倍，那么A種酒精溶液濃度是多少？

解：由于后來分別倒入的100克和200克的A、B兩種酒精溶液存在質(zhì)量和濃度方面的倍數(shù)關(guān)系，易求出它們的混合液的濃度，據(jù)此可假設(shè)一虛擬的中間（兌制）操作（過程）即將它們先混合，這樣本題的求解就變簡單了。即假設(shè)后來倒入的兩種酒精溶液不是直接倒入原1000克酒精溶液，而是這兩種溶液先混合，再倒入原1000克酒精溶液。這樣對這一中途混合得到的溶液和原1000克酒精溶液的濃度，運用十字相乘法即可快速求出答案。

在求解溶液相關(guān)問題的?？珊侠砑僭O(shè)一中間配制（兌制）操作，使問題明朗化，且?？蓮倪@一中間配制（兌制）操作得到的溶液順藤摸瓜，避免一葉障目。假設(shè)法往往巧在假設(shè)，準在推導(dǎo)，難在（解答時）準確、到位地表述。用十字相乘法解題是一種重要的方法。

針對性練習題：有酒精含量為50%的酒精溶液若干，加了一定量的水后稀釋成酒精含量為40%的溶液，如果再繼續(xù)稀釋到25%，那么還要加水的量是上次加水量的幾倍？

提示：本題基本解法是抓住溶質(zhì)不變這一特點（抓不變量是一種重要的解題思路。在小學數(shù)學解題中抓“變與不變”有時也是解題的關(guān)鍵），利用三種情況下的溶劑間的數(shù)量關(guān)系求解。但也可假設(shè)兩個參照的溶液兌制操作進行比對求解。第一個（操作）由含量為50%的酒精若干，加一定量的水稀釋成酒精含量為40%的溶液。第二個（操作）由含量為50%的酒精若干，加一定量的水稀釋成酒精含量為25%的溶液。對兩假想兌制操作而言，對濃度運用十字相乘法可知道50%的酒精和所加水之比分別是4：1和4：4，因此題述兌制過程中第二次加水量是第一次加水量的3倍。本題的求解關(guān)鍵在于（合理）假設(shè)了兩個相關(guān)參照的溶液兌制操作，這使求解更加清晰、快捷。

例題四：如下圖，甲、乙兩人分別在A和B兩地相向而行，于E處相遇后，甲繼續(xù)向B地行走，乙則休息了14分鐘，再繼續(xù)向A地行走，甲和乙到達B地和A地后立即折返，仍在E處相遇。已知甲每分鐘行60米，乙每分鐘行80米，求出A和B兩地相距多少米。

解：設(shè)A和B兩地間的距離為S。假設(shè)相遇后乙未休息（即題述情況未發(fā)生），則經(jīng)分析可知甲和乙下一次相遇將在EB之間距離E地不遠處的地方。而實際情況則是在E處相遇。對甲而言（兩種情況的不同之處在于）實際比假設(shè)情況多走了8分鐘（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ）才再次遇到乙，所以? ? ? =60×8， S=1680米。

簡析：本題的常規(guī)解法是對兩次相遇進行整體分析然后利用比例關(guān)系進行求解，計算過程稍難，數(shù)學處理略顯復(fù)雜。用假設(shè)法求解則計算簡單。用假設(shè)法解題，找出假設(shè)情況與實際情況不同的原因常是解題的關(guān)鍵。本題的差異之處在于第二次相遇點（位置）改變，原因則為由于乙的休息導(dǎo)致甲（實際比假設(shè)情況）多走了8分鐘。緊扣此（原因）題目即得解。在行程問題（尤其是兩個及以上運動對象背景題型）中，?？杉僭O(shè)未發(fā)生返回、（中途）停車等情況，推導(dǎo)假設(shè)情況導(dǎo)致的相關(guān)結(jié)果并與實際比較，分析差異原因，近而求解問題。

針對性練習題：甲乙兩地的公路長195千米，兩輛汽車同時從兩地出發(fā)，相向而行，甲車每小時行45千米，乙車每小時行30千米，中途乙車出現(xiàn)故障，修車用了一小時。兩車從出發(fā)到相遇經(jīng)過了幾小時？

提示：本題類似例題一的工程問題（其實本質(zhì)相同），同樣地假設(shè)乙車未出現(xiàn)故障，則相遇時兩車的路程之和為225（即195+30）千米，所以兩車從出發(fā)到相遇所用時間為225/（45+30）=3小時。對本題而言，合理假設(shè)乙車未因故障而耽擱并不影響兩車相遇時間（點）。其實本題也可理解為一個以行程問題為背景的工程問題。從本題可看出，小學工程類問題的內(nèi)容廣泛，也包括行程、水管注水等內(nèi)容。也再次說明小學數(shù)學題綜合性強，對鍛煉學生思維大有裨益。

例題五：一個圓柱體容器內(nèi)放有一個長方體鐵塊。現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌3分鐘的水，水恰好沒過長方體的頂面，再過18分鐘水灌滿容器。已知容器的高為50厘米，長方體的高為20厘米，求長方體的底面面積和容器面積之比。

解析：經(jīng)分析易知本題若設(shè)相關(guān)參量進行求解則推導(dǎo)過程略顯煩瑣，但結(jié)合等效的思想進行合理假設(shè)則經(jīng)推理可得解。具體來說，由水面恰好沒過長方體的頂面后再灌（水）18分鐘容器灌滿（即18分鐘灌圓柱體容器30厘米高的體積），可知若圓柱體容器內(nèi)沒長方體鐵塊則最初灌（水）的3分鐘可管灌圓柱體容器5厘米高的體積，但實際情況是這3分鐘灌了內(nèi)含鐵塊的圓柱體容器20厘米高（即鐵塊高度）的體積（產(chǎn)生差異與矛盾），所以（本質(zhì)上）實際圓柱體容器（20厘米高以下）的“有效底面積”僅為? ? （即? ? ?），因此長方體的底面面積和容器面積之比為3：4。

簡析：本題從題述圓柱體容器20厘米高度（線）上下灌水速度的差異入手，假設(shè)圓柱體容器全空來求解問題。誠然，本題也可以這樣的思路解：18分鐘灌圓柱體容器30厘米高的體積，則圓柱體容器20厘米及以下部分灌滿理論上需要12分鐘，而實際只用了3分鐘，所以這部分的“有效體積”只是? ? ，因此長方體的底面面積和容器面積之比為3：4。本題求解過程注重演繹推導(dǎo)，計算相對較少。在本題求解過程中，充分運用了“等效”思想，通過假設(shè)，進而推導(dǎo)，解題步驟較簡潔。

從以上幾題的求解可看出假設(shè)法的應(yīng)用場合較多，是一種較重要的小學數(shù)學解題方法。其使用比較靈活，常和其他方法（如十字相乘法、比例法）、思想（如等效思想、整體思想）配合使用，使用中根據(jù)題目特點巧妙大膽假設(shè)往往可以破解難題。其使用更多地依賴于學生思維的靈活性和日常練習積累。因而，在教學中，教師要多示范假設(shè)法的運用，引導(dǎo)學生體會假設(shè)法解題的思路和步驟。教師可拓展設(shè)置循序漸進的練習題，促進學生對方法的掌握。教師還要鼓勵學生將此方法用到更多的題型和知識模塊中去，提升學科素養(yǎng)。假設(shè)法也是求解初中物理電路故障分析和高中動力學問題的重要方法。它還是高中化學計算中常用的思維方法和解題中常用的技巧。因而，小學生學好假設(shè)法也可為初高中理科學習打下堅實的基礎(chǔ)。

總之，在避免盲目刷題的前提下，適度練習靈活運用各種解題方法求解小學數(shù)學題目（包括巧妙、靈活運用假設(shè)法解題）對鍛煉小學生數(shù)學思維大有裨益。教師可通過這些方法提高學生的學科素養(yǎng)和綜合能力。

[參考文獻]

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[2]王姜玲.妙用“假設(shè)法” 巧解數(shù)學題——用“假設(shè)法”解決小學中高年級數(shù)學實際問題的策略[J].小學教學研究，2019（27）.

作者簡介：熊家昌（1979— ），男，云南賓川人，講師，本科，研究方向：中學物理教學。