基于改進(jìn)貝葉斯非負(fù)Tikhonov正則化方法的同軸電纜信號傳輸畸變補償研究

秦 風(fēng) 高 原吳 雙

(中國工程物理研究院應(yīng)用電子學(xué)研究所 綿陽 621900)

(中國工程物理研究院復(fù)雜電磁環(huán)境科學(xué)與技術(shù)重點實驗室 綿陽 621900)

1 引言

在電磁環(huán)境測試技術(shù)領(lǐng)域，經(jīng)常采用十幾米甚至幾十米的同軸電纜傳輸測試信號，對于瞬時高頻或?qū)拵}沖信號，經(jīng)長距離同軸電纜傳輸時易出現(xiàn)畸變，且畸變程度隨著信號頻率、帶寬以及傳輸距離的增大而急劇增大[1–3]。此外，當(dāng)同軸電纜意外受到擠壓、拉伸或折疊時，其信號傳輸特性會發(fā)生改變，進(jìn)一步加劇信號的畸變程度，導(dǎo)致測試儀器記錄的測量信號嚴(yán)重偏離實際被測信號[4–7]。為此，需對測試儀器記錄的測量信號進(jìn)行畸變補償，以獲得準(zhǔn)確的被測信號，提高測試精度。

同軸電纜信號傳輸畸變補償?shù)谋举|(zhì)是通過測試儀器記錄的測量信號(即輸出信號)來完成實際被測信號(輸入信號)的重構(gòu)；目前，主要有3類方法：衰減補償法[8,9]、均衡網(wǎng)絡(luò)法[10,11]和反卷積法[12,13]。衰減補償法利用同軸電纜的衰減常數(shù)重構(gòu)輸入信號，方法簡單、應(yīng)用廣泛；該方法中通常假定衰減常數(shù)與頻率平方根成正比，這種近似精度有限。均衡網(wǎng)絡(luò)法根據(jù)同軸電纜的傳輸特性設(shè)計補償網(wǎng)絡(luò)，以均衡同軸電纜對不同頻率信號的衰減；而當(dāng)同軸電纜改變時，補償網(wǎng)絡(luò)需重新設(shè)計，重復(fù)使用性低。此外，對于高頻信號，補償網(wǎng)絡(luò)的分布參數(shù)會引入新的畸變因素，影響補償效果。反卷積法通過同軸電纜的脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸出信號的反卷積運算完成輸入信號的重構(gòu)，雖然計算模型能夠較好呈現(xiàn)電纜的實際工作狀態(tài)，但在計算過程中易出現(xiàn)病態(tài)矩陣，導(dǎo)致重構(gòu)出的輸入信號嚴(yán)重偏離實際信號。而在圖像重建[14]和沖擊力分析[15]領(lǐng)域，有一種應(yīng)用廣泛的逆問題分析方法——基于貝葉斯推理的非負(fù)Tikhonov正則化方法。該方法基于系統(tǒng)真實脈沖響應(yīng)，在貝葉斯推斷框架下進(jìn)行未知輸入信號的重構(gòu)，使得計算模型貼近系統(tǒng)實際工作狀態(tài)；并且，采用Tikhonov正則化方法處理不適定問題，能夠有效解決病態(tài)矩陣計算過程中的不穩(wěn)定問題[16,17]。該方法為同軸電纜信號補償提供了一種新的思路，然而該方法對未知輸入信號有非負(fù)限制，因而不能直接應(yīng)用于補償含有負(fù)分量的電磁信號。

因此，本文在貝葉斯推理的非負(fù)Tikhonov正則化方法的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的信號補償方法，本方法可完成任意值信號的分析重構(gòu)，從而可應(yīng)用于含有負(fù)值電磁脈沖信號的同軸電纜傳輸畸變補償。在此基礎(chǔ)上，以長度15 m的受擠壓同軸電纜為對象，采用此方法完成了對雙指數(shù)脈沖信號、調(diào)制方波信號、雙極脈沖信號等3種不同樣式脈沖信號的傳輸畸變補償。結(jié)果表明：本方法補償效果優(yōu)異，相比于傳統(tǒng)的衰減補償法，補償后信號與輸入信號間偏差大幅減小。并且，改進(jìn)的信號補償方法具有較好的魯棒性。

2 同軸電纜信號傳輸畸變補償方法

2.1 同軸電纜信號傳輸畸變問題

由于同軸電纜的損耗、色散特性，輸出信號往往會產(chǎn)生畸變，偏離于輸入信號；并且隨著信號頻率、頻帶寬度以及同軸電纜長度的增加，輸出信號會更加偏離輸入信號。根據(jù)同軸電纜黑箱模型可知，同軸電纜的輸出信號y(t)是輸入信號x(t)和電纜脈沖沖擊響應(yīng)h(t)的卷積，即

此處，xi為輸入信號離散點，yi為輸出信號離散點，hi為同軸電纜脈沖響應(yīng)離散點，N為信號離散點數(shù)，即采樣點數(shù)。從式(2)看，當(dāng)輸出信號y和脈沖響應(yīng)H已知時，通過矩陣直接求逆的方法得到輸入信號x似乎很容易。實際上，測量數(shù)據(jù)y通常是含有噪聲的，即y=H x+ω,ω為隨機噪聲，而矩陣H經(jīng)常是病態(tài)的，導(dǎo)致直接求逆的方法對噪聲很敏感，很小的噪聲ω也會導(dǎo)致解出現(xiàn)較大的振蕩，嚴(yán)重時會完全覆蓋真實信息。因此，很難通過直接求解式(2)逆問題的方式獲得準(zhǔn)確的輸入信號。

2.2 改進(jìn)的基于貝葉斯推理的非負(fù)Tikhonov正則化方法

針對式(2)所示的不適定逆問題，根據(jù)經(jīng)典Tikhonov正則化理論，其求解可轉(zhuǎn)換為含有正則化項的最優(yōu)問題

由式(6)可知，正則化參數(shù)δ的選取是求解x的關(guān)鍵，常用方法有廣義交叉驗證(Generalized Cross-Validation,GCV)法[18]、L曲線法[19]，但是在δ解值曲線過于平滑時，這些方法難以收斂。文獻(xiàn)[20]提出了一種基于貝葉斯推斷的非負(fù)正則化方法，該方法可自動選取正則化參數(shù)，同時給出逆問題的正則化解，并且求解過程的收斂性和解的唯一性得到了嚴(yán)格證明。但是該方法只適用于非負(fù)信號(即xi≥0)的重構(gòu)分析，難以用于含有負(fù)值電磁脈沖環(huán)境信號的重構(gòu)或畸變補償；為此，本文提出一種

其中，修正后的未知輸入信號n滿足ni≥0。

進(jìn)而可以采用基于貝葉斯推理的非負(fù)Tikhonov正則化方法來求解式(14)，得到未知輸入信號n的最優(yōu)估計值n?。根據(jù)文獻(xiàn)[20]提出的貝葉斯統(tǒng)計推斷方法，未知參數(shù)n的求解可轉(zhuǎn)換為以下最大后驗概率估計的最優(yōu)化問題

將式(16)—式(20)代入式(15)中，得到

從而將式(15)所示的最優(yōu)化問題等價于求解如式(22)泛函的極小值

式(22)即為帶非負(fù)限制的增廣Tikhonov正則化泛函，而求解該泛函的極小值，相當(dāng)于求解其各項偏導(dǎo)數(shù)為0，即?x即為基于改進(jìn)補償方法計算得到的輸入信號估計值(即補償信號)。

2.3 補償效果評價方法

本文采用補償信號或輸出信號與輸入信號之間的相對偏差RE來評價信號畸變補償方法的補償效果，具體計算方式為

3 實驗與討論

3.1 實驗設(shè)置

為驗證改進(jìn)補償方法的有效性和適用性，以受擠壓的15 m同軸電纜為對象(圖2)，開展同軸電纜傳輸畸變補償實驗。實驗設(shè)置如圖3所示，主要由任意波形發(fā)生器、功分器、0.5 m同軸電纜和受擠壓的15 m同軸電纜以及數(shù)字示波器組成。其中，通過受擠壓的15 m同軸電纜兩個端口的信號分別為輸入信號x(t)和輸出信號y(t)，輸入信號和輸出信號由數(shù)字示波器采集得到；且為了方便，采用長度0.5 m、損耗極低的穩(wěn)幅穩(wěn)相同軸電纜實現(xiàn)受擠壓的15 m同軸電纜輸入信號x(t)的采集。此外，由于同軸電纜的脈沖響應(yīng)難以直接測量；因此，在本文中，首先通過矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀測量同軸電纜的S21參數(shù)(見圖4(a))，其中：測量頻率范圍為10 kHz～5 GHz、頻率間隔為250 k Hz；然后進(jìn)行快速傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform,IFFT)，獲得脈沖沖擊響應(yīng)h(t)(圖4(b))。從圖4可以看出，受試同軸電纜的S21曲線抖動明顯，其原因是擠壓變形改變了同軸電纜的特性阻抗，從而造成了S21參數(shù)的顯著變化；并且，與正常同軸電纜的脈沖沖擊響應(yīng)相比，受試同軸電纜的脈沖沖擊響應(yīng)有明顯的毛刺和振蕩，這將會對傳輸信號造成更為嚴(yán)重的畸變。需要注意的是，在測量輸入輸出信號和S21參數(shù)過程中，數(shù)字示波器、矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀與同軸電纜之間始終保持阻抗匹配，以消除阻抗失配對實驗結(jié)果的影響。

圖1 改進(jìn)方法的算法流程

圖2 受擠壓的15 m被測同軸電纜

圖3 實驗測試設(shè)置示意圖

圖4 同軸電纜脈沖沖擊響應(yīng)計算

3.2 改進(jìn)補償方法對不同類型信號的補償

基于上述改進(jìn)后的非負(fù)Tikhonov正則化方法，首先對上升時間2.5 ns、脈沖半高寬23 ns的類核電磁脈沖雙指數(shù)脈沖信號(輸入信號)在15 m受擠壓同軸電纜中傳輸、畸變后的信號(輸出信號)進(jìn)行補償。同軸電纜的輸入信號、輸出信號以及采用改進(jìn)方法計算得到的補償信號如圖5所示，其中：采樣時間間隔為0.2 ns，補償過程中采用的超參數(shù)α1,α2,α3,β1,β2,β3和收斂判別參數(shù)ε分別設(shè)置為3,1,1,2×10–10,150,1×10–4和1×10–5，偏置信號d(t)采用數(shù)值為1的常量信號。15 m受擠壓同軸電纜對雙指數(shù)脈沖信號傳輸影響較大，從圖5可以明顯看出，輸出信號與輸入信號之間存在明顯差異，輸出信號與輸入信號之間的相對偏差達(dá)到16.5%；而采用改進(jìn)補償方法補償后的信號與輸入信號吻合較好、基本一致，補償信號與輸入信號間的相對偏差僅為1.5%(表1)；表明該改進(jìn)后的補償方法能夠很好地補償輸出信號。

圖5 雙指數(shù)脈沖信號在受擠壓15 m同軸電纜中的傳輸畸變補償

進(jìn)一步地，采用此改進(jìn)后的補償方法，分別對調(diào)制方波信號(類窄帶高功率微波信號、脈寬15 ns、中心頻率2 GHz、信號頻率范圍1940～2060 MHz)、雙極脈沖信號(類寬帶電磁脈沖信號、脈寬3 ns、信號頻率范圍33～705 MHz)經(jīng)15 m受擠壓同軸電纜傳輸后的輸出信號進(jìn)行補償計算，結(jié)果分別如圖6(a)、圖6(b)所示；補償過程中，調(diào)制方波信號、雙極脈沖信號的采樣時間間隔分別為0.025 ns,0.2 ns，所采用的超參數(shù)和收斂判別參數(shù)與上述雙指數(shù)脈沖信號相同，所采用的偏置信號分別設(shè)置為數(shù)值為2.0,2.0的常量信號。從圖6可以看出，對于頻率較高的調(diào)制方波信號、雙極脈沖信號，輸出信號與輸入信號之間也存在明顯的差異，其相對偏差分別為24.4%,25.3%(表1)，大于頻率較低的類核電磁脈沖雙指數(shù)脈沖信號，更是難以直接通過輸出信號準(zhǔn)確描述輸入信號。而采用改進(jìn)補償方法對輸出信號進(jìn)行補償，補償信號與輸入信號幾乎相同，相對偏差大幅減小(分別為2.4%,2.3%)，此實驗結(jié)果進(jìn)一步證實該改進(jìn)補償方法具有良好的適用性。然而，隨著信號頻率的增大，該改進(jìn)補償方法的補償精度還是有稍許的下降。

表1 輸出信號、采用改進(jìn)補償方法補償后信號與輸入信號間相對偏差(%)

圖6 改進(jìn)補償法對于不同類型信號的畸變補償

3.3 改進(jìn)補償方法與衰減補償法的補償結(jié)果對比

同樣地，以上述3種類型的信號作為同軸電纜的輸入信號，對改進(jìn)補償方法和常用的衰減補償法的補償效果進(jìn)行對比研究。同軸電纜的輸入信號、采用改進(jìn)補償方法與衰減補償法計算得到的補償后信號如圖7所示；從中可以看出，改進(jìn)補償方法補償后信號與輸入信號基本一致，衰減補償法雖然也能大幅減小輸出信號與輸入信號的差別，但相比于改進(jìn)補償方法，補償效果還是存在明顯差距。

圖7 改進(jìn)補償法與衰減補償法的補償效果對比

同時，針對3種不同類型的信號，還分別計算了衰減法補償信號與輸入信號、改進(jìn)方法補償信號與輸入信號之間的相對偏差，結(jié)果如表2所示。當(dāng)采用衰減補償法開展信號補償時，此3種不同類型信號的補償信號與輸入信號的相對偏差從9.0%～13.3%；相比之下，采用改進(jìn)補償法補償后信號與輸入信號的最大相對偏差不超過2.4%，遠(yuǎn)低于衰減補償法。實驗結(jié)果表明：相比于常用的衰減補償法，提出的改進(jìn)補償方法具有更好的補償效果。由于受試同軸電纜S21參數(shù)抖動明顯，補償過程中近似計算得到的衰減常數(shù)與實際衰減值偏差較大，進(jìn)而降低了衰減補償法補償信號的精度；而對于改進(jìn)補償方法，在補償過程中，未對受試同軸電纜的S21參數(shù)進(jìn)行近似處理，同時還考慮了測量數(shù)據(jù)(同軸電纜輸出信號)中的噪聲影響，并且整個計算過程在貝葉斯非負(fù)正則化處理下穩(wěn)定收斂，確保了信號畸變補償精度。

表2 不同補償方法補償后信號與輸入信號間相對偏差(%)

3.4 不同噪聲下補償結(jié)果對比

為了研究改進(jìn)補償方法的魯棒性，本文在3種不同輸出信號y(t)中添加高斯白噪聲(白噪聲根據(jù)給定的信噪比(Signal Noise Ratio,SNR)隨機生成)，并分別采用改進(jìn)補償方法和衰減補償法進(jìn)行信號畸變補償計算。不同信噪比情況下，兩種補償方法補償后信號與輸入信號之間的相對偏差計算結(jié)果分別如表3、表4所示?？梢钥闯?，由于改進(jìn)補償方法在補償過程中考慮了輸出信號的噪聲水平，因此在相同信噪比下，改進(jìn)補償方法的補償效果大幅優(yōu)于衰減補償法；并且在信噪比大于30 d B時，改進(jìn)補償方法可保持良好的穩(wěn)定性，表明其具有較強的魯棒性。當(dāng)信噪比小于30 d B時，由于輸出信號受噪聲影響較大，測量的信號質(zhì)量明顯下降，導(dǎo)致補償精度隨之降低。

表3 不同信噪比下改進(jìn)補償方法補償后信號與輸入信號間相對偏差(%)

表4 不同信噪比下衰減補償法補償后信號與輸入信號間相對偏差(%)

4 結(jié)束語

本文針對同軸電纜信號傳輸畸變問題，基于貝葉斯推理的非負(fù)Tikhonov正則化方法，提出一種改進(jìn)的同軸電纜信號傳輸畸變補償方法。并以受擠壓的15 m同軸電纜為對象，完成了3種不同類型信號的同軸電纜傳輸畸變補償實驗，并將改進(jìn)方法的補償結(jié)果與傳統(tǒng)衰減補償法的補償結(jié)果進(jìn)行了比對。結(jié)果表明，改進(jìn)補償方法具有優(yōu)異的補償效果、較強的魯棒性及良好的普適性。所提改進(jìn)補償方法僅需利用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，整個計算過程無特別限制，本方法可推廣應(yīng)用于其他系統(tǒng)(如天線、濾波器等)的信號傳輸畸變補償或輸入信號重構(gòu)。