區(qū)間Pythagorean模糊幾何加權(quán)Bonferroni平均算子及其應(yīng)用*

蔣瑩瑩,段鵬舉,趙麗莎

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,234000，安徽省宿州市)

0 引 言

1965年Zadeh[1]提出模糊集理論，用介于[0，1]的隸屬度刻畫信息的模糊程度，并研究了其在人工智能、運(yùn)籌管理等領(lǐng)域的應(yīng)用.1986年Atanassov[2]提出直覺(jué)模糊集，拓寬模糊信息形式.2014年Yager[3]指出雖然直覺(jué)模糊數(shù)的隸屬度與非隸屬度都介于[0，1]，但決策過(guò)程中部分模糊數(shù)據(jù)的隸屬度與非隸屬度的和可能大于1，為克服此情況提出了隸屬度與非隸屬度的平方和小于1的畢達(dá)哥斯模糊集(PFS).Zhang[4]提出了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集(IVPFS)，豐富了數(shù)據(jù)信息的模糊性和不確定性表達(dá)途徑.Yager[5]構(gòu)造了畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)平均算子及有序加權(quán)幾何算子并證其特性；李進(jìn)軍[6]等將冪加權(quán)平均/冪幾何/Heronian平均算子推廣到IVPFS.在實(shí)際決策過(guò)程中，考慮到變量間的交互關(guān)聯(lián)可能會(huì)影響評(píng)價(jià)的結(jié)果，Yager[7]等提出了Bonferroni 平均(BM)算子，該算子能反映變量間的關(guān)聯(lián)性，把多個(gè)變量集結(jié)成一個(gè)變量提升決策的準(zhǔn)確程度；于倩和周曉輝[8-9]等在猶豫模糊集李曉然[10]在猶豫模糊集下研究了最優(yōu)加權(quán)Bonferroni幾何平均算子；

張金波[11]在直覺(jué)模糊集下研究了可退化的加權(quán)Bonferroni幾何平均算子；Liang[12]和Peng[13]等把IVPFS與Bonferroni平均算子相結(jié)合進(jìn)行研究；并討論其特性.

借助Bonferroni平均算子能夠描述決策屬性間的相互關(guān)聯(lián)的優(yōu)勢(shì)，在該優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上增加屬性值的幾何特性來(lái)規(guī)避奇異值，使決策數(shù)據(jù)更加平穩(wěn).另外，考慮各屬性值的權(quán)重的影響，調(diào)整屬性權(quán)重構(gòu)造一種不同于最優(yōu)加權(quán)Bonferroni幾何平均算子和可退化的加權(quán)Bonferroni幾何平均算子的基于區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集的幾何加權(quán)Bonferroni平均算子，把幾何加權(quán)Bonferroni平均算子拓展到區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境，解決區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 (區(qū)間)畢達(dá)哥拉斯模糊集

定義4[4]設(shè)α=([μL,μU],[νL,νU])為IVPFN，其得分函數(shù)與精確函數(shù)分別為

由定義，以下給出IVPFN排序方法：

(1)若sα1

(2)若sα1>sα2，則α1?α2；

(3)若sα1=sα2，則

1)若hα1

2)若hα1>hα2，則α1?α2；

3)若hα1=hα2，則α1=α2.

1.2 幾何Bonferroni平均(GBM)算子

定義5[14]設(shè)p,q≥0，ai≥0(i=1,2,…,n)為實(shí)數(shù)集，若

GBp,q(a1,a2,…,an)

稱函數(shù)GBp,q為幾何Bonferroni平均(Geometric Bonferroni Mean，GBM)算子.

GBM算子滿足以下性質(zhì).

性質(zhì)1(冪等性) 設(shè)ai為非負(fù)實(shí)數(shù)集，如果有ai=a(i=1,2,…,n),則有GBp,q(a1,a2,…an)=a.

性質(zhì)2(有界性) 設(shè)ai為非負(fù)實(shí)數(shù)集，如果有a-=min(ai)，a+=max(ai),則有

a-≤GBp,q(a1,a2,…an)≤a+.

性質(zhì)4(單調(diào)性) 設(shè)ai(i=1,2,…,n)，bi(i=1,2,…,n)為非負(fù)實(shí)數(shù)集，如果存在?i，且ai≤bi，則有

GBp,q(a1,a2,…an)≤GBp,q(b1,b2,…bn).

2 IVPFGBM算子與IVPFGWBM算子

2.1 IVPFGBM算子

(α1,α2,…,αn)

繼而得

即([μL,μU],[νL,νU])是IVPFN.

(1)冪等性. 若αi=α(i=1,2,…,n)，則IVPFGBMp,q(α1,α2,…,αn)=IVPFGBMp,q(α,α,…,α)=α；

(2)置換不變性. 設(shè)(β1,β2,…,βn)是(α1,α2,…,αn)的任一置換，則

IVPFGBMp,q(α1,α2,…,αn)=IVPFGBMp,q(β1,β2,…,βn)；

IVPFGBMp,q(α1,α2,…,αn)≤IVPFGBMp,q(α1′,α2′,…,αn′).

證明(1)由αi=α(i=1,2,…,n)，有

(2)由(β1,β2,…,βn)是(α1,α2,…,αn)的置換，則有

(3)由

可證同理IVPFGBMp,q(α1,α2,…,αn)≤δ+，即得證.

(4)設(shè) IVPFGBMp,q(α1,α2,…,αn)=([μL,μU],[νL,νU]),

IVPFGBMp,q(α1,α2,…,αn)≤IVPFGBMp,q(α1′,α2′,…,αn′).

2.2 IVPFGWBM算子

證明類似定理1.

3 基于IVPFGWBM算子的多屬性決策方法

Step3 利用得分函數(shù)計(jì)算綜合評(píng)價(jià)值ηi的得分值sηi；進(jìn)行排序擇優(yōu).

4 案例分析

某旅游公司為顧客提供私人訂制游玩路線A={A1,A2,A3}，顧客的考慮因素有C={c1,c2,c3,c4}其中c1(安全程度)、c2(住行舒適度)、c3(成本費(fèi)用)、c4(景色吸引程度)，各指標(biāo)的權(quán)重向量為ω=(0.3，0.2，0.24，0.26)T.顧客給出各方案在區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集下4個(gè)屬性評(píng)價(jià)值構(gòu)成的決策矩陣E=(αij)3×4.

表1 決策矩陣

表2 規(guī)范決策矩陣

η1=([0.883 4,0.919 2],[0.462 2,0.554 9]),

η2=([0.911 2,0.947 6],[0.465 2,0.556 4]),

η3=([0.882 4,0.917 2],[0.329 7,0.441 7]).

Step3 利用定義4計(jì)算綜合評(píng)價(jià)值ηi的得分值sηi：

sη1=0.5519；sη2=0.6011；sη3=0.6580.

可得A3?A2?A1，即A3最優(yōu).

5 總 結(jié)

文中算法不僅側(cè)重各屬性因素對(duì)決策的影響，并且考慮了屬性間的關(guān)聯(lián)性、幾何特性及權(quán)重的刻畫，避免了在決策過(guò)程中屬性奇異值的影響優(yōu)化屬性值的有效性，拓寬決策領(lǐng)域把GBM算子融合到IVPFS中提出IVPFGBM算子與IVPFGWBM算子，證明其冪等性、置換不變性等性質(zhì)在IVPFS環(huán)境下依然成立；此外再構(gòu)建IVPFS基于IVPFGWBM算子的多屬性決策方法，在IVPFS數(shù)域內(nèi)提出了新算子及新的模糊決策方法.