變系數(shù)線性微分方程理論在年齡結(jié)構(gòu)種群模型平衡態(tài)求解中的應(yīng)用*

李盈科,張真真,張 瑜,李雙喜,李巖松

(①新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院,830052,新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市;②西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,730000,甘肅省蘭州市)

0 引 言

微分方程模型是表達(dá)自然規(guī)律的一種自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,是人們認(rèn)識(shí)宇宙間事物運(yùn)行規(guī)律的一種載體.一般情況下,這種運(yùn)行規(guī)律的某些特性可以描述為一個(gè)微分方程組的柯西問(wèn)題,這個(gè)柯西問(wèn)題的解的適定性,特別是其中的解的存在唯一性,平衡點(diǎn)(態(tài))的存在性以及其穩(wěn)定性問(wèn)題往往是研究的一個(gè)重要方面[1,2].Hisashi Inaba 在文獻(xiàn)[2] 中介紹了如下婚姻模型,其中x(t,a),y(t,a) 和p(t,a)分別表示單身女性、單身男性以及成對(duì)夫婦在t時(shí)刻、a年齡的年齡依賴的密度函數(shù).假設(shè)單身男、女的死亡率均為μ(a).夫婦的離婚率為σ(a), 結(jié)婚率為β(a).結(jié)婚函數(shù)為ρ(t,a)=Ψ(x(t,·),y(t,·))(a),盡管 Ψ(x,y) 并非關(guān)于x,y的線性函數(shù),一般情況下采取平均意義的結(jié)婚函數(shù)ρ(t,a)=Ψ(1,1)(a)x(t,a).模型具體形式以如下偏微分方程組給出

(1)

模型(1)的平衡態(tài)E*=(x*(a),y*(a),p*(a)) 滿足以下的初值問(wèn)題

(2)

此處ρ(a)=Ψ(1,1)(a)x(a).以下為了簡(jiǎn)潔,平衡態(tài)E*的坐標(biāo)仍以(x(a),y(a),p(a)) 給出.求模型(1)的平衡態(tài)轉(zhuǎn)化為求柯西問(wèn)題(2) 的解,本質(zhì)上為求解一個(gè)變系數(shù)的線性常微分方程組的柯西問(wèn)題.

許多經(jīng)典教材對(duì)于求解一般的常系數(shù)線性常微分方程組的柯西問(wèn)題都講得很透徹,但對(duì)變系數(shù)的線性常微分方程組的柯西問(wèn)題求解,盡管解的存在性理論已經(jīng)很完備,但由于實(shí)際問(wèn)題的多樣性,求解析解并非易事,也沒(méi)有統(tǒng)一方法,一般教材或文獻(xiàn)也少有介紹[3].對(duì)問(wèn)題(2),由基本理論[3],其理論解存在唯一.此外,本文應(yīng)用蔡介福等在文獻(xiàn)[4]中介紹的方法,以及應(yīng)用特殊轉(zhuǎn)化的方法來(lái)求模型 (2) 的解,展示了求解方法的多樣性.首先,給出一些預(yù)備知識(shí).

1 預(yù)備知識(shí)

(3)

或者寫(xiě)成

(4)

相對(duì)于系數(shù)矩陣A(x),構(gòu)造以下超越函數(shù)方陣

EL(A)=A0(x)+A1(x)+A2(x)+…+An(x)+…,

(5)

其中A0(x)=I(n階單位方陣),

以及

(6)

引理1[4]函數(shù)方陣無(wú)窮級(jí)數(shù)(5)和(6)式收斂、逐項(xiàng)可導(dǎo),而且分別滿足方程

引理3[4]方程組 (3) 的通解為

注1 借助于EL(A) 與ER(A) 求解方程組(3),它的初值問(wèn)題的解存在唯一,而且通解的結(jié)構(gòu)不變.

2 求解方程組

解法1 利用文獻(xiàn)[4]提出的解法,我們給出問(wèn)題(2)的一般解法.為此,在方程組(2)中,記系數(shù)矩陣為

(7)

其中

a11(a)=Ψ(1,1)(a)+μ(a),a13(a)=-[σ(a)+μ(a)],

a21(a)=Ψ(1,1)(a),a22(a)=μ(a),a23(a)=-[σ(a)+μ(a)],

a31(a)=-Ψ(1,1)(a),a33(a)=σ(a)+2μ(a).

由(5)式,

其中

以此類推,

那么,按照(5)式,

EL(A)=A0(a)+A1(a)+A2(a)+…+An(a)+…=

I+A1(a)+A2(a)+…+An(a)+…=

(8)

其中

③ 石毓智,李訥.漢語(yǔ)語(yǔ)法化的歷程——形態(tài)句法發(fā)展的動(dòng)因和機(jī)制[M].北京大學(xué)出版社，2001.第2-3頁(yè).

令

由引理3,設(shè)Y(a)=ER(-A)C是(2)中齊次方程組的通解. 由文獻(xiàn)[4]定理三,

EL(A)|a=0=ER(-A)|a=0=I,

那么Y(0)=Y(a)|a=0=ER(-A)|a=0C=IC,從而得到C=Y(0).因此,(2)式的解為

Y(a)=ER(-A)Y(0).

(9)

注2 借助于文獻(xiàn)[4]中給出的理論求出了變系數(shù)線性方程組 (2) 的形式解.

解法2 下面給出另外一種解法.假設(shè)方程 (2) 的平衡點(diǎn)E*(x(a),y(a),p(a)) 中x(a) 已知,由ρ(a)=Ψ(1,1)(a)x(a) 及(2)中第3個(gè)方程得

再由初始條件p0(0)=0以及一階線性微分方程的常數(shù)變易公式可得

(10)

將其帶入方程組(2) 中的第1個(gè)方程得

(11)

將 (10)式代入 (11)式整理得

(12)

這里

(13)

因此,由(12),(13)和(10),方程(2)的平衡點(diǎn)E*(x(a),y(a),p(a)) 存在.

注3 無(wú)論是變系數(shù)線性,還是常系數(shù)的線性常微分方程組的解,經(jīng)典的方法是通過(guò)求基本解組而得到通解.對(duì)于常系數(shù)的線性常微分方程組,基本解組容易得到,但對(duì)于變系數(shù)線性線性常微分方程組來(lái)說(shuō),求解基本解組,至今尚無(wú)統(tǒng)一方法.利用積分方程理論和線性常微分方程組的常數(shù)變易法,給出了(2) 的形式解析解.

3 結(jié)論與數(shù)值模擬

利用文獻(xiàn)[4]中給出的求解變系數(shù)線性常微分方程的方法,求解了一類年齡結(jié)構(gòu)偏微分方程組的平衡態(tài).同時(shí),文中也給出了其他解法.下面給出一組數(shù)值模擬,在 (2) (或 (7) )中選取隨年齡a變化的函數(shù)死亡率μ(a),離婚率σ(a)和結(jié)婚率Ψ(1,1)(a) 為以下形式

它們的函數(shù)圖像見(jiàn)圖 1，解的圖像見(jiàn)圖2.

圖1 死亡率μ(a),離婚率σ(a)和結(jié)婚率Ψ(1,1)(a)隨年齡a變化的函數(shù)圖像