一次函數(shù)與線段和的最小值

于秀坤

求解一次函數(shù)相關(guān)的線段和最小值問題時(shí)，同學(xué)們需要將軸對(duì)稱、點(diǎn)的坐標(biāo)與一次函數(shù)結(jié)合起來思考. 下面舉例說明.

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是正比例函數(shù)y = x圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），當(dāng)PB + PA取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .

解析：利用三角形的三邊關(guān)系可知PA + PB ≥ AB，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA + PB取最小值，此時(shí)PA + PB = AB，

由點(diǎn)A（0，1）、B（4，1）可知直線AB的解析式為y = 1，

再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，

即可求出當(dāng)PB + PA取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）. 故應(yīng)填（1，1）.

例2 如圖2，直線y = [12]x + 2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C，D分別為線段AB，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC + PD取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______.

解析：根據(jù)題意可求得A（- 4，0），B（0，2），C（- 2，1），D（0，1），如圖2，作點(diǎn)D（0，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（0， - 1），連接CE交x軸于點(diǎn)P，則此時(shí)PC + PD取最小值.

設(shè)直線CE的解析式為y = kx + b（k ≠ 0），

將C（- 2，1）、E（0， - 1）代入解析式可得[-2k+b=1，b=-1，]得[k=-1，b=-1，]

∴直線CE的解析式為y = - x - 1.

當(dāng)y = 0時(shí)， - x - 1 = 0，解得x = - 1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（- 1，0）. 故應(yīng)填（-1，0）.

例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（3，6），B（- 2，2），在x軸上取兩點(diǎn)C，D（C在D左側(cè)），且始終保持CD = 1，線段CD在x軸上平移，當(dāng)AD + BC的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .

解析：把A（3，6）向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得A′（2，6），

作點(diǎn)B（- 2，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（- 2， - 2），連接B′A′交x軸于C，

設(shè)直線B′A′的解析式為y = kx + b，則[-2k+b=-2，2k+b=6，]解得[k=2，b=2，]

∴y = 2x + 2，∴C（ - 1，0）.

∵CD = 1，D（0，0），此時(shí)AD + BC取最小值.

故應(yīng)填（ - 1，0）.

（作者單位：山東棗莊第28中學(xué)）