電機(jī)模型的對稱美學(xué)解讀

付興賀， 顧勝東

(東南大學(xué) 電氣工程學(xué)院，江蘇 南京210096)

0 引言

“電機(jī)學(xué)”課程是電氣工程及其自動化專業(yè)的基礎(chǔ)課，是后續(xù)“電機(jī)設(shè)計(jì)”、“微特電機(jī)”、“電力傳動技術(shù)”等課程的先修基礎(chǔ)，因此“電機(jī)學(xué)”課程的教與學(xué)至關(guān)重要。“電機(jī)學(xué)”課程的教學(xué)內(nèi)容涉及多學(xué)科知識(電學(xué)、磁學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)等)，具有概念抽象、理論復(fù)雜、知識密集等特點(diǎn)，教與學(xué)的難度較大[1]。尤其是學(xué)生缺乏對發(fā)電機(jī)、變壓器和電動機(jī)等實(shí)體電工裝備的了解和認(rèn)識，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)該課程時(shí)無法構(gòu)成形象思維，對知識要點(diǎn)僅停留在表層認(rèn)識，無法深刻理解。長此以往，學(xué)生對“電機(jī)學(xué)”課程形成了恐懼感和陌生感，“電機(jī)學(xué)”課程也成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的“攔路虎”和“絆腳石”[2]。

“電機(jī)學(xué)”課程要求學(xué)生掌握變壓器、直流電機(jī)、異步電機(jī)及同步電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)、工作原理和輸出特性等內(nèi)容[3,4]。在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握電機(jī)的電路模型、磁路模型、數(shù)學(xué)模型以及電機(jī)的分析方法。不同的電機(jī)模型，簡化條件不同、關(guān)注重點(diǎn)不同、表達(dá)形式不同。而且，模型建立的過程依賴嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和理論分析，需要學(xué)生在基礎(chǔ)理論、高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和圖形演繹等方面具有較好掌握，因此電機(jī)模型的學(xué)習(xí)和理解難度較大。另外，對于較為抽象的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生無法將其與電機(jī)實(shí)物聯(lián)系起來，常有“霧里看花”的感覺，進(jìn)一步加劇了學(xué)習(xí)困惑，影響整個(gè)課程的掌握[5]。如何讓學(xué)生親近并掌握原本復(fù)雜深?yuàn)W的電機(jī)模型，成為“電機(jī)學(xué)”課程課堂教學(xué)的關(guān)鍵和難點(diǎn)。

對稱性是指整體或各部分之間的符合或?qū)?yīng)，如空間上的布局和諧，時(shí)間上的節(jié)律協(xié)調(diào)。對稱是一種美學(xué)特征，對稱帶來“穩(wěn)定”、“均衡”和“有序”的感受。在中國傳統(tǒng)文化中，對稱美學(xué)受到廣泛喜愛，建筑、藝術(shù)，乃至文學(xué)創(chuàng)作、科學(xué)理論研究無不注重對稱美學(xué)。部分學(xué)者探討了建筑和藝術(shù)中的對稱美學(xué)的含義及其表現(xiàn)[6,7]，也有學(xué)者分析了電磁學(xué)中麥克斯韋方程組的美學(xué)特征[8]，上述工作有助于對相關(guān)學(xué)科、具體事物及科學(xué)原理的學(xué)習(xí)和理解。但是，就電機(jī)學(xué)領(lǐng)域而言，很少有學(xué)者站在對稱美學(xué)視角審視電機(jī)這一古老學(xué)科及其內(nèi)涵。

本文從各種電機(jī)模型出發(fā)，由淺入深、循序漸進(jìn)地闡述模型特點(diǎn)，表征模型的物理意義。再從對稱美學(xué)視角出發(fā)，尋找電機(jī)模型內(nèi)在的對稱美學(xué)特征，從微觀和宏觀兩方面探討其中的美學(xué)元素和美學(xué)魅力。將相關(guān)思想應(yīng)用到教學(xué)過程中，原本復(fù)雜深?yuàn)W的電機(jī)模型被賦予了感性認(rèn)知，在工科嚴(yán)謹(jǐn)理性的思考之余，學(xué)生將受到人文美學(xué)的熏陶和培養(yǎng)，進(jìn)而提升“電機(jī)學(xué)”課程的教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量。

1 物理模型的對稱美

在科學(xué)美學(xué)史上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早提出“對稱性”的審美觀念。該學(xué)派認(rèn)為：“圓形最美，圓形具有圓周與中心的絕對對稱與和諧，整體與部分之間的關(guān)系協(xié)調(diào)一致”。亞里士多德曾指出：“美的主要形式為和諧、秩序與勻稱”。這樣的對稱美思想一直影響至今，也促使電氣工程專業(yè)的學(xué)者對本學(xué)科展開思考，讓我們把視線凝聚在直流電機(jī)的物理模型上。

圖1是典型的直流電機(jī)的簡化物理模型，中間是一個(gè)圓形對稱的轉(zhuǎn)子，兩側(cè)是電勵(lì)磁或永磁體產(chǎn)生的NS磁極。當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，在電刷和換向片的作用下，電樞磁場不隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動而變化，始終保持在垂直方向。在勵(lì)磁電流或永磁體的作用下，定子磁場始終保持水平方向。在直流電機(jī)中，勵(lì)磁磁場和電樞磁場都是恒定磁場，方向不變，兩個(gè)磁場相互正交，產(chǎn)生最大電磁轉(zhuǎn)矩。

圖1 直流電機(jī)的簡化物理模型

圖1所示的直流電機(jī)模型，兼具了物理描述的準(zhǔn)確性和美學(xué)視角的對稱性：轉(zhuǎn)子具有圓形的對稱與和諧，定子磁極關(guān)于水平中軸線對稱，兩個(gè)完全正交的磁場則體現(xiàn)了秩序和穩(wěn)定。同時(shí)，模型也沒有顯得重復(fù)和冗余，沒有將定子與轉(zhuǎn)子都描摹成圓形，而是一個(gè)中心對稱圖形，一個(gè)為軸對稱圖形。在審美上表現(xiàn)出層次感，使人感覺錯(cuò)落有致。

2 微分方程的對稱美

中國古典詩詞歌賦將對稱美發(fā)揮得淋漓盡致，人們通俗地稱之為對仗，對仗又分為工對和寬對?！鞍兹找郎奖M，黃河入海流”是典型的工對，它從詞性、詞類到平仄句型，都整齊地一一對應(yīng)，體現(xiàn)了工整嚴(yán)格的對稱美?！斑b憐小兒女，未解憶長安”是一種寬對，寬對對形式的要求相對寬松，只要形式相近、意義相關(guān)、形成整體即可，體現(xiàn)出一種“貌離神合”的對稱美，以避免“以詞害意、因韻害言”。用工對和寬對的思想去觀察電機(jī)的微分方程，會有新的發(fā)現(xiàn)。

圖2是他勵(lì)直流電機(jī)的等效電路，vf是勵(lì)磁電壓，if是勵(lì)磁電流，Rf和Lf分別是勵(lì)磁回路的電阻和電感，va是電樞電壓，ia是電樞電流，Ra和La分別是電樞回路的電阻和電感，ea是電樞回路的反電勢。

圖2 他勵(lì)直流電機(jī)的等效電路

直流電機(jī)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型可由式(1)描述，Te是電磁轉(zhuǎn)矩，TL是負(fù)載轉(zhuǎn)矩，B是粘性摩擦系數(shù)，ωm是電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度,J是轉(zhuǎn)動慣量。

(1)

等式(1)包括勵(lì)磁回路電壓方程、電樞回路電壓方程和轉(zhuǎn)矩方程。兩個(gè)電壓方程在形式上沒有嚴(yán)格對稱，但它們內(nèi)在的物理意義卻是一致的，都是一個(gè)RL電路的描述方程。就像古詩詞中“寬對”的概念，這兩個(gè)方程看起來有所區(qū)別，但本質(zhì)上依然是對稱的。

電樞回路電壓方程和轉(zhuǎn)矩方程描述了電氣子系統(tǒng)和機(jī)械子系統(tǒng)通過磁場相互作用產(chǎn)生機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的過程。忽略兩個(gè)方程中各變量的物理意義，僅從數(shù)學(xué)表達(dá)形式上看，兩個(gè)方程具有驚人的相似性和對稱性。方程右邊都由三個(gè)部分組成：常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)和一階微分項(xiàng)。在電路子系統(tǒng)中分別對應(yīng)反電勢、電阻壓降和電感壓降，在機(jī)械子系統(tǒng)中分別對應(yīng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩、阻尼轉(zhuǎn)矩和變速轉(zhuǎn)矩。由此可以看出，機(jī)電系統(tǒng)在本質(zhì)上是統(tǒng)一與對稱的，這種觀點(diǎn)對電機(jī)的學(xué)習(xí)和研究以及設(shè)計(jì)、控制和制造具有廣泛的指導(dǎo)意義，便于學(xué)生、教師和工程技術(shù)人員加深對電機(jī)的理解和認(rèn)識。

3 結(jié)構(gòu)框圖的對稱美

圖3是以電樞電壓作為輸入量，轉(zhuǎn)子角速度作為輸出量，負(fù)載轉(zhuǎn)矩作為擾動量的直流電機(jī)結(jié)構(gòu)框圖。該結(jié)構(gòu)框圖分為四個(gè)部分：電、機(jī)、電-機(jī)以及機(jī)-電。四部分分別表示電能傳輸回路，機(jī)械能傳輸回路、電能向機(jī)械能的轉(zhuǎn)換以及機(jī)械能向電能的轉(zhuǎn)換。對于圖3，從上向下看，前三部分體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)框圖的前向通道(這里稱之為上層)，后一部分體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)框圖的反饋通道(這里稱之為下層)。另外，從左向右來看，電-機(jī)和機(jī)-電兩部分居中，電能傳輸回路和機(jī)械能傳輸回路分居左右。以中軸線為界，電能傳遞在左，機(jī)械能傳遞在右。電能傳遞環(huán)節(jié)對應(yīng)一階慣性函數(shù)，機(jī)械能傳遞環(huán)節(jié)也對應(yīng)一階慣性特性，而中間電-機(jī)和機(jī)-電兩個(gè)環(huán)節(jié)均為比例特性，且比例系數(shù)相同。由此可見，與物理模型和等效電路模型不同，結(jié)構(gòu)框圖直觀明了地揭示了電機(jī)內(nèi)部電能向機(jī)械能轉(zhuǎn)換的過程，同時(shí)反映出“電”和“機(jī)”這一對物理量“你中有我、我中有你”的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

圖3 電機(jī)結(jié)構(gòu)方框圖

圖3描述的結(jié)構(gòu)框圖不僅具有左右對稱特點(diǎn)，還具有上下對稱特性，既顯現(xiàn)出整體對稱性，又體現(xiàn)了局部相似性，完美地詮釋了電機(jī)模型的藝術(shù)美學(xué)特征。同時(shí)，若電機(jī)工作在發(fā)電機(jī)狀態(tài)，上述模型的輸入和輸出正好顛倒，同樣具有對稱美特征。在“電機(jī)學(xué)”的學(xué)習(xí)過程中，如果能夠很好地體會其中的對稱美學(xué)，站在科學(xué)藝術(shù)的視角欣賞電機(jī)，那么無論對于教學(xué)還是科研均會起到事半功倍的效果。

4 dq軸等效電路的對稱美

上世紀(jì)20年代末，R.H.Park提出了用于同步電機(jī)分析的雙反應(yīng)理論，此后在Park變換思想的基礎(chǔ)上，后人提出了稱之為統(tǒng)一電機(jī)理論的分析方法[9～11]。這種統(tǒng)一理論利用坐標(biāo)變換(dq變換)方法將電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子的變量變換到一個(gè)以同步角速度旋轉(zhuǎn)的參考坐標(biāo)系上，從而消除了電機(jī)模型中的時(shí)變電感參數(shù)，最終簡化了電機(jī)模型及其性能分析，達(dá)到系統(tǒng)降階、解耦的目的。

以感應(yīng)電機(jī)為對象，經(jīng)過dq變換后，dq坐標(biāo)系下的電機(jī)模型可由圖4表示。其中，usd、usq、urd以及urq分別為定子側(cè)和轉(zhuǎn)子側(cè)的dq軸電壓，isd、isq、ird以及irq分別為是定子側(cè)和轉(zhuǎn)子側(cè)的dq軸電流，Lsd、Lsq、Lrd、Lrq以及Lm分別為定子側(cè)和轉(zhuǎn)子側(cè)的dq軸電感，以及定子或轉(zhuǎn)子同一側(cè)dq軸的互感，Rs和Rr分別為定子側(cè)和轉(zhuǎn)子側(cè)的繞組電阻，λsd、λsq、λrd以及λrq分別為定子側(cè)和轉(zhuǎn)子側(cè)的dq軸磁鏈，ω是同步角速度，p是微分算子。

圖4 異步電機(jī)的dq軸等效電路

根據(jù)圖4從宏觀上可以看出，異步電機(jī)的dq軸等效電路包括上面的d軸電路和下面的q軸電路，d軸和q軸電路對稱。同時(shí)，在d軸或q軸電路中，包括定子側(cè)d軸(或q軸)回路和轉(zhuǎn)子側(cè)d軸(或q軸)回路，構(gòu)成了左右對稱。在微觀層面，無論是d軸還是q軸電路，無論是定子側(cè)還是轉(zhuǎn)子側(cè)，構(gòu)成電路的元件(電阻、自感、互感以及耦合電勢)也體現(xiàn)了完美的對稱性和對稱美學(xué)。只要理解了其中一部分，與之對稱的另一部分也能夠迅速領(lǐng)悟。從對稱性視角學(xué)習(xí)dq軸等效電路容易、高效，且印象深刻。

5 結(jié)語

上面討論了電機(jī)模型中的部分對稱美學(xué)特征，實(shí)際上對稱美不僅體現(xiàn)在以上幾個(gè)方面， “電機(jī)學(xué)”課程中處處洋溢著美的感覺。發(fā)電機(jī)和電動機(jī)體現(xiàn)著電機(jī)工作的可逆原理，是一種應(yīng)用模式的對稱；描述電機(jī)數(shù)學(xué)模型的ABC坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸空間相差120度角度，αβ坐標(biāo)系和dq坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸相差90度角度，這些關(guān)系無不折射出數(shù)學(xué)關(guān)系的對稱美；從三相靜止坐標(biāo)系到兩相靜止坐標(biāo)系及從兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣，均反映了幾何空間的對稱關(guān)系。

如何才能讓學(xué)生認(rèn)識到電機(jī)中的對稱美，并靈活運(yùn)用對稱美學(xué)特征解決問題成為教育教學(xué)的關(guān)鍵。對稱美是需要挖掘和發(fā)現(xiàn)的，尋求對稱美的教學(xué)活動勢必是一個(gè)漸進(jìn)的、靈活的教學(xué)過程，也是一個(gè)長期的、連續(xù)性的浸潤式培養(yǎng)過程。在日常教學(xué)活動中，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生的人文素養(yǎng)熏陶，引導(dǎo)學(xué)生從感知對稱美、發(fā)現(xiàn)對稱美，到欣賞對稱美、創(chuàng)造對稱美，帶著一雙慧眼識別電機(jī)課程中的對稱美，“電機(jī)學(xué)”的學(xué)習(xí)過程勢必成為一種樂趣與探索并存的快樂之旅。