非圓齒輪數(shù)控滾齒加工誤差PID控制仿真研究

胡閃閃 夏 鏈

（合肥工業(yè)大學(xué)，合肥 230009）

滾齒作為一種常見(jiàn)且高效的加工方式，可以加工常規(guī)齒輪和非圓齒輪[1-2]。但是，受導(dǎo)軌直線度誤差、滾珠絲杠反向間隙、刀具磨損、刀具受熱受力變形以及系統(tǒng)控制誤差等多種因素影響，齒輪輪廓容易產(chǎn)生誤差[3-7]。近年來(lái)，非圓齒輪以自身諸多的優(yōu)點(diǎn)[8]獲得了進(jìn)一步發(fā)展，但存在加工精度不高的問(wèn)題。非圓齒輪數(shù)控滾切加工是由多個(gè)運(yùn)動(dòng)軸聯(lián)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的。由于非圓齒輪節(jié)曲線是非圓形，導(dǎo)致各軸頻繁加減速，易引起機(jī)床振動(dòng)、切削力突變等現(xiàn)象，進(jìn)一步降低了非圓齒輪齒面加工精度。但是，隨著機(jī)床運(yùn)行速度的不斷提高，機(jī)床運(yùn)動(dòng)控制誤差將會(huì)成為影響非圓齒輪加工精度更大的一個(gè)因素。

目前，滾齒加工機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸控制多采用比例-積分-導(dǎo)數(shù)控制器（Proportional Integral Derivative，PID），可以通過(guò)人工手動(dòng)調(diào)節(jié)PID控制器參數(shù)。為了減少調(diào)節(jié)時(shí)間和獲得更好的PID控制參數(shù)，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法對(duì)數(shù)控滾齒機(jī)存在較大跟蹤誤差的工件軸C軸和徑向進(jìn)給軸X軸的PID控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，將優(yōu)化結(jié)果輸入控制模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了減少跟蹤誤差的目的。仿真結(jié)果表明，采用粒子群算法優(yōu)化帶前饋的PID控制是可行的。

1 非圓齒輪滾齒加工

1.1 非圓齒輪滾齒加工模型

根據(jù)直齒非圓齒輪齒廓形成原理，直齒非圓齒輪滾齒加工運(yùn)動(dòng)關(guān)系主要包括展成運(yùn)動(dòng)、徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)和軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。其中：展成運(yùn)動(dòng)（范成運(yùn)動(dòng)）即工作臺(tái)（C軸）按照滾刀與毛坯之間的嚙合關(guān)系跟隨主軸（B軸）做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，并且保證在變速比條件下滾刀與工件回轉(zhuǎn)中心之間的距離隨時(shí)變化；徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)即滾刀根據(jù)工件極徑變化產(chǎn)生的徑向往復(fù)運(yùn)動(dòng)（X軸），完成中心距變動(dòng)；軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)即滾刀沿著工件軸向（Z軸）的走刀運(yùn)動(dòng)。

圖1 直齒非圓齒輪加工原理圖

1.2 建立直齒非圓齒輪數(shù)控滾齒電子齒輪箱結(jié)構(gòu)模型

直齒非圓齒輪滾切加工時(shí)，滾刀回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)作主運(yùn)動(dòng)，工件回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與徑向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)作跟隨運(yùn)動(dòng)。

滾刀與工件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系為：

式中：ωb為滾刀轉(zhuǎn)速；ωc為工件轉(zhuǎn)速；vx為滾刀沿齒坯軸徑向進(jìn)給的速度；r為節(jié)曲線極徑；θ為節(jié)曲線極角；k為滾刀頭數(shù)；m為模數(shù)。

在每個(gè)插補(bǔ)周期中，電子齒輪箱（Electronic Gear Box， EGB）[9]模塊根據(jù)主軸B軸編碼器的反饋信號(hào)與非圓齒輪多軸聯(lián)動(dòng)控制數(shù)學(xué)模型，實(shí)時(shí)計(jì)算工件回轉(zhuǎn)軸移動(dòng)增量Δθc與徑向進(jìn)給移動(dòng)增量Δx，實(shí)現(xiàn)主從同步控制。其中，徑向進(jìn)給移動(dòng)增量Δx的值由電子齒輪箱計(jì)算結(jié)果和工藝參數(shù)得出，軸向進(jìn)給移動(dòng)增量Δz的值從通用插補(bǔ)執(zhí)行模塊讀取，如圖2所示。

圖2 直齒非圓齒輪數(shù)控滾齒電子齒輪箱結(jié)構(gòu)模型

2 伺服控制系統(tǒng)建模

在伺服控制系統(tǒng)中，傳統(tǒng)的PID反饋控制可以讓外界干擾、參數(shù)變化等現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)有較小的影響，但在非線性輪廓控制中跟蹤性能較差會(huì)產(chǎn)生較大的輪廓誤差。為了提高伺服跟蹤性能，使輸出指令快速地跟蹤輸入指令，引入前饋控制對(duì)未來(lái)信息進(jìn)行判斷，拓寬系統(tǒng)頻帶。所以，采用反饋與前饋相結(jié)合的控制方式，即能降低反饋控制帶來(lái)的跟蹤滯后，又能對(duì)偏差進(jìn)行及時(shí)校正補(bǔ)償，從而改善伺服跟蹤性能。

圖3中：R(s)、Y(s)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)；E(s)為系統(tǒng)輸入和輸出信號(hào)之間的偏差；P(s)為被控對(duì)象的傳遞函數(shù)；G(s)為PID控制器傳遞函數(shù)；F(s)為前饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

圖3 單軸復(fù)合控制原理圖

系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為：

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)偏差值為0，則輸入信號(hào)等于輸出信號(hào)，即E(s)=0、R(s)=Y(s)，系統(tǒng)前饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)F(s)滿足F(s)=1/P(s)。

將前饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)F(s)展開(kāi)成s的級(jí)數(shù)：

式（3）表明，需要引入位置的一階、二階甚至高階導(dǎo)數(shù)才能完全消除跟蹤誤差，但實(shí)際控制系統(tǒng)由于是非線性的且線性范圍有限，在很大定程度上增加了設(shè)計(jì)高階微分器的難度。此外，微分階數(shù)越大，輸入噪聲的敏感度將會(huì)更明顯地影響到實(shí)際控制系統(tǒng)，導(dǎo)致工作性能降低。因此，從實(shí)際應(yīng)用角度來(lái)說(shuō)，通常微分階次為二階時(shí)，控制效果較好。

速度前饋補(bǔ)償指的是指令位置的一階導(dǎo)數(shù)乘上相應(yīng)增益系數(shù)疊加到速度控制指令中，可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。加速度前饋補(bǔ)償指的是取指令位置的二階導(dǎo)數(shù)乘上相應(yīng)增益系數(shù)疊加到加速度控制指令中，能夠有效抑制速度前饋產(chǎn)生的超調(diào)。本文對(duì)跟蹤誤差波動(dòng)較大的工件軸C軸和徑向進(jìn)給軸X軸，均采用“速度/加速度前饋+PID/PI”的伺服控制模型，如圖4所示。

圖4 “速度/加速度前饋+PID/PI”控制模型

3 粒子群優(yōu)化算法

3.1 粒子群算法及優(yōu)化原理

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[10]是研究鳥(niǎo)群遷徙覓食行為的一種智能的全局優(yōu)化算法，最早由Kennedy博士和Eberhart教授于1995年提出。算法中，每個(gè)粒子相當(dāng)于鳥(niǎo)群中的鳥(niǎo)（潛在解），通常采用3項(xiàng)指標(biāo)（位置、速度及適應(yīng)度值）來(lái)表示粒子狀態(tài)是否有效。在搜索區(qū)間粒子進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，通過(guò)得到的適應(yīng)度值更新個(gè)體極值Pbest和群體極值Gbest，并對(duì)個(gè)體的位置和速度進(jìn)行更新。

根據(jù)粒子群算法和優(yōu)化原理，粒子自身速度和位置更新公式為：

式中：xt、xt+1分別為粒子第t、t+1次迭代時(shí)的位置；vt、vt+1分別為粒子第t、t+1次迭代時(shí)的速度；ω為慣性權(quán)重；c1、c2為加速常數(shù)；r1、r2為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)；Pt為粒子當(dāng)前的最優(yōu)位置；Gt為整個(gè)粒子群的最優(yōu)位置。

3.2 性能指標(biāo)

在粒子群算法中，以適應(yīng)度值的好壞來(lái)評(píng)價(jià)該粒子的優(yōu)劣。在控制工程領(lǐng)域中，常用的時(shí)間乘以誤差絕對(duì)值積分（Integrated Time Absolute Error，ITAE）指標(biāo)在實(shí)際應(yīng)用中可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)性能的綜合評(píng)價(jià)[11]。因此，本文選擇ITAE作為基于粒子群優(yōu)化的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)。ITAE的數(shù)值越小，表示控制的系統(tǒng)性能越好，其指標(biāo)格式一般為：

在進(jìn)給伺服系統(tǒng)中，誤差e(t)指位置跟蹤誤差。

3.3 粒子群算法優(yōu)化過(guò)程

首先，對(duì)粒子群移動(dòng)范圍進(jìn)行合理設(shè)定，粒子表示PID控制器的參數(shù)；其次，完成相應(yīng)算法程序的編寫(xiě)，隨機(jī)產(chǎn)生初始粒子群，并在Matlab/Simulink中運(yùn)行被控系統(tǒng)仿真模型得到相應(yīng)的性能指標(biāo)（適應(yīng)度值），根據(jù)式（4）計(jì)算并更新粒子的速度、位置；最后，對(duì)迭代次數(shù)與終止條件是否滿足進(jìn)行判斷，決定是否再次循環(huán)。

4 仿真結(jié)果及分析

為了測(cè)試粒子群算法優(yōu)化的前饋PID控制器的動(dòng)態(tài)性能，根據(jù)單軸伺服驅(qū)動(dòng)PID控制器控制原理，在Matlab中搭建Simulink仿真模型，如圖5所示。根據(jù)粒子群算法編寫(xiě)程序文件，搭建粒子群算法優(yōu)化帶前饋的PID控制器的Simulink仿真模型，如圖6所示。C軸和X軸輸入信號(hào)均取x(t)=sin(t)的正弦信號(hào)，仿真時(shí)間設(shè)為6.28 s。C軸與X軸驅(qū)動(dòng)軸基本參數(shù)，如表1所示。

表1 C軸與X軸驅(qū)動(dòng)軸基本參數(shù)

圖5 傳統(tǒng)PID控制器仿真模型

圖6 基于粒子群算法優(yōu)化帶前饋PID控制器仿真模型

經(jīng)計(jì)算，設(shè)置C軸和X軸初始帶前饋PID控制參數(shù)，如表2所示。

表2 初始帶前饋PID控制參數(shù)

粒子群算法參數(shù)設(shè)定：慣性權(quán)重ω=0.9；學(xué)習(xí)因子為C1=C2=2；維 數(shù) 為7（有Kp、Ki、Kd、Kfv、Kpv、Kiv、Kfa這7個(gè)待優(yōu)化參數(shù)）；粒子群規(guī)模在此次課題研究中將其設(shè)定為100；最大迭代次數(shù)將其設(shè)定為200；速度范圍為 [-1，1]，C軸7個(gè)待優(yōu)化參數(shù)的搜索區(qū)間分別為[0，50]、 [0，0.2]、[0，5]、[0，0.02]、[0，50]、[0，15]、[0，0.02]。X軸7個(gè)待優(yōu)化參數(shù)的搜索區(qū)間分別為[0，300]、[0，5]、[0，5]、 [0，0.02]、[0，200]、[0，15]、[0，0.02]。其中，非線性摩擦值Tc=0.016（通過(guò)對(duì)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)偏差參數(shù)辨識(shí)得到[12]）。

通過(guò)在Matlab/Simulink中迭代仿真，得到優(yōu)化后的控制參數(shù)，如表3所示。C軸和X軸的適應(yīng)度函數(shù)迭代曲線分別如圖7和圖8所示。

表3 經(jīng)粒子群算法優(yōu)化后PID控制參數(shù)

圖7 C軸適應(yīng)度函數(shù)的迭代曲線圖

圖8 X軸適應(yīng)度函數(shù)的迭代曲線圖

C軸PID控制器正弦響應(yīng)曲線、跟蹤誤差圖分別如圖9和圖10所示，C軸粒子群優(yōu)化前饋PID控制器的正弦響應(yīng)曲線、跟蹤誤差圖分別如圖11和圖12所示。

圖9 C軸PID控制器正弦響應(yīng)曲線

圖10 C軸PID控制器正弦跟蹤誤差圖

圖11 C軸粒子群優(yōu)化前饋PID控制器的正弦響應(yīng)曲線

圖12 C軸粒子群優(yōu)化前饋PID控制器的正弦跟蹤誤差圖

X軸PID控制器正弦響應(yīng)曲線、跟蹤誤差圖分別如 圖13和圖14所示，X軸粒子群優(yōu)化前饋PID控制器的正弦響應(yīng)曲線、跟蹤誤差圖分別如圖15和圖16所示。

圖13 X軸的PID控制器正弦響應(yīng)曲線與跟蹤誤差圖

圖14 X軸的PID控制器正弦響應(yīng)曲線與跟蹤誤差圖

圖15 X軸粒子群優(yōu)化前饋PID控制器的正弦響應(yīng)曲線

圖16 X軸粒子群優(yōu)化前饋PID控制器的正弦跟蹤誤差圖

經(jīng)200次迭代后，C軸和X軸經(jīng)過(guò)粒子群優(yōu)化前饋PID控制的跟蹤誤差接近正弦狀。通過(guò)傳統(tǒng)PID控制和粒子群優(yōu)化前饋PID控制的跟蹤誤差仿真結(jié)果對(duì)比得知，C軸的跟蹤誤差值由5.85×10-4rad下降到3.96×10-4rad，X軸的跟蹤誤差值由7.2 μm下降到4.36 μm，粒子群優(yōu)化的前饋PID控制明顯減小了系統(tǒng)的跟蹤誤差，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于粒子群算法優(yōu)化數(shù)控滾齒機(jī)床工件軸和徑向進(jìn)給軸控制器參數(shù)的方法，構(gòu)建了前饋與反饋相結(jié)合的伺服系統(tǒng)控制模型并進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了此方法可以減少工件軸和徑向進(jìn)給軸的跟蹤誤差，提高兩軸的跟蹤性能，獲得了較好的控制效果。