幾何折疊綜述

栗菲旋，孫紅巖，孫曉鵬，2

1(遼寧師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系統(tǒng)研究所，遼寧 大連 116029)

2(北京郵電大學(xué) 智能通信軟件與多媒體北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100876)

1 引 言

近年來，幾何折疊已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)，在工業(yè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[1]、機(jī)器人設(shè)計(jì)[2]、醫(yī)療器械設(shè)計(jì)[3]、生物模擬[4]和航空航天[5]等工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.本文針對(duì)近年來幾何折疊領(lǐng)域的相關(guān)算法和理論梳理分類，根據(jù)折疊的對(duì)象不同，將幾何折疊技術(shù)分為桿折疊(1D)、平面折疊(2D)和三維折疊(3D)3類，分別介紹各算法思路和特點(diǎn).最后從3個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域介紹幾何折疊技術(shù)的應(yīng)用情況，總結(jié)發(fā)展趨勢和潛力，為未來的研究工作提供方向.

2 背景介紹

三維模型的幾何折疊是指折疊對(duì)象從無組織的通用狀態(tài)開始，到結(jié)構(gòu)化的折疊狀態(tài)結(jié)束的連續(xù)運(yùn)動(dòng)過程.根據(jù)折疊對(duì)象不同，可以將幾何折疊技術(shù)分為3類：桿折疊、平面折疊和三維折疊，如圖1所示.通過整理近年來幾何折疊的相關(guān)文獻(xiàn)，本節(jié)分別介紹3類幾何折疊的背景.

圖1 幾何折疊分類圖

2.1 桿折疊

桿折疊基于平面連桿結(jié)構(gòu)[6]，通過其活動(dòng)的關(guān)節(jié)在不自交的約束下進(jìn)行折疊運(yùn)動(dòng)，多應(yīng)用在機(jī)器人手臂[7]和蛋白質(zhì)折疊[8]中.平面連桿結(jié)構(gòu)是位于平面中的固定長度的一維段的集合，這些段在其端點(diǎn)處連接以形成連接的圖(如圖2所示).端點(diǎn)處統(tǒng)稱為關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)允許360°旋轉(zhuǎn).在將一個(gè)或多個(gè)關(guān)節(jié)固定到平面上的情況下，任何特定的自由關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)都會(huì)受到連桿結(jié)構(gòu)的限制.

圖2 平面連桿結(jié)構(gòu)[6]

2.2 平面折疊

平面折疊是指該折疊運(yùn)動(dòng)僅考慮折痕的位置和折疊角度，不需要考慮材料厚度，通常為紙折疊.根據(jù)折疊需求可分為折痕設(shè)計(jì)、自折疊路徑規(guī)劃和切割折疊.

不同的折痕設(shè)計(jì)會(huì)造成不同的折疊結(jié)構(gòu)，折痕形式可分為直折痕和彎曲折痕，分別適用于剛性折疊和彎曲折疊.

自折疊折紙技術(shù)是通過對(duì)折疊材料施加刺激，將自身沿著有效的折疊路徑折疊成所需形狀.自折疊的折疊路徑是指平面沿折痕折疊成目標(biāo)形狀的折疊過程，有效折疊路徑是指每個(gè)折痕和平面在折疊過程中是剛性且不發(fā)生碰撞的(如圖3所示).自折疊尋找有效折疊路徑可以看成是折疊初始位置到目標(biāo)位置的路徑規(guī)劃問題.

圖3 Miura圖案的自折疊過程[9]

切割折疊是指在折痕設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上結(jié)合切割的折疊方式[10]，通過在平面上添加切口，利用切割產(chǎn)生的彈力結(jié)合折痕形成復(fù)雜的幾何圖形.

2.3 三維折疊

折痕圖案主要為零厚度的紙張創(chuàng)建的，而有些折疊結(jié)構(gòu)是不可以忽略厚度的，例如屋頂、太陽能電池板和太空鏡.而三維折疊是指折疊對(duì)象為三維有厚度的物體，即考慮折痕之間的厚度約束及折疊面厚度的情況下進(jìn)行無碰撞和自交的折疊運(yùn)動(dòng).

3 幾何折疊算法

本節(jié)根據(jù)折疊對(duì)象不同，從桿折疊、平面折疊、三維折疊3個(gè)方面對(duì)幾何折疊算法的研究進(jìn)展進(jìn)行論述，總結(jié)這些算法的主要工作、算法思路及特點(diǎn).

3.1 桿折疊

連桿結(jié)構(gòu)的配置是指對(duì)所有連桿端點(diǎn)位置以及連桿方向和關(guān)節(jié)角度的指定.最早的在配置問題是1992年Hwang等[11]提出的對(duì)連桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的配置空間，重新配置決策問題簡化為在配置空間中初始配置到最終配置的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題.

2008年，郭益深等[12]開發(fā)了用于控制自由浮動(dòng)雙臂空間機(jī)器人進(jìn)行折疊運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器.該方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要線性地參數(shù)化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，也不需要預(yù)先知道任何實(shí)際的慣性參數(shù)，適用于空間機(jī)器人的實(shí)時(shí)和在線應(yīng)用.

2014年，Cai等[13]采用自然坐標(biāo)法研究平面閉合雙鏈連桿機(jī)構(gòu).利用不同約束條件來形成系統(tǒng)約束方程，獲得雅可比矩陣計(jì)算鏈接的自由度.該方法可以用來尋找一些新的平面閉環(huán)連桿機(jī)構(gòu).但是，如果連桿在某些特殊配置中具有許多奇異的運(yùn)動(dòng)路徑，則無法給出真實(shí)自由度.

2016年，Zheng等[14]提出了在3D中構(gòu)造可部署剪刀連桿的方法.該方法將Hoberman的2D連桿構(gòu)造算法[15]擴(kuò)展到3D，使用多價(jià)連接節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)具有多自由度，可增加該連桿結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)方向.該算法的不足在于為了避免碰撞會(huì)局部變形鋼筋的形狀，且沒有進(jìn)行受力分析.

2018年，饒聰?shù)萚16]提出生成可展的 2 層多邊形剪刀結(jié)構(gòu)的方法.采用直桿和旋轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)連接多邊形.計(jì)算最大張角得到折疊范圍，多邊形剪刀結(jié)構(gòu)在此范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)不會(huì)碰撞，使其能夠通過變形盡量壓縮至一個(gè)平面.不足在于只采用 3 根直桿連接兩層多邊形剪刀結(jié)構(gòu)時(shí)，模型處于一個(gè)不穩(wěn)定的狀態(tài).

桿折疊算法重點(diǎn)在于解決配置空間中的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題.但是運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題只針對(duì)單一自由度的連接節(jié)點(diǎn)，且連桿結(jié)構(gòu)是開放鏈.而對(duì)于閉合環(huán)形或有多自由度節(jié)點(diǎn)的連桿結(jié)構(gòu)，則更多考慮碰撞檢測問題.

3.2 平面折疊

平面折疊是沿著平面上折痕圖案進(jìn)行折疊運(yùn)動(dòng)的，根據(jù)折疊需要不同，可進(jìn)一步分為折痕設(shè)計(jì)、切割和自折疊路徑規(guī)劃3類.

3.2.1 折痕設(shè)計(jì)

紙折疊的折痕設(shè)計(jì)按其折痕形式可分為直折痕、彎曲折痕和輔助結(jié)構(gòu).

直折痕折疊是將折疊面看作剛性不可變形的連桿，折痕看作鉸鏈的運(yùn)動(dòng)模型.典型的直線折痕結(jié)構(gòu)有Miura-ori折痕[17]、Waterbomb折痕[18]、Yoshimura折痕[19]和對(duì)角線折痕[20].2013年，Schenk等[21]提出基于Miura-ori折痕的折疊殼結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元為剛性折疊，具有負(fù)泊松比特性，但折疊殼結(jié)構(gòu)可以形成扭曲曲面，泊松比為正.

彎曲折痕是指在折疊過程中折痕鏈接的平面會(huì)發(fā)生變形和彎曲.2008年，Martin等[22]提出了基于優(yōu)化的計(jì)算框架.該框架從離散角度討論彎曲折痕，并進(jìn)行彎曲褶皺表面的幾何優(yōu)化.不足之處在于對(duì)于彎曲程度復(fù)雜的曲面不能很好的表示.

2017年，Martin等[23]提出了由弦驅(qū)動(dòng)的彎曲折疊表面，當(dāng)拉動(dòng)弦網(wǎng)絡(luò)時(shí)，會(huì)沿折痕抬起平板以形成自由形狀.該折疊運(yùn)動(dòng)通過近似等距的變形將平面變?yōu)檎郫B形狀，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的可以被驅(qū)動(dòng)以產(chǎn)生相同的折疊順序的弦網(wǎng)絡(luò).但不是每個(gè)彎曲的折疊形狀都可以用弦折疊.

2019年，Jiang等[24]通過建立與偽測地線的連接來獲得可能的折痕模式，離散折痕并優(yōu)化四邊形網(wǎng)格，從而成為離散的褶皺結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)享有連續(xù)的規(guī)則保持展開，平坦折疊狀態(tài)以及沿著折痕的恒定折疊角.

2010年，Tachi等[25]提出折合分子的概念，將單張材料折疊成給定的多面體表面，提出基于兩步映射和邊緣分裂的算法，將折疊問題轉(zhuǎn)換為在平面紙上布置表面多邊形的問題，并通過折合分子連接多邊形.但是該算法的不足在于對(duì)于無法映射的模型不適用.2017年，Erik等[26]提出的算法使用Voronoi圖作為其折痕模式的基礎(chǔ)，頂點(diǎn)和邊沿增加了小的附加結(jié)構(gòu)，然后折疊每個(gè)Voronoi單元.該算法具有水密性，折疊將紙張的邊界映射到表面的指定邊界內(nèi)，幾何特征是每個(gè)凸面都是無縫折疊的，適用于任何多面體流形.

平面折疊主要研究周期性的折疊結(jié)構(gòu)用于擬合曲面，但是僅適用于雙曲曲面的近似模擬；針對(duì)特征復(fù)雜模型的折疊擬合，通過添加附加結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)折痕圖案，實(shí)現(xiàn)了通過折疊生成三維模型的目標(biāo)，但是會(huì)在原有材料的基礎(chǔ)上增添更多的材料.

3.2.2 切割

2010年，Li等[27]人提出基于用戶給定3D模型的情況下生成彈出式紙結(jié)構(gòu)的算法.該算法給出了模型平面布局即分段線性曲面的幾何公式，以平面布局的幾何圖形為基礎(chǔ)，通過切割和折疊可以物理彈出.目前的算法著力于可實(shí)現(xiàn)性，但是它并不能達(dá)到一個(gè)完全令人滿意的“外形”.

2013年，Sang等[28]提出通過切割和折疊單張紙以產(chǎn)生3D彈出窗口的原始建筑設(shè)計(jì)方法.該方法提出了新的幾何條件，以確保所生成彈出窗口的可折疊性和穩(wěn)定性.這些條件涵蓋了廣泛的彈出幾何圖形，使得該算法能夠接近于更多的形狀.

2014年，Castle等[29]開發(fā)了一套適用于切割、粘貼和折疊晶格的簡單規(guī)則.該規(guī)則確定了晶格結(jié)構(gòu)的基本單位.切割后留下的間隙通過“爬升”或“滑行”運(yùn)動(dòng)或兩者的結(jié)合而閉合，以形成3D階梯狀表面.

2016年，Castle等[30]將切除以非零高斯曲率的點(diǎn)的形式引入到基礎(chǔ)晶格中，將生成階梯結(jié)構(gòu)的規(guī)則減少到最低限度.該方法通過添加新材料統(tǒng)一了多種剪切和粘貼操作.由于沿平面分布高斯曲率的局部來源的自由度增加，因此該方法提供了更多從初始平面中創(chuàng)建任意形狀的機(jī)會(huì).但是，缺點(diǎn)是還不適用于逆向設(shè)計(jì)算法.

3.2.3 自折疊路徑規(guī)劃

2011年，Byoungkwon等[31]提出可編程紙張通過自折疊實(shí)現(xiàn)不同形狀的規(guī)劃和控制算法.該算法將連續(xù)折疊運(yùn)動(dòng)計(jì)劃為所需狀態(tài)，得到可行的序列，通過優(yōu)化覆蓋這些圖案，最后確定折痕圖案，以實(shí)現(xiàn)形狀控制.

2012年，Zhong等[32]提出用于計(jì)劃剛性折紙運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)方法，使用非線性優(yōu)化方法在給定樣本周圍找到有效配置.考慮到對(duì)稱性并重用基本折痕圖案上的折疊路徑，利用其對(duì)稱性來降低自由度，可以確保折紙?jiān)谶B續(xù)折疊運(yùn)動(dòng)過程中的剛度，有效地折疊大折紙鑲嵌.

2015年，Zhong等[33]提出了在離散域中采樣的多自由度折紙的折疊路徑規(guī)劃，使折紙從展開狀態(tài)連續(xù)進(jìn)入折疊狀態(tài).該方法可以在更短的采樣時(shí)間內(nèi)找到更多有效的配置，同時(shí)可以快速發(fā)現(xiàn)隱式折疊順序，提供了指導(dǎo)許多折紙的折疊過程的關(guān)鍵信息.

3.3 三維折疊

2014年，Zhou等[34]人提出利用連續(xù)折疊序列將三維物體轉(zhuǎn)換為立方體或盒的方法.該方法將對(duì)象分割為體素，并搜索可以從輸入形狀折疊到目標(biāo)形狀的體素樹.該方法可以產(chǎn)生一個(gè)單一的、連接的對(duì)象，物理地從一個(gè)形狀制造和折疊到另一個(gè)形狀.

2015年，Chen等[35]提出能夠再現(xiàn)與零厚度折紙相同的厚板剛性折疊方法.厚板折疊運(yùn)動(dòng)可以看作是空間連桿結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，但是該結(jié)構(gòu)對(duì)于非四折痕頂點(diǎn)折紙模式通常包含多個(gè)自由度，只能通過對(duì)稱或其他方式降低模型的自由度來實(shí)現(xiàn)等效性.

2016年，Chen等[36]引入平面對(duì)稱的Bricard連桿機(jī)構(gòu)形成厚板Waterbomb結(jié)構(gòu).Bricard連桿機(jī)構(gòu)在對(duì)稱折疊條件下具有單一自由度，可以實(shí)現(xiàn)非零厚度折疊與零厚度折疊的等效運(yùn)動(dòng).由于該結(jié)構(gòu)在擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)和封裝狀態(tài)之間具有很大的可展開比，因此有可能用于折疊大型平面.

2016年，Jason等[37]將平面折痕轉(zhuǎn)換為多面分隔的折痕，用兩個(gè)平行的對(duì)稱偏移一段距離折痕代替輸入折痕中的每個(gè)扁平折痕.丟棄每個(gè)折痕圖案頂點(diǎn)附近的材料以適應(yīng)折痕變寬.該算法可以識(shí)別并去除折痕一側(cè)的某些表面材料，以避免自相交.

2018年，Alden等[38]通過開發(fā)能夠產(chǎn)生具有所需特征的空間鏈接排列的方法，實(shí)現(xiàn)厚板折疊運(yùn)動(dòng).這些特征包括沒有自相交、保持與鉸鏈節(jié)點(diǎn)相同的自由度以及存在簡單的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.鉸鏈轉(zhuǎn)置、厚度調(diào)整線和分割頂點(diǎn)被提議為生成具有這些特征的鏈接置換的方法，將有助于創(chuàng)建適用于連桿鑲嵌的修改后的空間連桿.

4 評(píng)價(jià)分析

本節(jié)總結(jié)幾何折疊的評(píng)價(jià)指標(biāo)，并分析比較3類折疊算法.

4.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

由于連桿結(jié)構(gòu)是由剛性連桿和旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成，其折疊運(yùn)動(dòng)多依靠關(guān)節(jié)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，所以關(guān)節(jié)的自由度(Ndof)決定了連桿結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)空間的維度，是桿折疊的一項(xiàng)重要指標(biāo).

連桿具有兩種關(guān)節(jié)，固定關(guān)節(jié)和自由關(guān)節(jié)，固定關(guān)節(jié)不會(huì)增加自由關(guān)節(jié)，自由關(guān)節(jié)會(huì)增加2個(gè)Ndof，而桿如果沒有多余，則會(huì)消除1個(gè)自由關(guān)節(jié).一個(gè)連桿結(jié)構(gòu)具有j個(gè)自由接頭和r個(gè)桿，則該連桿結(jié)構(gòu)的自由度Ndof為：

Ndof=2j-r

(1)

連桿結(jié)構(gòu)的另一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)為收縮比V[14]，即為連桿結(jié)構(gòu)在其最收縮狀態(tài)下的包圍體積Vs與在其最膨脹狀態(tài)下的體積Ve之比：

(2)

平面折疊常用于構(gòu)造三維結(jié)構(gòu)，其形狀的剛度可以根據(jù)表面的穩(wěn)定性來衡量.通常，該結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性數(shù)[25]由下式給出：

DegreesofInstability=3v-e-6

=e0-3

(3)

其中v，e和e0分別是三角化曲面的邊界上的頂點(diǎn)，邊緣和邊緣的數(shù)量.

已知?jiǎng)傂哉郫B的每個(gè)折疊面是平坦不變形的，而彎曲折疊的折疊面會(huì)發(fā)生形變，所以折疊面的剛度由其平面度ωplanar度量[24]，計(jì)算公式為：

(4)

其中dmax是平面中對(duì)角線的距離，dav是對(duì)角線的平均長度.

折疊結(jié)構(gòu)的可展開性由頂點(diǎn)角度缺陷ωangle來衡量[24]，計(jì)算公式為：

ωangle=2π-θsum

(5)

其中θsum為該頂點(diǎn)一環(huán)領(lǐng)域的夾角角度和.

由于折疊成的三維結(jié)構(gòu)與原模型存在擬合誤差，可用折疊模型Mo與原模型M之間的Hausdorff距離[39]來表示，其計(jì)算公式為：

H=|h(Mo，M)|

(6)

其中h(Mo，M)表示Mo到M的Hausdorff距離.

4.2 算法分析與比較

本節(jié)根據(jù)上述總結(jié)的典型算法思路4.1節(jié)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，分類對(duì)幾何折疊算法進(jìn)行分析與比較.

4.2.1 桿折疊

表1展示了關(guān)于桿折疊算法的分析比較，主要比較因素包括節(jié)點(diǎn)自由度、運(yùn)動(dòng)空間維度、算法復(fù)雜性和貢獻(xiàn).

表1 桿折疊算法研究成果分析

在桿折疊的算法中，文獻(xiàn)[12，13]提出連桿結(jié)構(gòu)的幾何約束，通過求解約束條件和碰撞檢測得到運(yùn)動(dòng)路徑，但是其運(yùn)動(dòng)為平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；為了使連桿應(yīng)用在3維空間中，文獻(xiàn)[16]采用的方法是分層連接，但是本質(zhì)上連桿結(jié)構(gòu)還是平面運(yùn)動(dòng)；文獻(xiàn)[14]則是通過添加多價(jià)節(jié)點(diǎn)的方式提高自由度實(shí)現(xiàn)連桿結(jié)構(gòu)在三維空間的運(yùn)動(dòng).

4.2.2 平面折疊

平面折疊算法的分析與比較如表2所示，主要比較因素包括分類、折痕形式、折疊方式、評(píng)價(jià)指標(biāo)和貢獻(xiàn).

表2 平面折疊算法對(duì)比

在折痕設(shè)計(jì)中，直折痕和彎曲折痕因具有周期性和對(duì)稱性，僅適用于雙曲面和特征較少的曲面的折疊模擬；對(duì)于復(fù)雜三維模型的模擬，文獻(xiàn)[25]采用在映射圖中添加折合分子的方式折疊，該方法依賴模型切割，折疊后不能完全閉合；在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[26]提出水密性折疊，優(yōu)化折合分子的大小和位置，使模型的每個(gè)凸面都是無縫的.在切割折疊算法中，文獻(xiàn)[27]提出的基于分段線性曲面平面布局的彈出式紙結(jié)構(gòu)給出的幾何條件只滿足一類模型，對(duì)于特征復(fù)雜的模型并不能完全保留其外形特征，而文獻(xiàn)[28]采用更一般的幾何條件，可以適用于更多的模型，并且使用圖像域方法進(jìn)行平面布局，在保留輪廓特征、縮小體積、制作時(shí)間方面明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[27].

4.2.3 三維折疊

三維折疊算法的分析與比較如表3所示，主要比較因素包括折疊方式、自由度和貢獻(xiàn).

表3 三維折疊算法對(duì)比

在三維折疊算法中，文獻(xiàn)[34]主要研究實(shí)心三維模型的折疊運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)兩種模型形狀之間的轉(zhuǎn)換，應(yīng)用與可重構(gòu)機(jī)器人領(lǐng)域中，但是在模擬精度上存在不足，存在菱角；而文獻(xiàn)[35-38]重點(diǎn)在于實(shí)現(xiàn)有厚度折疊與零厚度折疊的等效運(yùn)動(dòng)，不關(guān)注模型的模擬，主要應(yīng)用于工業(yè)設(shè)計(jì).

5 應(yīng)用領(lǐng)域

本文從生物醫(yī)療、工業(yè)設(shè)計(jì)和機(jī)器人設(shè)計(jì)領(lǐng)域這3個(gè)方面出發(fā)，介紹幾何折疊的應(yīng)用情況.

5.1 生物醫(yī)療領(lǐng)域

在生物醫(yī)療領(lǐng)域中，幾何折疊結(jié)構(gòu)因其具有伸縮和擴(kuò)張的特性，可以通過特定方式進(jìn)行變形而被廣泛應(yīng)用于醫(yī)療支架，藥物運(yùn)輸[40]、生物醫(yī)學(xué)傳感器[41]等用途.

2006年，Kuribayashi等[42]提出折疊支架設(shè)計(jì)，該支架通過添加折痕圖案實(shí)現(xiàn)圓柱形管狀折疊，應(yīng)用于微創(chuàng)手術(shù)，用于打開和保護(hù)阻塞管道.2007年，Christina等[43]使用可液化鉸鏈對(duì)二維模板進(jìn)行光刻圖案化，根據(jù)其加熱后自發(fā)折疊的特性構(gòu)造藥物運(yùn)輸容器.該容器具有有限的封裝體積，可以制造得足夠小以穿過皮下注射針頭.2012年，Rohan等[44]討論了全聚合容器的自折疊和自折疊聚合物在藥物輸送中的應(yīng)用.自折疊可以在組裝過程中封裝或自動(dòng)裝載治療用貨物，對(duì)于藥物輸送應(yīng)用很重要.以后的發(fā)展挑戰(zhàn)在于如何將自折疊聚合物容器進(jìn)一步小型化至亞微米規(guī)模.

2014年，Kise等[45]評(píng)估新型彎曲支架在擴(kuò)張阻塞血管中的應(yīng)用.該彎曲支架基于連桿結(jié)構(gòu)并由Goku曲線連接.盡管支架以彎曲的方式擴(kuò)張，但支架組件在其彎曲部分?jǐn)U張期間也一致旋轉(zhuǎn)，使其在較小和較大的曲率上產(chǎn)生均勻的應(yīng)力，可以更好更安全的應(yīng)用在急性彎曲病變中.

2017年，Lin等[46]提出基于折疊的Miura結(jié)構(gòu)的光電探測器陣列組成柔性電子設(shè)備，為柔性設(shè)備提供出色的全向光收集功能，并具有出色的可變形性，應(yīng)用于可穿戴設(shè)備、生物醫(yī)學(xué)傳感器、家庭醫(yī)療、電子皮膚等.

5.2 工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)域

在工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，工業(yè)產(chǎn)品結(jié)合幾何折疊技術(shù)可產(chǎn)生高度變形[47]、縮小存儲(chǔ)空間[48]、提升原有功能[49]等特點(diǎn).

2012年，Martinez等[50]基于彈性體嵌入片狀結(jié)構(gòu)、及復(fù)合纖維結(jié)構(gòu)材料，實(shí)現(xiàn)了基于折疊的多用途柔性氣動(dòng)驅(qū)動(dòng)器，提高了彈性體驅(qū)動(dòng)器的剛度.該結(jié)構(gòu)可舉起自重120倍的負(fù)載，同時(shí)結(jié)合其他組件可以增加功能.

2013年，Song等[51]提出折紙鋰離子電池，可以高度變形.折紙電池是通過Miura折痕圖案折疊而制成的.所得的折紙電池具有明顯的線性和面形變形性、大的可扭曲性和可彎曲性.

2018年，Zhu等[52]提出了折紙啟發(fā)的可折疊多顯示智能手表，通過多個(gè)手腕式顯示器的可折疊結(jié)構(gòu)達(dá)到與智能手表的交互.該研究為可折疊可穿戴設(shè)備的未來面向產(chǎn)品的工作提出了重要而必要的步驟.

2020年，Tao等[53]提出并設(shè)計(jì)高性能的剪刀結(jié)構(gòu)變形折疊機(jī)制，該機(jī)制利用了簡單的非相交的有角度元素和類似剪刀的直形元素，具有單自由度、快速致動(dòng)能力和大變形比的優(yōu)點(diǎn)，用于可控的可擴(kuò)展多軸飛行器系統(tǒng).該機(jī)構(gòu)具有快速適應(yīng)復(fù)雜且動(dòng)態(tài)變化的出色能力.

5.3 機(jī)器人領(lǐng)域

幾何折疊技術(shù)因其在易于制造、折疊式結(jié)構(gòu)緊湊、尺寸可伸縮、保持幾何形狀和傳遞力方面[54]具有優(yōu)勢而被廣泛應(yīng)用在機(jī)器人領(lǐng)域內(nèi).

2017年，Miyashita等[55]基于自折疊的外骨架變形，擴(kuò)展提高了機(jī)器人的功能和性能. 2017年，Li等[56]基于流體驅(qū)動(dòng)折疊實(shí)現(xiàn)了人工肌肉的折疊架構(gòu)，該人工肌肉系統(tǒng)的骨架采用彈簧折紙狀的折疊結(jié)構(gòu).2019年，Li等[57]提出半球形空心的真空驅(qū)動(dòng)軟抓取器的新設(shè)計(jì).該軟抓取器基于折疊展開的骨架結(jié)構(gòu)、密封皮膚和連接器等構(gòu)件，可抓取物體的形狀不受限制.

2020年，Hauser等[58]介紹自重構(gòu)模塊化機(jī)器人.該機(jī)器人通過模塊化技術(shù)將具有編程能力的立方塊組合在一起，實(shí)現(xiàn)體折疊運(yùn)動(dòng)過程，共同完成一系列復(fù)雜的任務(wù).

2020年，Sahand等[59]使用具有定制的非線性剛度的機(jī)器人跳躍機(jī)制來改善機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能.使用Tachi-Miura多面體波紋管折紙作為具有嵌入式能量存儲(chǔ)的跳躍機(jī)器人骨架，使其比線性彈簧能存儲(chǔ)更多的能量，改善了機(jī)器人的跳躍高度和飛行時(shí)間.

6 總結(jié)與展望

本文對(duì)近年來幾何折疊算法進(jìn)行整理分析，并根據(jù)折疊對(duì)象和需求將幾何折疊分類，提出折疊的評(píng)價(jià)指標(biāo)，總結(jié)和比較每一類折疊的相關(guān)研究工作和算法思想，并介紹幾何折疊的相關(guān)應(yīng)用.

目前幾何折疊技術(shù)對(duì)準(zhǔn)確性和時(shí)效性的要求越來越高，需要提供更為精準(zhǔn)和高效的折疊算法.本文基于對(duì)現(xiàn)有的算法進(jìn)行分析，提出了幾何折疊算法的兩個(gè)發(fā)展方向，分別為提高算法效率精度和自驅(qū)動(dòng).

1)提高算法效率精度

在幾何折疊算法中，分為兩種折疊目標(biāo)，尋找有效折疊路徑和曲面逼近.現(xiàn)有的尋找有效折疊路徑算法采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器來進(jìn)行折疊路徑規(guī)劃和碰撞檢測.結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)尋找有效的折疊路徑，高效且精準(zhǔn).例如使用束搜索和模擬退火算法尋找有效折疊序列[58]，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練多面體的線性無碰撞折疊路徑[60].本文認(rèn)為，通過使用更為高效的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和搜索算法，可以提高尋找有效折疊路徑的效率，節(jié)約成本.通過幾何折疊來逼近曲面是折疊的另一種應(yīng)用，在固定材料的情況下目前大多數(shù)算法不適用于特征復(fù)雜的三維模型.未來的研究方向需要將模型的復(fù)雜特征與折痕圖案結(jié)合考慮，實(shí)現(xiàn)更多模型的形狀逼近，并提高其逼近精度.

2)自驅(qū)動(dòng)

大多數(shù)折疊需要外力驅(qū)動(dòng)才能開始運(yùn)動(dòng)，但有些應(yīng)用中施加外力是不切實(shí)際的.自驅(qū)動(dòng)技術(shù)則是在不需要外力情況下，通過化學(xué)或物理等特性驅(qū)動(dòng)折疊運(yùn)動(dòng)，例如通過光刻圖案化[17].本文認(rèn)為，自驅(qū)動(dòng)利用活性材料來發(fā)揮折疊運(yùn)動(dòng)是未來的重要研究方向，主演研究重點(diǎn)在于找到適用于具體應(yīng)用的特定材料和有效折疊路徑，并根據(jù)實(shí)際提供驅(qū)動(dòng)條件，該技術(shù)在未來有待進(jìn)一步研究探索.