例談“解三角形”高考熱點(diǎn)題型解法拓展與優(yōu)化過程

耿祥瑞

摘 要：文章首先陳述了高考“解三角形”考試大綱的要求和考查的知識(shí)點(diǎn)，然后分析了學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題，最后對(duì)典型例題進(jìn)行了思路解析，以期提升學(xué)生解題能力。

關(guān)鍵詞：解三角形;考試大綱;問題;典型例題

數(shù)學(xué)《必修5》第一章是“解三角形”，它是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是近年高考的必考題型。解三角形主要是應(yīng)用正、余弦定理對(duì)任意三角形的邊角關(guān)系、周長(zhǎng)、面積等數(shù)學(xué)量化的研究。這不僅與平面幾何、三角恒等變換等知識(shí)密切相關(guān)，而且有較強(qiáng)的實(shí)用性和豐富的實(shí)際背景。下面具體通過實(shí)例重點(diǎn)說明幾類熱點(diǎn)題型，并對(duì)其題型解題方法進(jìn)行總結(jié)、拓展和優(yōu)化。

一、 考試大綱要求

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

（2）能運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

二、 高考對(duì)解三角形的考查

考查利用正余弦定理、主要三角公式、基本不等式等知識(shí)，通過化簡(jiǎn)和方程思想等，經(jīng)過運(yùn)算、推理、度量邊、角或周長(zhǎng)、面積和其他伴隨要素。解三角形的實(shí)質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，即方程問題。故解三角形問題的核心是方程思想。

說明：（1）“主要三角公式”是指兩角和與差的三角公式，也包括二倍角公式、同角三角公式和誘導(dǎo)公式。（2）“方程”是指正、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理以及面積、周長(zhǎng)等所內(nèi)蘊(yùn)的方程。

主要考查題型：

類型1 三角形完全可解，研究邊、角、面積或周長(zhǎng);

類型2 三角形局部可解，研究邊、角的范圍、面積或周長(zhǎng)的最值;

類型3 解三角形應(yīng)用問題。

三、 學(xué)生學(xué)習(xí)過程中存在的問題

（1）利用正、余弦定理解已知三角形的兩邊及其一邊的角解三角形問題時(shí)，不會(huì)判斷一解、兩解或無解問題，三角形形狀和解的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1 三角形形狀和解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

A為銳角A為鈍角

圖形

關(guān)系aba≤b

解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解

（2）三角形形狀判斷問題。利用已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形形狀時(shí)，對(duì)邊化角還是角化邊的選擇存在困惑。

說明：（a）要牢記正、余弦定理及其變形形式，通過正、余弦定理及其變形形式實(shí)施轉(zhuǎn)化，具體轉(zhuǎn)化關(guān)系式如以下公式所示：

b2=a2+c2-2accosB

cosB=a2+c2-b22ac

asinA=bsinB=csinC=2R

a=2RsinA sinA=a2R

（b）通過三角變換尋求角之間的關(guān)系;

（c）通過三角函數(shù)符號(hào)及正、余弦函數(shù)有界性進(jìn)行判斷或討論。

四、 典型例題分析

熱點(diǎn)題型一：三角形完全可解，研究邊、角、面積和周長(zhǎng)問題

【例1】 （2016年全國(guó)一卷）△ABC三角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。

（1）求C;

（2）若c=7，△ABC的面積為332，求三角形的周長(zhǎng)。

分析：

（1）思路1：邊角轉(zhuǎn)化，邊化角。（利用正弦定理的變形形式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，和差公式及內(nèi)角和定理等恒等變形）

∵2cosC（acosB+bcosA）=c，

∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

∴2cosCsin（A+B）=sinC。

又∵sin（A+B）=sinC≠0，

∴cosC=12。

∵C∈（0，π），∴C=π3。

思路2：充分利用教材《必修5》P18練習(xí)結(jié)論：c=acosB+bcosA，b=acosC+ccosA，a=ccosB+bcosC。

∵2cosC（acosB+bcosA）=c，

∴2ccosC=c，∴cosC=12。

∵C∈（0，π），∴C=π3。

說明：1. 在三角形中，C∈（0，π）誰都知道，但在解答題時(shí)，一定要說明，否則答題不完整，會(huì)扣1至2分;

2. 利用教材中的一些結(jié)論可快速解決有些問題，特別是選擇填空題，能起到事半功倍的效果。

（2）思路1：方程思想，先面積公式后余弦定理

由S△=12absinC=332得：ab=6，cosC=a2+b2-c22ab=12，

所以a2+b2=13，結(jié)果顯然。

思路2：方程思想，先余弦定理后面積公式

∵cosC=a2+b2-c22ab=12，∴a2+b2=7+ab。

由S△=12absinC=332得，ab=6。

另外，我們也可以對(duì)例1的問題（2）進(jìn)行改編，如：

變式1：若c=7，求a+b的范圍;

變式2：若c=7，求△ABC的面積最大值;

變式3：（太原2016模擬）△ABC三角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知3a=2csinA。

（1）求C;

（2）若c=7，△ABC的面積為332，求三角形的周長(zhǎng)。

回過頭我們?cè)倏纯蠢媒滩摹侗匦?》P18練習(xí)結(jié)論“妙殺”高考題。

1. （2013年陜西7）△ABC三角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀是（? ）