含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模及其誤差補(bǔ)償研究*

陳 慶,薛邵文,林乃昌*

(1.瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,四川 瀘州 646005;2.瀘州市智能制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 瀘州 646005)

0 引 言

機(jī)械制造領(lǐng)域中,加工精度、裝配公差以及磨損等因素會(huì)使各種機(jī)構(gòu)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)副間隙[1],導(dǎo)致系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性振動(dòng),加劇運(yùn)動(dòng)副的磨損,降低整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可靠性、精度以及使用壽命。因此,含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究成為了智能制造和精密機(jī)械領(lǐng)域中亟待解決的問題。

對(duì)于含間隙的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué),國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)其已研究多年[2-8]。王見等[9]以3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,基于Lankarani-Nikravesh和Coulomb模型,建立了含關(guān)節(jié)間隙的3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)模型,分析了不同的關(guān)節(jié)間隙對(duì)3-CPaRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性的影響。姜洪奎等[10]基于赫茲彈性接觸理論和變形協(xié)調(diào)原理,考慮了初始游隙和接觸角變化等因素,建立了非理想滾道截形的滾珠絲杠副彈性變形接觸角的計(jì)算模型。何昊南等[11]針對(duì)折疊舵面內(nèi)、外舵鉸接處存在的間隙對(duì)地面振動(dòng)響應(yīng)的影響,及間隙處的非線性建模方法展開了研究。邱雪松等[12]以月球車兩級(jí)往復(fù)可展太陽帆板為研究對(duì)象,通過接觸碰撞力描述間隙,運(yùn)用有限元法對(duì)太陽帆板進(jìn)行柔性化處理,建立了多間隙-柔性耦合的動(dòng)力學(xué)模型。侯雨雷等[13]以含轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙RU-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,加入Baumgarte違約穩(wěn)定法和Runge-Kutta法,求解微分代數(shù)形式建立的動(dòng)力學(xué)模型,分析了不同摩擦因數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響。

在誤差補(bǔ)償方面,孔駿成等[14]在機(jī)器人操作手臂模型中,將間隙誤差完全等效成桿長(zhǎng)誤差,利用PSO算法將間隙誤差補(bǔ)償問題轉(zhuǎn)化為求適應(yīng)度極小值問題。陳純等[15]建立了Y軸正、反向單向定位精度和反向差值補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)模型,通過840D的絲杠和間隙補(bǔ)償表功能完成了補(bǔ)償。唐俊杰等[16]運(yùn)用了改進(jìn)的PSO算法,優(yōu)化了驅(qū)動(dòng)桿位移參數(shù),補(bǔ)償了由運(yùn)動(dòng)副間隙引起的結(jié)構(gòu)誤差。吳昊駿等[17]在分析鉆孔位姿參數(shù)和鉆具末端塌落量的函數(shù)關(guān)系后,對(duì)原有車體定位方法進(jìn)行了修正,對(duì)鉆孔定位誤差進(jìn)行了補(bǔ)償。

本文以含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為對(duì)象,考慮運(yùn)動(dòng)副間隙碰撞接觸條件及能量耗散因素,結(jié)合Nikravesh[18]模型,提出一種表述接觸力的非線性彈簧阻尼模型;將其引入到含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的構(gòu)建中,分析間隙帶來的影響;建立其逆模型,就間隙帶來的誤差分別進(jìn)行逆?？刂坪蚉ID加逆?？刂苼硌a(bǔ)償間隙引起的系統(tǒng)誤差。

1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的建模

1.1 理想曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的建模

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖r2—曲柄長(zhǎng)度;r3—連桿長(zhǎng)度;r1—滑塊位移;θ2—曲柄轉(zhuǎn)角;θ3—連桿轉(zhuǎn)角;r4—間隙半徑;θ4—x軸與軸銷軸套中心連線的夾角;rs1—曲柄質(zhì)心距o點(diǎn)的長(zhǎng)度;rs2—連桿質(zhì)心距曲柄的長(zhǎng)度;m4—滑塊質(zhì)量;M12—曲柄r2轉(zhuǎn)矩;Fmn,x,Fmn,y—機(jī)架、曲柄、連桿,滑塊兩兩之間的作用力在x,y軸的分量(其中：m,n=1,2,3,4)

用圖1就可表示理想曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的示意圖(忽略其中表示間隙的大圓和小圓)。

由圖1可以得到x和y坐標(biāo)軸的方程式,即:

r2cosθ2+r3cosθ3=r1

(1)

r2sinθ2+r3sinθ3=0

(2)

分別將上述兩式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),分別可得到:

(3)

r2ω2cosθ2+r3ω3cosθ3=0

(4)

將式(3,4)寫成矩陣,即:

(5)

式(5)即為理想曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

1.2 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的建模

實(shí)際系統(tǒng)的間隙:在圖1中用大圓和小圓表示連桿軸套與軸銷的間隙。

1.2.1 含間隙機(jī)構(gòu)的閉環(huán)矢量方程

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的閉環(huán)矢量方程如下:

R2+R3=R1+R4

(6)

將式(6)分別向x,y軸投影得:

r2cosθ2+r3cosθ3=r1+r4cosθ4

(7)

r2sinθ2+r3sinθ3=r1+r4sinθ4

(8)

將式(7,8)求導(dǎo)可得:

(9)

(10)

1.2.2 含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)圖1的受力分析,曲柄動(dòng)力學(xué)方程為:

(11)

式(11)中:

(12)

式中:R—軸銷半徑。

滑塊動(dòng)力學(xué)方程為:

F14,y-Fy-m4g=0

(13)

(14)

1.2.3 接觸力的非線性彈簧阻尼模型

本文結(jié)合Nikravesh[18]模型,建立表述接觸力更精確的非線性彈簧阻尼碰撞模型,即:

(15)

碰撞接觸條件取值如表1所示。

表1 碰撞接觸條件

該模型綜合考慮了接觸力是否存在，以及彈性力和碰撞體的材料阻尼引起的能量損失等因素。

接觸點(diǎn)軸銷相對(duì)于軸套的切向速度(Vt)和法向速度(Vn)為:

(16)

(17)

切向觸力為:

Ft=(-fsign(Vt)Fn-CtVt)S

(18)

式中:Ct—切向阻尼。

將Fn,Ft向x,y軸分解得:

Fx=Ftsinθ4+Fncosθ4

(19)

Fy=-Ftcosθ4+Fnsinθ4

(20)

最后,聯(lián)立式(6～20),經(jīng)整理可得到一個(gè)16階的矩陣,根據(jù)矩陣建立的仿真模型如圖2所示。

圖2 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真模型

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為測(cè)量曲柄轉(zhuǎn)角,連桿傾角和滑塊位移所搭建的實(shí)驗(yàn)機(jī)構(gòu)如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)機(jī)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)機(jī)構(gòu)的參數(shù)如表2所示。

表2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)參數(shù)

試驗(yàn)平臺(tái)的規(guī)格如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)規(guī)格

(續(xù)表)

2.2 數(shù)據(jù)采集RTW平臺(tái)

本次實(shí)驗(yàn)所需數(shù)據(jù)的采集RTW平臺(tái)如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集RTW平臺(tái)

圖5中,曲柄轉(zhuǎn)角、連桿傾角和滑塊位移的傳感器輸出數(shù)據(jù)由3個(gè)Analog Input模塊采集測(cè)量,Analog Output是信號(hào)輸出模塊;采集之前需將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的采樣頻率設(shè)置為0.005 s。

2.3 仿真模型驗(yàn)證

RTW平臺(tái)獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是電壓,滑塊位移需要對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理才能得到,其式為:

(21)

用MATALAB將處理后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真模型的數(shù)據(jù)對(duì)比,便可得到考慮間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模型滑塊位移和實(shí)測(cè)滑塊位移的比較圖。

考慮到實(shí)驗(yàn)的客觀性,此處分別選取電機(jī)轉(zhuǎn)速在1 200 r/min、1 500 r/min和1 800 r/min時(shí),對(duì)滑塊的位移和誤差進(jìn)行測(cè)量,其結(jié)果如圖6所示。

圖6 滑塊位移(左)和誤差(右)

從圖6中可以得出:采用不同的運(yùn)行轉(zhuǎn)速,含間隙模型與實(shí)際系統(tǒng)的輸出吻合度較高。

為衡量不同轉(zhuǎn)速下兩組數(shù)據(jù)之間的波動(dòng)程度,筆者計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的均方差,即:

(22)

式中:Ri—滑塊位移實(shí)測(cè)值;ri—滑塊位移仿真值;n—數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

均方差計(jì)算的結(jié)果如表4所示。

表4 滑塊位移誤差的均方差

由表3可以看出,滑塊位移誤差隨著電機(jī)的轉(zhuǎn)速增加而減小。產(chǎn)生這種情況的原因是:當(dāng)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)滑塊運(yùn)動(dòng)到極限位置時(shí),方向發(fā)生改變;速度越快,軸銷反向通過軸銷和軸套之間間隙的時(shí)間越短,而誤差越小。

3 誤差補(bǔ)償

理想的曲柄滑塊模型和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖7所示。以下僅給出電機(jī)轉(zhuǎn)速在1 200 r/min時(shí)的對(duì)比。

圖7 滑塊位移和誤差對(duì)比

由圖7可知:兩者之間有較大誤差,誤差峰值達(dá)到了1.943 mm,此處的均方差經(jīng)計(jì)算為1.151 mm。原因是曲柄滑塊機(jī)構(gòu)除了文中提到的連桿和滑塊鉸連接處含間隙,在機(jī)架和曲柄、曲柄和連桿這兩個(gè)連接處同樣存在不同程度的間隙;本文中的含間隙模型僅考慮了其中較大的連桿和滑塊之間的間隙。當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到極限位置時(shí),軸銷反向運(yùn)動(dòng)通過間隙需一定時(shí)間,導(dǎo)致實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況較理想機(jī)構(gòu)有所滯后,需對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。

3.1 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的逆模型

系統(tǒng)∑具有u(t)=(u1,u2,…un)T這樣的n維輸入和y(t)=(y1,y2,…ym)T的m維輸出,初始狀態(tài)x(t0)=x0,輸入、輸出間關(guān)系可用式(23)表示:

(23)

從式(23)可以看出:系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型等價(jià)于一個(gè)從n維輸入到m維輸出的映射,該映射輸出完全由初始狀態(tài)x(t0)=x0和輸入u(t)確定。

用函數(shù)θ描述這一映射關(guān)系,即:

y(·)=θ(x0,u(·))

(24)

其中,輸入yd(t)=(yd1,yd2,…ydm)T是可微函數(shù)向量,輸出向量記為:u(t)=(u1,u2,…un)T。

(25)

則稱模型∏為系統(tǒng)∑的單位逆模型,∑為原系統(tǒng)模型。結(jié)構(gòu)如圖8所示。

圖8 單位逆模型與原模型復(fù)合結(jié)構(gòu)

圖8中,將∑的期望輸出yd(t)作為∏的輸入,而逆模型∏的輸出恰是∑的輸入控制量u(t)。根據(jù)這一思想建立含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)逆模型時(shí),閉環(huán)矢量方程式(6)不變,將式(7,8)兩邊同時(shí)平方可得:

(26)

(27)

將以上兩式相加化簡(jiǎn)得:

(28)

因?yàn)樵诮⒛婺Ｐ蜁r(shí),換r1為輸入,ω2為輸出,所以式(28)可改寫為:

(29)

將其作反余弦函數(shù)得:

(30)

構(gòu)建后的逆模型如圖9所示。

圖9 含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)逆模型

圖9中,逆模型由r1作為輸入,ω2作為輸出,將式(6～20)組裝成矩陣,嵌入MATLAB中的function模塊,求解出θ3和r4,然后輸入到式(30),再求解出ω2。

3.2 逆?？刂?/h3>

本文根據(jù)圖8構(gòu)造一個(gè)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的逆模型,作為補(bǔ)償器的逆?？刂七M(jìn)行誤差補(bǔ)償,如圖10所示。

圖10 逆?？刂?/p>

補(bǔ)償效果如圖11所示。

分析比較圖11(a,b)可以得出:在系統(tǒng)中加入逆?？刂坪笕匀挥姓`差,計(jì)算得誤差均方差為0.852 3 mm,使系統(tǒng)穩(wěn)定性提升25.9%;為得到更明顯的效果,筆者在此基礎(chǔ)上加入了PID控制。

圖11 逆模補(bǔ)償后的輸入輸出

3.3 PID加逆模控制

為獲得更好的補(bǔ)償結(jié)果,筆者將建立的逆模型和PID控制相結(jié)合進(jìn)行誤差補(bǔ)償,如圖12所示。

圖12 PID加逆模控制

仿真平臺(tái)如圖13所示。

圖13 PID加逆模控制仿真平臺(tái)

在該補(bǔ)償方法中,PID和逆?？刂破鞯碾p重作用保證了系統(tǒng)輸出信號(hào)對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤精度。

PID加逆模補(bǔ)償后滑塊位移誤差的均方差如表5所示。

表5 PID加逆模補(bǔ)償后滑塊位移誤差的均方差

補(bǔ)償效果圖如圖14所示。

圖14 補(bǔ)償效果圖{滑塊位移(左)和誤差(右)}

從圖14和表5可以看出:PID的引入使得誤差和均方差均變小,信號(hào)跟蹤精度又一次得到了提高。

4 結(jié)束語

筆者針對(duì)含間隙的強(qiáng)非線性系統(tǒng)難以建立較準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型的問題,運(yùn)用Nikravesh非線性彈簧阻尼碰撞模型,對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模,并對(duì)其建立了逆模型,就其帶來的誤差分別應(yīng)用逆?？刂坪蚉ID加逆模控制進(jìn)行了補(bǔ)償。理論研究和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:

(1)采用非線性彈簧模型所建立的含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模型仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果之間的誤差處于合理范圍之內(nèi);

(2)該逆模型誤差補(bǔ)償策略有較好的補(bǔ)償效果,具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值,可以作為誤差補(bǔ)償?shù)挠行緩?為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)誤差補(bǔ)償提供新的方法和途徑。

在下一步的研究中,筆者將考慮到含間隙機(jī)構(gòu)建模的過程中可能存在的各種間隙進(jìn)行建模,使模型更符合實(shí)際情況,且大幅提高模型運(yùn)算速度。