基于振蕩氣泡法測定聲懸浮液滴的表面張力

蔣樂昕，郭澤虹,黃敏珊，彭 力,b,c

(華南師范大學(xué) a.物理與電信工程學(xué)院；b.華南師大(清遠(yuǎn))科技創(chuàng)新研究院有限公司;c.物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，廣東 廣州 510006)

超聲懸浮是利用超聲波的非線性效應(yīng)產(chǎn)生聲輻射力，從而克服懸浮物的自身重力，實(shí)現(xiàn)物體懸浮的技術(shù)，廣泛應(yīng)用于液體樣品的無容器操縱，對液滴動力學(xué)研究有重要意義.

表面張力測量可為人們提供氣液、液液之間相互作用的信息，通過這些信息可以推斷出材料的黏附、浸潤、生物相容、潤滑、吸附等重要特性[1]. 傳統(tǒng)測量液體表面張力的方法有拉脫法、懸滴法、最大氣泡法和毛細(xì)管上升法等. 目前最常用的方法是拉脫法，該方法所使用的儀器簡單[2]，但操作過程復(fù)雜，易受環(huán)境干擾，樣品與固體表面直接接觸，易污染樣品，且由于人為操作的影響導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差大. 利用聲懸浮技術(shù)測量液體表面張力是近年發(fā)展起來的新方法. Tian等人[3]將拍攝的懸浮液滴圖像進(jìn)行輪廓提取，利用懸浮液滴平衡形態(tài)，以液滴的表面張力為待定參量，發(fā)展出計算液滴表面張力的理論方法，然而該方法僅在平衡態(tài)懸浮液滴近球形時適用. Shen等人[4]修正Rayleigh公式,對聲懸浮液滴的振蕩頻率進(jìn)行描述，從而測得液體的表面張力，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與文獻(xiàn)基本一致，證實(shí)了該方法的可行性. 但該方法對使用的儀器要求較高，需采用高速CCD進(jìn)行圖像拍攝和圖像處理才能判斷液滴的振蕩階數(shù)，且不同大小的液滴，每一模態(tài)的調(diào)制頻率不同，需進(jìn)行大量的調(diào)試.

本文通過研究聲懸浮液滴的特性，制作了懸浮氣泡，對振蕩氣泡法理論公式進(jìn)行修正，再與數(shù)字圖像輪廓提取方法相結(jié)合，即可測量懸浮液體動態(tài)表面張力，實(shí)現(xiàn)了懸浮液滴拍攝、圖像處理、表面張力計算一體化的非接觸測量.

1 聲懸浮原理

聲懸浮是在高聲強(qiáng)條件下的一種非線性效應(yīng)，其基本原理是利用聲駐波與物體的相互作用產(chǎn)生豎直方向的懸浮力和水平方向的定位力，分別克服物體重力和將物體固定于聲壓波節(jié)處的力.

假設(shè)2個發(fā)射端的距離為L，通過調(diào)節(jié)L，可以實(shí)現(xiàn)聲懸浮所需要的駐波條件，將聲場近似看作平面駐波，則駐波的條件為

(1)

2個發(fā)射面是聲壓的2個波腹，聲壓波節(jié)位于λ/4，3λ/4，5λ/4，…，由于聲輻射力具有回復(fù)力的特性，當(dāng)樣品偏離波節(jié)時，就會被拉回原位置，所以聲壓波節(jié)就是樣品的穩(wěn)定懸浮位置. 故懸浮樣品個數(shù)最多為n，且2個樣品之間的距離為λ/2.

假定聲源的振動方程按余弦規(guī)律變化，則聲場空間中聲波的波動方程可寫為

y1=Acos (ωt-kz).

(2)

式中A為振幅，ω為角頻率，k為波矢，z為沿波傳播方向任一體元的平衡位置的坐標(biāo). 根據(jù)理想流體媒質(zhì)的運(yùn)動方程，聲場中聲壓p為

p=-2Aωsin (ωt)cos (kz).

(3)

根據(jù)Gor’kov關(guān)于聲懸浮的理論[5]，作用于半徑為R的小球上聲輻射時間平均勢U為

(4)

F=-U.

(5)

因此，要使物體能夠穩(wěn)定懸浮，需聲波諧振腔的長度恰好是該聲波的整數(shù)倍. 此外，本文結(jié)合不同懸浮裝置的優(yōu)缺點(diǎn)，采用單軸式凹球面相控陣列懸浮系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，滿足在液滴動態(tài)非平衡狀態(tài)下測量液體表面張力. 實(shí)驗(yàn)中通過調(diào)節(jié)聲場頻率，利用懸浮液滴制作氣泡，為液體表面張力的測量提供便利.

2 氣泡制作原理

實(shí)驗(yàn)過程中通過調(diào)節(jié)聲場或聲強(qiáng)的分布，在液體表面張力作用下懸浮液滴的形狀發(fā)生改變. 液滴收縮使得液滴表面積減小，當(dāng)懸浮液滴的體積達(dá)到某一臨界值時，液滴的振動頻率與聲場頻率相同，液滴與聲場發(fā)生共振，導(dǎo)致液滴突然膨脹，從而形成封閉的氣泡[6].

液滴懸浮于聲場時,液滴的平衡形狀由聲輻射壓力pA、表面張力和液滴內(nèi)部壓力決定[7]：

pi-pA=σn.

(6)

式(6)中pi為液滴內(nèi)部壓強(qiáng)，pA為液滴外部壓強(qiáng)，σ為液體表面張力。為更直接地描述液滴平衡形狀,在極坐標(biāo)下,液滴的形狀函數(shù)可寫為

(7)

其中θ為液滴輪廓的極坐標(biāo)，RE為液滴赤道半徑，ρ為液滴的密度. 液滴表面聲輻射壓分布不均勻,使得懸浮于聲場中的液滴不再是球形. 聲場強(qiáng)度(聲壓)是決定聲懸浮液滴形狀的主要因素,重力只改變液滴的懸浮位置,對其形狀幾乎沒有影響，圖1為不同聲壓條件下聲懸浮液滴的平衡形狀.

(a)0 g,161 dB (b)0 g,163 dB

(c)0 g,165 dB (d)0 g,166 dB

(e)1 g,161 dB (f)1 g,163 dB

(g)1 g,165 dB (h)1 g,166 dB圖1 不同聲壓條件下聲懸浮液滴的平衡形狀

根據(jù)理論研究，液滴受到的聲輻射壓力為

(8)

其中,p是聲壓，c0是聲速，ρ0是空氣的密度，V是介質(zhì)粒子速度. 當(dāng)液滴形狀接近扁平時[如圖1(b)]，其下表面聲輻射壓力大于上表面聲輻射壓力，可知液滴被超聲波向上推動，以平衡重力的影響；當(dāng)液滴形狀為凹狀時[如圖1(c)]，上表面的聲輻射壓力更大. 從圖2中可以看出隨著聲壓的增加，液滴的彎曲程度增加.

為了更好理解液滴到氣泡轉(zhuǎn)變的動力學(xué)過程，本文分析了液滴/氣泡薄膜的表面積隨時間的變化過程. 隨著聲壓增加，食用油液滴的表面積變化可分為6個不同的階段，如圖2所示.

從階段(d)到階段(e)，液膜的表面積急劇增加，表明液滴-氣泡發(fā)生轉(zhuǎn)變. 液滴表面積隨著聲壓的增加而不斷增加，而對于任意給定的聲壓，液滴都將在表面張力的作用下呈現(xiàn)其穩(wěn)定的形狀.

綜上所述，由于聲壓以及液體表面張力的作用，使得液體的形狀發(fā)生改變，并呈現(xiàn)液滴表面積縮小的趨勢；當(dāng)液滴中間空氣腔通過彎曲達(dá)到適當(dāng)?shù)捏w積時，液滴會與相控陣列懸浮裝置發(fā)出的聲場產(chǎn)生共振，能夠顯著增強(qiáng)能量吸收，在這種情況下，空腔內(nèi)的空氣分子強(qiáng)烈振動，使得腔內(nèi)聲壓高于空腔薄膜外部聲壓，從而導(dǎo)致空腔體積突然膨脹，形成氣泡. 因此，利用聲懸浮裝置可制作氣泡.

(a)輕微變形 (b)快速變平

(c)緩慢變平 (d)翹曲

(e)突然膨脹 (f)邊緣閉合圖2 液滴到氣泡的轉(zhuǎn)變過程

實(shí)驗(yàn)中，液滴通過共振機(jī)制形成氣泡. 因此，聲能可在ms時間內(nèi)被有效吸收，并轉(zhuǎn)變?yōu)闅馀荼砻婺? 在這種情況下，聲波不僅提供了抵抗重力的懸浮力，還提供了產(chǎn)生新表面能的能量.

3 表面張力測量

3.1 振蕩氣泡法

目前普遍利用落點(diǎn)張力計測量液滴表面張力，根據(jù)液滴或氣泡的形狀，再通過高斯-拉普拉斯方程求解表面張力. 但高斯-拉普拉斯方程是針對靜態(tài)條件推導(dǎo)而來的[8]，在聲懸浮場中，流體動力效應(yīng)導(dǎo)致液滴和氣泡輪廓偏離拉普拉斯形狀. 因此需尋求其他方法測量聲懸浮的液滴或氣泡表面張力. 本文采用的振蕩氣泡法適用于超聲懸浮場中小的球形氣泡表面張力的測量[9].

已有實(shí)驗(yàn)證明非平衡狀態(tài)下表面分子的膨脹系數(shù)能夠解釋表面張力[10]. 根據(jù)Maru等人[11-12]的建議，新建模型用成分效應(yīng)和內(nèi)在效應(yīng)來表征液滴或氣泡膨脹特性. 成分效應(yīng)描述表面組成與表面張力的關(guān)系，而表面層內(nèi)弛豫過程對表面張力的影響由內(nèi)在效應(yīng)描述. 二者對表面張力的影響由非平衡狀態(tài)下的表面膨脹系數(shù)來表征.

3.2 非平衡動態(tài)表面張力模型

用Boussinesq-scriven方法定義后續(xù)測量氣泡表面張力的流體動力學(xué)參量，氣泡二維黏性表面的應(yīng)力[13]為

(9)

其中，i,j=1,2；γ表示動態(tài)表面張力成分效應(yīng)；η表示表面剪切黏度，κ表示表面膨脹黏度，二者表征弛豫行為；vi表示表面速度分量，x1和x2表示面坐標(biāo). 將三維流體壓力張量形式變換成二維形式可簡化表面張力的計算，但由慣性導(dǎo)致的壓力張量發(fā)散會影響到式(9)的適用性，因此需要對其進(jìn)行修正. 在本文中，認(rèn)為在聲懸浮非平衡狀態(tài)下氣泡是1個或幾個分子組成的厚度為L的表層，以抵消壓力張量的發(fā)散，從而減小表面張力計算的誤差[12].

由于氣泡表層可進(jìn)行快速的分子交換，具有可變成分的高度可壓縮流體相，但根據(jù)納維爾-斯托克斯方程[11-12]的邊界條件，只有在解釋部分波動實(shí)驗(yàn)[14-15]獲得的負(fù)表面黏度值時，才需考慮這種分子交換，因此本文假設(shè)分子交換過程對聲懸浮液體表面流變性質(zhì)沒有影響，不產(chǎn)生附加項. 故聲懸浮氣泡可視為均勻膨脹或壓縮，使得二維應(yīng)力張量方程的剪切分量為零，得到應(yīng)力張量的縱向分量為

(10)

這是單層或定義厚度較小的氣泡層引起擴(kuò)散效應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，最后一項滿足描述氣泡表面微小正弦膨脹現(xiàn)象的流體動力學(xué)效應(yīng)條件，該條件為

(11)

其中,vs是表面速度矢量，s是表面速度梯度算符. 一般情況下，由該條件推導(dǎo)得到的表面膨脹系數(shù)為

(12)

膨脹系數(shù)ε(f，ci)是頻率f和表面層平衡體積濃度ci的函數(shù)[16-18]，僅適用于平衡狀態(tài)流體，對于緩慢變形(f<1 Hz)非平衡態(tài)的聲懸浮氣泡，利用式(12)無法描述氣泡表面張力變化，需修正得到適用于非平衡狀態(tài)流體的表達(dá)式，再利用實(shí)驗(yàn)測得相關(guān)參量，再通過修正后的表達(dá)式計算出氣泡的表面膨脹系數(shù).

氣泡進(jìn)入非平衡狀態(tài)是因?yàn)槁晥鱿辔恍盘柛淖兪贡砻鎸臃肿咏粨Q運(yùn)動被延遲，用函數(shù)h(f,c)來描述該狀態(tài)[19]：

|h(f,c)|exp [(-iβ(f,c)].

(13)

函數(shù)h(f,c)表示在擴(kuò)展表層內(nèi)濃度cs的變化與虛擬擴(kuò)展表層內(nèi)濃度c*的變化情況，其中D表示氣泡的表面擴(kuò)散率，k為分子交換動力學(xué)常量. 用式(13)描述非平衡狀態(tài)表層分子交換過程對表面膨脹模量的影響，而對于聲懸浮液滴或氣泡這類非平衡態(tài)，分子交換函數(shù)實(shí)際表達(dá)式ζ必須用復(fù)表達(dá)式代替式(13)才準(zhǔn)確：

ζ′=h(f,c)ζ.

(14)

將式(14)和所涉及的流體動力學(xué)效應(yīng)條件代入式(13)可得傳統(tǒng)表面膨脹模量ε[20]為

(15)

式中εm為內(nèi)最大膨脹系數(shù). 然而，式(15)不能在整個聲懸浮頻率范圍內(nèi)準(zhǔn)確計算動態(tài)表面張力，需進(jìn)一步修正. 聲懸浮頻率在f→0時，分子交換極快，氣泡相位極限趨于β=45°. 利用相位修正非平衡動態(tài)表面膨脹模量，得到其滿足的方程為：

(16)

利用裝置拍攝氣泡，經(jīng)過預(yù)處理測量其赤道半徑和振蕩頻率f.計算該氣泡的表面積A及對應(yīng)的最大膨脹模量εm、角頻率ω和相角β(與頻率f和c有關(guān))，再將氣泡的表面擴(kuò)散率D、動力學(xué)常量k代入式(16)，計算得到對應(yīng)的氣泡表面膨脹模量ε.測量氣泡的表面膨脹模量后，即了解聲懸浮氣泡的表面張力變化，因表面膨脹模量ε定義為表面張力γ在恒定溫度下相對于氣泡表面積的小幅增加，即:

(17)

由(17)式即可計算得出液體動態(tài)表面張力γ，達(dá)到實(shí)驗(yàn)預(yù)期目標(biāo).

4 實(shí)驗(yàn)裝置及數(shù)據(jù)處理

圖3所示實(shí)驗(yàn)裝置由懸浮部分、驅(qū)動板、控制模塊、圖像采集系統(tǒng)、分析系統(tǒng)、暗箱及照明系統(tǒng)組成. 懸浮部分為凹球面超聲陣列結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由72個超聲換能器和支撐架組成，如圖4所示. 支撐架上下2個凹球面分別固定32個壓電式超聲換能器. 驅(qū)動板采用L298N模塊用于驅(qū)動超聲波傳感器，控制模塊使用FPGA開發(fā)板. 根據(jù)需求設(shè)計算法架構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對聲場的調(diào)節(jié)從而改變聲場信號的相位，控制表面膨脹黏度κ，同時規(guī)律調(diào)節(jié)頻率可完成氣泡制作并改變氣泡的最大膨脹模量εm.

暗箱可屏蔽空間中除聲場外大部分氣體的流動干擾，將聲懸浮裝置垂直置于長方體暗箱內(nèi)部左側(cè)，固定光源和攝像頭后進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)樣品為鍋爐用油[17]，濃度為4.2×10-11mol/cm3. 連通電源并預(yù)熱設(shè)計的實(shí)驗(yàn)裝置，利用針管提取一定量的液體并擠壓液體進(jìn)入聲場，調(diào)節(jié)凹面相控陣列的工作信號，實(shí)現(xiàn)液滴穩(wěn)定懸浮.

采用Matlab軟件對攝像頭捕捉的液滴振蕩形態(tài)圖進(jìn)行分析，獲取液滴振蕩模態(tài)及頻率信息，并通過邊緣檢測，提取液滴輪廓. 實(shí)驗(yàn)步驟如下：

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

1)連通電源并預(yù)熱實(shí)驗(yàn)裝置，利用針管提取一定量的油滴.

2)利用針管擠壓油滴進(jìn)入聲場，調(diào)節(jié)FPGA的輸出功率來實(shí)現(xiàn)對懸浮液滴的徑向操控，直至懸浮液滴抵達(dá)合適的位置.

3)在保持液滴徑向位置不變時，通過控制換能器的電壓激發(fā)懸浮液滴產(chǎn)生非軸對稱大幅振蕩.

4)使用高清攝像機(jī)進(jìn)行拍攝，捕捉液滴高速變化的振蕩圖像，導(dǎo)入Matlab軟件進(jìn)行數(shù)字圖像處理和分析. 電壓與時間的關(guān)系需要滿足：

V=V0[1+ηcos (wmt)]cos (wact),

(18)

式中,V0為不加調(diào)制時換能器的輸入電壓，η為相對調(diào)制幅度，wm為調(diào)制頻率，wac為超聲頻率. 為了保證液滴在該實(shí)驗(yàn)條件下始終處于穩(wěn)定懸浮的狀態(tài)[5],選取在較高的懸浮聲壓和較小的調(diào)制幅度下進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

5)去除干擾信號，保留邊緣灰度信息，采用Canny法識別液滴的邊緣點(diǎn)，提取液滴輪廓.

6)根據(jù)非平衡狀態(tài)下氣泡對應(yīng)的動態(tài)表面張力與彈性模量所滿足的關(guān)系式,編寫液滴表面張力測量程序.

7)輸入液滴邊緣輪廓信息，利用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)字圖像處理，處理過程如圖5所示.

圖5 數(shù)字圖像處理過程

綜上，只需將待測液體在聲場中懸浮，用攝像機(jī)拍攝振蕩圖像傳入編寫的Matlab程序，即可計算出表面張力.

5 結(jié)果與討論

采用如圖3所示的實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，使用基于原理編寫的程序，自動計算同一氣泡在連續(xù)時間的表面膨脹模量及對應(yīng)的表面張力，圖6為Matlab實(shí)時處理的二值化氣泡輪廓圖. 觀察到氣泡隨聲壓調(diào)節(jié)過程中可在一定范圍內(nèi)膨脹和壓縮后，進(jìn)行動態(tài)表面張力測量. 為避免實(shí)驗(yàn)過程中液體蒸發(fā)導(dǎo)致濃度變化產(chǎn)生較大的實(shí)驗(yàn)誤差，實(shí)驗(yàn)應(yīng)盡可能迅速完成. 氣泡表面壓縮開始時，經(jīng)不均勻的時間間隔拍攝圖片，并取其中在30 s內(nèi)完成隨聲壓增大/減小而壓縮/膨脹的氣泡完整圖像，導(dǎo)入計算機(jī)端進(jìn)行分析，得到對應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)以減小誤差. 通過數(shù)字圖像處理方法提取氣泡輪廓，計算液體表面膨脹模量來確定氣泡的表面張力. 結(jié)果如表1所示.

(a) t=0 s (b) t=1 s

(c) t=1.6 s (d) t=1.8 s

(a) t=0 s

(b) t=1 s

(c) t=1.6 s

(d) t=1.8 s

表1 樣品表面張力測量結(jié)果

6 結(jié)束語

本文對聲懸浮液滴和氣泡現(xiàn)象進(jìn)行了分析，設(shè)計裝置實(shí)現(xiàn)液滴和氣泡的懸浮，在此基礎(chǔ)上測量了液體的動態(tài)表面張力. 本文所用方法具有操作簡單、測量效果良好的特點(diǎn). 在接下來的工作中，可以建立數(shù)學(xué)模型對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行定量的分析，討論相控陣列功率、液滴顏色、氣泡厚度等對表面張力的影響，從而了解非平衡狀態(tài)下聲懸浮液滴動態(tài)表面張力的測量機(jī)理.