基于GPI觀測器的Buck型變換器趨近律控制

南余榮，陳姝瑾，王滿意

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

DC-DC變換器是電能變換的重要組成部分，具有結(jié)構(gòu)簡單，可靠性好，效率高等特點[1]。Buck型降壓變換器是DC-DC變換器主要類型之一，廣泛用于電機驅(qū)動，光伏發(fā)電系統(tǒng)，電動汽車等領(lǐng)域[2]。隨著以綠色環(huán)保為特征的新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，越來越多的研究者關(guān)注電能轉(zhuǎn)換的質(zhì)量和效率問題。

在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)模型會受到各種干擾的影響，例如電感磁特性的不確定性、輸入電壓的不穩(wěn)定、負載的擾動等，目前已有許多先進的非線性控制方法應(yīng)用于Buck型變換器，如自抗擾控制、自適應(yīng)控制、滑模控制等[3]。其中滑模控制在實際應(yīng)用中具有操作簡單，精度高，且有較好的穩(wěn)定性和魯棒性等優(yōu)點?？紤]在實際應(yīng)用中存在的擾動和不確定性，很難用實際的傳感器進行測量，而設(shè)計觀測器可以實現(xiàn)對擾動的精確估計和補償。文獻[4]設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器(ESO, extended-state observer)，實現(xiàn)對負載變化的估計，同時設(shè)計滑?？刂破鳎岣吡讼到y(tǒng)的抗干擾性能。文獻[5]設(shè)計了未知輸入觀測器(UIO,unknown input observer)，對噪聲的敏感度較低，且只需要調(diào)節(jié)一個參數(shù)，便于在實際系統(tǒng)中實現(xiàn)。文獻[6]提出了基于擾動觀測器(DOB, disturbance observer)的滑模控制方法，可以在有限時間內(nèi)收斂至參考電壓附近的鄰域內(nèi)。但是上述觀測器只能精確估計慢時變擾動[7]，在實際系統(tǒng)中的擾動更為復(fù)雜，可能還存在高階多項式擾動。文獻[8]設(shè)計了廣義比例積分觀測器(GPIO,generalized proportional integral observer)可以實現(xiàn)對慢時變擾動和快時變擾動的精確估計，并與反步法進行結(jié)合來處理非匹配負載擾動，反步法的基本思想是將一個復(fù)雜的系統(tǒng)分解成多個子系統(tǒng)，通過設(shè)計虛擬控制律的方式由后向前遞推，將干擾因素都設(shè)計進入每個子系統(tǒng)中，但是在設(shè)計過程中，控制器中可能會存在虛擬控制函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)問題，計算起來較為復(fù)雜。

在實際應(yīng)用中，由于延時、滯后效應(yīng)和元器件開關(guān)頻率達不到無窮大的理想狀態(tài)等問題，控制器在滑模運動中可能會引起高頻抖振，這種抖振現(xiàn)象會降低系統(tǒng)的效率，增加能量損耗，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)與理想狀態(tài)發(fā)生很大偏離。因此高為炳院士為了消除變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的抖動，提出了趨近律的概念，同時，實驗證明了通過趨近律的方法可以減小滑模控制的固有抖振。文獻[9]提出了一種無抖振的變速趨近律，在離散系統(tǒng)中，通過調(diào)節(jié)趨近律變化速率控制函數(shù)，可以使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂，并削弱了控制器的抖振。針對存在有界擾動的系統(tǒng)，文獻[10]提出一種雙冪次趨近律，使系統(tǒng)可以在固定時間內(nèi)收斂并給出了收斂時間的估計，同時在抑制抖振方面也具有良好的效果，但是抖振現(xiàn)象仍然不能消除，趨近律的趨近速率和抖振仍需要改善和加強。

綜上所述，本文提出了一種基于廣義比例積分觀測器的DC-DC降壓型變換器趨近律的控制方法。首先，考慮到輸入電壓波動、參數(shù)的不確定性、負載電阻擾動等干擾，設(shè)計了廣義積分觀測器分別對匹配擾動和非匹配擾動進行估計，并對觀測器誤差收斂性進行證明，其主要思想是將觀測器估計的干擾引入到控制律的設(shè)計中，以補償這些干擾和不確定性所造成的影響，在保證了系統(tǒng)的輸出電壓能夠收斂至參考電壓附近的同時，使系統(tǒng)具有良好的抗干擾能力。進一步的地，設(shè)計了基于雙曲正切型函數(shù)的變速趨近律，通過調(diào)整趨近律的內(nèi)部參數(shù)，可以縮短系統(tǒng)到達滑模面的時間，同時減小在滑動階段控制信號的抖振。然后根據(jù)趨近律和滑模面設(shè)計控制器，同時通過李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)證明了該控制方法下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差能夠收斂到零。最后，通過Matlab仿真軟件進行實驗并與其他方法進行對比，結(jié)果驗證了該方法具有良好的收斂速度和抗擾動能力。

1 模型描述

針對Buck型變換器，根據(jù)開關(guān)管的導(dǎo)通和關(guān)斷兩種狀態(tài)，不考慮電阻、電容和電感的擾動，即在理想狀態(tài)下建模，則可推導(dǎo)出Buck型變換器的狀態(tài)空間模型如下所示：

(1)

其中:R為負載電阻，vo為輸出電壓，vin為輸入電壓，L為儲能電感，iL為電感電流，C為電容，iC為電容電流，u∈[0,1]是控制器的輸出，該輸出最終用于驅(qū)動PWM信號。由于在實際系統(tǒng)中存在匹配擾動和不匹配擾動的影響，即與控制信號出現(xiàn)在同一個通道的擾動為匹配擾動，與控制信號不在同一個通道則為非匹配擾動。若考慮這兩種擾動，定義輸出電壓誤差x1=vo-vref，則:

(2)

其中:C0為電容C的標稱值，R0為負載電阻R的標稱值，d1是系統(tǒng)中的非匹配擾動，滿足d1=(1/C-1/C0)iL+(1/(R0C0)-1/(RC))v0。

令x2=-(1/R0C0)vO+(1/C0)iL，對x2求導(dǎo)，則:

(3)

其中:L0為電感L的標稱值，匹配擾動d2滿足:

則Buck電路的數(shù)學(xué)模型可轉(zhuǎn)換為:

(4)

本文的控制目標是針對存在匹配擾動和非匹配擾動情況下的Buck型變換器(4)，設(shè)計控制器u，使輸出電壓v0能收斂至參考電壓附近。

2 控制器設(shè)計

2.1 廣義比例積分觀測器(GPIO)

DC-DC降壓型變換器系統(tǒng)的電壓跟蹤精度會受到擾動的影響，如輸入電壓波動、參數(shù)的不確定性、負載電阻擾動等干擾，消除這些干擾的一個有效方法是引入擾動估計來精確補償。針對Buck型變換器(4)，設(shè)計兩個廣義積分觀測器分別對匹配擾動和非匹配擾動進行估計，并將擾動估計引入到控制律的設(shè)計中，以補償這些干擾和不確定性所造成的影響，兩個廣義比例積分觀測器的具體設(shè)計如下：

(5)

(6)

本節(jié)提出了一種基于廣義比例積分觀測器的抗擾動控制方法，其控制目標為，設(shè)計廣義比例積分觀測器實現(xiàn)對時變擾動的估計并實時地更新到控制器中，有效地抑制擾動帶來的影響，提高整個系統(tǒng)的抗干擾性能。具體的系統(tǒng)控制如圖1所示，系統(tǒng)框圖包括4個部分：兩個廣義比例積分觀測器(GPIO)、滑模控制器、脈沖寬度調(diào)制器(PWM)、Buck型變換器。其系統(tǒng)的工作原理為：首先基于電感電流和輸出電壓的反饋值構(gòu)造兩個廣義比例積分觀測器，分別對匹配和非匹配擾動進行估計，然后利用估計值設(shè)計一個滑模控制器，將控制器與鋸齒波相比較得到PWM波，利用PWM波控制直流降壓變換器的開關(guān)管，使Buck型變換器能夠穩(wěn)定地輸出至期望電壓。

圖1 系統(tǒng)整體的控制框圖

(7)

證明:對于Buck型變換器(4)，廣義比例積分觀測器估計誤差可表示為：

(8)

(9)

記估計誤差e=[e11e12…e1(n+1)e21e22…e2(m+1)]T，并帶入廣義比例積分觀測器(5)、(6)，則觀測器的跟蹤誤差動態(tài)可以表示為：

(10)

(11)

(12)

其中:η>0，運用young不等式[13]則有:

(13)

(14)

據(jù)引理1，所設(shè)計的廣義比例積分觀測器是全局一致最終有界的。

注1：式(5)和式(6)中的廣義比例積分觀測器增益為h11…h(huán)1(n+1)和h21…h(huán)2(m+1)，其取值對觀測器的估計效果影響較大，當(dāng)該觀測器增益取值相對較大時，觀測器的估計效果較好，系統(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)速度也較快，同時也可以使擾動估計值快速地跟蹤到實際值，但是在負載突變以及輸入電壓突變時，會引起系統(tǒng)的輸出電壓有較大的超調(diào)。因此，需要結(jié)合實際工況綜合地選擇該觀測器中的可調(diào)比例增益。

2.2 增強型變速趨近律和控制器設(shè)計

為提高系統(tǒng)狀態(tài)趨近速率和減小控制器輸出抖振，設(shè)計了基于雙曲正切型輔助函數(shù)的增強型變速趨近律，其形式為:

D(σ)=-εf(τ|σ|)+Θ

(15)

由式(15)得D(σ)始終大于0，當(dāng)系統(tǒng)遠離滑模面時，0K1|σ|γ1，[K2/D(σ)]|σ|γ2>K2|σ|γ2，控制器增益變大，提高了系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量運行軌跡接近滑模面時，D(σ)趨于Θ>1，選取合適的Θ，使控制器增益[K1/D(σ)]|σ|γ1

為保證系統(tǒng)輸出電壓v0最終能夠收斂至參考輸出電壓Vref附近，設(shè)計滑模面為:

(16)

針對Buck型變換器(4)，結(jié)合趨近律(15)和滑模面(16)，設(shè)計控制器為:

(17)

注2:本文提出的基于雙曲正切型輔助函數(shù)的增強型變速趨近律，可以根據(jù)滑模變量σ的大小動態(tài)地調(diào)節(jié)趨近律的增益，從而改變趨近律的收斂速度。同時，由式(15)可知，雙曲正切函數(shù)的取值范圍為f(τ|σ|)=tanh(τ|σ|)∈(-1,1)，且ε>0，Θ>1可得0

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

(18)

其中:α0、β0>0，0<φ1<1，φ2>1，0<η0<∞，則V(x)可在固定時間內(nèi)收斂到平衡點附近的鄰域：

(19)

其中:0<θ0<1，且系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時間T0滿足：

(20)

定理1:對于Buck型降壓變換器系統(tǒng)(4)，在廣義比例積分觀測器(5)、(6)，趨近律(15)，滑模面(16)和控制器(17)作用下，輸出電壓v0最終能夠收斂至參考電壓vref附近。

證明對滑模面σ(16)求導(dǎo)，并將控制器(17)代入：

K3σ+βed1+ed2

(21)

K3σ2+|σ|βed1+ed2|

(22)

(23)

由引理2可知，滑模變量σ可在固定時間Ts內(nèi)收斂至平衡點附近鄰域Δ1內(nèi)，即|σ|≤Δ1，滿足:

(24)

其中:0<ζ1<1。收斂時間Ts滿足:

(25)

因此，在控制器(17)的作用下，滑動變量σ可以在固定時間Ts內(nèi)收斂至平衡點附近的鄰域內(nèi)。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面附近的鄰域內(nèi)，滿足|σ|≤Δ1，當(dāng)0≤σ≤Δ1時，式(16)可以轉(zhuǎn)化為:

(26)

(27)

求解式(28)有:

(28)

當(dāng)Δ1≤σ≤0時，式(16)可以轉(zhuǎn)化為:

(29)

求解式(29)有:

(30)

綜上，x1(t)滿足:

(31)

由式(31)可知，當(dāng)時間趨于無窮時，即t→∞，輸出電壓誤差x1(t)趨近于0，即系統(tǒng)輸出電壓v0最終能夠收斂至參考電壓vref附近，證畢。

3 仿真分析

為了驗證本文方法是否具有更快的收斂速度和抗干擾性能，針對存在匹配和非匹配擾動的Buck型變換器(4)，在電路參數(shù)取值相同的情況下，將本文提出的方法和其他文獻中控制方法進行仿真對比，結(jié)果驗證了本文方法可以有效地抑制擾動帶來的影響，保證輸出電壓穩(wěn)定，提高整個系統(tǒng)的抗干擾性能。利用Matlab仿真進行兩種方法的對比仿真：

方法一：本文提出的基于廣義比例積分觀測器的趨近律控制方法，該方法包含觀測器、滑模面、趨近律和控制器，分別由本文中的式(5)和式(6)、式(15)～(17)組成。

方法二：文獻[15]中提出的基于變速趨近律的抗擾動方法，其中基于低通濾波器設(shè)計的擾動觀測器、趨近律和控制器分別為：

(32)

D(s)=arccot(λ|s|p)Ξ

(33)

(34)

3.1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

本次仿真實驗的控制目標為：控制器將20 V的輸入電壓降低到5 V的參考電壓，在同一的電路系統(tǒng)下分別用兩種方法進行控制，從圖中觀察和分析各個狀態(tài)變量隨時間變化的值，比較在兩個方法地控制下系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和抗干擾性能。為保證對比的公平性對兩種方法在同一Buck型變換器電路系統(tǒng)下進行仿真對比，電路參數(shù)選取為：輸入電壓為Vin0=20 V，額定電感為L0=0.1 mH，額定電容為C0=1 mF，額定輸出電阻為R0=20 Ω，參考輸出電壓為Vref=5 V。

為使系統(tǒng)具有更優(yōu)的瞬態(tài)性能和控制效果，以下Buck型變換器系統(tǒng)的具體控制參數(shù)都采用試錯法取得：方法一中的控制參數(shù)設(shè)置為q1=1 500，q2=2 000，γ1=0.5，γ2=1.6，K1=2 500，K2=50,K3=10，β=550，ε=0.01，τ=0.1，Θ=1.5。方法二中的控制參數(shù)設(shè)置為γx=0.6，Ξ=1.91，a=600，K=8 000，Λ=1.8，λ=0.8，p=0.05。

3.2 仿真實例分析

針對存在匹配和非匹配擾動的Buck型變換器系統(tǒng)，如圖2(a)輸出電壓所示，兩種方法都能使輸出電壓快速趨近于設(shè)定的參考值，且輸出電壓沒有穩(wěn)態(tài)誤差，但從圖中可以明顯地看到，方法一和方法二的輸出電壓響應(yīng)時間分別約為 0.015 s和0.02 s，因此方法一具有更快的收斂速度。為測試本文方法具有一定的魯棒性和抗干擾性能，方法一是本文中的基于廣義比例積分觀測器來估計系統(tǒng)的時變擾動，而方法二是基于低通濾波器設(shè)計的擾動觀測器來估計擾動。在仿真過程中模擬實際應(yīng)用時負載電阻突變的情況，即在0.04 s時，電阻由20 Ω下降到10 Ω，在0.08 s再上升到20 Ω，方法一的輸出電壓恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間約為0.002 s，方法二電壓恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間分別約為0.008 s和0.01 s，由此可見，方法一電壓恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間比方法二快，間接證明了方法一具有更好的抗干擾效果。因此，方法一具有更快電壓收斂速度和更好的抗干擾效果。

圖2 負載變化下的輸出響應(yīng)對比

如圖2(b)電感電流所示，雖然方法一的電感電流的超調(diào)比方法二大，但方法一的上升時間和調(diào)節(jié)時間分別約為0.002 s和0.005 s，都小于方法二的上升時間和調(diào)節(jié)時間。如圖2(c)的控制器輸出所示，方法一下控制器輸出u的響應(yīng)速度高于方法二，且控制器收斂時間更短，同時可以看出方法一對抖振具有良好的抑制能力。綜上，在方法一控制下的 Buck 型變換器具有更快的輸出電壓響應(yīng)、更好的瞬態(tài)性能和抗擾動能力。

圖3中(a)、(b)分別描述的是廣義比例積分觀測器對非匹配擾動d1和匹配擾動d2的估計效果，其中在0.04 s時刻，電阻由20 Ω，下降到10 Ω，該觀測器對非匹配擾動d1和匹配擾動d2的估計的收斂時間分別為0.007 s和0.005 s；在0.08 s時刻電阻由10 Ω上升到20 Ω，該觀測器的收斂時間分別為0.007 s和0.008 s?？梢钥闯觯?dāng)負載電阻發(fā)生突變時，廣義比例積分觀測器可以迅速跟蹤擾動的值，并且對非匹配擾動d1和匹配擾動d2進行精確的估計，進一步的證明了廣義比例積分觀測器對系統(tǒng)中電阻負載突變具有較強的適應(yīng)性，即該觀測器在估計系統(tǒng)干擾時，具有較快的響應(yīng)速度和較好的準確性。

圖3 負載變化下的觀測器的估計

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于GPI觀測器的Buck型變換器趨近律的控制方法。通過廣義比例積分觀測器估計系統(tǒng)中存在的匹配和非匹配擾動，使系統(tǒng)具有更好的抗干擾能力。同時，設(shè)計了一種基于雙曲正切型輔助函數(shù)的增強型變速趨近律，提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，并能有效地抑制抖振。最后，仿真結(jié)果說明本文提出的方法在保證了系統(tǒng)的輸出電壓能夠收斂至參考電壓附近的同時，使系統(tǒng)具有良好的抗擾動性能。本文只用仿真證明了所提控制算法的有效性，后續(xù)工作將設(shè)計Buck型變換器的硬件實驗平臺，來驗證該方法在實際應(yīng)用中也具有良好的系統(tǒng)狀態(tài)收斂速度和抗干擾性能。