借助已有經(jīng)驗(yàn) 解決新型函數(shù)

楊根生

為了考查考生的創(chuàng)新意識(shí)，近年來中考中出現(xiàn)了一些運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決超出初中數(shù)學(xué)知識(shí)范圍的函數(shù)問題，解決這類問題的關(guān)鍵是要充分聯(lián)想學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的經(jīng)驗(yàn). 現(xiàn)舉例說明，供同學(xué)們參考.

例1（2020·湖南·郴州）為了探索函數(shù)y = x + [1x]（x>0）的圖象與性質(zhì)，我們參照之前學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法.

列表：

描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量[x]的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值[y]為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖1所示.

（1）如圖1，觀察所描出點(diǎn)的分布，用一條光滑曲線將點(diǎn)順次連接起來，作出函數(shù)圖象.

（2）已知點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：①若[0<x1<x2≤1]，則[y1] [y2];若1

（3）某農(nóng)戶要建造一個(gè)如圖2所示的長方體形無蓋水池，其底面積為[1]平方米，深為[1]米.已知底面造價(jià)為[1]萬元/平方米，側(cè)面造價(jià)為[0.5]萬元/平方米，設(shè)水池底面一邊的長為[x]米，水池總造價(jià)為[y]萬元.

①請(qǐng)寫出[y]與[x]的函數(shù)關(guān)系式;

②若該農(nóng)戶預(yù)算不超過[3.5]萬元，則水池底面一邊的長[x]應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

解：（1）函數(shù)圖象如圖3所示.

（2）>，<，=.

（3）①由題意得y=1 × 1 + [x+1x] × 2 × 1 × 0.5 = 1 + x + [1x]（x>0）;

②由題意得1 + x + [1x] ≤ 3.5，即x + [1x] ≤ 2.5. 設(shè)y1 = x + [1x]，y2 = 2.5，

在圖3中作出直線y2 = 2.5，觀察圖象，借助于表格可知當(dāng)[12] ≤ x ≤ 2時(shí)，y1 ≤ y2，∴水池底面一邊的長x應(yīng)控制在[12] ≤ x ≤ 2的范圍內(nèi).

點(diǎn)評(píng)：本題中的函數(shù)y = x + [1x]（x > 0）不屬于我們學(xué)習(xí)過的三種函數(shù)，但我們通過運(yùn)用研究函數(shù)的一般經(jīng)驗(yàn)畫出函數(shù)圖象、觀察圖象分析特征，順利解決了問題.

例2（2020·重慶）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程. 請(qǐng)結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫出函數(shù)[y=-12x2+2]的圖象并探究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

（1）列表，寫出表中[a]，[b]的值：[a=] ，[b=] . 描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象.

（2）下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論正確的是 .

①函數(shù)[y=-12x2+2]的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;②當(dāng)x = 0時(shí)，函數(shù)[y=-12x2+2]有最小值，最小值為-6;③在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)[y]的值隨自變量[x]的增大而減小.

（3）已知函數(shù)[y=-23x-103]的圖象如圖4所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式[-12x2+2<-23x-103]的解集.

解：（1）把x=-3和x = 0分別代入y=-[12x2+2]，

得a=-[ 1211]，b=-6，畫出函數(shù)的圖象如圖5.

（2）觀察函數(shù)圖象可知：①該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確;由函數(shù)圖象的最低點(diǎn)可知，當(dāng)[x=0]時(shí)，函數(shù)[y=-12x2+2]有最小值-6，故②正確;當(dāng)x<0時(shí)y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)y隨x的增大而增大，故③錯(cuò)誤. 故填①②.

（3）由圖象可知：不等式-[ 12x2+2]<-[23x-103]的解集為x<-4或-2

點(diǎn)評(píng)：解決這類問題，須熟知研究一般函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程與方法，正確用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，會(huì)觀察圖象分析特征，善于將求不等式解集的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小比較，進(jìn)而通過觀察函數(shù)圖象的位置，由自變量的取值范圍得到不等式的解集.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校）