基于LQR的車體與車下設備耦合振動控制及共振效應研究

雒耀祥，繆炳榮，陳翔宇，彭齊明，蔣釧應

（西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，成都610031）

高速列車車體輕量化的設計原則在實現(xiàn)車體質量減輕、運行能耗降低的同時，也不可避免使得車體的動態(tài)性能惡化。其主要原因一方面是車體剛度下降，另一方面是運行速度的提高使得隨機不平順激擾的頻域加寬，更容易激發(fā)車體的垂彎模態(tài)。其中車體1階垂彎頻率正好位于人體感受敏感的頻率范圍內，會使旅客乘坐舒適性會出現(xiàn)不同程度的惡化[1]。而車體剛度不足，使得車輛在運行過程中容易發(fā)生共振。所激發(fā)的共振可能會使車體與設備之間的連接處發(fā)生局部的顫振，從而造成車輛零部件的松動或者容易產生疲勞破壞[2]。為盡可能降低上述不利影響，需采取相應的減振和隔振措施對車體振動進行抑制。

文獻[1，3–7]分析了車下設備吊掛參數(shù)對車體彈性振動的影響，并對合理的參數(shù)匹配給出建議。這些研究是從DVA(Dynamic vibration absorber)理論出發(fā)，屬于車體彈性振動抑制的被動方法。被動方法的不足在于設計參數(shù)難以滿足不同的復雜工況。為此，有必要從振動控制的角度來對其進行補充研究。

曾京和羅仁[8]在模型中考慮半主動開關減振器，分析其對車體振動的影響。Zheng[9]將主動二系懸掛和結構阻尼相結合，同時對車體的剛性和彈性振動進行抑制。曹輝等[10]提出改善垂向平穩(wěn)性的魯棒控制方法。以上文獻雖然對車體彈性振動抑制從控制角度進行了研究，但缺少對車體與車下設備耦合振動的考慮。

Foo[11]考慮車下設備的影響及作動器的動力學特征，利用主動懸掛抑制車體的彈性振動。汪群生等[12]利用LQR(Linear quadratic regulator)最優(yōu)控制理論對車體與車下設備的耦合振動進行半主動控制。另外，文獻[13–15]中利用LQR對四分之一車輛模型進行振動控制，但并未考慮結構彈性振動模態(tài)的影響及耦合振動的作用。

基于對以上相關文獻的分析，本文利用LQR方法對車體與車下設備之間的耦合振動進行控制。針對以上文獻研究中的不足，在進行振動控制時，不僅應用優(yōu)化算法來決定控制參數(shù)的取值，而且還考慮了不同目標函數(shù)的設置對控制效果的影響。

1 理論背景

1.1 歐拉-伯努利梁理論

為考慮車體的彈性振動，可將其視作兩端自由的均質等截面Euler梁?？紤]圖1所示的簡化模型，設梁的垂向位移為w(x,t)，則其振動方程可表示為[16]

圖1 簡化的Euler-Bernoulli梁模型

其中：EI是車體等效抗彎剛度，μI是內滯阻尼系數(shù)。

設第m階彈性振動的模態(tài)坐標為qm(t)，對應的振型函數(shù)為Ym(x)。利用振型疊加法截取前N階彈性振動模態(tài)并考慮車體剛性的沉浮z(t)和點頭θc(t)振動，則車體的振動位移可表示為

將式(2)代入到偏微分方程式(1)中，可得：

將式（3）左右兩邊同乘以Yn(x)dx，并沿車體長度進行積分，可得車體彈性振動的微分方程為

在式(4)中[16]：

1.2 輪軌接觸理論

根據(jù)Hertz非線性接觸理論，輪軌間的垂向動態(tài)作用力可表示為[17]

其中：GHz是Hertz接觸常數(shù)，δ是輪軌間彈性壓縮量。

輪軌間的彈性壓縮量δ包括輪軌間的靜壓量δ0和相對位移δjwr(t)兩部分。當δ<0 時輪軌發(fā)生脫離，可認為輪軌力為0。所以輪軌垂向力可表示為[17]

利用以上方法求解輪軌垂向力時，由于輪軌間的非線性關系，在求解過程中須采用較小的時間步長。為此，可采用線性化的接觸剛度，其可由式(9)求得：

1.3 振動控制技術

LQR線性二次型控制是最優(yōu)控制中的一種經(jīng)典算法，其控制規(guī)律簡單并且具有非線性容限較令人滿意的優(yōu)點，在振動控制中具有廣泛的應用。假設有線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

引入最優(yōu)控制的性能指標[18]：

其中：Q和R表示加權矩陣。由線性二次型最優(yōu)控制理論可知，要使J最小，所輸入的控制信號應為[18]

其中：P是對稱矩陣，滿足以下的Riccati代數(shù)方程[18]：

2 建模及控制參數(shù)求解

2.1 動力學建模

考慮圖2所示的垂向簡化模型，整個系統(tǒng)包括1個車體、2個轉向架、4個輪對和1個車下設備。除對車體額外考慮前3 階彈性振動外，其余部件均視為剛體。整個系統(tǒng)共15個自由度，主要參數(shù)列于表1。

圖2 簡化整車垂向模型

表1 車輛數(shù)值模型部分參數(shù)

記Fsi和Fej分別為二系懸掛和車下設備懸掛元件對車體的作用力，F(xiàn)u為輸入的控制力，則可得考慮車體剛柔耦合振動的系統(tǒng)運動方程為

車下設備的運動方程為

記Fpn是一系懸掛對第n個輪對的作用力，可得轉向架構架的的運動方程：

其中，當i=1時，n=1，當i=2時，n=3。

結合之前所說明的輪軌垂向力計算方法，可得：

至此，已得到系統(tǒng)的運動微分方程組，可將其整理成式(10)所示的狀態(tài)空間方程的形式。則A為30×30 階系統(tǒng)狀態(tài)變量矩陣；B為30×1 階控制力輸入矩陣；H為30×4 維的激勵輸入矩陣；C′和D的矩陣維數(shù)由實際所需的輸出數(shù)目所決定。

2.2 模型驗證

為了對以上所建立的高速列車整車垂向動力學模型進行驗證，建立各部件自由度更為完善并且考慮非線性輪軌接觸的三維剛柔耦合模型如圖3所示。

圖3 多體動力學模型

對簡化垂向模型和多體動力學模型添加實測武廣線垂向軌道不平順激勵，計算車體中間位置處的垂向振動加速度及功率譜密度見圖4。

從圖4(a)中可以看出，簡化模型與MBS(Multibody system)模型的時域仿真結果存在較小的差異。對圖4(a)中的最大值及RMS 值進行統(tǒng)計，結果列于表2。從中可以看出，建立的垂向簡化模型能較好地反映車體的振動特性。

表2 精細模型與簡化模型部分結果對比

從圖4(b)的對比中可以發(fā)現(xiàn)：在所研究的頻率范圍內，簡化模型不僅存在與MBS 模型近似的主頻，而且還能較好地反映振動能量的變化趨勢。因此，可以將建立的垂向簡化模型用于后續(xù)的研究中。

圖4 不同模型計算結果比較

2.3 車體與車下設備耦合共振頻率確定

對垂向模型施加同步正弦激擾，圖5所示是3種情況下車體中間位置處的動力放大系數(shù)。

圖5 車體中間位置處振動位移的動力放大系數(shù)

可以看出，車下設備剛性懸掛時，車體1階垂彎頻率下降到10 Hz 以下。而車下設備彈性懸掛時，車體與車下設備發(fā)生耦合振動，對應的動力放大系數(shù)由單峰值變?yōu)殡p峰值，其中低階耦合共振頻率為8.2 Hz。

另外，從圖5可以看出，將車下設備彈性懸掛于車體時，能夠降低車體的彈性振動。文獻[4–5]中也指出要減小車體振動的傳遞率可通過降低車下設備懸掛剛度的方式來實現(xiàn)。但注意到過多地降低車下設備懸掛剛度，會使撓度增加，可能會引起車下設備與其它部件之間的干涉，這在文獻[19]中也有所考慮。因此，利用車下設備彈性懸掛的方式對振動進行抑制時，為盡量避免這一矛盾，可通過施加控制來作為抑制車體彈性振動的一種補充方法。

2.4 同步激勵下車體振動最優(yōu)控制

為了對車體的彈性振動進行抑制，選擇占彈性振動分量較大的1 階垂彎振動為控制目標。為此，構造如下的適應度函數(shù)：

根據(jù)LQR控制中權重矩陣的選擇規(guī)則，可取定R為單位陣、Q為對角陣。為使上式所表達的適應度函數(shù)達到最小，利用全局尋優(yōu)能力強的基因遺傳算法對Q中各元素進行參數(shù)尋優(yōu)。根據(jù)圖5 的結果，取頻率為8.2 Hz 的同步正弦激勵作為輸入，尋優(yōu)過程如圖6所示。

圖6 同步正弦激擾下的尋優(yōu)過程

可以看出，進化20代左右時，尋優(yōu)過程收斂，最優(yōu)解基本不變并保持在穩(wěn)定值。

2.5 軌道不平順激勵下車體振動控制

考慮車輛實際運行中所受隨機軌道不平順的作用，對車體振動進行最優(yōu)控制。由于短波對動力學的影響比較大，因此考慮激擾波長的范圍為0.5 m～80 m。利用文獻[20]中的方法，通過反演得到德國低干擾譜高低不平順的樣本。用該樣本做為輸入，結合遺傳算法進行全局參數(shù)尋優(yōu)。圖7所示為尋優(yōu)過程，可以看出尋優(yōu)過程最后收斂于穩(wěn)定值，基本保持不變。

圖7 隨機激擾下的尋優(yōu)過程

3 結果分析與討論

3.1 同步激勵下控制結果討論

基于圖6的尋優(yōu)結果，最優(yōu)控制前、后車體振動加速度及功率譜密度的對比分別見圖8和圖9。

圖8 控制前、后車體振動加速度響應

圖9 控制前、后車體振動加速度功率譜密度

從圖8 可以發(fā)現(xiàn)，在控制后車體振動加速度明顯減小。進一步計算可得，未控時車體中間位置加速度RMS 值為4.590 2 m/s2，而施控后該值降低為0.413 6 m/s2。這說明所得結果可以很好地抑制車體與車下設備的耦合共振。從圖9 中可以看出，施加最優(yōu)控制后，僅在車體與設備耦合共振頻率附近振動能量降低，但在其他影響乘坐舒適性的頻段內振動能量加強。

3.2 軌道不平順激勵下控制結果討論

利用圖7的優(yōu)化結果，計算控制前、后車體振動加速度與功率譜密度分別見圖10 和圖11。在軌道不平順激勵下，未控時車體加速度RMS值為0.127 7 m/s2。而施控后RMS 值變?yōu)?.063 2 m/s2，相比于未控制前下降50%。

圖10 控制前、后車體振動加速度響應

圖11 控制前、后車體振動加速度功率譜密度

從圖11 中可以得到和之前同步激勵下類似的結果，在耦合共振頻率的附近車體的振動能量顯著降低，但在其他人體較為敏感的頻段內卻有振動能量的加強。這不利于乘坐舒適性的改善，有必要進一步對這一問題尋求解決方案。

3.3 頻率性能優(yōu)化

由于車體剛柔耦合振動的原因，以上控制效果存在只能在較窄的頻率范圍內發(fā)揮減振效果的不足。為此，在以以上時域性能為目標的基礎上，進一步引入頻域性能對控制參數(shù)進行優(yōu)化。

構建以頻域性能指標為目標函數(shù)如式(19)所示，分別在同步正弦和延遲隨機激擾下進行優(yōu)化。

式中：S(ω)表示輸入激擾的功率譜，HS(ω)→am是從輸入激擾到車體中間位置振動加速度的傳遞函數(shù)。

圖12(a)至圖12(c)和圖12(d)至圖12(f)分別為同步正弦和延遲隨機激擾下的優(yōu)化結果。從圖12 的時域結果可以看出，以頻域性能指標為目標進行參數(shù)優(yōu)化，同樣能達到降低車體振動加速度幅值的目的。對頻域結果進行分析可以發(fā)現(xiàn)，其不僅能在車體與設備耦合共振的峰值頻率處起到振動抑制的效果，而且也能在人體較為敏感的較寬頻段內起到較好的減振效果。尤其是在低頻段和對舒適性影響較大的頻段內，振動能量降低較為明顯，有利于乘坐舒適性和運行平穩(wěn)性的改善。

圖12 以頻率性能為目標所得優(yōu)化控制結果

3.4 與其它控制方法的效果比較

為進一步說明方法的可行性及優(yōu)勢，利用文獻[21–22]中經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化并具有良好效果的模糊控制做為比較對象。構建圖13(a)所示的模糊系統(tǒng)，控制參數(shù)優(yōu)化過程如圖13(b)。利用優(yōu)化結果進行模糊控制，并與上一小節(jié)中LQR 控制效果進行對比，結果見圖13(c)?？梢钥闯觯疚乃梅椒▽圀w的振動抑制效果明顯比模糊控制好。這說明本文所用控制方法及提出基于頻率性能為目標的參數(shù)設定方法在抑制車體與車下設備耦合振動時，具有一定的優(yōu)勢。

圖13 模糊控制系統(tǒng)及控制效果

3.5 參數(shù)擾動對控制效果的影響

考慮到所用的控制方法為最優(yōu)控制，其在工況變化時應具有一定的控制“裕量”。為此，考量車體質量變化和軌道激擾惡化對控制效果的影響，前者用來模擬載客量發(fā)生變化的工況，而后者則用來模擬軌道條件變差的情形。表3所列是車體質量變化情形下，控制前、后車體加速度RMS 值的變化?？梢钥闯?，車體質量變化對控制效果的影響不是很大，在所研究的參數(shù)范圍內，最優(yōu)控制仍能保持較好的控制效果，使車體加速度RMS值的降幅保持在40%以上。

表3 車體質量變化引起車體振動加速度RMS的變化

在隨機激擾樣本中添加一定的隨機噪聲用來模擬軌道激擾的惡化，表4 所列是車體加速度RMS 值的降幅?？梢钥闯觯S著噪聲的增加，車體加速度RMS 值有一定程度的增加。但相比于未控時的RMS 值0.127 7 m/s2，軌道激擾增加2%的隨機噪聲時，控制結果仍能保持RMS值11.7%的降幅。說明所得控制參數(shù)在軌道激擾惡化時能保持一定的控制“裕量”。

表4 軌道激擾變化引起車體振動加速度RMS的變化

4 結 語

通過以上的研究，所得主要結論有：

(1)對車下吊掛設備采用剛性懸掛會使車體一階垂彎振動的固有頻率有所下降，從而惡化車體的振動。而將車下設備彈性懸掛時，會使車體放大系數(shù)表現(xiàn)出雙峰值，并在峰值頻率處出現(xiàn)車體與車下設備的耦合共振，求得低階耦合共振的頻率為8.2 Hz。

(2)比較將車體時、頻域性能分別作為優(yōu)化目標所得的控制效果，結果表明，以頻率性能為目標所得的控制參數(shù)，不僅能顯著降低車體加速度幅值，而且還能在較寬頻段內降低振動能量，尤其是在低頻段和對乘坐舒適性影響較大的頻段內減振效果較為明顯，因此有利于相應性能的提高和改善。

(3)車體質量在±5%的范圍內變化時，其對最優(yōu)控制效果的影響不是很大。車體加速度RMS 值的降幅基本都保持在40%以上。最優(yōu)控制參數(shù)對隨機不平順激擾比較敏感。但在隨機激擾中增加不超過2%的隨機噪聲時，仍能保持一定的控制“裕量”，車體加速度RMS 值相比于未控制時仍有10%以上的降低。